資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二節　導數與函數的單調性
課標解讀 考向預測
1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系. 2.能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次). 從近三年的高考情況來看，利用導數研究函數的單調性問題是必考的一個問題，這是因為單調性是解決后續問題的關鍵，單調性在研究函數圖象、比較函數值的大小、確定函數的極值與零點、解不等式及證明不等式中起著至關重要的作用．函數單調性的討論與應用一直是高考考查的重點，而含有參數的函數單調性的討論與應用是高考中的難點．預計這一考點在2025年高考中仍是重點考點.
【知識梳理】
1．函數的單調性與導數的關系
條件 恒有 結論
函數y＝f(x)在區間(a，b)上可導 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上單調遞增
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上單調遞減
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常數函數
2.利用導數判斷函數y＝f(x)單調性的步驟
第一步，確定函數的定義域；
第二步，求出導數f′(x)的零點；
第三步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y＝f(x)在定義域內的單調性．
【常用結論】
1．利用導數解決單調性問題需要注意的問題
(1)定義域優先的原則：解決問題的過程只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函數的單調區間．
(2)注意“間斷點”：在對函數劃分單調區間時，除了必須確定使導數等于零的點外，還要注意在定義域內的間斷點．
2．若函數f(x)在(a，b)上單調遞增，則x∈(a，b)時，f′(x)≥0恒成立；若函數f(x)在(a，b)上單調遞減，則x∈(a，b)時，f′(x)≤0恒成立．
3．若函數f(x)在(a，b)上存在單調遞增區間，則x∈(a，b)時，f′(x)>0有解；若函數f(x)在(a，b)上存在單調遞減區間，則x∈(a，b)時，f′(x)<0有解．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)如果函數f(x)在某個區間內恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區間內沒有單調性．(　　)
(2)在(a，b)內f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內單調遞減．(　　)
(3)若函數f(x)在定義域上恒有f′(x)>0，則f(x)在定義域上一定單調遞增．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×
2．小題熱身
(1)(多選)(人教A選擇性必修第二冊5.3.1例2改編)如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是(　　)
A．在區間(－2，1)上f(x)單調遞增
B．在區間(2，3)上f(x)單調遞減
C．在區間(4，5)上f(x)單調遞增
D．在區間(3，5)上f(x)單調遞減
答案　BC
(2)函數f(x)＝xe－x的一個單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，1) B．(2，8)
C．(1，2) D．(0，2)
答案　A
解析　由f(x)＝，得f′(x)＝，由f′(x)>0，得x<1，所以f(x)在(－∞，1)上為增函數．故選A.
(3)(人教A選擇性必修第二冊5.3.1例1改編)函數f(x)＝cosx－x在(0，π)上的單調性是(　　)
A．先增后減 B．先減后增
C．增函數 D．減函數
答案　D
解析　∵當x∈(0，π)時，f′(x)＝－sinx－1＜0，∴f(x)在(0，π)上是減函數．故選D.
【考點探究】
考點一　不含參數的函數的單調性
例1　求函數f(x)＝e2x－e(2x＋1)的單調區間．
解　f′(x)＝2e2x－2e＝2e(e2x－1－1)，
令f′(x)＝0，解得x＝，
x，f′(x)，f(x)的變化如下：
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) 單調遞減 －e 單調遞增
所以f(x)的單調遞減區間是，單調遞增區間是.
【通性通法】
利用導數求函數單調區間的步驟
注意：(1)利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，易錯點是忽視函數的定義域．
(2)若所求函數的單調區間不止一個，這些區間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．
【鞏固遷移】
1．(2023·湖南長沙模擬)已知函數f(x)＝2exsinx(e是自然對數的底數)，討論f(x)的單調性．
解　f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)＝2exsin，
由f′(x)<0，解得2kπ＋由f′(x)>0，解得2kπ－故f(x)在(k∈Z)上單調遞增，在(k∈Z)上單調遞減．
考點二　含參數的函數的單調性
例2　已知函數f(x)＝ln x＋－(a∈R，且a≠0)，討論函數f(x)的單調性．
解　f′(x)＝(x>0)，
①當a<0時，f′(x)>0恒成立，
∴函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
②當a>0時，由f′(x)＝>0，得x>；
由f′(x)＝<0，得0∴函數f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．
綜上所述，當a<0時，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當a>0時，函數f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．
【通性通法】
利用導數研究函數單調性的策略
提醒：討論含參函數的單調性時，需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論．
【鞏固遷移】
2．已知函數g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x.若a>0，試討論函數g(x)的單調性．
解　因為g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，所以g′(x)＝＝.
