資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第九節　函數模型及其應用
課標解讀 考向預測
1.了解指數函數、對數函數以及冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義. 2.了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用. 近三年高考考查函數模型及應用，一般出現在選擇題和填空題中，難度中檔偏上．預計2025年高考會考查指數函數模型或對數函數模型在生活實際中的應用，以選擇題的形式出現.
【知識梳理】
1．幾種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數相關的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數相關的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數相關的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
2.指數、對數、冪函數模型性質比較
函數 性質 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 隨n值變化而各有不同
值的比較 存在一個x0，當x>x0時，有logax3.解答函數應用題的一般步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；
(3)求模：求解數學模型，得出數學結論；
(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．
以上過程用框圖表示如下：
【常用結論】
“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越小．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大．(　　)
(2)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增長速度．(　　)
(3)在選擇實際問題的函數模型時，必須使所有的數據完全符合該函數模型．(　　)
2．小題熱身
(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列結論中正確的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
(2)已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示．假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)．如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是(　　)
A．40萬元 B．60萬元
C．80萬元 D．120萬元
(3)在數學課外活動中，小明同學進行了糖塊溶于水的試驗，將一塊質量為7克的糖塊放入一定量的水中，測量不同時刻未溶解糖塊的質量，得到若干組數據，其中在第5分鐘末測得的未溶解糖塊的質量為3.5克，同時小明發現可以用指數型函數S＝ae－kt(a，k為常數)來描述以上糖塊的溶解過程，其中S(單位：克)代表t分鐘末未溶解糖塊的質量，則k＝(　　)
A．ln 2 B．ln 3
C. D.
(4)某公司招聘員工，面試人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為y＝
x∈N*，其中x代表擬錄用人數，y代表面試人數，若面試人數為160，則該公司擬錄用人數為________．
【考點探究】
考點一　用函數圖象刻畫實際問題
例1中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關．經驗表明，某種綠茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃時飲用，可以產生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1 min測量一次茶水的溫度，根據所得數據做出如圖所示的散點圖．觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規律？(　　)
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝max＋n(m>0，0C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
【通性通法】
(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象；當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案．
(2)圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關系，考查了數學直觀想象核心素養．
【鞏固遷移】
1.(多選)某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y(單位：微克)與時間t(單位：小時)之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則下列說法正確的是(　　)
A．a＝3
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.5微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為5小時
考點二　根據給定的函數模型解決實際問題
例2(1)某社區超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當日售價x(單位：元)之間的關系為y＝－＋12x－210，那么該商品的日利潤最大時，當日售價為(　　)
A．100元 B．150元
C．200元 D．250元
(2)(2024·福建福州高三質量檢測)為落實黨的二十大提出的“加快建設農業強國，扎實推動鄉村振興”的目標，銀行擬在鄉村開展小額貸款業務．根據調查的數據，建立了實際還款比例P關于貸款人的年收入x(單位：萬元)的Logistic模型：P(x)＝，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入為(精確到0.01萬元，參考數據：ln 3≈1.0986，ln 2≈0.6931)(　　)
A．4.65萬元 B．5.63萬元
C．6.40萬元 D．10.00萬元
【通性通法】
(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．
(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．
【鞏固遷移】
2．(多選)(2023·新課標Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lg ，其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離/m 聲壓級/dB
燃油汽車 10 60～90
混合動力汽車 10 50～60
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則(　　)
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
3．某品牌汽車的月產量y(單位：萬輛)與月份x(3考點三　通過構建函數模型解決實際問題(多考向探究)
考向1構建二次函數模型
例3 (2024·湖南永州高三摸底)A，B兩城相距100 km，在兩城之間距A城x km處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(單位：km)的平方與供電量(單位：億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．
