資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第七節　函數的圖象
課標解讀 考向預測
1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數． 2．會畫簡單的函數圖象． 3．會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題. 近三年高考中常常考查圖象變換問題，多以給圖變圖、求解析式等多種形式呈現，難度較小．函數圖象的應用主要是利用圖象研究函數的性質，考查解決有關問題(如方程的根、解不等式)的能力，體現了數形結合的解題思想，難度較大．預計2025年高考函數的圖象仍會出題，一般在選擇題或填空題中出現，難度起伏較大.
【知識梳理】
1．描點法作圖
步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線．
2．圖象變換
圖象變換包括圖象的平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換等．
(1)平移變換(左加右減，上加下減)
把函數f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度，得到函數f(x＋a)的圖象；向右平移a(a>0)個單位長度，得到函數f(x－a)的圖象．
把函數f(x)的圖象向上平移a(a>0)個單位長度，得到函數f(x)＋a的圖象；向下平移a(a>0)個單位長度，得到函數f(x)－a的圖象．
(2)伸縮變換
①把函數y＝f(x)圖象的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的倍，得到y＝f(wx)(01)的圖象；
②把函數y＝f(x)圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的w倍，得到y＝wf(x)(w>1)的圖象；縱坐標縮短到原來的w倍，得到y＝wf(x)(0(3)對稱變換
函數y＝f(x)的圖象：
關于x軸對稱得到函數y＝－f(x)的圖象；
關于y軸對稱得到函數y＝f(－x)的圖象；
關于原點對稱得到函數y＝－f(－x)的圖象；
關于直線y＝x對稱得到函數y＝f－1(x)(反函數)的圖象．
簡單地記為：x軸對稱y要變，y軸對稱x要變，原點對稱都要變．
(4)翻折變換
①把函數y＝f(x)圖象上方部分保持不變，下方的圖象對稱翻折到x軸上方，得到函數y＝|f(x)|的圖象；
②保留y軸右邊的圖象，擦去左邊的圖象，再把右邊的圖象對稱翻折到左邊，得到函數y＝f(|x|)的圖象．
【常用結論】
1．函數圖象自身的對稱關系
(1)若函數y＝f(x)的定義域為R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱．
(2)函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
2．兩個函數圖象之間的對稱關系
(1)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(2)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)對稱．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(　　)
(2)函數y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的圖象相同．(　　)
(3)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．(　　)
2．小題熱身
(1)函數f(x)＝的大致圖象是(　　)
(2)已知函數f(x)的部分圖象如圖所示，則函數f(x)的解析式可能為(　　)
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝＋x－1
C．f(x)＝xln x－x＋1 D．f(x)＝xln x＋x－1
(3)為了得到函數y＝lg 的圖象，只需把函數y＝lg x的圖象上所有的點向左平移________個單位長度，再向下平移________個單位長度．
(4)(2024·山西太原五中高三模擬)若函數f(x)＝的圖象如圖所示，則f(－3)＝________．
【考點探究】
考點一　作函數的圖象
例1作出下列函數的圖象．
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
【通性通法】
函數圖象的畫法
直接法 當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本初等函數時，就可根據這些函數的特征找出圖象的關鍵點直接作出圖象
轉化法 含有絕對值符號的函數，可脫掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫圖象
圖象 變換法 若函數圖象可由某個基本初等函數的圖象經過平移、翻折、對稱、伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉的基本初等函數的要先變形，應注意平移變換的順序對變換單位及解析式的影響
【鞏固遷移】
1．分別畫出下列函數的圖象：
(1)y＝|lg (x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝x2－|x|－2.
