資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一節　導數的概念、幾何意義及運算
課標解讀 考向預測
1.了解導數概念的實際背景，能通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義. 2.能根據導數的定義求函數y＝c(c為常數)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數. 3.能利用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，會求簡單復合函數(限于形如f(ax＋b))的導數. 從近三年高考情況來看，本節是高考中的必考內容．預計2025年高考會以客觀題的形式考查導數的定義、求曲線的切線方程．導數的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查，試題難度屬中、低檔.
【知識梳理】
1．平均變化率
對于函數y＝f(x)，把比值，即＝叫做函數y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
2．瞬時速度
一般地，如果物體的運動規律可以用函數s＝s(t)來描述，那么，物體在時刻t的瞬時速度v就是物體在t到t＋Δt這段時間內，當Δt無限趨近于0時，無限趨近的常數．
3．瞬時變化率
定義式 ＝
實質 瞬時變化率是當自變量的改變量趨近于0時，平均變化率趨近的值
作用 刻畫函數在某一點處變化的快慢
4.導數的概念
一般地，函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是 ＝ ，我們稱它為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
注意：函數y＝f(x)在x＝x0處的導數是y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率．
5．導函數的概念
如果函數y＝f(x)在開區間(a，b)內的每一點都是可導的，則稱f(x)在區間(a，b)內可導．這樣，對開區間(a，b)內的每一個值x，都對應一個確定的導數f′(x)，于是在區間(a，b)內f′(x)構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數y＝f(x)的導函數(簡稱導數)，記為f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝．
6．導數的幾何意義
函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)，就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k0，即k0＝f′(x0)．
7．基本初等函數的導數公式
函數 導數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
8.導數的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
9．復合函數的導數
一般地，對于由函數y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f(g(x))，它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
【常用結論】
1．奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．
2．求曲線y＝f(x)的切線方程的類型及方法
(1)已知切點P(x0，y0)，求y＝f(x)在點P處的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程．
(2)已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程．
(3)已知切線上一點(非切點)，求y＝f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，最后由點斜式或兩點式寫出方程．
(4)若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率k，再由k＝f′(x0)求出切點坐標P(x0，y0)，最后寫出切線方程．
(5)①在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上；
②過點P的切線即切線過點P，P不一定是切點．因此在求過點P的切線方程時，應首先檢驗點P是否在已知曲線上．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)f′(x0)是函數y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(　　)
(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(　　)
(3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第二冊5.1.1 T3改編)一質點運動的方程為s＝5－3t2，若該質點在時間段[1，1＋Δt]內相應的平均速度為－3Δt－6，則該質點在t＝1時的瞬時速度是(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
答案　D
(2)設f(x)＝e＋ln 2的導函數為f′(x)，則f′(1)的值為(　　)
A．0 B．e
C． D．
答案　D
(3)(人教A選擇性必修第二冊習題5.2 T3改編)已知函數f(x)＝x(2024＋ln x)，若f′(x0)＝2025，則x0＝(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
答案　B
(4)(人教A選擇性必修第二冊5.2.1練習T3改編)余弦曲線y＝cosx在點處的切線方程為________．
答案　y＝－x＋
解析　因為y＝cosx，則y′＝－sinx，可得曲線y＝cosx在點處的切線斜率為k＝－1，則曲線y＝cosx在點處的切線方程為y＝－x＋.
(5)求下列函數的導數．
①y＝2x＋log2x；②y＝；
③y＝(3x＋1)2ln (3x)；④y＝3xe－3x.
解　①y′＝2xln 2＋.
②y′＝
＝.
③y′＝[(3x＋1)2]′ln (3x)＋(3x＋1)2·
[ln (3x)]′＝6(3x＋1)·ln (3x)＋.
④y′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln 3－3·3xe－3x.
【考點探究】
考點一　導數的概念及運算
例1(1)(2024·江蘇連云港一中高三上月考)已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，則實數a的值為(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
答案　D
解析　由題意，得 ＝－ ＝－a，所以－a＝1－a，解得a＝2.故選D.
(2)(多選)下列結論中錯誤的是(　　)
A．若y＝cos，則y′＝－sin
B．若y＝sinx2，則y′＝2xcosx2
C．若y＝cos5x，則y′＝－sin5x
D．若y＝xsin2x，則y′＝xsin2x
答案　ACD
解析　對于A，y＝cos，則y′＝sin，故A錯誤；對于B，y＝sinx2，則y′＝2xcosx2，故B正確；對于C，y＝cos5x，則y′＝－5sin5x，故C錯誤；對于D，y＝xsin2x，則y′＝sin2x＋xcos2x，故D錯誤．故選ACD.
