資源簡介

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第三節　三角恒等變換
課標解讀 考向預測
1.經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義. 2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系. 3.能運用公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶). 三角恒等變換是三角變換的工具，主要考查利用兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式進行三角函數式的化簡與求值，重在考查化簡、求值，公式的正用、逆用以及變形運用．預計2025年高考可能單獨考查，也可能與三角函數的圖象與性質、向量等知識綜合考查，應增強轉化與化歸思想的應用意識，選擇題、填空題、解答題均有可能出現，屬中、低檔難度.
【知識梳理】
1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ．
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝．
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．
(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
(3)公式T2α：tan2α＝．
3．輔助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.
【常用結論】
1．兩角和與差正切公式的變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1 tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1.
2．降冪公式：sinαcosα＝sin2α，cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
3．升冪公式：1－cosα＝2sin2，1＋cosα＝2cos2，1±sinα＝.
4．其他常用變形
sin2α＝＝，
cos2α＝＝，
tan＝＝.
5．半角公式
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±＝＝.
注：此公式不用死記硬背，可由二倍角公式推導而來．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)存在實數α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)
(2)當α是第一象限角時，sin＝.(　　)
(3)存在實數α，使tan2α＝2tanα.(　　)
2．小題熱身
(1)(多選)cosα－sinα化簡的結果可以是(　　)
A．cos B．2cos
C．sin D．2sin
(2)(人教A必修第一冊習題5.5 T4改編)已知sinα＝，cosα＝，則tan＝(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
(3)(人教B必修第三冊習題8－2B T3改編)已知θ∈且sinθ＝，則sin＝________，cos＝________．
(4)(人教A必修第一冊復習參考題5 T13改編)已知α為銳角，且(tan10°－)sinα＝－2cos40°，則α＝________．
第1課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
【考點探究】
考點一　和、差、倍角公式的簡單應用
例1 (1)(2024·海南海口模擬)若tanαtanβ＝2，則的值為(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
(2)(2024·九省聯考)已知θ∈，tan2θ＝－4tan，則＝(　　)
A． B．
C．1 D．
【通性通法】
直接利用和、差、倍角公式化簡求值的策略
策略一 記住公式的結構特征和符號變化規律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”
策略二 注意與同角三角函數基本關系、誘導公式的綜合應用
策略三 注意配方法、因式分解、整體代換思想的應用
【鞏固遷移】
1．(2024·安徽亳州模擬)已知sinα＝，α∈，若＝4，則tan(α＋β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．(2023·河北保定模擬)已知銳角θ滿足2cos2θ＝1＋sin2θ，則tanθ＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
考點二　和、差、倍角公式的逆用與變形用
例2 (1)(2023·湖北武漢模擬)sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝(　　)
A． B．
C． D．1
(2)(2024·廣西梧州模擬)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【通性通法】
公式逆用與變形用的技巧
(1)逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創造條件逆用公式．
(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，應注重公式的逆用和變形使用．
提醒：(1)公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關系．
(2)注意可借助常數的拼湊法，將分子、分母轉化為相同的代數式，從而達到約分的目的．
【鞏固遷移】
3．(2024·福建永安三中模擬)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值為(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．(2023·江蘇常州二模)已知sinα－cosα＝1，則sin的值為________．
5．tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝________．
考點三　角的變換
例3 (1)(2024·四川綿陽模擬)已知sin＝，則cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，則cos＝________．
【通性通法】
1．三角公式求值中變角的解題思路
思路一 當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式
思路二 當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”
2.常用的拆角、配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝＋，＝－，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，＋α＝－等．
【鞏固遷移】
6．(2023·山東煙臺模擬)已知tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，則tan(π－2α)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
7．已知0＜x＜，sin＝，則＝________．
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第三節　三角恒等變換
課標解讀 考向預測
1.經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義. 2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系. 3.能運用公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶). 三角恒等變換是三角變換的工具，主要考查利用兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式進行三角函數式的化簡與求值，重在考查化簡、求值，公式的正用、逆用以及變形運用．預計2025年高考可能單獨考查，也可能與三角函數的圖象與性質、向量等知識綜合考查，應增強轉化與化歸思想的應用意識，選擇題、填空題、解答題均有可能出現，屬中、低檔難度.
【知識梳理】
1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ．
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝．
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．
(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
(3)公式T2α：tan2α＝．
3．輔助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.
【常用結論】
1．兩角和與差正切公式的變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1 tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1.
2．降冪公式：sinαcosα＝sin2α，cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
3．升冪公式：1－cosα＝2sin2，1＋cosα＝2cos2，1±sinα＝.
4．其他常用變形
sin2α＝＝，
cos2α＝＝，
tan＝＝.
5．半角公式
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±＝＝.
注：此公式不用死記硬背，可由二倍角公式推導而來．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)存在實數α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)
(2)當α是第一象限角時，sin＝.(　　)
(3)存在實數α，使tan2α＝2tanα.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)(多選)cosα－sinα化簡的結果可以是(　　)
A．cos B．2cos
C．sin D．2sin
答案　BD
解析　cosα－sinα＝2＝2＝2cos＝2sin.故選BD.