考點二　函數圖象的辨別(多考向探究)
考向1根據函數解析式辨別圖象
例2 (2024·湖北武漢高三模擬)函數f(x)＝的部分圖象可能為(　　)
【通性通法】
識圖的三種常用方法
(1)抓住函數的性質，定性分析
①從函數的定義域，判斷圖象左右的位置；從函數的值域，判斷圖象上下的位置；
②從函數的單調性(有時可借助導數判斷)，判斷圖象的變化趨勢；
③從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
④從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；
⑤從函數的極值點判斷函數圖象的變化．
(2)抓住函數的特征，定量計算：注意聯系基本初等函數的圖象，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．
(3)根據實際背景、圖形判斷函數圖象的方法
①根據題目所給條件確定函數解析式，從而判斷函數圖象(定量分析)；
②根據自變量取不同值時函數值的變化、增減速度等判斷函數圖象(定性分析)．
【鞏固遷移】
2．已知函數y＝f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，且滿足f(x)－f(－x)＝0，當x＞0時，f(x)＝ln x－x＋1，則函數y＝f(x)的大致圖象為(　　)
考向2根據圖象辨別函數解析式
例3 (2024·湖北襄陽部分學校高三期中)已知函數f(x)＝cosx，g(x)＝，若函數h(x)在上的大致圖象如圖所示，則h(x)的解析式可能是(　　)
A．h(x)＝f(x)＋g(x) B．h(x)＝f(x)－g(x)
C．h(x)＝ D．h(x)＝f(x)g(x)
【通性通法】
根據圖象辨別函數解析式的策略
(1)從圖象的左右、上下分布，觀察函數的定義域、值域．
(2)從圖象的變化趨勢，觀察函數的單調性．
(3)從圖象的對稱性方面，觀察函數的奇偶性．
(4)從圖象的循環往復，觀察函數的周期性．
【鞏固遷移】
3．已知函數f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為(　　)
A．f(x)＝xsinπx B．f(x)＝(x－1)sinπx
C．f(x)＝xcos[π(x＋1)] D．f(x)＝(x－1)cosπx
考向3根據圖象辨別函數的圖象
例4 (2024·廣東汕頭高三月考)若函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數y＝－f(x＋1)的圖象大致為(　　)
【通性通法】
解決根據函數圖象辨別函數圖象問題的關鍵是分析出要求的函數圖象與已知的函數圖象之間的關系，即已知的函數圖象經過怎樣的變換可以得到要求的函數圖象，若是平移變換要注意平移的方向，若是伸縮變換要注意是伸還是縮，若涉及翻折變換要注意應翻折哪一段及翻折的方向．
【鞏固遷移】
4．(多選)已知函數f(x)＝則下列圖象正確的是(　　)
考向4借助動點探究函數的圖象
例5如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，動點P從點A出發，按照A→D→C→B路徑沿邊運動，設點P運動的路程為x，△APB的面積為y，則函數y＝f(x)的圖象大致是(　　)
【通性通法】
借助動點探究函數圖象，解決此類問題可以根據已知條件求出函數解析式后再判斷函數的圖象；也可采用“以靜觀動”，即將動點處于某些特殊的位置處考察圖象的變化特征，從而作出選擇．
【鞏固遷移】
5．(2024·江蘇金陵中學、海安中學、南京外國語學校高三模擬)如圖，直線l和圓C，當l從l0開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉動(轉到角不超過90°)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，這個函數的圖象大致是(　　)
考點三　函數圖象的應用(多考向探究)
考向1根據圖象研究函數的性質
例6已知函數f(x)＝，則(　　)
A．f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增
B．f(x)的圖象關于點(－1，1)對稱
C．f(x)為奇函數
D．f(x)的圖象關于直線y＝x對稱
【通性通法】
利用圖象研究函數性質問題的思路
【鞏固遷移】
6．(多選)對于函數f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列說法正確的是(　　)
A．f(x＋2)是偶函數
B．f(x＋2)是奇函數
C．f(x)在(－∞，2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增
D．f(x)沒有最小值
考向2根據圖象解決不等式問題
例7已知y＝f(x)是偶函數，y＝g(x)是奇函數，它們的定義域都是[－3，3]，且它們在x∈[0，3]上的圖象如圖所示，則不等式<0的解集是________．
【通性通法】
當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解．
【鞏固遷移】
7．函數f(x)是周期為4的偶函數，當x∈[0，2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集為(　　)
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
考向3根據圖象研究取值范圍問題
例8函數f(x)＝若方程f(x)＝－2x＋m有且只有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，4]
C．(－2，4) D．(－2，4]
【通性通法】
求解函數圖象應用問題的思維流程
注意：此類問題通常采用“以形助數”或“以數輔形”的數形結合法將問題直觀化、生動化．
【鞏固遷移】
