資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第四節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.能畫(huà)出三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的圖象. 2.了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上，正切函數(shù)在上的性質(zhì). 從近幾年的高考來(lái)看，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，預(yù)計(jì)2025年高考對(duì)于三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查會(huì)與三角恒等變換結(jié)合，以選擇題或填空題為主，難度中等.
【知識(shí)梳理】
1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù) y＝sinx y＝cosx y＝tanx
圖象
定義域 R R (k∈Z)
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
單調(diào)遞增區(qū)間 (k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) (k∈Z)
單調(diào)遞減區(qū)間 (k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) —
對(duì)稱中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
對(duì)稱軸方程 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) —
【常用結(jié)論】
1．正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期．正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期．
2．三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
3．對(duì)于y＝tanx不能認(rèn)為其在定義域上是增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù)．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)y＝sinx在第一、第四象限單調(diào)遞增．(　　)
(2)正切函數(shù)y＝tanx在定義域上是增函數(shù)．(　　)
(3)由sin＝sin，知是正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)的一個(gè)周期．(　　)
(4)余弦曲線的對(duì)稱軸是y軸．(　　)
(5)函數(shù)y＝cos|x|和y＝cosx周期相同．(　　)
2．小題熱身
(1)若函數(shù)y＝2sin2x－1的最小正周期為T(mén)，最大值為A，則(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
(2)(人教B必修第三冊(cè)7.3.4例1改編)函數(shù)y＝3tan的定義域是________．
(3)(人教A必修第一冊(cè)5.4.2練習(xí)T3改編)函數(shù)y＝4sinx在[－π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
(4)(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題5.4 T4改編)函數(shù)y＝3－2cos的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)x＝________．
第1課時(shí)　三角函數(shù)的單調(diào)性與最值
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　三角函數(shù)的定義域
例1 函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)開(kāi)_______．
【通性通法】
求三角函數(shù)的定義域，實(shí)際上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象，對(duì)于有限集、無(wú)限集求交集可借助數(shù)軸．
【鞏固遷移】
1．函數(shù)f(x)＝ln (cosx)的定義域?yàn)?　　)
A．，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
考點(diǎn)二　三角函數(shù)的單調(diào)性(多考向探究)
考向1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2 函數(shù)f(x)＝sin在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．
【通性通法】
已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間的方法
代換法 將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解
圖象法 畫(huà)出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【鞏固遷移】
2．(2022·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，則(　　)
A．f(x)在上單調(diào)遞減
B．f(x)在上單調(diào)遞增
C．f(x)在上單調(diào)遞減
D．f(x)在上單調(diào)遞增
考向2已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
例3 已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　)
A．(0，2] B．
C． D．
【通性通法】
已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的三種方法
子集法 求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是該區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
反子集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
周期性法 由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過(guò)個(gè)周期列不等式(組)求解
注意：“函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)”與“函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為N”兩者的含義不同，M是N的子集．
【鞏固遷移】
3．若函數(shù)f(x)＝3sin－2在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的最大值是________．
4．(2024·河北石家莊二中模擬)已知函數(shù)y＝3tanωx＋1在上是減函數(shù)，則ω的取值范圍是________．
考點(diǎn)三　三角函數(shù)的最值(值域)
例4 (1)(2023·遼寧沈陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)＝2cosx－cos2x的最小值為(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)(2024·福建龍巖質(zhì)檢)函數(shù)y＝sinx－cos的值域?yàn)開(kāi)_______．
【通性通法】
求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)的幾種類(lèi)型
類(lèi)型一 形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)
類(lèi)型二 形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)
類(lèi)型三 形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)
【鞏固遷移】
5．函數(shù)y＝2sinxcosx＋sinx－cosx＋2的最大值為(　　)
A． B．3
C． D．4
6．(2024·江蘇常州模擬)函數(shù)y＝，x∈的值域?yàn)開(kāi)_______．
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第四節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.能畫(huà)出三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的圖象. 2.了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上，正切函數(shù)在上的性質(zhì). 從近幾年的高考來(lái)看，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，預(yù)計(jì)2025年高考對(duì)于三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查會(huì)與三角恒等變換結(jié)合，以選擇題或填空題為主，難度中等.
【知識(shí)梳理】
1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù) y＝sinx y＝cosx y＝tanx
圖象
定義域 R R (k∈Z)
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
單調(diào)遞增區(qū)間 (k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) (k∈Z)
單調(diào)遞減區(qū)間 (k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) —
對(duì)稱中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
對(duì)稱軸方程 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) —
【常用結(jié)論】
1．正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期．正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期．
2．三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
3．對(duì)于y＝tanx不能認(rèn)為其在定義域上是增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù)．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)y＝sinx在第一、第四象限單調(diào)遞增．(　　)
(2)正切函數(shù)y＝tanx在定義域上是增函數(shù)．(　　)
(3)由sin＝sin，知是正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)的一個(gè)周期．(　　)
(4)余弦曲線的對(duì)稱軸是y軸．(　　)
(5)函數(shù)y＝cos|x|和y＝cosx周期相同．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．小題熱身
(1)若函數(shù)y＝2sin2x－1的最小正周期為T(mén)，最大值為A，則(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案　A
解析　T＝＝π，A＝2－1＝1.故選A.
(2)(人教B必修第三冊(cè)7.3.4例1改編)函數(shù)y＝3tan的定義域是________．
答案　
解析　要使函數(shù)有意義，則2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋，k∈Z，所以函數(shù)的定義域?yàn)?
