資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第六節　余弦定理、正弦定理
課標解讀 考向預測
1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題. 從近幾年的高考來看，正弦定理、余弦定理是高考的熱點，預計2025年高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形為主，題型靈活呈現，中檔難度；也可能融合在其他考點里面，不單獨呈現.
【知識梳理】
1．余弦定理、正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC ＝＝＝2R
常見變形 cosA＝； cosB＝； cosC＝ (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsinA bsinA< ab a≤b
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝aha(ha表示a邊上的高)．
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內切圓半徑)．
【常用結論】
在△ABC中，常有以下結論：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
(3)a>b A>B sinA>sinB，cosA(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.
(5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.(　　)
(2)當b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．(　　)
(3)在△ABC中，已知a，b，A，則三角形有唯一解．(　　)
(4)在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝1∶2∶3.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．小題熱身
(1)(人教B必修第四冊第九章小結復習題A組T2改編)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，則角A的大小為(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　因為b2＋c2＝a2＋bc，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝，因為0(2)(人教A必修第二冊復習參考題6 T11改編)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，則a的值為(　　)
A．2 B．1
C． D．
答案　B
解析　因為在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，所以由正弦定理可得＝，即a＝·sinA＝×sin30°＝×＝1.
(3)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，B＝30°，則此三角形(　　)
A．有一解 B．有兩解
C．無解 D．無法判斷有幾解
答案　A
解析　在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝30°，由正弦定理，得sinA＝＝＝，而a(4)在△ABC中，若a＝7，b＝5，c＝3，則A＝________．
答案　120°
解析　由余弦定理，得cosA＝＝－.又0°(5)在△ABC中，角A，B，C滿足sinAcosC－sinBcosC＝0，則此三角形的形狀為________．
答案　直角三角形或等腰三角形
解析　由已知，得cosC(sinA－sinB)＝0，所以cosC＝0或sinA＝sinB，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形．
【考點探究】
考點一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (2024·江西紅色十校聯考)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosA＝bsinB＋csinC－2csinBcosA.
(1)求A；
(2)若a＝，sinB＝，求b和c.
解　(1)設△ABC外接圓的半徑為R，
因為acosA＝bsinB＋csinC－2csinBcosA，
所以由正弦定理＝＝＝2R，得
a·2RcosA＝b2＋c2－2bccosA，
結合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得
a·2RcosA＝a2，因為a≠0，
所以2RcosA＝a＝2RsinA，所以cosA＝sinA，
因為A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)知A＝，所以2R＝＝2，
所以b＝2RsinB＝2×＝，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得2＝＋c2－2×c×，即2c2－2c－3＝0，
解得c＝或c＝(舍去)．
綜上，b＝，c＝.
【通性通法】
應用正弦、余弦定理的解題技巧
求邊 利用正弦定理變形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA等求解
求角 利用正弦定理變形公式sinA＝等或余弦定理變形公式cosA＝等求解
利用式子的特點轉化 如出現a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理
【鞏固遷移】
1．(2023·廣東東莞一模)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求角C的大小．
解　(1)由已知及正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由正弦定理可知＝，
又a＝2，b＝2，A＝，
所以sinB＝因為A＋B＋C＝π，所以C＝.
考點二　　利用正、余弦定理判斷三角形的形狀
例2 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝7，b＝8，從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，判斷△ABC是否為鈍角三角形，并說明理由．
①cosC＝；②cosB＝.
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．
解　若選①，在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝72＋82－2×7×8×＝9，所以c＝3.
因為c＜a＜b，所以B是△ABC的最大角．
在△ABC中，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得cosB＝＝＝－＜0，所以B是鈍角，
所以△ABC是鈍角三角形．
若選②，
解法一：在△ABC中，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得82＝72＋c2－2×7c×，
化簡，得(c－5)(c＋3)＝0，
解得c＝5或c＝－3(舍去)，
因為c＜a＜b，所以B是△ABC的最大角．
因為cosB＝＞0，所以B是銳角，
所以△ABC不是鈍角三角形．
解法二：在△ABC中，因為cosB＝，
所以sinB＝＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，
得sinA＝＝＝.
因為cosB＝＞0，所以B是銳角．
又a＜b，所以A＜B，所以A是銳角．
因為sinA＝，所以cosA＝＝，
所以cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝×－×＝＞0，所以C是銳角．
綜上，△ABC不是鈍角三角形．
【通性通法】
1．判斷三角形形狀的兩種常用途徑
2．判斷三角形的形狀的注意點
在判斷三角形的形狀時一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數值的影響，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．
【鞏固遷移】
2．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為(　　)
A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案　A
解析　由sin2＝，得＝，
即cosB＝.
解法一：由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等．
解法二：由正弦定理得cosB＝，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又C為三角形的內角，所以C＝，所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等．
考點三　正、余弦定理的綜合應用(多考向探究)
考向1三角形的周長、面積問題
例3 (2023·全國甲卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝2.