8．(2024·廣東汕頭高三模擬)已知函數f(x)＝無最大值，則實數a的取值范圍是________．
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是(　　)
A．f(x)是偶函數，單調遞增區間是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函數，單調遞減區間是(－∞，1)
C．f(x)是奇函數，單調遞減區間是(－1，1)
D．f(x)是奇函數，單調遞增區間是(－∞，0)
2．設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝0，則不等式<0的解集為(　　)
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
3.已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則正比例函數y＝(b＋c)x與反比例函數y＝在同一坐標系中的大致圖象是(　　)
4．(2022·全國甲卷)函數y＝(3x－3－x)cosx在區間的圖象大致為(　　)
5．(2023·天津高考)函數f(x)的圖象如下圖所示，則f(x)的解析式可能為(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
6．已知函數f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是(　　)
A．[0，) B．(0，)
C．(－1，－1) D．(－1，)
7．定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)，且當x∈[0，1)時，f(x)＝1－|2x－1|.若 x∈[m，＋∞)，都有f(x)≤，則m的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
8.(2024·湖北鄂東南三校高三聯考)如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點M從點A出發，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2個單位的速度在正方形ABCD的邊上運動；點N從點B出發，沿B→C→D→A方向，以每秒1個單位的速度在正方形ABCD的邊上運動．點M與點N同時出發，運動時間為t(單位：秒)，△AMN的面積為f(t)(規定A，M，N共線時其面積為零)，則點M第一次到達點A時，y＝f(t)的圖象為(　　)
二、多項選擇題
9．下列關于函數f(x)＝的性質，說法正確的是(　　)
A．f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)
B．f(x)的值域為R
C．f(x)在定義域上單調遞減
D．點(2，2)是f(x)圖象的對稱中心
10．(2023·安徽合肥高三一模)已知a>0，函數f(x)＝xa－ax(x>0)的圖象可能是(　　)
11．(2024·山東濟南一中高三摸底)如圖所示，邊長為1的正方形PABC沿x軸從左端無窮遠處滾向右端無窮遠處，點B恰好能經過原點．設動點P的縱坐標關于橫坐標的函數解析式為y＝f(x)，則下列對函數y＝f(x)的判斷正確的是(　　)
A．函數y＝f(x)是偶函數
B．函數y＝f(x)是周期為4的函數
C．函數y＝f(x)在區間[10，12]上單調遞減
D．函數y＝f(x)在區間[－1，1]上的值域是[1，]
三、填空題
12．對任意x∈R，函數f(x)＝max，則f(x)的最小值是________．
13．設函數y＝f(x)的定義域為R，給出下列命題：
①若y＝f(x)是偶函數，則y＝f(x＋2)的圖象關于y軸對稱；
②若y＝f(x＋2)是偶函數，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱；
③若f(x－2)＝f(2－x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱；
④y＝f(x－2)與y＝f(2－x)的圖象關于直線x＝2對稱．
其中正確命題的序號是________．
14．已知函數f(x)＝若 x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0成立，請寫出一個符合條件的函數g(x)的表達式：________．
【B組 素養提升】
15.已知定義在R上的奇函數f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示，則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為(　　)
A．(－，0)∪(，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
16．某村準備將一塊邊長為2 km的正三角形空地(記為△ABC)規劃為公園，并用一條垂直于邊BC的小路(寬度不計)把空地分為兩部分，一部分以綠化為主，一部分以休閑健身為主．如圖，BC∥x軸，小路記為直線x＝m(017．(多選)(2024·黑龍江龍東五地市期中聯考)設函數f(x)＝min{|x－3|，3|x|－1，|x＋3|}，則下列說法正確的是(　　)
A．f(f(3))＝1
B．函數f(x)為偶函數
C．函數f(x)的最小值為0
D．當x∈[－3，3]時，f(x)－1≤a，則a的取值范圍為[2，＋∞)
18．(2024·江西臨川一中高三模擬)函數f(x)的定義域為[－1，1)，其圖象如圖所示．函數g(x)是定義域為R的偶函數，滿足g(x＋2)＝g(x)，且當x∈[－1，0]時，g(x)＝f(x)．
給出下列四個結論：
①g(1)＝；
②函數g(x)的圖象關于直線x＝－1對稱；
③不等式g(x)>0的解集為R；
④函數g(x)的單調遞增區間為[2k，2k＋1]，k∈Z.