(1)求x的取值范圍；
(2)把月供電總費用y表示成x的函數；
(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？
【通性通法】
二次函數的最值問題一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要注意函數的定義域，否則極易出錯．
【鞏固遷移】
4．(2023·河北張家口高三期末)江蘇某新能源公司某年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺13500元，到第x年年末(x∈N*)每臺設備的累計維修保養費用為(300x2＋3200x)元，每臺充電樁每年可給公司收益8000元．(≈4.36)
(1)求每臺充電樁第幾年年末開始獲利；
(2)每臺充電樁在第幾年年末時，年平均利潤最大？
考向2構建指數函數、對數函數模型
例4牛奶中細菌的標準新國標將最低門檻(允許的最大值)調整為200萬個/毫升，牛奶中的細菌常溫狀態下大約20分鐘就會繁殖一代，現將一袋細菌含量為3000個/毫升的牛奶常溫放置于空氣中，經過________分鐘就不宜再飲用．(精確到1分鐘，參考數據：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
【通性通法】
(1)在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數函數模型表示．通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式．求解時可利用指數運算與對數運算的關系．
(2)利用指數函數、對數函數模型解題，關鍵是對模型的判斷，先設定模型，將有關數據代入驗證，確定參數，求解時要準確進行指、對數運算，靈活進行指數與對數的互化．
【鞏固遷移】
5．一種藥在病人血液中的量保持1500 mg以上才有療效；而低于500 mg病人就有危險．現給某病人靜脈注射了這種藥2500 mg，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發揮藥物的利用價值，那么從現在起經過________小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．(附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，精確到0.1 h)
考向3構建分段函數模型
例5響應國家提出的“大眾創業，萬眾創新”的號召，小王大學畢業后決定利用所學專業進行自主創業．經過市場調研，生產某小型電子產品需投入年固定成本2萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本W(x)萬元，在年產量不足8萬件時，W(x)＝x2＋2x.在年產量不小于8萬件時，W(x)＝7x＋－37.每件產品售價6元．通過市場分析，小王生產的商品當年能全部售完．
(1)寫出年利潤P(x)(單位：萬元)關于年產量x(單位：萬件)的函數解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)
(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【通性通法】
(1)在現實生活中，很多問題的兩變量之間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數．如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數．
(2)分段函數主要是每一段上自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點．
(3)構造分段函數時，要力求準確、簡潔，做到分段合理，不重不漏．
【鞏固遷移】
6．某企業自主開發出一款新產品A，計劃在2025年正式投入生產，已知A產品的前期研發總花費為50000元，該企業每年最多可生產4萬件A產品．通過市場分析知，在2025年該企業每生產x千件A產品，需另投入生產成本R(x)千元，且R(x)＝
(1)求該企業生產一件A產品的平均成本p(單位：元)關于x的函數關系式，并求平均成本p的最小值；(總成本＝研發成本＋生產成本)
(2)該企業欲使生產一件A產品的平均成本p≤66元，求其年生產值x(單位：千件)的取值區間？
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．某中學體育課對女生立定跳遠項目的考核標準為：立定跳遠距離1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，滿分為120分．若某女生訓練前的成績為70分，經過一段時間的訓練后，成績為105分，則該女生訓練后，立定跳遠距離增加了(　　)
A．0.33米 B．0.42米
C．0.39米 D．0.43米
2．視力檢測結果有兩種記錄方式，分別是小數記錄與五分記錄，其部分數據如下表：
小數記錄x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分記錄y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
現有如下函數模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小數記錄數據，y表示五分記錄數據，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫生告訴他的視力為4.7，則小明同學的小數記錄數據為(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.7 D．0.8
3．“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內最大限度激發一個人的潛能，使成績在原來的基礎上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數的空間尤其大．現有某班主任老師根據歷年成績在中等偏下的學生經歷“百日沖刺”之后的成績變化，構造了一個經過時間t(30≤t≤100)(單位：天)與增加總分數f(t)(單位：分)的函數模型：f(t)＝，k為增分轉化系數，P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且f(60)＝P.已知某學生在高考前100天的最后一次模考總分為400分，依據此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約為(lg 61≈1.79)(　　)
A．440分 B．460分
C．480分 D．500分
4．(2024·云南昆明高三模擬)單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多條件相關．假設某條道路一小時通過的車輛數N滿足關系N＝，其中d0(單位：m)為安全距離，v(單位：m/s)為車速．當安全距離d0取30 m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為(　　)
A．135 B．149
C．165 D．195
5．(2024·江蘇沭陽如東中學高三模擬)深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它以神經網絡為出發點，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為L＝L0D，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，G0表示衰減速度．已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓練迭代輪數至少為(參考數據：lg 2≈0.3010)(　　)
A．72 B．74
C．76 D．78