(1)求bc；
(2)若－＝1，求△ABC的面積．
解　(1)因為a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以＝＝2bc＝2，
解得bc＝1.
(2)由正弦定理可得－＝
－＝－＝＝1，
變形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sinB，
即－2cosAsinB＝sinB，
而0＜sinB≤1，所以cosA＝－，
又0＜A＜π，所以sinA＝，
故S△ABC＝bcsinA＝×1×＝.
【通性通法】
與三角形面積有關問題的解題策略
策略一 利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積
策略二 把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量
【鞏固遷移】
3．(2022·全國乙卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．
(1)證明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周長．
解　(1)證明：已知sinCsin(A－B)＝sinB·sin(C－A)，
可化簡為sinCsinAcosB－sinCcosAsinB
＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA.
由正弦定理可得
accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，
即accosB＝2bccosA－abcosC.
由余弦定理可得ac·＝2bc·－ab·，即2a2＝b2＋c2.
(2)由(1)可知b2＋c2＝2a2＝50，
cosA＝＝＝＝.
∴2bc＝31.
∵b2＋c2＋2bc＝(b＋c)2＝81，
∴b＋c＝9，∴a＋b＋c＝14.
∴△ABC的周長為14.
考向2三角形中的最值、范圍問題
例4 (2023·內蒙古呼倫貝爾模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinCcos＝sin.
(1)當B＝時，求sinC＋sinA的值；
(2)求B的最大值．
解　(1)由題意，得
sinCcos＝sin，
即sinC＋cosC＝，
則sinC＋sinA＝sinC＋sin＝sinC＋cosC＝＝1.
(2)sinCcos＝sin，兩邊同乘以2cos，
得2sinCcos2＝·2sincos，
即sinC(1＋cosB)＝sinB，
整理，得sinC＋sinA＝sinB.
由正弦定理，得a＋c＝b.
由余弦定理，得
cosB＝＝＝－1.
因為ac≤＝b2，當且僅當a＝c時等號成立，所以cosB＝－1≥－，
由于B∈(0，π)，而y＝cosx在(0，π)上單調遞減，故B的最大值為.
【通性通法】
解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：一是將問題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將問題用三角形某一個角的三角函數表示，結合角的范圍確定最值或范圍．
【鞏固遷移】
4．(2024·山東青島模擬)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccosC.
(1)求C；
(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．
解　(1)因為acosB＋bcosA＝2ccosC，
所以由正弦定理，得
sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，
即sin(A＋B)＝2sinCcosC，
因為A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，
因為0所以cosC＝，所以C＝.
(2)由(1)，知C＝，A＝－B，
因為△ABC為銳角三角形，所以0由正弦定理，得＝＝＝＝＋，
因為，
所以∈.
考向3利用正、余弦定理解決平面幾何問題
例5 如圖，在圓內接△ABC中，∠CAB，∠ABC，∠ACB所對的邊分別為a，b，c，且acos∠ACB＋ccos∠CAB＝2bcos∠ABC.
(1)求∠ABC的大小；
(2)若點D是劣弧AC上一點，a＝2，c＝3，sin∠CAD＝，求線段AD的長．
解　(1)由題意知sin∠CABcos∠ACB＋sin∠ACBcos∠CAB＝2sin∠ABCcos∠ABC，
∴sin(∠CAB＋∠ACB)＝sin∠ABC
＝2sin∠ABCcos∠ABC，
∵0＜∠ABC＜π，∴sin∠ABC＞0，
∴cos∠ABC＝，∴∠ABC＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理可得AC＝＝，
由∠ABC＝，得∠ADC＝，
故∠ACD＝－∠CAD.
由sin∠CAD＝，且∠CAD為銳角，
得cos∠CAD＝＝，
sin∠ACD＝sin＝×－×＝，
在△ADC中，由正弦定理可得＝，
∴AD＝1.
【通性通法】
平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值等問題，通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之可得，若研究最值，常使用函數或基本不等式．
【鞏固遷移】
5．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC.
(1)證明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.
解　(1)證明：設△ABC外接圓的半徑為R，
由正弦定理，得sin∠ABC＝，sinC＝，
因為BDsin∠ABC＝asinC，
所以BD·＝a·，即BD·b＝ac.
又因為b2＝ac，所以BD＝b.
(2)解法一：因為BD＝b，AD＝2DC，
所以AD＝，CD＝b，如圖，
在△ABC中，cosC＝，①
在△BCD中，cosC＝.②
由①②，得a2＋b2－c2＝3，
整理，得2a2－b2＋c2＝0.
又因為b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，解得a＝或a＝，
當a＝時，b2＝ac＝，a＋b＝＋當a＝時，b2＝ac＝，
cos∠ABC＝＝，
所以cos∠ABC＝.