其中所有正確結論的序號是 ________．
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第七節　函數的圖象
課標解讀 考向預測
1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數． 2．會畫簡單的函數圖象． 3．會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題. 近三年高考中常常考查圖象變換問題，多以給圖變圖、求解析式等多種形式呈現，難度較小．函數圖象的應用主要是利用圖象研究函數的性質，考查解決有關問題(如方程的根、解不等式)的能力，體現了數形結合的解題思想，難度較大．預計2025年高考函數的圖象仍會出題，一般在選擇題或填空題中出現，難度起伏較大.
【知識梳理】
1．描點法作圖
步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線．
2．圖象變換
圖象變換包括圖象的平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換等．
(1)平移變換(左加右減，上加下減)
把函數f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度，得到函數f(x＋a)的圖象；向右平移a(a>0)個單位長度，得到函數f(x－a)的圖象．
把函數f(x)的圖象向上平移a(a>0)個單位長度，得到函數f(x)＋a的圖象；向下平移a(a>0)個單位長度，得到函數f(x)－a的圖象．
(2)伸縮變換
①把函數y＝f(x)圖象的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的倍，得到y＝f(wx)(01)的圖象；
②把函數y＝f(x)圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的w倍，得到y＝wf(x)(w>1)的圖象；縱坐標縮短到原來的w倍，得到y＝wf(x)(0(3)對稱變換
函數y＝f(x)的圖象：
關于x軸對稱得到函數y＝－f(x)的圖象；
關于y軸對稱得到函數y＝f(－x)的圖象；
關于原點對稱得到函數y＝－f(－x)的圖象；
關于直線y＝x對稱得到函數y＝f－1(x)(反函數)的圖象．
簡單地記為：x軸對稱y要變，y軸對稱x要變，原點對稱都要變．
(4)翻折變換
①把函數y＝f(x)圖象上方部分保持不變，下方的圖象對稱翻折到x軸上方，得到函數y＝|f(x)|的圖象；
②保留y軸右邊的圖象，擦去左邊的圖象，再把右邊的圖象對稱翻折到左邊，得到函數y＝f(|x|)的圖象．
【常用結論】
1．函數圖象自身的對稱關系
(1)若函數y＝f(x)的定義域為R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱．
(2)函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
2．兩個函數圖象之間的對稱關系
(1)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(2)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)對稱．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(　　)
(2)函數y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的圖象相同．(　　)
(3)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)函數f(x)＝的大致圖象是(　　)
答案　A
解析　當x>0時，f(x)>0；當x<0時，f(x)<0，可排除B，C，D.故選A.
(2)已知函數f(x)的部分圖象如圖所示，則函數f(x)的解析式可能為(　　)
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝＋x－1
C．f(x)＝xln x－x＋1 D．f(x)＝xln x＋x－1
答案　C
解析　當x＝2時，－2＋1＝ln －1<0，＋2－1＝ln ＋1>1，2ln 2＋2－1>1，故排除A，B，D.故選C.
