資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第一節(jié)　任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測
1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性. 3.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 從近幾年高考來看，本部分內(nèi)容高考較少直接考查，通常是與三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合考查，屬低檔題．預(yù)計2025年高考依然是與三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角恒等變換綜合考查.
【知識梳理】
1．角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形．
(2)分類
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.
(2)公式
角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝|α|r
扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函數(shù)
(1)設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
(2)定義的推廣
設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．
(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．
【常用結(jié)論】
1．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用．
2．象限角
3．軸線角
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．(　　)
(2)不相等的角終邊一定不相同．(　　)
(3)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．(　　)
(4)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A必修第一冊習(xí)題5.2 T12改編)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－1，2)，則tanα＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
(2)(人教B必修第三冊7.2.1例5改編)已知sinA>0且tanA<0，則角A的終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)(人教A必修第一冊習(xí)題5.1 T2改編)在0到2π范圍內(nèi)，與角－終邊相同的角是________．
(4)(人教A必修第一冊習(xí)題5.1 T9改編)已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________．
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　象限角與終邊相同的角
例1 (1)下列說法中，正確的是(　　)
A．第二象限角是鈍角
B．第二象限角必大于第一象限角
C．－150°是第二象限角
D．－252°16′，467°44′，1187°44′是終邊相同的角
(2)已知α與120°角的終邊關(guān)于x軸對稱，則是(　　)
A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
【通性通法】
1．象限角的判斷方法
(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．
(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．
2．確定kα，(k∈N*)的終邊位置的步驟
(1)用終邊相同的角的形式表示出角α的范圍．
(2)寫出kα或的范圍．
(3)根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置．
【鞏固遷移】
1．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　)
2．與－2024°角終邊相同的最小正角是________，最大負(fù)角是________．
考點(diǎn)二　扇形的弧長與面積公式
例2 已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l；
(2)已知扇形的周長為10 cm，面積為4 cm2，求扇形的圓心角；
(3)若扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
2.
【通性通法】
應(yīng)用弧度制解決問題的策略
策略一 在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形
策略二 求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．也可以通過“配湊”法利用基本不等式求最值
注意：利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
【鞏固遷移】
3．(2023·浙江名校聯(lián)考)如圖1是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展．如圖2是會徽的幾何圖形，設(shè)弧的長度是l1，弧的長度是l2，幾何圖形ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2，若＝2，則＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考點(diǎn)三　三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用(多考向探究)
考向1利用三角函數(shù)的定義求值
例3 (1)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，y)，且sinθ＝－，則tanθ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝－2x上，則2sinθcosθ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【通性通法】
用定義求三角函數(shù)值的策略
策略一 已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，先求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求角α的三角函數(shù)值
策略二 已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值．注意舍去增根
策略三 已知角α的終邊所在直線的方程，可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值
【鞏固遷移】
4．(多選)已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－2，－)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則下列說法正確的是(　　)
A．sinθ＝－
B．α為鈍角
C．cosα＝－
D．點(diǎn)(tanθ，sinα)在第一象限
考向2判斷三角函數(shù)值的符號
例4 (多選)(2023·福建福州華僑中學(xué)模擬)給出下列各三角函數(shù)值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos，其中符號為負(fù)的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
【通性通法】
判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號．
注意：不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．
【鞏固遷移】
5．若α為第二象限角，則cos2α，sin2α，tan中，其值必為正數(shù)的有(　　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
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第一節(jié)　任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測
1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性. 3.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 從近幾年高考來看，本部分內(nèi)容高考較少直接考查，通常是與三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合考查，屬低檔題．預(yù)計2025年高考依然是與三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角恒等變換綜合考查.
【知識梳理】
1．角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形．
(2)分類
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.
(2)公式
角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式 弧長l＝|α|r
扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函數(shù)
(1)設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
(2)定義的推廣
設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．
(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．
【常用結(jié)論】
1．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用．
2．象限角
3．軸線角
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．(　　)
(2)不相等的角終邊一定不相同．(　　)
(3)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．(　　)
(4)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A必修第一冊習(xí)題5.2 T12改編)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－1，2)，則tanα＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
答案　B
解析　由題意，得tanα＝＝－2.
(2)(人教B必修第三冊7.2.1例5改編)已知sinA>0且tanA<0，則角A的終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　因?yàn)閟inA>0，所以角A的終邊在第一、第二象限或與y軸的正半軸重合．因?yàn)閠anA<0，所以角A的終邊在第二或第四象限，所以角A的終邊在第二象限．
(3)(人教A必修第一冊習(xí)題5.1 T2改編)在0到2π范圍內(nèi)，與角－終邊相同的角是________．
答案　
解析　與角－終邊相同的角是2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，可得與角－終邊相同的角是.
(4)(人教A必修第一冊習(xí)題5.1 T9改編)已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________．
答案　12π
解析　∵α＝30°＝，l＝αr，∴r＝＝12，∴此扇形的面積S＝lr＝×2π×12＝12π.
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　象限角與終邊相同的角
例1 (1)下列說法中，正確的是(　　)
A．第二象限角是鈍角
B．第二象限角必大于第一象限角
C．－150°是第二象限角
D．－252°16′，467°44′，1187°44′是終邊相同的角
答案　D
解析　510°是第二象限角，但不是鈍角，故A錯誤；分別取第一象限角為730°，第二象限角為510°，此時第一象限角大于第二象限角，故B錯誤；－150°是第三象限角，故C錯誤；因?yàn)?67°44′＝－252°16′＋2×360°，1187°44′＝－252°16′＋4×360°，所以－252°16′，467°44′，1187°44′是終邊相同的角，故D正確．故選D.