6．“一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來”描述了封建統治者的驕奢生活，同時也講述了古代資源流通的不便利．如今我國物流行業蓬勃發展，極大地促進了社會經濟發展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝eax＋b(a，b為常數)，若該果蔬在6 ℃的保鮮時間為216小時，在24 ℃的保鮮時間為8小時，那么在12 ℃時，該果蔬的保鮮時間為(　　)
A．72小時 B．36小時
C．24小時 D．16小時
7．“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強I與標準聲強I0(I0約為10－12，單位：W/m2)之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作L(單位：貝爾)，即L＝lg .取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝，已知某處“喊泉”的聲音強度y(單位：分貝)與噴出的泉水高度x(單位：m)之間滿足關系式y＝2x，甲、乙兩名同學大喝一聲激起的涌泉的最高高度分別為70 m，60 m．若甲同學大喝一聲的聲強大約相當于n個乙同學同時大喝一聲的聲強，則n的值約為(　　)
A．10 B．100
C．200 D．1000
8．(2024·山東德州高三期末)已知某品牌手機電池充滿時的電量為4000(單位：毫安時)，且在待機狀態下有兩種不同的耗電模式可供選擇．模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電400(單位：毫安時)；模式B：電量呈指數衰減，即從當前時刻算起，t小時后的電量為當前電量的倍．現使該電子產品處于滿電量待機狀態時開啟A模式，并在x小時后，切換為B模式，若使其在待機10小時后有超過2.5%的電量，則x的可能取值為(　　)
A．4.6 B．5.8
C．7.6 D．9.9
二、多項選擇題
9．(2024·江蘇常州高三月考)在線直播帶貨已經成為一種重要銷售方式，假設直播在線購買人數y(單位：人)與某產品銷售單價x(單位：元)滿足關系式y＝－x＋40，其中20A．實數m的值為10000
B．銷售單價越低，直播在線購買人數越多
C．當x的值為30時，利潤最大
D．利潤的最大值為10000
10.甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2 km.如圖所示表示甲同學從家出發到乙同學家經過的路程y(單位：km)與時間x(單位：min)的關系，下列結論正確的是(　　)
A．甲同學從家出發到乙同學家走了60 min
B．甲從家到公園的時間是30 min
C．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快
D．當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝x
三、填空題
11．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了如下一組實驗數據：
x 2 2.99 4 5 6.002
y 4 8.02 15.99 32 64.01
現準備用下列四個函數中的一個近似地描述這些數據的規律：①y＝2x；②y＝(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x，其中最接近的一個是________(只填序號)．
12.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據市場分析，每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數x(x∈N*)為二次函數的關系(如圖)，則每輛客車營運年數為________時，營運的年平均利潤最大．
13．雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現“碳達峰”，2060年實現“碳中和”．為了實現這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：A·h)，放電時間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關系的經驗公式C＝In·t，其中n＝log2為Peukert常數．在電池容量不變的條件下，當放電電流I＝10 A時，放電時間t＝57 h，則當放電電流I＝15 A時，放電時間為________ h.
14．為了響應黨和國家節能減排的號召，某企業在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本y(單位：萬元)與處理量x(單位：噸)(x∈[120，500])之間的函數關系可近似表示為
y＝
為使二氧化碳每噸處理成本最低，則處理量x為________噸．
四、解答題
15．(2023·河北保定高三模擬)某科研團隊對某一生物生長規律進行研究，發現其生長蔓延的速度越來越快．開始在某水域投放一定面積的該生物，經過2個月其覆蓋面積為18平方米，經過3個月其覆蓋面積達到27平方米．該生物覆蓋面積y(單位：平方米)與經過時間x(x∈N)個月的關系有兩個函數模型y＝k·ax(k>0，a>1)與y＝p＋q(p>0)可供選擇．
(1)試判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的函數解析式；
(2)問約經過幾個月，該水域中此生物的面積是當初投放的1000倍？(參考數據：≈1.41，≈1.73，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，精確到1月)
【B組 素養提升】
16．(多選)(2024·廣東東莞入學考試)牛頓曾提出了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是θ0(單位：℃)，環境溫度是θ1(單位：℃)，其中θ0>θ1，則經過t分鐘后物體的溫度θ將滿足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0)．現有一杯80 ℃的熱紅茶置于20 ℃的房間里，根據這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結論正確的是(參考數據：ln 2≈0.7)(　　)
A．若f(3)＝50 ℃，則f(6)＝35 ℃
B．若k＝，則紅茶下降到50 ℃所需的時間大約為7分鐘
C．若f′(3)＝－5，則其實際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘5 ℃的速率下降
D．紅茶溫度從80 ℃下降到60 ℃所需的時間比從60 ℃下降到40 ℃所需的時間多
17．(多選)(2024·江蘇常州一中期初檢測)地震震級根據地震儀記錄的地震波振幅來測定，一般采用里氏震級標準．里氏震級的計算公式為M＝lg (其中常數A0是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅，Amax是指我們關注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E(單位：焦耳)是指當地震發生時，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M為地震震級．下列說法正確的是(　　)
A．若地震震級M增加1級，則最大振幅Amax增加到原來的10倍
B．若地震震級M增加1級，則放出的能量E增加到原來的10倍
C．若最大振幅Amax增加到原來的10倍，則放出的能量E增加到原來的10倍
D．若最大振幅Amax增加到原來的10倍，則放出的能量E增加到原來的1000倍
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第九節　函數模型及其應用
課標解讀 考向預測
1.了解指數函數、對數函數以及冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義. 2.了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用. 近三年高考考查函數模型及應用，一般出現在選擇題和填空題中，難度中檔偏上．預計2025年高考會考查指數函數模型或對數函數模型在生活實際中的應用，以選擇題的形式出現.
