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中小學教育資源及組卷應用平臺
第三節　導數與函數的極值、最值
課標解讀 考向預測
熟練掌握極值的概念、極值存在的必要條件和充分條件，能求函數的極值，能求閉區間上連續函數的最值，能求實際問題中的最值. 近三年高考題中利用導數求函數的極值和最值是必考的考點，預計2025年高考極值和最值問題在選擇題、填空題和解答題中都有可能出現，難度保持穩定或略有降低.
【知識梳理】
1．函數的極值
(1)函數的極小值
函數y＝f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，則a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．
(2)函數的極大值
函數y＝f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，則b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值．
2．函數的最大(小)值
(1)函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件
如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟
①求函數y＝f(x)在區間(a，b)上的極值；
②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
【常用結論】
1．對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．
2．若函數f(x)在開區間(a，b)內只有一個極值點，則該極值點一定是函數的最值點．
3．極值有可能是最值，但最值只要不在區間端點處取得，其必定是極值．
4．函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數的極小值一定是函數的最小值．(　　)
(2)函數的極小值一定不是函數的最大值．(　　)
(3)函數y＝f′(x)的零點是函數y＝f(x)的極值點．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第二冊5.3.2例5改編)函數f(x)＝2x－xln x的極值是(　　)
A． B．
C．e D．e2
答案　C
解析　f′(x)＝1－ln x，由f′(x)>0，得0e.所以f(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，＋∞)上單調遞減，所以f(x)在x＝e處取得極大值，f(e)＝e.故選C.
(2)(北師大版選擇性必修第二冊7.2例5改編)若商品的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：百萬件)的函數關系式為y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產量為(　　)
A．1百萬件 B．2百萬件
C．3百萬件 D．4百萬件
答案　C
解析　y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，當00；當x>3時，y′<0.所以函數在(0，3)上單調遞增，在(3，＋∞)上單調遞減，所以當x＝3時，該商品的年利潤最大．故選C.
(3)(2023·甘肅蘭州模擬)函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，以下命題錯誤的是(　　)
A．－3是函數y＝f(x)的極值點
B．－1是函數y＝f(x)的最小值點
C．y＝f(x)在(－3，1)上單調遞增
D．曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率大于零
答案　B
解析　根據導函數圖象可知，當x∈(－∞，－3)時，f′(x)<0，當x∈(－3，1)時，f′(x)≥0，所以函數y＝f(x)在(－∞，－3)上單調遞減，在(－3，1)上單調遞增，故C正確；易知－3是函數y＝f(x)的極小值點，故A正確；因為y＝f(x)在(－3，1)上單調遞增，所以－1不是函數y＝f(x)的最小值點，故B錯誤；因為函數y＝f(x)在x＝0處的導數大于0，所以曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率大于零，故D正確．故選B.
【考點探究】
考點一　導數與函數的極值(多考向探究)
考向1根據函數圖象判斷極值(點)
例1 (多選)(2024·山東棗莊第十六中學高三上學期月考)如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，下列結論中正確的是(　　)
A．f(x)的單調遞增區間是(－1，2)，(4，＋∞)
B．x＝－1是f(x)的極小值點
C．f(x)在(2，4)上是減函數，在(－1，2)上是增函數
D．x＝2是f(x)的極小值點
答案　ABC
解析　根據題中圖象知，當x∈(－1，2)∪(4，＋∞)時，f′(x)>0，函數在(－1，2)，(4，＋∞)上單調遞增；當x∈(－3，－1)∪(2，4)時，f′(x)<0，函數在(－3，－1)，(2，4)上單調遞減，故A，C正確；當x＝－1時，f(x)取得極小值，x＝－1是f(x)的極小值點，故B正確；當x＝2時，f(x)取得極大值，x＝2不是f(x)的極小值點，故D錯誤．故選ABC.
