資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二節　同角三角函數的基本關系與誘導公式
課標解讀 考向預測
1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 2.能借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式，并會簡單應用. 從近幾年的高考來看，本部分內容主要考查利用同角三角函數的基本關系、誘導公式解決求值問題，常與三角恒等變換相結合，可起到化簡三角函數式的作用，預計2025年高考可能會與三角恒等變換結合考查.
【知識梳理】
1．同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商數關系：＝tanα．
2．三角函數的誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 α＋k·2π(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα
正切 tanα tanα －tanα －tanα — —
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
記憶規律 奇變偶不變，符號看象限
【常用結論】
1．和積互化變形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.
2．弦切互化變形：sin2α＝＝，cos2α＝＝，sinαcosα＝＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．(　　)
(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cosθ＝.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．小題熱身
(1)已知α為銳角，且sinα＝，則cos(π＋α)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　A
解析　因為α為銳角，所以cosα＝＝，故cos(π＋α)＝－cosα＝－.故選A.
(2)(人教B必修第三冊7.2.3練習B T2改編)已知tanα＝2，則＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　A
解析　原式＝＝＝.故選A.
(3)下列三角函數的值中(k∈Z)，與sin的值相同的個數是(　　)
①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　對于①，sin＝sin，當k為奇數時，sin＝sin；當k為偶數時，sin＝－sin，不滿足題意．對于②，cos＝cos＝sin，滿足題意．對于③，sin＝sin，滿足題意．對于④，cos＝cos＝－cos＝－sin，不滿足題意．對于⑤，sin＝sin＝sin，滿足題意．故選C.
(4)(人教A必修第一冊習題5.3 T5改編)化簡·cos(2π－α)的結果為________．
答案　sinα
解析　原式＝·cosα＝sinα.
【考點探究】
考點一　同角三角函數基本關系式的應用(多考向探究)
考向1“知一求二”問題
例1 已知角α的終邊在第三象限，且tanα＝2，則sinα－cosα＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
答案　C
解析　由角α的終邊在第三象限，則sinα<0，cosα<0，由題設知解得cosα＝－，sinα＝－，所以sinα－cosα＝－＋＝－.故選C.
【通性通法】
利用同角基本關系式“知一求二”的方法
注意：由一個角的任一三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，當利用“平方關系”公式求平方根時，會出現兩解，需根據角所在的象限判斷三角函數值的符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論．
【鞏固遷移】
1．(2024·廣東梅州模擬)已知cosα＝，且α為第四象限角，則tanα＝(　　)
A．－2 B．±2
C．± D．
答案　A
解析　∵α為第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－2.故選A.
考向2“弦切互化”問題
例2 已知tanθ＝2，則的值為(　　)
A． B．
C． D．2
答案　C
解析　由題意，得＝＝＝＝.故選C.
【通性通法】
若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數關系中的一類基本題型，形如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進行弦化切．
【鞏固遷移】
2．(2023·蘇州模擬)已知＝5，則cos2α＋sinαcosα＝(　　)
A． B．－
C．－3 D．3
答案　A
解析　由＝5，得＝5，可得tanα＝2，則cos2α＋sinαcosα＝＝＝.故選A.
考向3sinα±cosα，sinαcosα之間關系的應用
例3 (2023·廣東潮州模擬)已知答案　
解析　由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝，得2sinxcosx＝－，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，因為cosx，故sinx－cosx＝.
【通性通法】
“sinα±cosα，sinαcosα”關系的應用
sinα±cosα與sinαcosα通過平方關系聯系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.因此在解題時已知一個用方程思想可求另外兩個．
【鞏固遷移】
3．(2023·山東聊城模擬)已知α∈，且sinα＋cosα＝，則tanα的值為________．
答案?。?br/>解析　∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－，∴sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝＝(sinα－cosα)2，又sinαcosα<0，α∈，∴α∈，∴sinα<0，cosα>0，∴cosα－sinα＝，∴sinα＝－，cosα＝，∴tanα＝－.
考點二　誘導公式的應用
例4 (1)的值為(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　B
解析　原式＝＝＝－·＝－1.故選B.
(2)已知sin＝，其中α∈，則cos＝________．
答案?。?br/>解析　cos＝cos＝－sin＝－.
【通性通法】
1．利用誘導公式解題的一般思路
(1)化絕對值大的角為銳角；
(2)角中含有加減的整數倍時，用公式去掉的整數倍．
2．常見的互余和互補的角
(1)互余的角：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等；
(2)互補的角：＋θ與－θ；＋θ與－θ等．
【鞏固遷移】
4．(2024·湖南長郡中學高三質量檢測)已知f(α)＝，則f＝________．
答案　
解析　因為f(α)
＝
＝＝cosα，
所以f＝cos＝cos＝.