(2)(人教A必修第一冊習題5.5 T4改編)已知sinα＝，cosα＝，則tan＝(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
答案　C
解析　∵sinα＝，cosα＝，∴tan＝＝－2.故選C.
(3)(人教B必修第三冊習題8－2B T3改編)已知θ∈且sinθ＝，則sin＝________，cos＝________．
答案　－　－　
解析　∵θ∈且sinθ＝，∴cosθ＝－，∈，∴sin＝－＝－，cos＝－＝－.
(4)(人教A必修第一冊復習參考題5 T13改編)已知α為銳角，且(tan10°－)sinα＝－2cos40°，則α＝________．
答案　80°
解析　因為(tan10°－)sinα＝－2cos40°，所以sinα＝＝＝＝＝cos10°＝sin80°，又α是銳角，所以α＝80°.
第1課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
【考點探究】
考點一　和、差、倍角公式的簡單應用
例1 (1)(2024·海南海口模擬)若tanαtanβ＝2，則的值為(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
答案　A
解析　由題意，得＝＝＝＝－3.故選A.
(2)(2024·九省聯考)已知θ∈，tan2θ＝－4tan，則＝(　　)
A． B．
C．1 D．
答案　A
解析　由θ∈，tan2θ＝－4tan，得＝，則－4(tanθ＋1)2＝2tanθ，則(2tanθ＋1)(tanθ＋2)＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－，因為θ∈，所以tanθ∈(－1，0)，所以tanθ＝－，則＝＝＝＝.故選A.
【通性通法】
直接利用和、差、倍角公式化簡求值的策略
策略一 記住公式的結構特征和符號變化規律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”
策略二 注意與同角三角函數基本關系、誘導公式的綜合應用
策略三 注意配方法、因式分解、整體代換思想的應用
【鞏固遷移】
1．(2024·安徽亳州模擬)已知sinα＝，α∈，若＝4，則tan(α＋β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　C
解析　因為sinα＝，α∈，所以cosα＝－＝－，tanα＝＝－，因為＝＝sinα＋cosαtanβ＝－tanβ＝4，所以tanβ＝－，所以tan(α＋β)＝＝＝.故選C.
2．(2023·河北保定模擬)已知銳角θ滿足2cos2θ＝1＋sin2θ，則tanθ＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
答案　A
解析　∵2cos2θ＝1＋sin2θ，∴2(cos2θ－sin2θ)＝(sinθ＋cosθ)2，即2(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)＝(sinθ＋cosθ)2，又θ為銳角，∴sinθ＋cosθ>0，∴2(cosθ－sinθ)＝sinθ＋cosθ，即cosθ＝3sinθ，∴tanθ＝.故選A.
考點二　和、差、倍角公式的逆用與變形用
例2 (1)(2023·湖北武漢模擬)sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝(　　)
A． B．
C． D．1
答案　B
解析　sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝sin(180°－71°)cos(360°－64°)＋cos71°sin64°＝sin71°cos64°＋cos71°sin64°＝sin(71°＋64°)＝sin135°＝.故選B.
(2)(2024·廣西梧州模擬)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　A
解析　因為＝＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.故選A.
【通性通法】
公式逆用與變形用的技巧
(1)逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創造條件逆用公式．
(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，應注重公式的逆用和變形使用．
提醒：(1)公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關系．
(2)注意可借助常數的拼湊法，將分子、分母轉化為相同的代數式，從而達到約分的目的．
【鞏固遷移】
3．(2024·福建永安三中模擬)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值為(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　B
解析　由兩角差的余弦公式，得cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝.故選B.
4．(2023·江蘇常州二模)已知sinα－cosα＝1，則sin的值為________．
答案　
解析　已知sinα－cosα＝1，則2＝2sin＝1，所以sin＝，令β＝α－，則α＝β＋，即sinβ＝，所以sin＝sin＝sin＝cos2β＝1－2sin2β＝.
5．tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝________．
答案　
解析　tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－tan50°tan20°＝＋tan50°tan20°－tan50°tan20°＝.
考點三　角的變換
例3 (1)(2024·四川綿陽模擬)已知sin＝，則cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　A
解析　cos＝cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－.故選A.
(2)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，則cos＝________．
答案　－
解析　因為α，β∈，所以<α＋β<2π，<β－<，因為sin(α＋β)＝－，sin＝，所以cos(α＋β)＝，cos＝－，所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.
【通性通法】
1．三角公式求值中變角的解題思路
思路一 當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式
思路二 當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”
2.常用的拆角、配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝＋，＝－，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，＋α＝－等．
【鞏固遷移】
6．(2023·山東煙臺模擬)已知tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，則tan(π－2α)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　B
解析　∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴tan2α＝＝＝1.又tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan(π－2α)＝－1.故選B.
7．已知0＜x＜，sin＝，則＝________．
答案　
解析　＝＝(cosx＋sinx)＝2cos.由0＜x＜得0＜－x＜，∴cos＝＝＝，所以原式＝2×＝.
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