由題意知函數g(x)的定義域為(0，＋∞)，
若<1，即a>，
由g′(x)>0，得x>1或0由g′(x)<0，得即函數g(x)在，(1，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減；
若>1，即0由g′(x)>0，得x>或0由g′(x)<0，得1即函數g(x)在(0，1)，上單調遞增，在上單調遞減；
若＝1，即a＝，則在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，
即函數g(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
綜上可得，當0當a＝時，函數g(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當a>時，函數g(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增．
考點三　與導數有關的函數單調性的應用(多考向探究)
考向1辨析圖象
例3　已知f′(x)是f(x)的導函數，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是(　　)
答案　D
解析　由題中f′(x)的圖象可以看出，在(a，b)內，f′(x)>0，且在內，f′(x)單調遞增，在內，f′(x)單調遞減，所以函數f(x)在(a，b)內單調遞增，且其圖象在內越來越陡峭，在內越來越平緩．故選D.
【通性通法】
該類問題主要抓住導函數的正負決定原函數的增減，導數絕對值的大小決定原函數圖象在該點處的陡峭程度，即可完成相應的判斷．
3．(2023·浙江紹興諸暨市高三下學期5月聯考)如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，若f(2)＝0，則y＝f(x)的圖象大致為(　　)
答案　D
解析　由y＝f′(x)的圖象可知，當03時，f′(x)>0，所以在區間(0，1)上，曲線y＝f(x)上各點處切線的斜率在區間(0，1)內，函數y＝f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，3)上單調遞減，在(3，＋∞)上單調遞增，而選項D中函數y＝f(x)的圖象均符合這些性質，故D正確．故選D.
考向2比較大小
例4　(2023·浙江重點中學拔尖學生培養聯盟高三下學期適應性考試)設a＝2ln 1.4，b＝－1，c＝ln 1.6，則(　　)
A．cC．b答案　D
解析　因為2ln 1.4＝ln 1.42＝ln 1.96，ln 1.96>ln 1.6，所以a>c；令f(x)＝ln x－(－1)，則f′(x)＝－＝，當x∈[1，4)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，所以f(1.6)＞f(1)＝0，即ln 1.6>－1，即b【通性通法】
(1)根據導數計算公式和已知的不等式構造函數，利用不等關系得出函數的單調性，即可確定函數值的大小關系，關鍵是觀察已知條件構造出恰當的函數．
(2)含有兩個變元的不等式，可把兩個變元看作兩個不同的自變量，構造函數后利用單調性確定其不等關系．
【鞏固遷移】
4．(2023·湖南婁底市部分學校高三三模)若a＝ln 1.01，b＝，c＝－1，則(　　)
A．aC．b答案　B
解析　由于a＝ln 1.01＝ln (1＋0.01)，c＝－1＝－1，故設函數f(x)＝ln (1＋x)－＋1(x>0)，則f′(x)＝－＝，x>0，由于()2－(1＋x)2＝－x2<0，所以()2<(1＋x)2，即－(1＋x)<0，即f′(x)<0，故f(x)＝ln (1＋x)－＋1(x>0)單調遞減，故f(x)0)，令x＝0.01，則ln (1＋0.01)<－1，即a0時，g′(x)＝－＝>0，即當x>0時，g(x)＝ln (x＋1)－單調遞增，故當x>0時，g(x)>g(0)＝0，即當x>0時，ln (x＋1)>，令x＝0.01，則ln 1.01>＝，即a>b，故b考向3解不等式
例5　(2023·四川成都模擬)已知一個定義在R上的奇函數f(x)，當x>0時，f(x)＝x－1＋ln x，則不等式xf(x)>0的解集為(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案　D
解析　由題意，得當x>0時，f′(x)＝1＋>0.則f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f(1)＝0，所以當x∈(0，1)時，f(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0，所以當x>0時，不等式xf(x)>0的解集為(1，＋∞)，又f(x)為奇函數，所以xf(x)為偶函數，所以不等式xf(x)>0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故選D.