(3)為了得到函數y＝lg 的圖象，只需把函數y＝lg x的圖象上所有的點向左平移________個單位長度，再向下平移________個單位長度．
答案　3　1
解析　因為y＝lg ＝lg (x＋3)－1，所以y＝lg x的圖象y＝lg (x＋3)的圖象y＝lg (x＋3)－1的圖象．
(4)(2024·山西太原五中高三模擬)若函數f(x)＝的圖象如圖所示，則f(－3)＝________．
答案　－1
解析　由f(－1)＝ln (－1＋a)＝0，得a＝2，又直線y＝ax＋b過點(－1，3)，則2×(－1)＋b＝3，解得b＝5.故當x<－1時，f(x)＝2x＋5，則f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
【考點探究】
考點一　作函數的圖象
例1作出下列函數的圖象．
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)作出y＝(x≥0)的圖象，再將y＝(x≥0)的圖象以y軸為對稱軸翻折到y軸的左側，即得y＝的圖象，如圖1中實線部分．
(2)將函數y＝log2x的圖象向左平移1個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖2中實線部分．
(3)因為y＝＝2＋，故函數圖象可由y＝的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，如圖3.
(4)y＝且函數為偶函數，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據對稱性作出(－∞，0)上的圖象，即得函數y＝x2－2|x|－1的圖象，如圖4.
【通性通法】
函數圖象的畫法
直接法 當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本初等函數時，就可根據這些函數的特征找出圖象的關鍵點直接作出圖象
轉化法 含有絕對值符號的函數，可脫掉絕對值符號，轉化為分段函數來畫圖象
圖象 變換法 若函數圖象可由某個基本初等函數的圖象經過平移、翻折、對稱、伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉的基本初等函數的要先變形，應注意平移變換的順序對變換單位及解析式的影響
【鞏固遷移】
1．分別畫出下列函數的圖象：
(1)y＝|lg (x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝x2－|x|－2.
解　(1)首先作出y＝lg x的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y＝lg (x－1)的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數y＝|lg (x－1)|的圖象，如圖1中實線部分．
(2)將y＝2x的圖象向左平移1個單位長度，得到y＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位長度，得到y＝2x＋1－1的圖象，如圖2所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝其圖象如圖3所示．
考點二　函數圖象的辨別(多考向探究)
考向1根據函數解析式辨別圖象
例2 (2024·湖北武漢高三模擬)函數f(x)＝的部分圖象可能為(　　)
答案　A
解析　因為函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱，且f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函數f(x)是奇函數，其圖象關于原點對稱，故D不正確；當x∈(0，π)時，sinx>0，則f(x)>0，故B不正確；當x∈(π，2π)時，sinx<0，故f(x)<0，故C不正確．故選A.
【通性通法】
識圖的三種常用方法
(1)抓住函數的性質，定性分析
①從函數的定義域，判斷圖象左右的位置；從函數的值域，判斷圖象上下的位置；
②從函數的單調性(有時可借助導數判斷)，判斷圖象的變化趨勢；
③從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
④從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；
⑤從函數的極值點判斷函數圖象的變化．
(2)抓住函數的特征，定量計算：注意聯系基本初等函數的圖象，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．
(3)根據實際背景、圖形判斷函數圖象的方法
①根據題目所給條件確定函數解析式，從而判斷函數圖象(定量分析)；
②根據自變量取不同值時函數值的變化、增減速度等判斷函數圖象(定性分析)．
【鞏固遷移】
2．已知函數y＝f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，且滿足f(x)－f(－x)＝0，當x＞0時，f(x)＝ln x－x＋1，則函數y＝f(x)的大致圖象為(　　)
答案　D
解析　由f(x)－f(－x)＝0，得函數f(x)為偶函數，排除A，B；又當x>0時，f(x)＝ln x－x＋1，所以f(1)＝0，f(e)＝2－e<0.故選D.