【通性通法】
由圖象判斷函數y＝f(x)的極值的方法
由導函數y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數y＝f(x)的單調性．兩者結合可得極值點．
【鞏固遷移】
1．(2024·陜西西安長安區高三上學期月考)已知函數f(x)，其導函數f′(x)的圖象如圖所示，則(　　)
A．f(x)有2個極值點
B．f(x)在x＝1處取得極小值
C．f(x)有極大值，沒有極小值
D．f(x)在(－∞，1)上單調遞減
答案　C
解析　由題圖得，f(x)在(－∞，3)上單調遞增，在(3，＋∞)上單調遞減，∴f(x)有一個極大值，沒有極小值，∴A，B，D錯誤，C正確．故選C.
考向2求已知函數的極值(點)
例2　(多選)(2023·廣東饒平模擬)已知函數f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，則(　　)
A．－1是函數f(x)的極大值點
B．3是函數f(x)的極小值點
C．函數f(x)的極小值為－7
D．函數f(x)的極大值為25
答案　CD
解析　因為f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，該函數的定義域為R，則f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，列表如下：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 單調遞減 －7 單調遞增 25 單調遞減
所以－1是函數f(x)的極小值點，3是函數f(x)的極大值點，函數f(x)的極小值為f(－1)＝－7，極大值為f(3)＝25.故選CD.
【通性通法】
求函數f(x)極值的一般解題步驟
【鞏固遷移】
2．討論函數f(x)＝x－1＋的極值．
解　由題意，得f′(x)＝1－.
①當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，所以f(x)無極值．
②當a>0時，令f′(x)＝0，得ex＝a，可得x＝ln a.
所以當x∈(－∞，ln a)時，f′(x)<0；當x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)>0.
則f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，在(ln a，＋∞)上單調遞增，
故f(x)在x＝ln a處取得極小值f(ln a)＝ln a，無極大值．
綜上所述，當a≤0時，f(x)無極值；當a>0時，f(x)在x＝ln a處取得極小值ln a，無極大值．
考向3已知函數的極值(點)求參數
例3 　(1)(2023·遼寧撫順重點高中六校協作體高三二模)已知函數f(x)＝ax3＋bx在x＝1處取得極大值4，則a－b＝(　　)
A．8 B．－8
C．2 D．－2
答案　B
解析　因為f(x)＝ax3＋bx，所以f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0，f(1)＝a＋b＝4，解得a＝－2，b＝6，經檢驗，符合題意，所以a－b＝－8.故選B.
(2)(2024·江蘇南京師范大學附屬中學高三上學期開學測試)已知函數f(x)＝ex－x2－ax(a∈R)有兩個極值點，則實數a的取值范圍為________．
答案　(1，＋∞)
解析　∵函數f(x)的定義域是R，f′(x)＝ex－x－a，令h(x)＝ex－x－a，h′(x)＝ex－1，所以在區間(－∞，0)上，h′(x)<0，h(x)單調遞減；在區間(0，＋∞)上，h′(x)>0，h(x)單調遞增．要使f(x)有兩個極值點，則f′(0)＝h(0)＝1－a<0，a>1，又當x趨于－∞時，f′(x)趨于＋∞，當x趨于＋∞時，f′(x)趨于＋∞，所以實數a的取值范圍為(1，＋∞)．
【通性通法】
已知函數的極值(點)求參數的方法
(1)對于可導函數y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點的必要條件，即當已知可導函數在某一點處取得極值時，該點處的導數值一定為零，據此可建立關于參數的方程進行求解，但應檢驗極值點兩側的導數是否異號．
(2)若函數f(x)在區間I上有極值點，則f′(x)在區間I上有變號的零點，亦即方程f′(x)＝0有滿足相應條件的實數根，從而可轉化為方程有解問題，也可轉化為直線與曲線的交點問題進行求解．
【鞏固遷移】
3．(多選)(2023·新課標Ⅱ卷)若函數f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有極大值也有極小值，則(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
答案　BCD
解析　函數f(x)＝aln x＋＋的定義域為(0，＋∞)，求導得f′(x)＝－－＝，因為函數f(x)既有極大值也有極小值，則函數f′(x)在(0，＋∞)上有兩個變號零點，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有兩個不等的正根x1，x2，于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，顯然a2bc<0，即bc<0，A錯誤，B，C，D正確．故選BCD.