【通性通法】
利用單調性解不等式的思路方法
(1)利用單調性解不等式通常用于：①分段函數型不等式；②復合函數型不等式；③抽象函數型不等式；④解析式較復雜的不等式．
(2)解題的一般策略是：利用函數的單調性，將函數值的大小關系轉化為自變量的關系，解不等式即可．
【鞏固遷移】
5．已知函數f(x)＝ex－e－x－2x＋1，則不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集為________．
答案　(1，＋∞)
解析　令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x，定義域為R，因為g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－g(x)，所以g(x)為奇函數，不等式f(2x－3)＋f(x)>2可變形為f(2x－3)－1>1－f(x)，即g(2x－3)>－g(x)＝g(－x)，又g′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，當且僅當ex＝e－x，即x＝0時，等號成立，所以g(x)在R上單調遞增，所以2x－3>－x，解得x>1，所以所求不等式的解集為(1，＋∞)．
考向4求參數的取值范圍
例6　(2024·寧夏回族自治區銀川一中高三上學期第二次月考)若函數f(x)＝x－sin2x＋asinx在R上單調遞增，則a的取值范圍是(　　)
A．[－1，1] B．
C． D．
答案　C
解析　f′(x)＝1－cos2x＋acosx≥0對x∈R恒成立，故1－(2cos2x－1)＋acosx≥0，即acosx－cos2x＋≥0恒成立，即－t2＋at＋≥0對t∈[－1，1]恒成立，構造g(t)＝－t2＋at＋，由y＝－t2＋at＋為開口向下的拋物線，知g(t)的最小值的可能值為端點值，故只需保證解得－≤a≤.故選C.
【通性通法】
由函數的單調性求參數的取值范圍的策略
注意：若已知函數f(x)在區間I上的單調性，區間I中含有參數時，可先求出f(x)的單調區間，令I是其單調區間的子集，從而可求出參數的取值范圍．
【鞏固遷移】
6．若函數f(x)＝ln x＋ax2－2在區間內存在單調遞增區間，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2) B．
C．(－2，＋∞) D．(－8，＋∞)
答案　D
解析　由f(x)＝ln x＋ax2－2，可得f′(x)＝＋2ax.因為函數f(x)＝ln x＋ax2－2在區間內存在單調遞增區間，所以f′(x)>0在x∈上有解，即a>－在x∈上有解．設g(x)＝－，x≠0，由g′(x)＝x－3>0在x∈上恒成立，所以g(x)在上單調遞增，所以gg＝－8.故選D.
7．若函數g(x)＝2x＋ln x－在區間[1，2]內不單調，則實數a的取值范圍是________．
答案　(－10，－3)
解析　∵函數g(x)在區間[1，2]內不單調，∴g′(x)＝2＋＋＝0在區間(1，2)內有解，則a＝－2x2－x＝－2＋在(1，2)內有解，令y＝－2＋，易知該函數在(1，2)上是減函數，∴值域為(－10，－3)，∴實數a的取值范圍為(－10，－3)．
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第二節　導數與函數的單調性
課標解讀 考向預測
1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系. 2.能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次). 從近三年的高考情況來看，利用導數研究函數的單調性問題是必考的一個問題，這是因為單調性是解決后續問題的關鍵，單調性在研究函數圖象、比較函數值的大小、確定函數的極值與零點、解不等式及證明不等式中起著至關重要的作用．函數單調性的討論與應用一直是高考考查的重點，而含有參數的函數單調性的討論與應用是高考中的難點．預計這一考點在2025年高考中仍是重點考點.