解法二：由(1)，知BD＝b＝AC，由AD＝2DC，
得AD＝b，CD＝b.
在△ADB中，由正弦定理，
得＝.
因為S△ABD＝S△ABC，
所以×b2sin∠ADB＝×acsin∠ABC.
又b2＝ac，所以sin∠ADB＝sin∠ABC.
所以∠ADB＋∠ABC＝π或∠ADB＝∠ABC，
所以∠CBD＝∠A或∠ABD＝∠C，
當∠CBD＝∠A時，因為＝，
所以＝，化簡，得sinC＝3sinA.
在△ABC中，由正弦定理，知c＝3a.
又b2＝ac＝3a2，
所以cos∠ABC＝＝＝＞1(舍去)；
當∠ABD＝∠C時，因為＝，
所以＝，化簡，得sinC＝sinA.
在△ABC中，由正弦定理，知c＝a.
又b2＝ac＝a2，
所以cos∠ABC＝＝＝.
故cos∠ABC＝.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
第六節　余弦定理、正弦定理
課標解讀 考向預測
1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題. 從近幾年的高考來看，正弦定理、余弦定理是高考的熱點，預計2025年高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形為主，題型靈活呈現，中檔難度；也可能融合在其他考點里面，不單獨呈現.
【知識梳理】
1．余弦定理、正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC ＝＝＝2R
常見變形 cosA＝； cosB＝； cosC＝ (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsinA bsinA< ab a≤b
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝aha(ha表示a邊上的高)．
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內切圓半徑)．
【常用結論】
在△ABC中，常有以下結論：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
(3)a>b A>B sinA>sinB，cosA(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.
(5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.(　　)
(2)當b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．(　　)
(3)在△ABC中，已知a，b，A，則三角形有唯一解．(　　)
(4)在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝1∶2∶3.(　　)
2．小題熱身
(1)(人教B必修第四冊第九章小結復習題A組T2改編)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，則角A的大小為(　　)
A． B．
C． D．
(2)(人教A必修第二冊復習參考題6 T11改編)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，則a的值為(　　)
A．2 B．1
C． D．
(3)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，B＝30°，則此三角形(　　)
A．有一解 B．有兩解
C．無解 D．無法判斷有幾解
(4)在△ABC中，若a＝7，b＝5，c＝3，則A＝________．
(5)在△ABC中，角A，B，C滿足sinAcosC－sinBcosC＝0，則此三角形的形狀為________．
【考點探究】
考點一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (2024·江西紅色十校聯考)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosA＝bsinB＋csinC－2csinBcosA.
(1)求A；
(2)若a＝，sinB＝，求b和c.
【通性通法】
應用正弦、余弦定理的解題技巧
求邊 利用正弦定理變形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA等求解
求角 利用正弦定理變形公式sinA＝等或余弦定理變形公式cosA＝等求解
利用式子的特點轉化 如出現a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理
【鞏固遷移】
1．(2023·廣東東莞一模)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求角C的大小．
考點二　　利用正、余弦定理判斷三角形的形狀
例2 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝7，b＝8，從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，判斷△ABC是否為鈍角三角形，并說明理由．
①cosC＝；②cosB＝.
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．
【通性通法】
1．判斷三角形形狀的兩種常用途徑
2．判斷三角形的形狀的注意點
在判斷三角形的形狀時一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數值的影響，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．
【鞏固遷移】
2．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為(　　)
A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形即cosB＝.
考點三　正、余弦定理的綜合應用(多考向探究)
考向1三角形的周長、面積問題
例3 (2023·全國甲卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝2.
(1)求bc；
(2)若－＝1，求△ABC的面積．
【通性通法】
與三角形面積有關問題的解題策略
策略一 利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積
策略二 把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量
【鞏固遷移】
3．(2022·全國乙卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．
(1)證明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周長．
考向2三角形中的最值、范圍問題
例4 (2023·內蒙古呼倫貝爾模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinCcos＝sin.
(1)當B＝時，求sinC＋sinA的值；
(2)求B的最大值．
【通性通法】
解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：一是將問題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將問題用三角形某一個角的三角函數表示，結合角的范圍確定最值或范圍．
【鞏固遷移】
4．(2024·山東青島模擬)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccosC.
(1)求C；
(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．
考向3利用正、余弦定理解決平面幾何問題
例5 如圖，在圓內接△ABC中，∠CAB，∠ABC，∠ACB所對的邊分別為a，b，c，且acos∠ACB＋ccos∠CAB＝2bcos∠ABC.
(1)求∠ABC的大小；
(2)若點D是劣弧AC上一點，a＝2，c＝3，sin∠CAD＝，求線段AD的長．
【通性通法】
平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值等問題，通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之可得，若研究最值，常使用函數或基本不等式．
【鞏固遷移】
5．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC.
(1)證明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