考向2根據圖象辨別函數解析式
例3 (2024·湖北襄陽部分學校高三期中)已知函數f(x)＝cosx，g(x)＝，若函數h(x)在上的大致圖象如圖所示，則h(x)的解析式可能是(　　)
A．h(x)＝f(x)＋g(x) B．h(x)＝f(x)－g(x)
C．h(x)＝ D．h(x)＝f(x)g(x)
答案　D
解析　易知f(x)＝cosx為偶函數，由g(－x)＝＝－＝－g(x)，得g(x)為奇函數，由圖象可知，該函數是奇函數，因為f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，所以f(x)±g(x)是非奇非偶函數，A，B不符合題意；因為當x＝0時，y＝無意義，所以C不符合題意．故選D.
【通性通法】
根據圖象辨別函數解析式的策略
(1)從圖象的左右、上下分布，觀察函數的定義域、值域．
(2)從圖象的變化趨勢，觀察函數的單調性．
(3)從圖象的對稱性方面，觀察函數的奇偶性．
(4)從圖象的循環往復，觀察函數的周期性．
【鞏固遷移】
3．已知函數f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為(　　)
A．f(x)＝xsinπx B．f(x)＝(x－1)sinπx
C．f(x)＝xcos[π(x＋1)] D．f(x)＝(x－1)cosπx
答案　B
解析　對于A，f(－x)＝－xsin(－πx)＝xsinπx＝f(x)，所以函數f(x)＝xsinπx為偶函數，故排除A；對于C，f(x)＝xcos[π(x＋1)]＝－xcosπx，則f(－x)＝xcosπx＝－f(x)，所以函數f(x)＝xcos[π(x＋1)]為奇函數，故排除C；對于D，f(0)＝－1≠0，故排除D.故選B.
考向3根據圖象辨別函數的圖象
例4 (2024·廣東汕頭高三月考)若函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數y＝－f(x＋1)的圖象大致為(　　)
答案　C
解析　y＝f(x)的圖象y＝f(x＋1)的圖象y＝－f(x＋1)的圖象．故選C.
【通性通法】
解決根據函數圖象辨別函數圖象問題的關鍵是分析出要求的函數圖象與已知的函數圖象之間的關系，即已知的函數圖象經過怎樣的變換可以得到要求的函數圖象，若是平移變換要注意平移的方向，若是伸縮變換要注意是伸還是縮，若涉及翻折變換要注意應翻折哪一段及翻折的方向．
【鞏固遷移】
4．(多選)已知函數f(x)＝則下列圖象正確的是(　　)
答案　ABD
解析　先作出y＝f(x)＝的圖象，如圖所示，故A正確；對于B，y＝f(x－1)的圖象是由y＝f(x)的圖象向右平移1個單位長度得到的，故B正確；對于C，當x>0時，y＝f(|x|)的圖象與y＝f(x)的圖象相同，且函數y＝f(|x|)的圖象關于y軸對稱，故C錯誤；對于D，y＝f(－x)的圖象與y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，故D正確．故選ABD.
考向4借助動點探究函數的圖象
例5如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，動點P從點A出發，按照A→D→C→B路徑沿邊運動，設點P運動的路程為x，△APB的面積為y，則函數y＝f(x)的圖象大致是(　　)
答案　A
解析　點P在AD上時，△APB是底邊AB不變，高在增加，圖象成一次函數形式遞增，排除C，D；點P在DC上時，△APB是底邊AB不變，高不變，圖象是一條水平直線；點P在CB上時，AB不變，高在減小，圖象是遞減的一次函數圖象，故選A.
【通性通法】
借助動點探究函數圖象，解決此類問題可以根據已知條件求出函數解析式后再判斷函數的圖象；也可采用“以靜觀動”，即將動點處于某些特殊的位置處考察圖象的變化特征，從而作出選擇．
【鞏固遷移】
5．(2024·江蘇金陵中學、海安中學、南京外國語學校高三模擬)如圖，直線l和圓C，當l從l0開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉動(轉到角不超過90°)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，這個函數的圖象大致是(　　)
答案　D
解析　觀察題圖，可知面積S的變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，對應的函數的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求．故選D.