【知識梳理】
1．函數的單調性與導數的關系
條件 恒有 結論
函數y＝f(x)在區間(a，b)上可導 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上單調遞增
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上單調遞減
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常數函數
2.利用導數判斷函數y＝f(x)單調性的步驟
第一步，確定函數的定義域；
第二步，求出導數f′(x)的零點；
第三步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y＝f(x)在定義域內的單調性．
【常用結論】
1．利用導數解決單調性問題需要注意的問題
(1)定義域優先的原則：解決問題的過程只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函數的單調區間．
(2)注意“間斷點”：在對函數劃分單調區間時，除了必須確定使導數等于零的點外，還要注意在定義域內的間斷點．
2．若函數f(x)在(a，b)上單調遞增，則x∈(a，b)時，f′(x)≥0恒成立；若函數f(x)在(a，b)上單調遞減，則x∈(a，b)時，f′(x)≤0恒成立．
3．若函數f(x)在(a，b)上存在單調遞增區間，則x∈(a，b)時，f′(x)>0有解；若函數f(x)在(a，b)上存在單調遞減區間，則x∈(a，b)時，f′(x)<0有解．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)如果函數f(x)在某個區間內恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區間內沒有單調性．(　　)
(2)在(a，b)內f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內單調遞減．(　　)
(3)若函數f(x)在定義域上恒有f′(x)>0，則f(x)在定義域上一定單調遞增．(　　)
2．小題熱身
(1)(多選)(人教A選擇性必修第二冊5.3.1例2改編)如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是(　　)
A．在區間(－2，1)上f(x)單調遞增
B．在區間(2，3)上f(x)單調遞減
C．在區間(4，5)上f(x)單調遞增
D．在區間(3，5)上f(x)單調遞減
(2)函數f(x)＝xe－x的一個單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，1) B．(2，8)
C．(1，2) D．(0，2)
(3)(人教A選擇性必修第二冊5.3.1例1改編)函數f(x)＝cosx－x在(0，π)上的單調性是(　　)
A．先增后減 B．先減后增
C．增函數 D．減函數
【考點探究】
考點一　不含參數的函數的單調性
例1　求函數f(x)＝e2x－e(2x＋1)的單調區間．
【通性通法】
利用導數求函數單調區間的步驟
注意：(1)利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，易錯點是忽視函數的定義域．
(2)若所求函數的單調區間不止一個，這些區間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．
【鞏固遷移】
1．(2023·湖南長沙模擬)已知函數f(x)＝2exsinx(e是自然對數的底數)，討論f(x)的單調性．
考點二　含參數的函數的單調性
例2　已知函數f(x)＝ln x＋－(a∈R，且a≠0)，討論函數f(x)的單調性．
【通性通法】
利用導數研究函數單調性的策略
提醒：討論含參函數的單調性時，需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論．
【鞏固遷移】
2．已知函數g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x.若a>0，試討論函數g(x)的單調性．
考點三　與導數有關的函數單調性的應用(多考向探究)
考向1辨析圖象
例3　已知f′(x)是f(x)的導函數，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是(　　)
【通性通法】
該類問題主要抓住導函數的正負決定原函數的增減，導數絕對值的大小決定原函數圖象在該點處的陡峭程度，即可完成相應的判斷．
【鞏固遷移】
3．(2023·浙江紹興諸暨市高三下學期5月聯考)如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，若f(2)＝0，則y＝f(x)的圖象大致為(　　)
考向2比較大小
例4　(2023·浙江重點中學拔尖學生培養聯盟高三下學期適應性考試)設a＝2ln 1.4，b＝－1，c＝ln 1.6，則(　　)
A．cC．b【通性通法】
(1)根據導數計算公式和已知的不等式構造函數，利用不等關系得出函數的單調性，即可確定函數值的大小關系，關鍵是觀察已知條件構造出恰當的函數．
(2)含有兩個變元的不等式，可把兩個變元看作兩個不同的自變量，構造函數后利用單調性確定其不等關系．
【鞏固遷移】
4．(2023·湖南婁底市部分學校高三三模)若a＝ln 1.01，b＝，c＝－1，則(　　)
A．aC．b考向3解不等式
例5　(2023·四川成都模擬)已知一個定義在R上的奇函數f(x)，當x>0時，f(x)＝x－1＋ln x，則不等式xf(x)>0的解集為(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【通性通法】
利用單調性解不等式的思路方法
(1)利用單調性解不等式通常用于：①分段函數型不等式；②復合函數型不等式；③抽象函數型不等式；④解析式較復雜的不等式．
(2)解題的一般策略是：利用函數的單調性，將函數值的大小關系轉化為自變量的關系，解不等式即可．
【鞏固遷移】
5．已知函數f(x)＝ex－e－x－2x＋1，則不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集為________．
考向4求參數的取值范圍
例6　(2024·寧夏回族自治區銀川一中高三上學期第二次月考)若函數f(x)＝x－sin2x＋asinx在R上單調遞增，則a的取值范圍是(　　)
A．[－1，1] B．
C． D．
【通性通法】
由函數的單調性求參數的取值范圍的策略
注意：若已知函數f(x)在區間I上的單調性，區間I中含有參數時，可先求出f(x)的單調區間，令I是其單調區間的子集，從而可求出參數的取值范圍．
【鞏固遷移】
6．若函數f(x)＝ln x＋ax2－2在區間內存在單調遞增區間，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2) B．
C．(－2，＋∞) D．(－8，＋∞)
7．若函數g(x)＝2x＋ln x－在區間[1，2]內不單調，則實數a的取值范圍是________．
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