考點二　導數與函數的最值(多考向探究)
考向1求已知函數的最值
例4 (2022·全國乙卷)函數f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區間[0，2π]的最小值、最大值分別為(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
答案　D
解析　f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增．又f(0)＝f(2π)＝2，f＝＋2，f＝－，所以f(x)在區間[0，2π]的最小值為－，最大值為＋2.故選D.
【通性通法】
求函數最值的步驟
【鞏固遷移】
4．(2023·江蘇鎮江模擬)已知函數f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋ln x，若f(m)＝g(n)，則n－m的最小值為________．
答案?。?
解析　令t＝f(m)＝g(n)，則em－3＝t，1＋ln n＝t，所以m＝3＋ln t，n＝et－1，即n－m＝et－1－3－ln t，令h(t)＝et－1－3－ln t，則h′(t)＝et－1－(t>0)，令h′(t)＝0，得t＝1.當01時，h′(t)>0，h(t)單調遞增，所以h(t)min＝h(1)＝－2，即n－m的最小值為－2.
考向2已知函數的最值求參數
例5 已知函數f(x)＝ax＋＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值為2，則實數a的值是________．
答案　1或e
解析　因為f′(x)＝a－＋＝，x>0，當a≤0時，f′(x)<0，所以f(x)是(0，＋∞)上的減函數，函數f(x)無最小值，不符合題意；當a>0時，由f′(x)<0，得00，得x>，所以f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，函數f(x)的最小值為f＝1＋a＋(1－a)ln a，由1＋a＋(1－a)ln a＝2，得(a－1)(1－ln a)＝0，解得a＝1或e.綜上，a＝1或e.
【通性通法】
(1)由于參數的取值范圍不同會導致函數在所給區間上的單調性的變化，從而導致函數最值的變化，故函數含參數時，需注意是否需要分類討論．
(2)已知函數最值求參數，可先求出函數在給定區間上的極值及函數在區間端點處的函數值，通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值，結合已知求出參數，進而使問題得以解決．
【鞏固遷移】
5．已知函數y＝f(x)是定義域為R的奇函數，且當x<0時，f(x)＝x＋＋1.若函數y＝f(x)在[1，＋∞)上的最小值為3，則實數a的值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　因為y＝f(x)是定義域為R的奇函數，且當x<0時，f(x)＝x＋＋1.當x>0時，－x<0，則f(－x)＝－x－＋1＝－f(x)，所以當x>0時，f(x)＝x＋－1，此時f′(x)＝1－.當a≤1時，f′(x)＝1－≥0在[1，＋∞)上恒成立，函數f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，當x＝1時，函數f(x)取得最小值f(1)＝1＋a－1＝3，解得a＝3(舍去)；當a>1時，當x∈[1，]時，f′(x)≤0，函數f(x)單調遞減；當x∈[，＋∞)時，f′(x)≥0，函數f(x)單調遞增，故當x＝時，函數f(x)取得最小值f()＝2－1＝3，解得a＝4.綜上，a＝4.故選D.
考點三　生活中的優化問題
例6 (2023·山東煙臺高三上學期期末)某工廠擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形，該容器的體積為立方米，且l≥6r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分側面的建造費用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費用為m(m>2.25)千元．設該容器的建造費用為y千元．
(1)寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；
(2)求該容器的建造費用最小時的r.
解　(1)設該容器的體積為V，
則V＝πr2l＋πr3，
又V＝，所以l＝－r.
因為l≥6r，所以0所以建造費用y＝2πrl×＋3πr2m＝2πr×＋3πr2m，
因此y＝3π(m－1)r2＋，0(2)由(1)得y′＝6π(m－1)r－＝，0由于m>，所以m－1>0，
令r3－＝0，得r＝.
若<2，即m>6，當r∈時，y′<0，y(r)為減函數，當r∈時，y′>0，y(r)為增函數，此時r＝為函數y(r)的極小值點，也是最小值點．
若≥2，即綜上所述，當6時，建造費用最小時r＝.