(2)已知α與120°角的終邊關(guān)于x軸對稱，則是(　　)
A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
答案　A
解析　由α與120°角的終邊關(guān)于x軸對稱，可得α＝k·360°－120°，k∈Z，所以＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0，1可確定的終邊在第二或第四象限．故選A.
【通性通法】
1．象限角的判斷方法
(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．
(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．
2．確定kα，(k∈N*)的終邊位置的步驟
(1)用終邊相同的角的形式表示出角α的范圍．
(2)寫出kα或的范圍．
(3)根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置．
【鞏固遷移】
1．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　)
答案　C
解析　當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此時α表示的范圍與≤α≤表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此時α表示的范圍與π＋≤α≤π＋表示的范圍一樣．故選C.
2．與－2024°角終邊相同的最小正角是________，最大負(fù)角是________．
答案　136°　－224°
解析　∵－2024°＝－6×360°＋136°，∴－2024°角的終邊與136°角的終邊相同，∴－2024°角是第二象限角．與－2024°角終邊相同的最小正角是136°.又136°－360°＝－224°，故與－2024°角終邊相同的最大負(fù)角是－224°.
考點(diǎn)二　扇形的弧長與面積公式
例2 已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l；
(2)已知扇形的周長為10 cm，面積為4 cm2，求扇形的圓心角；
(3)若扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
解　(1)因?yàn)棣粒?0°＝，
所以l＝αR＝×10＝(cm)．
(2)由題意，得
解得(舍去)或
故扇形的圓心角為.
(3)由已知，得l＋2R＝20(cm)．
解法一：S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以當(dāng)R＝5 cm時，S取得最大值，且最大值為25 cm2，此時l＝10 cm，α＝2.
解法二：S＝lR＝l(2R)≤＝25，當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R＝10，即R＝5時，Smax＝25 cm2，此時α＝2.
【通性通法】
應(yīng)用弧度制解決問題的策略
策略一 在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形
策略二 求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．也可以通過“配湊”法利用基本不等式求最值
注意：利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
【鞏固遷移】
3．(2023·浙江名校聯(lián)考)如圖1是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展．如圖2是會徽的幾何圖形，設(shè)弧的長度是l1，弧的長度是l2，幾何圖形ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2，若＝2，則＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　設(shè)∠AOD＝θ，OA＝r1，OB＝r2，則l1＝θ×r1，l2＝θ×r2，又＝2，所以＝2，即B是OA的中點(diǎn)，所以S1＝θ(r－r)＝θr，S2＝θr，所以＝3.故選C.
考點(diǎn)三　三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用(多考向探究)
考向1利用三角函數(shù)的定義求值
例3 (1)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，y)，且sinθ＝－，則tanθ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　C
解析　因?yàn)辄c(diǎn)P(4，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離r＝＝，所以sinθ＝＝＝－，解得y＝－3或y＝3(舍去)，所以tanθ＝＝＝－.故選C.
(2)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝－2x上，則2sinθcosθ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　D
解析　在角θ的終邊所在的直線y＝－2x上任取一點(diǎn)P(a，－2a)(a≠0)，則r＝|OP|＝|a|.由三角函數(shù)的定義知sinθ＝，cosθ＝，故2sinθcosθ＝2··＝－.故選D.
【通性通法】
用定義求三角函數(shù)值的策略
策略一 已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，先求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求角α的三角函數(shù)值
策略二 已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值．注意舍去增根
策略三 已知角α的終邊所在直線的方程，可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值
【鞏固遷移】
4．(多選)已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－2，－)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則下列說法正確的是(　　)
A．sinθ＝－
B．α為鈍角
C．cosα＝－
D．點(diǎn)(tanθ，sinα)在第一象限
答案　ACD
解析　角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－2，－)，所以sinθ＝－，A正確；θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－2，)，α為第二象限角，不一定為鈍角，cosα＝－，B錯誤，C正確；因?yàn)閠anθ＝>0，sinα＝>0，所以點(diǎn)(tanθ，sinα)在第一象限，D正確．故選ACD.
考向2判斷三角函數(shù)值的符號
例4 (多選)(2023·福建福州華僑中學(xué)模擬)給出下列各三角函數(shù)值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos，其中符號為負(fù)的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
答案　ABC
解析　對于①，因?yàn)椋?80°<－100°<－90°，所以－100°是第三象限角，所以sin(－100°)<0；對于②，因?yàn)椋?70°<－220°<－180°，所以－220°是第二象限角，所以cos(－220°)<0；對于③，因?yàn)椋?－10<－3π，所以－10是第二象限角，所以tan(－10)<0；對于④，因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵詂os>0.所以符號為負(fù)的是①②③.故選ABC.
【通性通法】
判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號．
注意：不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．
【鞏固遷移】
5．若α為第二象限角，則cos2α，sin2α，tan中，其值必為正數(shù)的有(　　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
答案　B
解析　由題意知，2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，則4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的終邊在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸上，即sin2α<0，cos2α的值可正可負(fù)也可為零，又kπ＋<21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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