考點三　函數圖象的應用(多考向探究)
考向1根據圖象研究函數的性質
例6已知函數f(x)＝，則(　　)
A．f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增
B．f(x)的圖象關于點(－1，1)對稱
C．f(x)為奇函數
D．f(x)的圖象關于直線y＝x對稱
答案　D
解析　f(x)＝＝＝－1，f(x)的圖象可以看作是函數g(x)＝的圖象先向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到的，先畫出g(x)＝的圖象，再進行平移畫出f(x)＝－1的圖象，明顯可見，原函數g(x)＝為奇函數，圖象關于點(0，0)對稱，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上為減函數，所以f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減，圖象關于點(－1，－1)對稱，為非奇非偶函數，圖象關于直線y＝x對稱，所以D正確，A，B，C錯誤．故選D.
【通性通法】
利用圖象研究函數性質問題的思路
【鞏固遷移】
6．(多選)對于函數f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列說法正確的是(　　)
A．f(x＋2)是偶函數
B．f(x＋2)是奇函數
C．f(x)在(－∞，2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增
D．f(x)沒有最小值
答案　AC
解析　作出f(x)的圖象，f(x)的圖象向左平移2個單位長度，得f(x＋2)的圖象，且f(x＋2)的圖象關于y軸對稱，故f(x＋2)為偶函數，故A正確，B不正確；由圖象可知f(x)在(－∞，2)上是減函數，在(2，＋∞)上是增函數，故C正確；由圖象可知函數存在最小值0，故D不正確．故選AC.
考向2根據圖象解決不等式問題
例7已知y＝f(x)是偶函數，y＝g(x)是奇函數，它們的定義域都是[－3，3]，且它們在x∈[0，3]上的圖象如圖所示，則不等式<0的解集是________．
答案　{x|－2解析　y＝f(x)是偶函數，由圖象及偶函數對稱性知，在[－3，－2)上f(x)<0，在(－2，0)上f(x)>0；y＝g(x)是奇函數，由圖象及奇函數對稱性知，在(－3，－1)上g(x)<0，在(－1，0)上g(x)>0；當<0時，有或故所求不等式的解集是{x|－2【通性通法】
當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解．
【鞏固遷移】
7．函數f(x)是周期為4的偶函數，當x∈[0，2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集為(　　)
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
答案　C
解析　作出函數f(x)的圖象如圖所示，當x∈(－1，0)時，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；當x∈(0，3)時，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以不等式的解集為(－1，0)∪(1，3)．故選C.
考向3根據圖象研究取值范圍問題
例8函數f(x)＝若方程f(x)＝－2x＋m有且只有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，4]
C．(－2，4) D．(－2，4]
答案　A
解析　令g(x)＝－2x＋m，畫出f(x)與g(x)的圖象，平移直線，當直線經過(1，2)時只有一個交點，此時m＝4，向右平移，不再符合條件，故m<4.故選A.
【通性通法】
求解函數圖象應用問題的思維流程
注意：此類問題通常采用“以形助數”或“以數輔形”的數形結合法將問題直觀化、生動化．
【鞏固遷移】
8．(2024·廣東汕頭高三模擬)已知函數f(x)＝無最大值，則實數a的取值范圍是________．
答案　(－∞，－1)
解析　由題意可知，當x≤a時，f(x)＝－x2－x＋，其圖象的對稱軸為直線x＝－1，當a≥－1時，函數f(x)＝－x2－x＋有最大值，為f(－1)＝2，當a<－1時，函數f(x)＝－x2－x＋有最大值，為f(a)＝－a2－a＋，當x>a時，f(x)＝－2x在(a，＋∞)上單調遞減，故f(x)3(舍去)．綜上，實數a的取值范圍是(－∞，－1)．
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