【知識梳理】
1．幾種常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數相關的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數相關的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數相關的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
2.指數、對數、冪函數模型性質比較
函數 性質 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 隨n值變化而各有不同
值的比較 存在一個x0，當x>x0時，有logax3.解答函數應用題的一般步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；
(3)求模：求解數學模型，得出數學結論；
(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．
以上過程用框圖表示如下：
【常用結論】
“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越小．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大．(　　)
(2)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增長速度．(　　)
(3)在選擇實際問題的函數模型時，必須使所有的數據完全符合該函數模型．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．小題熱身
(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列結論中正確的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
答案　B
解析　在同一平面直角坐標系內，根據函數圖象變化趨勢，當x∈(4，＋∞)時，增長速度由大到小依次為g(x)>f(x)>h(x)．故選B.
(2)已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示．假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)．如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是(　　)
A．40萬元 B．60萬元
C．80萬元 D．120萬元
答案　D
解析　當甲商品的價格為6元時，該商人全部買入甲商品，可以買120÷6＝20(萬份)，在t2時刻全部賣出，此時獲利20×2＝40(萬元)；當
乙商品的價格為4元時，該商人買入乙商品，可以買(120＋40)÷4＝40(萬份)，在t4時刻全部賣出，此時獲利40×2＝80(萬元)．故該商人共獲利40＋80＝120(萬元)．故選D.
(3)在數學課外活動中，小明同學進行了糖塊溶于水的試驗，將一塊質量為7克的糖塊放入一定量的水中，測量不同時刻未溶解糖塊的質量，得到若干組數據，其中在第5分鐘末測得的未溶解糖塊的質量為3.5克，同時小明發現可以用指數型函數S＝ae－kt(a，k為常數)來描述以上糖塊的溶解過程，其中S(單位：克)代表t分鐘末未溶解糖塊的質量，則k＝(　　)
A．ln 2 B．ln 3
C. D.
答案　C
解析　由題意可得，當t＝0時，S＝a＝7，因為在第5分鐘末測得的未溶解糖塊的質量為3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝.故選C.
(4)某公司招聘員工，面試人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為y＝
x∈N*，其中x代表擬錄用人數，y代表面試人數，若面試人數為160，則該公司擬錄用人數為________．
答案　75
解析　令y＝160，若4x＝160，則x＝40＞10，不符合題意；若2x＋10＝160，則x＝75，符合題意；若1.5x＝160，則x＝ N*，不符合題意．故擬錄用人數為75.
【考點探究】
考點一　用函數圖象刻畫實際問題
例1中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關．經驗表明，某種綠茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃時飲用，可以產生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1 min測量一次茶水的溫度，根據所得數據做出如圖所示的散點圖．觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規律？(　　)
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝max＋n(m>0，0C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
答案　B
解析　由函數圖象可知符合條件的只有指數函數模型，并且m>0，0【通性通法】
(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象；當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案．
(2)圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關系，考查了數學直觀想象核心素養．
【鞏固遷移】
1.(多選)某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y(單位：微克)與時間t(單位：小時)之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則下列說法正確的是(　　)
A．a＝3
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.5微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為5小時
答案　ACD
解析　將點M的坐標代入y＝kt，可得k＝4，將點M的坐標代入y＝可得＝4，解得a＝3，所以y＝A正確；當01時，由y＝≥可得t≤6，此時1考點二　根據給定的函數模型解決實際問題
例2(1)某社區超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當日售價x(單位：元)之間的關系為y＝－＋12x－210，那么該商品的日利潤最大時，當日售價為(　　)
A．100元 B．150元
C．200元 D．250元
答案　B
解析　因為y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以當x＝150時，y取最大值．故選B.
(2)(2024·福建福州高三質量檢測)為落實黨的二十大提出的“加快建設農業強國，扎實推動鄉村振興”的目標，銀行擬在鄉村開展小額貸款業務．根據調查的數據，建立了實際還款比例P關于貸款人的年收入x(單位：萬元)的Logistic模型：P(x)＝，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入為(精確到0.01萬元，參考數據：ln 3≈1.0986，ln 2≈0.6931)(　　)
A．4.65萬元 B．5.63萬元
C．6.40萬元 D．10.00萬元
答案　A
解析　由題意，得P(8)＝＝50%＝，整理，得e－0.9680＋8k＝1，即－0.9680＋8k＝0，解得k＝0.121，所以P(x)＝.令P(x)＝＝40%＝，得5e－0.9680＋0.121x＝2(1＋e－0.9680＋0.121x)，整理，得e－0.9680＋0.121x＝，兩邊取自然對數，得－0.9680＋0.121x＝ln ，解得x＝≈4.65.故選A.
【通性通法】
(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．
(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．
【鞏固遷移】
2．(多選)(2023·新課標Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lg ，其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離/m 聲壓級/dB
燃油汽車 10 60～90
混合動力汽車 10 50～60
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則(　　)
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
答案　ACD
解析　解法一：由題意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，對于A，Lp1－Lp2＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因為Lp1≥Lp2，則Lp1－Lp2＝20×lg ≥0，即lg ≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正確；對于B，Lp2－Lp3＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因為Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，則20×lg ≥10，即lg ≥，所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3，當且僅當Lp2＝50時，等號成立，故B錯誤；對于C，因為Lp3＝20×lg ＝40，即lg ＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正確；對于D，由選項A可知，Lp1－Lp2＝20×lg ，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，則20×lg ≤40，即lg ≤2，可得≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.