考點三　同角三角函數基本關系式與誘導公式的綜合應用
例5 (1)已知sin＝，且α∈，則cos的值為(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　C
解析　由sin＝sin＝sin＝，而α∈，∴－α∈，∴cos＝＝.故選C.
(2)(2023·遼寧葫蘆島模擬)若＝，則tanθ＝________．
答案?。?
解析　因為＝＝，所以＝，解得tanθ＝－3.
【通性通法】
利用誘導公式與同角三角函數基本關系解題的思路和要求
(1)思路：①分析結構特點，選擇恰當的公式；②利用公式化成同角三角函數；③整理得最簡形式．
(2)要求：①化簡過程是恒等變換；②結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值．
【鞏固遷移】
5．已知cos167°＝m，則tan193°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案　C
解析　tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－＝－，因為cos167°＝m，所以sin167°＝，所以tan193°＝－.故選C.
6．已知cosα＝－，且α∈，則＝________．
答案　
解析　∵cosα＝－，α∈，
∴sinα＝＝，∴
＝＝
＝＝.
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第二節　同角三角函數的基本關系與誘導公式
課標解讀 考向預測
1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 2.能借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式，并會簡單應用. 從近幾年的高考來看，本部分內容主要考查利用同角三角函數的基本關系、誘導公式解決求值問題，常與三角恒等變換相結合，可起到化簡三角函數式的作用，預計2025年高考可能會與三角恒等變換結合考查.
【知識梳理】
1．同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商數關系：＝tanα．
2．三角函數的誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 α＋k·2π(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα
正切 tanα tanα －tanα －tanα — —
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
記憶規律 奇變偶不變，符號看象限
【常用結論】
1．和積互化變形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.
2．弦切互化變形：sin2α＝＝，cos2α＝＝，sinαcosα＝＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．(　　)
(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cosθ＝.(　　)
2．小題熱身
(1)已知α為銳角，且sinα＝，則cos(π＋α)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(人教B必修第三冊7.2.3練習B T2改編)已知tanα＝2，則＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(3)下列三角函數的值中(k∈Z)，與sin的值相同的個數是(　　)
①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin.
A．1 B．2
C．3 D．4
(4)(人教A必修第一冊習題5.3 T5改編)化簡·cos(2π－α)的結果為________．
【考點探究】
考點一　同角三角函數基本關系式的應用(多考向探究)
考向1“知一求二”問題
例1 已知角α的終邊在第三象限，且tanα＝2，則sinα－cosα＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
【通性通法】
利用同角基本關系式“知一求二”的方法
注意：由一個角的任一三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，當利用“平方關系”公式求平方根時，會出現兩解，需根據角所在的象限判斷三角函數值的符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論．
【鞏固遷移】
1．(2024·廣東梅州模擬)已知cosα＝，且α為第四象限角，則tanα＝(　　)
A．－2 B．±2
C．± D．
考向2“弦切互化”問題
例2 已知tanθ＝2，則的值為(　　)
A． B．
C． D．2
【通性通法】
若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數關系中的一類基本題型，形如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進行弦化切．
【鞏固遷移】
2．(2023·蘇州模擬)已知＝5，則cos2α＋sinαcosα＝(　　)
A． B．－
C．－3 D．3
考向3sinα±cosα，sinαcosα之間關系的應用
例3 (2023·廣東潮州模擬)已知【通性通法】
“sinα±cosα，sinαcosα”關系的應用
sinα±cosα與sinαcosα通過平方關系聯系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.因此在解題時已知一個用方程思想可求另外兩個．
【鞏固遷移】
3．(2023·山東聊城模擬)已知α∈，且sinα＋cosα＝，則tanα的值為________．
考點二　誘導公式的應用
例4 (1)的值為(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)已知sin＝，其中α∈，則cos＝________．
【通性通法】
1．利用誘導公式解題的一般思路
(1)化絕對值大的角為銳角；
(2)角中含有加減的整數倍時，用公式去掉的整數倍．
2．常見的互余和互補的角
(1)互余的角：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等；
(2)互補的角：＋θ與－θ；＋θ與－θ等．
【鞏固遷移】
4．(2024·湖南長郡中學高三質量檢測)已知f(α)＝，則f＝________．
考點三　同角三角函數基本關系式與誘導公式的綜合應用
例5 (1)已知sin＝，且α∈，則cos的值為(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)(2023·遼寧葫蘆島模擬)若＝，則tanθ＝________．
【通性通法】
利用誘導公式與同角三角函數基本關系解題的思路和要求
(1)思路：①分析結構特點，選擇恰當的公式；②利用公式化成同角三角函數；③整理得最簡形式．
(2)要求：①化簡過程是恒等變換；②結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值．
【鞏固遷移】
5．已知cos167°＝m，則tan193°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
6．已知cosα＝－，且α∈，則＝________．
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