【通性通法】
1．根據導數的定義求函數y＝f(x)在點x0處導數的方法
(1)求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均變化率＝.
(3)得導數f′(x0)＝ ，簡記作：一差、二比、三極限．
2．函數的導數與導數值的區別與聯系
導數是原來函數的導函數，而導數值是導函數在某一點的函數值，導數值是常數．
【鞏固遷移】
1．(多選)下列求導數的運算中正確的是(　　)
A．′＝1－
B．(3ln x)′＝
C．′＝
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
答案　AB
解析　對于A，x′＝1，′＝(x－1)′＝－x－2＝－，相加即可，故A正確；對于B，系數不變，只對ln x求導即可，即(3ln x)′＝，故B正確；對于C，由除法求導公式，得′＝＝，故C錯誤；對于D，由乘法求導公式，得(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D錯誤．故選AB.
2．(2023·重慶市第八中學高三適應性月考(三))已知函數f(x)的導數為f′(x)，且滿足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，則f＝________．
答案　e＋
解析　因為f′(x)＝ex－2f′(0)cosx，所以f′(0)＝e0－2f′(0)cos0，解得f′(0)＝，所以f＝e－sin＋1＝e＋.
考點二　導數的幾何意義及其應用(多考向探究)
考向1導數與函數的圖象
例2　函數f(x)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(　　)
A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3)
B．f′(1)C．0D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0
答案　D
解析　如圖，作出函數在x＝1，2，3處的切線l1，l2，l3，可見三條切線的斜率依次遞減，但是都大于零，由導數的幾何意義可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故選D.
【通性通法】
函數f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
【鞏固遷移】
3．函數y＝f(x)的圖象如圖所示，下列不等關系正確的是(　　)
A．0B．0C．0D．0答案　C
解析　如圖所示，根據導數的幾何意義，可得f′(2)表示切線l1的斜率k1>0，f′(3)表示切線l3的斜率k3>0，又由平均變化率的定義，可得＝f(3)－f(2)，表示割線l2的斜率k2，結合圖象，可得0考向2求切點的坐標
例3已知曲線f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則點P的坐標為(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
答案　C
解析　設切點P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直線x＋2y－1＝0的斜率為－，∴f′(x0)＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切點P(x0，y0)在曲線y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴當x0＝1時，y0＝3；當x0＝－1時，y0＝3，∴切點P的坐標為(1，3)或(－1，3)．
【通性通法】
已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數，再讓導數等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標．
【鞏固遷移】
4．在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經過點(－e，－1)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標是________．
答案　(e，1)
解析　設點A(x0，y0)，則y0＝ln x0.又y′＝，當x＝x0時，y′＝，則曲線y＝ln x在點A處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－ln x0＝－1，代入點(－e，－1)，得－1－ln x0＝－1，即x0ln x0＝e.令H(x)＝xln x，當x∈(0，1)時，H(x)<0，當x∈(1，＋∞)時，H(x)>0，且H′(x)＝ln x＋1，當x>1時，H′(x)>0，H(x)單調遞增，注意到H(e)＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的實數根x0＝e，此時y0＝1，故點A的坐標為(e，1)．
考向3求切線的方程
例4　(1)曲線y＝在點(－1，－3)處的切線方程為________．
答案　5x－y＋2＝0
解析　因為y′＝＝，所以曲線y＝在點(－1，－3)處的切線的斜率k＝5，故所求切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln |x|過坐標原點的兩條切線的方程為________，________．
答案　y＝x　y＝－x
解析　當x＞0時，y＝ln x，設切點為(x0，ln x0)，由y′＝，得y′|x＝x0＝，所以切線方程為y－ln x0＝(x－x0)，又切線過坐標原點，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切線方程為y－1＝(x－e)，即y＝x；當x＜0時，y＝ln (－x)，設切點為(x1，ln (－x1))，由y′＝，得y′|x＝x1＝，所以切線方程為y－ln (－x1)＝(x－x1)，又切線過坐標原點，所以－ln (－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切線方程為y－1＝(x＋e)，即y＝－x.