解法二：因為Lp＝20×lg 隨著p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因為Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正確；假設p2＞10p3，則p010＞10p010，所以10－＞10，所以Lp2－Lp3＞20，該式不可能成立，故B錯誤；因為＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.
3．某品牌汽車的月產量y(單位：萬輛)與月份x(3答案　1.875
解析　依題意有解得于是得y＝－2·＋2，當x＝7時，y＝－2×＋2＝1.875，所以該品牌汽車7月的產量為1.875萬輛．
考點三　通過構建函數模型解決實際問題(多考向探究)
考向1構建二次函數模型
例3 (2024·湖南永州高三摸底)A，B兩城相距100 km，在兩城之間距A城x km處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(單位：km)的平方與供電量(單位：億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．
(1)求x的取值范圍；
(2)把月供電總費用y表示成x的函數；
(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？
解　(1)由題意，知x的取值范圍為[10，90]．
(2)y＝0.25×20×x2＋0.25×10×(100－x)2
＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25000，
∴y＝x2－500x＋25000(10≤x≤90)．
(3)y＝x2－500x＋25000＝＋，
∴當x＝時，ymin＝.
∴核電站建在距A城 km處，供電總費用最少．
【通性通法】
二次函數的最值問題一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要注意函數的定義域，否則極易出錯．
【鞏固遷移】
4．(2023·河北張家口高三期末)江蘇某新能源公司某年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺13500元，到第x年年末(x∈N*)每臺設備的累計維修保養費用為(300x2＋3200x)元，每臺充電樁每年可給公司收益8000元．(≈4.36)
(1)求每臺充電樁第幾年年末開始獲利；
(2)每臺充電樁在第幾年年末時，年平均利潤最大？
解　(1)設每臺充電樁在第x年年末的利潤為f(x)元，
則f(x)＝8000x－(300x2＋3200x)－13500＝－300x2＋4800x－13500，
令f(x)>0，解得8－又≈4.36，
∴3.64∵x∈N*，
∴每臺充電樁從第4年年末開始獲利．
(2)設g(x)為每臺充電樁在第x年年末的年平均利潤，
則g(x)＝＝－＋4800.
∵y＝300x＋在(0，3)上單調遞減，在(3，＋∞)上單調遞增，
∴g(x)在(0，3)上單調遞增，在(3，＋∞)上單調遞減，
又x∈N*，3≈6.708，g(6)＝750，g(7)≈771，
∴g(7)>g(6)，
∴每臺充電樁在第7年年末時，年平均利潤最大．
考向2構建指數函數、對數函數模型
例4牛奶中細菌的標準新國標將最低門檻(允許的最大值)調整為200萬個/毫升，牛奶中的細菌常溫狀態下大約20分鐘就會繁殖一代，現將一袋細菌含量為3000個/毫升的牛奶常溫放置于空氣中，經過________分鐘就不宜再飲用．(精確到1分鐘，參考數據：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
答案　188
解析　設經過x個周期后細菌含量超標，即3000×2x>2000000，即2x>，所以x>log2＝＝≈9.4，而20×9.4＝188，因此經過188分鐘就不宜再飲用．
【通性通法】
(1)在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數函數模型表示．通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式．求解時可利用指數運算與對數運算的關系．
(2)利用指數函數、對數函數模型解題，關鍵是對模型的判斷，先設定模型，將有關數據代入驗證，確定參數，求解時要準確進行指、對數運算，靈活進行指數與對數的互化．
【鞏固遷移】
5．一種藥在病人血液中的量保持1500 mg以上才有療效；而低于500 mg病人就有危險．現給某病人靜脈注射了這種藥2500 mg，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發揮藥物的利用價值，那么從現在起經過________小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．(附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，精確到0.1 h)
答案　2.3
解析　設應在病人注射這種藥經過x小時后再向病人的血液補充這種藥，則2500(1－20%)x＝1500，整理可得＝，所以x＝log，又log＝log＝＝＝≈2.3，所以x≈2.3.故從現在起經過2.3小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．
考向3構建分段函數模型
例5響應國家提出的“大眾創業，萬眾創新”的號召，小王大學畢業后決定利用所學專業進行自主創業．經過市場調研，生產某小型電子產品需投入年固定成本2萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本W(x)萬元，在年產量不足8萬件時，W(x)＝x2＋2x.在年產量不小于8萬件時，W(x)＝7x＋－37.每件產品售價6元．通過市場分析，小王生產的商品當年能全部售完．
(1)寫出年利潤P(x)(單位：萬元)關于年產量x(單位：萬件)的函數解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)
(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？
解　(1)因為每件商品售價6元，則x萬件商品銷售收入為6x萬元．
依題意得，當0當x≥8時，P(x)＝6x－－2＝35－x－.