(3)(人教A必修第一冊(cè)5.4.2練習(xí)T3改編)函數(shù)y＝4sinx在[－π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
答案　和
(4)(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題5.4 T4改編)函數(shù)y＝3－2cos的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)x＝________．
答案　5　＋2kπ(k∈Z)
解析　函數(shù)y＝3－2cos的最大值為3＋2＝5，此時(shí)x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
第1課時(shí)　三角函數(shù)的單調(diào)性與最值
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　三角函數(shù)的定義域
例1 函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)開(kāi)_______．
答案　(－4，－π]∪[0，π]
解析　因?yàn)閒(x)＝＋，所以解得對(duì)于2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，0≤x≤π；當(dāng)k＝1時(shí)，2π≤x≤3π；當(dāng)k＝－1時(shí)，－2π≤x≤－π；當(dāng)k＝－2時(shí)，－4π≤x≤－3π，所以－4【通性通法】
求三角函數(shù)的定義域，實(shí)際上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象，對(duì)于有限集、無(wú)限集求交集可借助數(shù)軸．
【鞏固遷移】
1．函數(shù)f(x)＝ln (cosx)的定義域?yàn)?　　)
A．，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
答案　C
解析　由題意知cosx＞0，∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋琸∈Z.故選C.
考點(diǎn)二　三角函數(shù)的單調(diào)性(多考向探究)
考向1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2 函數(shù)f(x)＝sin在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．
答案　和
解析　f(x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．令A(yù)＝，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B＝∪，∴f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為和.
【通性通法】
已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間的方法
代換法 將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解
圖象法 畫(huà)出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【鞏固遷移】
2．(2022·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，則(　　)
A．f(x)在上單調(diào)遞減
B．f(x)在上單調(diào)遞增
C．f(x)在上單調(diào)遞減
D．f(x)在上單調(diào)遞增
答案　C
解析　因?yàn)閒(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.對(duì)于A，當(dāng)－考向2已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
例3 已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　)
A．(0，2] B．
C． D．
答案　D
解析　解法一(子集法)：由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z，因?yàn)閒(x)＝sin在上單調(diào)遞減，所以解得
因?yàn)閗∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以≤ω≤.故選D.
解法二(反子集法)：∵x∈，∴ωx＋∈.∵f(x)在上單調(diào)遞減，∴解得
又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此時(shí)≤ω≤.故選D.
【通性通法】
已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的三種方法
子集法 求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是該區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
反子集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
周期性法 由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過(guò)個(gè)周期列不等式(組)求解
注意：“函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)”與“函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為N”兩者的含義不同，M是N的子集．
【鞏固遷移】
3．若函數(shù)f(x)＝3sin－2在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的最大值是________．
答案　
解析　解法一：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以實(shí)數(shù)a的最大值是.
解法二：因?yàn)椤躼≤a，所以＋≤x＋≤a＋，又f(x)在區(qū)間上單調(diào)，所以＋4．(2024·河北石家莊二中模擬)已知函數(shù)y＝3tanωx＋1在上是減函數(shù)，則ω的取值范圍是________．
答案　
解析　∵函數(shù)y＝3tanωx＋1在上是減函數(shù)，∴ω<0，所求函數(shù)可化為y＝－3tan(－ωx)＋1，∴－ω×≥－且－ω×≤，∴ω≥－，又ω<0，∴－≤ω<0.
考點(diǎn)三　三角函數(shù)的最值(值域)
例4 (1)(2023·遼寧沈陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)＝2cosx－cos2x的最小值為(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
答案　B
解析　因?yàn)閒(x)＝2cosx－cos2x，所以f(x)＝－2cos2x＋2cosx＋1，令t＝cosx，t∈[－1，1]，所以函數(shù)f(x)＝2cosx－cos2x等價(jià)于y＝－2t2＋2t＋1，t∈[－1，1]，又y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，t∈[－1，1]，當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－3，即函數(shù)f(x)＝2cosx－cos2x的最小值為－3.
(2)(2024·福建龍巖質(zhì)檢)函數(shù)y＝sinx－cos的值域?yàn)開(kāi)_______．
答案　[－，]
解析　∵y＝sinx－cos＝sinx－·cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin，∴函數(shù)y＝sinx－cos的值域?yàn)閇－，]．
【通性通法】
求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)的幾種類(lèi)型
類(lèi)型一 形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)
類(lèi)型二 形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)
類(lèi)型三 形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)
【鞏固遷移】
5．函數(shù)y＝2sinxcosx＋sinx－cosx＋2的最大值為(　　)
A． B．3
C． D．4
答案　C
解析　設(shè)t＝sinx－cosx＝2sin∈[－2，2]，則2sinxcosx＝1－，則原函數(shù)可化為y＝1－＋t＋2＝－＋t＋3＝－(t－1)2＋，t∈[－2，2]，所以當(dāng)t＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值.
6．(2024·江蘇常州模擬)函數(shù)y＝，x∈的值域?yàn)開(kāi)_______．
答案　(－1，1)
解析　因?yàn)閥＝，x∈，所以tanx∈(－∞，0)，令t＝tanx，則t∈(－∞，0)，所以y＝＝－1＋，因?yàn)閠∈(－∞，0)，所以t－1∈(－∞，－1)，∈(－1，0)，∈(0，2)，－1＋∈(－1，1)，即y∈(－1，1)．
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