【通性通法】
注意：“待定切點法”——如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．
【鞏固遷移】
5．若經過點P(2，8)作曲線y＝x3的切線，則切線方程為(　　)
A．12x－y－16＝0
B．3x－y＋2＝0
C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0
D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0
答案　D
解析　易知點P在曲線y＝x3上，y′＝3x2，當點P為切點時，切線斜率k＝12，切線方程為12x－y－16＝0.當點P不是切點時，設切點為A(x0，y0)，由定義可求得切線的斜率為k＝3x.∵點A在曲線上，∴y0＝x，∴＝3x，∴x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此時切線方程為y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.故經過點P作曲線的切線有兩條，方程為12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.故選D.
考向4求參數的值或取值范圍
例5 　(2023·河南鄭州高三第二次質量預測)已知曲線y＝xln x＋ae－x在點x＝1處的切線方程為2x－y＋b＝0，則b＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．0
答案　C
解析　由題意，得y′＝ln x＋1－ae－x，根據導數的幾何意義可知，在點x＝1處的切線斜率為1－＝2，解得a＝－e，所以切點為(1，－1)，代入切線方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3.故選C.
【通性通法】
1．利用導數的幾何意義求參數的基本方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍．
2．求解與導數的幾何意義有關問題時應注意的兩點
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍．
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．
【鞏固遷移】
6．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________．
答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　因為y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.設切點為A(x0，(x0＋a)ex0)，O為坐標原點，依題意得，切線斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化簡，得x＋ax0－a＝0.因為曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，所以關于x0的方程x＋ax0－a＝0有兩個不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
考點三　兩曲線的公切線問題
例6　設曲線y＝ln x與y＝(x＋a)2有一條斜率為1的公切線，則a＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．
答案　B
解析　因為y＝ln x，所以y′＝，又因為切線的斜率為1，所以y′＝＝1，解得x＝1，y＝0，所以切線方程為y＝x－1.因為y＝(x＋a)2，所以y′＝2x＋2a＝1，解得x＝－a，代入切線方程得y＝－－a，再將代入y＝(x＋a)2，解得a＝－.故選B.
【通性通法】
解決兩曲線的公切線問題的兩種方法
(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解．
(2)設公切線l在曲線y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在曲線y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝.
【鞏固遷移】
7．(2023·江西南昌模擬)已知曲線y＝x＋ln x在點(1，1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝(　　)
A．4 B．8
C．2 D．1
答案　B
解析　y＝x＋ln x的導數為y′＝1＋，曲線y＝x＋ln x在x＝1處的切線斜率k＝2，則曲線y＝x＋ln x在x＝1處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由于切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，聯立得ax2＋ax＋2＝0，又a≠0，兩曲線相切有一切點，所以Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.故選B.
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第一節　導數的概念、幾何意義及運算
課標解讀 考向預測
1.了解導數概念的實際背景，能通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義. 2.能根據導數的定義求函數y＝c(c為常數)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數. 3.能利用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，會求簡單復合函數(限于形如f(ax＋b))的導數. 從近三年高考情況來看，本節是高考中的必考內容．預計2025年高考會以客觀題的形式考查導數的定義、求曲線的切線方程．導數的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查，試題難度屬中、低檔.