故P(x)＝
(2)當0此時，當x＝6時，P(x)取得最大值，為10.
當x≥8時，P(x)＝35－≤35－2＝15.
此時，當x＝10時，P(x)取得最大值，為15.
因為10<15，所以當年產量為10萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．
【通性通法】
(1)在現實生活中，很多問題的兩變量之間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數．如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數．
(2)分段函數主要是每一段上自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點．
(3)構造分段函數時，要力求準確、簡潔，做到分段合理，不重不漏．
【鞏固遷移】
6．某企業自主開發出一款新產品A，計劃在2025年正式投入生產，已知A產品的前期研發總花費為50000元，該企業每年最多可生產4萬件A產品．通過市場分析知，在2025年該企業每生產x千件A產品，需另投入生產成本R(x)千元，且R(x)＝
(1)求該企業生產一件A產品的平均成本p(單位：元)關于x的函數關系式，并求平均成本p的最小值；(總成本＝研發成本＋生產成本)
(2)該企業欲使生產一件A產品的平均成本p≤66元，求其年生產值x(單位：千件)的取值區間？
解　(1)由題知生產x千件的總成本為(R(x)＋50)千元，
故生產一件的平均成本為元，
所以p(x)＝
當x∈(0，10]時，p(x)＝x＋60＋單調遞減，
故最小值為p(10)＝70，
當x∈(10，40]時，p(x)＝1800＋65.5，
故最小值為p(20)＝65.5，
因為70>65.5，
所以生產一件A產品的平均成本最低為65.5元．
(2)由(1)知，要使p(x)≤66，只需考慮x∈(10，40]，
即70＋－≤66，
結合x>0，整理得x2－45x＋450≤0，
解得15≤x≤30，
所以當x∈[15，30]時，生產一件A產品的平均成本不超過66元．
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．某中學體育課對女生立定跳遠項目的考核標準為：立定跳遠距離1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，滿分為120分．若某女生訓練前的成績為70分，經過一段時間的訓練后，成績為105分，則該女生訓練后，立定跳遠距離增加了(　　)
A．0.33米 B．0.42米
C．0.39米 D．0.43米
答案　B
解析　該女生訓練前立定跳遠距離為1.84－0.03×＝1.72(米)，訓練后立定跳遠距離為1.84＋0.1×＝2.14(米)，則該女生訓練后，立定跳遠距離增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故選B.
2．視力檢測結果有兩種記錄方式，分別是小數記錄與五分記錄，其部分數據如下表：
小數記錄x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分記錄y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
現有如下函數模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小數記錄數據，y表示五分記錄數據，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫生告訴他的視力為4.7，則小明同學的小數記錄數據為(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.7 D．0.8
答案　B
解析　由表格中的數據可知，函數單調遞增，故合適的函數模型為y＝5＋lg x，令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故選B.
3．“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內最大限度激發一個人的潛能，使成績在原來的基礎上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數的空間尤其大．現有某班主任老師根據歷年成績在中等偏下的學生經歷“百日沖刺”之后的成績變化，構造了一個經過時間t(30≤t≤100)(單位：天)與增加總分數f(t)(單位：分)的函數模型：f(t)＝，k為增分轉化系數，P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且f(60)＝P.已知某學生在高考前100天的最后一次模考總分為400分，依據此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約為(lg 61≈1.79)(　　)
A．440分 B．460分
C．480分 D．500分
答案　B
解析　由題意得，f(60)＝＝P，∴k＝≈＝0.465，∴f(100)≈＝≈＝62，∴該學生在高考中可能取得的總分約為400＋62＝462≈460(分)．故選B.
4．(2024·云南昆明高三模擬)單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多條件相關．假設某條道路一小時通過的車輛數N滿足關系N＝，其中d0(單位：m)為安全距離，v(單位：m/s)為車速．當安全距離d0取30 m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為(　　)
A．135 B．149
C．165 D．195
答案　B
解析　由題意得，N＝＝≤≈149，當且僅當0.3v＝，即v＝10時取等號，所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.故選B.
5．(2024·江蘇沭陽如東中學高三模擬)深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它以神經網絡為出發點，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為L＝L0D，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，G0表示衰減速度．已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓練迭代輪數至少為(參考數據：lg 2≈0.3010)(　　)
A．72 B．74
C．76 D．78
答案　B
解析　由題意，得L＝0.5×D，則0.4＝0.5×D，解得D＝，則L＝0.5×，由L＝0.5×<0.2，得G>18 log＝＝≈73.9，所以所需的訓練迭代輪數至少為74.故選B.