【通性通法】
生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題，通過建立函數模型，用導數解決數學問題，得到優化問題的答案．
【鞏固遷移】
6．(2023·山東德州模擬)高鐵的快速發展給群眾出行帶來巨大便利，促進了區域經濟和社會發展．已知某條高鐵線路通車后，發車時間間隔t(單位：分鐘)滿足2≤t≤20，t∈N*.經測算，高鐵的載客量與發車時間間隔t相關：當10≤t≤20時，高鐵為滿載狀態，載客量為1200人；當2≤t<10時，載客量會在滿載基礎上減少，減少的人數與(10－t)2成正比，且發車時間間隔為5分鐘時的載客量為950人．設發車間隔為t分鐘時，高鐵載客量為P(t)人．
(1)求P(t)的表達式；
(2)若該線路發車時間間隔為t分鐘時的凈收益Q(t)＝P(t)－40t2＋660t－2048元，當發車時間間隔為多少時，單位時間的凈收益最大？最大為多少？
解　(1)當2≤t<10時，減少的人數與(10－t)2成正比，設比例系數為k，
所以P(t)＝1200－k(10－t)2，2≤t<10，
當t＝5時，P(5)＝950，
即1200－k(10－5)2＝950，
解得k＝10，
所以P(t)＝
(2)由題意可得
Q(t)＝
所以＝
令H(t)＝，當2≤t<10時，H′(t)＝－4t＋＝，
令H′(t)＝0，得t＝8.
當2≤t<8時，H′(t)>0，當8所以H(t)的最大值為H(8)＝316，
當10≤t≤20時，H′(t)＝－40＋<0，
所以H(t)的最大值為H(10)＝295.2，
因為295.2<316，所以當t＝8時，單位時間的凈收益最大，為316元．
綜上，當發車時間間隔為8分鐘時，單位時間的凈收益最大，為316元．
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第三節　導數與函數的極值、最值
課標解讀 考向預測
熟練掌握極值的概念、極值存在的必要條件和充分條件，能求函數的極值，能求閉區間上連續函數的最值，能求實際問題中的最值. 近三年高考題中利用導數求函數的極值和最值是必考的考點，預計2025年高考極值和最值問題在選擇題、填空題和解答題中都有可能出現，難度保持穩定或略有降低.
【知識梳理】
1．函數的極值
(1)函數的極小值
函數y＝f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，則a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．
(2)函數的極大值
函數y＝f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，則b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值．
2．函數的最大(小)值
(1)函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件
如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟
①求函數y＝f(x)在區間(a，b)上的極值；
②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
【常用結論】
1．對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．
2．若函數f(x)在開區間(a，b)內只有一個極值點，則該極值點一定是函數的最值點．
3．極值有可能是最值，但最值只要不在區間端點處取得，其必定是極值．
4．函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數的極小值一定是函數的最小值．(　　)
(2)函數的極小值一定不是函數的最大值．(　　)
(3)函數y＝f′(x)的零點是函數y＝f(x)的極值點．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第二冊5.3.2例5改編)函數f(x)＝2x－xln x的極值是(　　)
A． B．
C．e D．e2
(2)(北師大版選擇性必修第二冊7.2例5改編)若商品的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：百萬件)的函數關系式為y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產量為(　　)
A．1百萬件 B．2百萬件
C．3百萬件 D．4百萬件
(3)(2023·甘肅蘭州模擬)函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，以下命題錯誤的是(　　)
A．－3是函數y＝f(x)的極值點
B．－1是函數y＝f(x)的最小值點
C．y＝f(x)在(－3，1)上單調遞增
D．曲線y＝f(x)在x＝0處的切線的斜率大于零
【考點探究】
考點一　導數與函數的極值(多考向探究)
考向1根據函數圖象判斷極值(點)
例1 (多選)(2024·山東棗莊第十六中學高三上學期月考)如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，下列結論中正確的是(　　)
A．f(x)的單調遞增區間是(－1，2)，(4，＋∞)
B．x＝－1是f(x)的極小值點
C．f(x)在(2，4)上是減函數，在(－1，2)上是增函數
D．x＝2是f(x)的極小值點
【通性通法】
由圖象判斷函數y＝f(x)的極值的方法
由導函數y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數y＝f(x)的單調性．兩者結合可得極值點．