【知識梳理】
1．平均變化率
對于函數y＝f(x)，把比值，即＝叫做函數y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
2．瞬時速度
一般地，如果物體的運動規律可以用函數s＝s(t)來描述，那么，物體在時刻t的瞬時速度v就是物體在t到t＋Δt這段時間內，當Δt無限趨近于0時，無限趨近的常數．
3．瞬時變化率
定義式 ＝
實質 瞬時變化率是當自變量的改變量趨近于0時，平均變化率趨近的值
作用 刻畫函數在某一點處變化的快慢
4.導數的概念
一般地，函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是 ＝ ，我們稱它為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
注意：函數y＝f(x)在x＝x0處的導數是y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率．
5．導函數的概念
如果函數y＝f(x)在開區間(a，b)內的每一點都是可導的，則稱f(x)在區間(a，b)內可導．這樣，對開區間(a，b)內的每一個值x，都對應一個確定的導數f′(x)，于是在區間(a，b)內f′(x)構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數y＝f(x)的導函數(簡稱導數)，記為f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝．
6．導數的幾何意義
函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)，就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k0，即k0＝f′(x0)．
7．基本初等函數的導數公式
函數 導數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
8.導數的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
9．復合函數的導數
一般地，對于由函數y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f(g(x))，它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
【常用結論】
1．奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．
2．求曲線y＝f(x)的切線方程的類型及方法
(1)已知切點P(x0，y0)，求y＝f(x)在點P處的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程．
(2)已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程．
(3)已知切線上一點(非切點)，求y＝f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，最后由點斜式或兩點式寫出方程．
(4)若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率k，再由k＝f′(x0)求出切點坐標P(x0，y0)，最后寫出切線方程．
(5)①在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上；
②過點P的切線即切線過點P，P不一定是切點．因此在求過點P的切線方程時，應首先檢驗點P是否在已知曲線上．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)f′(x0)是函數y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(　　)
(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(　　)
(3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第二冊5.1.1 T3改編)一質點運動的方程為s＝5－3t2，若該質點在時間段[1，1＋Δt]內相應的平均速度為－3Δt－6，則該質點在t＝1時的瞬時速度是(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
(2)設f(x)＝e＋ln 2的導函數為f′(x)，則f′(1)的值為(　　)
A．0 B．e
C． D．
(3)(人教A選擇性必修第二冊習題5.2 T3改編)已知函數f(x)＝x(2024＋ln x)，若f′(x0)＝2025，則x0＝(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
(4)(人教A選擇性必修第二冊5.2.1練習T3改編)余弦曲線y＝cosx在點處的切線方程為________．
【考點探究】
考點一　導數的概念及運算
例1(1)(2024·江蘇連云港一中高三上月考)已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，則實數a的值為(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
(2)(多選)下列結論中錯誤的是(　　)
A．若y＝cos，則y′＝－sin
B．若y＝sinx2，則y′＝2xcosx2
C．若y＝cos5x，則y′＝－sin5x
D．若y＝xsin2x，則y′＝xsin2x
【通性通法】
1．根據導數的定義求函數y＝f(x)在點x0處導數的方法
(1)求函數的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均變化率＝.
(3)得導數f′(x0)＝ ，簡記作：一差、二比、三極限．
2．函數的導數與導數值的區別與聯系
導數是原來函數的導函數，而導數值是導函數在某一點的函數值，導數值是常數．
【鞏固遷移】
1．(多選)下列求導數的運算中正確的是(　　)
A．′＝1－
B．(3ln x)′＝
C．′＝
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
2．(2023·重慶市第八中學高三適應性月考(三))已知函數f(x)的導數為f′(x)，且滿足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，則f＝________．
考點二　導數的幾何意義及其應用(多考向探究)
考向1導數與函數的圖象
例2　函數f(x)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(　　)
A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3)
B．f′(1)C．0D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0
【通性通法】
函數f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
【鞏固遷移】
3．函數y＝f(x)的圖象如圖所示，下列不等關系正確的是(　　)
A．0B．0C．0D．0考向2求切點的坐標
例3已知曲線f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則點P的坐標為(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
【通性通法】
已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數，再讓導數等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標．
【鞏固遷移】
4．在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經過點(－e，－1)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標是________．
考向3求切線的方程
例4　(1)曲線y＝在點(－1，－3)處的切線方程為________．
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln |x|過坐標原點的兩條切線的方程為________，________．
【通性通法】
注意：“待定切點法”——如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．
【鞏固遷移】
5．若經過點P(2，8)作曲線y＝x3的切線，則切線方程為(　　)
A．12x－y－16＝0
B．3x－y＋2＝0
C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0
D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0
考向4求參數的值或取值范圍
例5 　(2023·河南鄭州高三第二次質量預測)已知曲線y＝xln x＋ae－x在點x＝1處的切線方程為2x－y＋b＝0，則b＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．0
【通性通法】
1．利用導數的幾何意義求參數的基本方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍．
2．求解與導數的幾何意義有關問題時應注意的兩點
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍．
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．
【鞏固遷移】
6．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________．
考點三　兩曲線的公切線問題
例6　設曲線y＝ln x與y＝(x＋a)2有一條斜率為1的公切線，則a＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．
【通性通法】
解決兩曲線的公切線問題的兩種方法
(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解．
(2)設公切線l在曲線y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在曲線y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝.
【鞏固遷移】
7．(2023·江西南昌模擬)已知曲線y＝x＋ln x在點(1，1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝(　　)
A．4 B．8
C．2 D．1
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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