6．“一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來”描述了封建統治者的驕奢生活，同時也講述了古代資源流通的不便利．如今我國物流行業蓬勃發展，極大地促進了社會經濟發展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝eax＋b(a，b為常數)，若該果蔬在6 ℃的保鮮時間為216小時，在24 ℃的保鮮時間為8小時，那么在12 ℃時，該果蔬的保鮮時間為(　　)
A．72小時 B．36小時
C．24小時 D．16小時
答案　A
解析　當x＝6時，e6a＋b＝216；當x＝24時，e24a＋b＝8，則＝＝27，整理可得e6a＝，于是eb＝216×3＝648，當x＝12時，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝×648＝72.故選A.
7．“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強I與標準聲強I0(I0約為10－12，單位：W/m2)之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作L(單位：貝爾)，即L＝lg .取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝，已知某處“喊泉”的聲音強度y(單位：分貝)與噴出的泉水高度x(單位：m)之間滿足關系式y＝2x，甲、乙兩名同學大喝一聲激起的涌泉的最高高度分別為70 m，60 m．若甲同學大喝一聲的聲強大約相當于n個乙同學同時大喝一聲的聲強，則n的值約為(　　)
A．10 B．100
C．200 D．1000
答案　B
解析　設甲同學的聲強為I1，乙同學的聲強為I2，則140＝10lg ，120＝10lg ，兩式相減即得20＝10lg ，即lg ＝2，從而＝100，所以n的值約為100.故選B.
8．(2024·山東德州高三期末)已知某品牌手機電池充滿時的電量為4000(單位：毫安時)，且在待機狀態下有兩種不同的耗電模式可供選擇．模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電400(單位：毫安時)；模式B：電量呈指數衰減，即從當前時刻算起，t小時后的電量為當前電量的倍．現使該電子產品處于滿電量待機狀態時開啟A模式，并在x小時后，切換為B模式，若使其在待機10小時后有超過2.5%的電量，則x的可能取值為(　　)
A．4.6 B．5.8
C．7.6 D．9.9
答案　C
解析　模式A在待機t小時后電池內電量為y＝－400t＋4000，設當前電量為Q，模式B在待機t小時后電池內電量為y＝Q，則該電子產品處于滿電量待機狀態時開啟A模式，并在x小時后，切換為B模式，其在待機10小時后的電量為(－400x＋4000)，由(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根據選項，當x＝4.6時，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；當x＝5.8時，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；當x＝7.6時，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；當x＝9.9時，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值為7.6.
二、多項選擇題
9．(2024·江蘇常州高三月考)在線直播帶貨已經成為一種重要銷售方式，假設直播在線購買人數y(單位：人)與某產品銷售單價x(單位：元)滿足關系式y＝－x＋40，其中20A．實數m的值為10000
B．銷售單價越低，直播在線購買人數越多
C．當x的值為30時，利潤最大
D．利潤的最大值為10000
答案　ABC
解析　將x＝25，y＝2015代入y＝－x＋40，可得2015＝－25＋40，解得m＝10000，故A正確；易知y＝－x＋40(2010.甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2 km.如圖所示表示甲同學從家出發到乙同學家經過的路程y(單位：km)與時間x(單位：min)的關系，下列結論正確的是(　　)
A．甲同學從家出發到乙同學家走了60 min
B．甲從家到公園的時間是30 min
C．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快
D．當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝x
答案　BD
解析　甲在公園休息的時間是10 min，所以只走了50 min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢，C錯誤；當0≤x≤30時，設y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得k＝，D正確．故選BD.
三、填空題
11．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了如下一組實驗數據：
x 2 2.99 4 5 6.002
y 4 8.02 15.99 32 64.01
現準備用下列四個函數中的一個近似地描述這些數據的規律：①y＝2x；②y＝(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x，其中最接近的一個是________(只填序號)．
答案　④
解析　
x 2 2.99 4 5 6.002
y 4 8.02 15.99 32 64.01
①y＝2x 4 5.98 8 10 12.004
②y＝(x2－1) 1.5 3.97 7.5 12 17.51
③y＝log2x 1 1.58 2 2.32 2.59
④y＝2x 4 7.94 16 32 64.09
由表格數據可知其中最接近的一個是④y＝2x.
12.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據市場分析，每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數x(x∈N*)為二次函數的關系(如圖)，則每輛客車營運年數為________時，營運的年平均利潤最大．
答案　5
解析　根據題意得，拋物線的頂點為(6，11)，過點(4，7)，開口向下，設二次函數的解析式為y＝a(x－6)2＋11(a<0)，所以7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11，則營運的年平均利潤＝＝12－≤12－2＝2，當且僅當x＝，即x＝5時取等號．
13．雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現“碳達峰”，2060年實現“碳中和”．為了實現這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：A·h)，放電時間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關系的經驗公式C＝In·t，其中n＝log2為Peukert常數．在電池容量不變的條件下，當放電電流I＝10 A時，放電時間t＝57 h，則當放電電流I＝15 A時，放電時間為________ h.