【鞏固遷移】
1．(2024·陜西西安長安區高三上學期月考)已知函數f(x)，其導函數f′(x)的圖象如圖所示，則(　　)
A．f(x)有2個極值點
B．f(x)在x＝1處取得極小值
C．f(x)有極大值，沒有極小值
D．f(x)在(－∞，1)上單調遞減
考向2求已知函數的極值(點)
例2　(多選)(2023·廣東饒平模擬)已知函數f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，則(　　)
A．－1是函數f(x)的極大值點
B．3是函數f(x)的極小值點
C．函數f(x)的極小值為－7
D．函數f(x)的極大值為25
【通性通法】
求函數f(x)極值的一般解題步驟
【鞏固遷移】
2．討論函數f(x)＝x－1＋的極值．
考向3已知函數的極值(點)求參數
例3 　(1)(2023·遼寧撫順重點高中六校協作體高三二模)已知函數f(x)＝ax3＋bx在x＝1處取得極大值4，則a－b＝(　　)
A．8 B．－8
C．2 D．－2
(2)(2024·江蘇南京師范大學附屬中學高三上學期開學測試)已知函數f(x)＝ex－x2－ax(a∈R)有兩個極值點，則實數a的取值范圍為________．
【通性通法】
已知函數的極值(點)求參數的方法
(1)對于可導函數y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點的必要條件，即當已知可導函數在某一點處取得極值時，該點處的導數值一定為零，據此可建立關于參數的方程進行求解，但應檢驗極值點兩側的導數是否異號．
(2)若函數f(x)在區間I上有極值點，則f′(x)在區間I上有變號的零點，亦即方程f′(x)＝0有滿足相應條件的實數根，從而可轉化為方程有解問題，也可轉化為直線與曲線的交點問題進行求解．
【鞏固遷移】
3．(多選)(2023·新課標Ⅱ卷)若函數f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有極大值也有極小值，則(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
考點二　導數與函數的最值(多考向探究)
考向1求已知函數的最值
例4 (2022·全國乙卷)函數f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區間[0，2π]的最小值、最大值分別為(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
【通性通法】
求函數最值的步驟
【鞏固遷移】
4．(2023·江蘇鎮江模擬)已知函數f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋ln x，若f(m)＝g(n)，則n－m的最小值為________．
考向2已知函數的最值求參數
例5 已知函數f(x)＝ax＋＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值為2，則實數a的值是________．
【通性通法】
(1)由于參數的取值范圍不同會導致函數在所給區間上的單調性的變化，從而導致函數最值的變化，故函數含參數時，需注意是否需要分類討論．
(2)已知函數最值求參數，可先求出函數在給定區間上的極值及函數在區間端點處的函數值，通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值，結合已知求出參數，進而使問題得以解決．
【鞏固遷移】
5．已知函數y＝f(x)是定義域為R的奇函數，且當x<0時，f(x)＝x＋＋1.若函數y＝f(x)在[1，＋∞)上的最小值為3，則實數a的值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考點三　生活中的優化問題
例6 (2023·山東煙臺高三上學期期末)某工廠擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形，該容器的體積為立方米，且l≥6r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分側面的建造費用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費用為m(m>2.25)千元．設該容器的建造費用為y千元．
(1)寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；
(2)求該容器的建造費用最小時的r.
【通性通法】
生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題，通過建立函數模型，用導數解決數學問題，得到優化問題的答案．
【鞏固遷移】
6．(2023·山東德州模擬)高鐵的快速發展給群眾出行帶來巨大便利，促進了區域經濟和社會發展．已知某條高鐵線路通車后，發車時間間隔t(單位：分鐘)滿足2≤t≤20，t∈N*.經測算，高鐵的載客量與發車時間間隔t相關：當10≤t≤20時，高鐵為滿載狀態，載客量為1200人；當2≤t<10時，載客量會在滿載基礎上減少，減少的人數與(10－t)2成正比，且發車時間間隔為5分鐘時的載客量為950人．設發車間隔為t分鐘時，高鐵載客量為P(t)人．
(1)求P(t)的表達式；
(2)若該線路發車時間間隔為t分鐘時的凈收益Q(t)＝P(t)－40t2＋660t－2048元，當發車時間間隔為多少時，單位時間的凈收益最大？最大為多少？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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