答案　28.5
解析　根據題意可得C＝57×10n，則當I＝15 A時，57×10n＝15n×t，所以t＝57×＝57× log2＝57× log＝28.5 h，即當放電電流I＝15 A時，放電時間為28.5 h.
14．為了響應黨和國家節能減排的號召，某企業在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本y(單位：萬元)與處理量x(單位：噸)(x∈[120，500])之間的函數關系可近似表示為
y＝
為使二氧化碳每噸處理成本最低，則處理量x為________噸．
答案　400
解析　由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本S＝當x∈[120，144)時，S＝x2－80x＋5040，當x＝120時，S取得最小值240；當x∈[144，500]時，S＝x－200＋≥2－200＝200，當且僅當x＝，即x＝400時取等號，此時S取得最小值200.由于200<240，故所求處理量為400噸．
四、解答題
15．(2023·河北保定高三模擬)某科研團隊對某一生物生長規律進行研究，發現其生長蔓延的速度越來越快．開始在某水域投放一定面積的該生物，經過2個月其覆蓋面積為18平方米，經過3個月其覆蓋面積達到27平方米．該生物覆蓋面積y(單位：平方米)與經過時間x(x∈N)個月的關系有兩個函數模型y＝k·ax(k>0，a>1)與y＝p＋q(p>0)可供選擇．
(1)試判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的函數解析式；
(2)問約經過幾個月，該水域中此生物的面積是當初投放的1000倍？(參考數據：≈1.41，≈1.73，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，精確到1月)
解　(1)∵函數y＝k·ax(k>0，a>1)中，y隨x的增長而增長的速度越來越快，
而函數y＝p＋q(p>0)中，y隨x的增長而增長的速度越來越慢，
根據已知條件應選y＝k·ax(k>0，a>1)更合適．
由已知得解得
∴該模型的函數解析式為y＝8·(x∈N)．
(2)由(1)知，當x＝0時，y＝8，
∴原先投放的此生物的面積為8平方米．
設經過x個月該水域中此生物的面積是當初投放的1000倍，
∴8×＝8×1000，
解得x＝≈≈17，
∴約經過17個月，該水域中此生物的面積是當初投放的1000倍．
【B組 素養提升】
16．(多選)(2024·廣東東莞入學考試)牛頓曾提出了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是θ0(單位：℃)，環境溫度是θ1(單位：℃)，其中θ0>θ1，則經過t分鐘后物體的溫度θ將滿足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0)．現有一杯80 ℃的熱紅茶置于20 ℃的房間里，根據這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結論正確的是(參考數據：ln 2≈0.7)(　　)
A．若f(3)＝50 ℃，則f(6)＝35 ℃
B．若k＝，則紅茶下降到50 ℃所需的時間大約為7分鐘
C．若f′(3)＝－5，則其實際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘5 ℃的速率下降
D．紅茶溫度從80 ℃下降到60 ℃所需的時間比從60 ℃下降到40 ℃所需的時間多
答案　ABC
解析　由題知θ＝f(t)＝20＋60e－kt，若f(3)＝50 ℃，即50＝20＋60e－3k，所以e－3k＝，則f(6)＝20＋60e－6k＝20＋60(e－3k)2＝20＋60×＝35 ℃，A正確；若k＝，則20＋60e－t＝50，則e－t＝，兩邊同時取對數得－t＝ln ＝－ln 2，所以t＝10ln 2≈7，所以紅茶下降到50 ℃所需的時間大約為7分鐘，B正確；f′(3)表示t＝3處的函數值的變化情況，若f′(3)＝－5<0，則其實際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘5 ℃的速率下降，故C正確；f(t)為指數型函數，如圖，可得紅茶溫度從80 ℃下降到60 ℃所需的時間(t2－t1)比從60 ℃下降到40 ℃所需的時間(t3－t2)少，故D錯誤．故選ABC.
17．(多選)(2024·江蘇常州一中期初檢測)地震震級根據地震儀記錄的地震波振幅來測定，一般采用里氏震級標準．里氏震級的計算公式為M＝lg (其中常數A0是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅，Amax是指我們關注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E(單位：焦耳)是指當地震發生時，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M為地震震級．下列說法正確的是(　　)
A．若地震震級M增加1級，則最大振幅Amax增加到原來的10倍
B．若地震震級M增加1級，則放出的能量E增加到原來的10倍
C．若最大振幅Amax增加到原來的10倍，則放出的能量E增加到原來的10倍
D．若最大振幅Amax增加到原來的10倍，則放出的能量E增加到原來的1000倍
答案　AC
解析　因為M′＝M＋1＝1＋lg ＝lg ，所以A′max＝10Amax，故A正確；因為E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝101.5E，故B錯誤；因為lg ＝M＋1＝M′，E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝101.5E＝10E，故C正確，D錯誤．故選AC.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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