資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第七節　余弦定理、正弦定理應用舉例
課標解讀 考向預測
1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題. 2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題. 3.通過解決實際問題，培養學生的數學建模、直觀想象和數學運算素養. 預計2025年高考，以利用正弦定理、余弦定理測量距離、高度、角度等實際問題為主，常與三角恒等變換、三角函數的性質結合考查，題型主要為選擇題和填空題，中檔難度.
【知識梳理】
測量中的幾個有關術語
術語名稱 術語意義 圖形表示
仰角與俯角 在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角
方位角 從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α (1)北偏東α： (2)南偏西α：
坡角與坡比 坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθ
【常用結論】
解三角形應用問題的步驟：
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)東南方向與南偏東45°方向相同．(　　)
(2)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＝β.(　　)
(3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系．(　　)
(4)俯角是鉛垂線與目標視線所成的角，其范圍為.(　　)
(5)在方向角中，始邊一定是南或北，旋轉方向一定是順時針．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2．小題熱身
(1)如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點間的距離為(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
答案　A
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝＝＝50(m)．故選A.
(2)(人教A必修第二冊6.4.3例10改編)如圖所示，為測量某樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點之間的距離為60 m，則樹的高度為(　　)
A．(30＋30) m B．(15＋30) m
C．(30＋15) m D．(15＋15) m
答案　A
解析　在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝×－×＝，由正弦定理得PB＝＝＝30(＋)，所以該樹的高度為30(＋)sin45°＝30＋30(m)．故選A.
(3)如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區的一個出入口，且小區里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2 min，從D沿著DC走到C用了3 min.若此人步行的速度為每分鐘50 m，則該扇形的半徑為________ m.
答案　50
解析　連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，解得OC＝50.則該扇形的半徑為50 m.
【考點探究】
考點一　測量距離問題
例1 (2024·重慶模擬)一個騎行愛好者從A地出發，向西騎行了2 km到達B地，然后再由B地向北偏西60°騎行了2 km到達C地，再從C地向南偏西30°騎行了5 km到達D地，則A地到D地的直線距離是(　　)
A．8 km B．3 km
C．3 km D．5 km
答案　B
解析　如圖，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依題意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC＝＝＝2，由正弦定理得sin∠ACB＝＝，在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)＝－sin∠ACB＝－，由余弦定理得AD＝＝＝3.所以A地到D地的直線距離是3 km.故選B.
【通性通法】
距離問題的類型及解法
(1)類型：①兩點間既不可達也不可視；②兩點間可視但不可達；③兩點都不可達．
(2)解法：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．
【鞏固遷移】
1．已知某漁船在漁港O的南偏東60°方向，距離漁港約160海里的B處出現險情，此時在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機A接到漁船的求救信號，海事巡邏飛機迅速將情況通知了在C處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點施救．若海事巡邏飛機測得漁船B的俯角為68.20°，測得漁政船C的俯角為63.43°，且漁政船位于漁船的北偏東60°方向上．
(1)計算漁政船C與漁港O的距離；
(2)若漁政船以每小時25海里的速度直線行駛，能否在3小時內趕到出事地點？
(參考數據：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，≈3.32，≈3.61)
解　(1)∵AO⊥OB，∠OBA＝68.20°，OB＝160，
∴AO＝OBtan∠OBA≈160×2.50＝400，
∵AO⊥OC，∠OCA＝63.43°，
∴OC＝≈＝200.
即漁政船C與漁港O的距離為200海里．
(2)由題意知∠OBC＝60°＋60°＝120°，
在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2＋BC2－2OB·BCcos∠OBC，
即40000＝25600＋BC2＋160BC，
解得BC＝－80－40(舍去)或BC＝－80＋40，
即BC≈－80＋40×3.61＝64.4，
∵＝2.576<3，
∴漁政船以每小時25海里的速度直線行駛，能在3小時內趕到出事地點．
考點二　測量高度問題
例2 (1)(2024·江蘇南通調研)湖北宜昌三峽大瀑布是國家4A級景區，也是神農架探秘的必經之地，為了測量湖北宜昌三峽大瀑布的某一處實際高度，李華同學設計了如下測量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內，瀑布底端與山道在同一平面內，可粗略認為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點位置測得瀑布頂端仰角的正切值為，沿山道繼續走20 m，抵達B點位置測得瀑布頂端的仰角為.已知該同學沿山道行進的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為，則該瀑布的高度約為(　　)
A．60 m B．90 m
C．108 m D．120 m
答案　A
解析　根據題意作出示意圖，其中tanα＝，β＝θ＝，AB＝20，在Rt△AOH中，tanα＝，所以OA＝OH.在Rt△BOH中，tanβ＝，所以OB＝OH.在△AOB中，由余弦定理，得OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcosθ，即OH2＝OH2＋202－2×OH×20×，解得OH＝60.所以該瀑布的高度約為60 m．故選A.
(2)(2023·遼寧協作校聯考)山東省濱州市的黃河樓位于蒲湖水面內東南方向的東關島上，渤海五路以西，南環路以北．整個黃河樓顏色質感為灰紅，意味黃河樓氣勢恢宏，更在氣勢上體現黃河的宏壯．如圖，小張為了測量黃河樓的實際高度AB，選取了與樓底B在同一水平面內的兩個測量基點C，D，現測得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在點D處測得黃河樓頂A的仰角為45°，求黃河樓的實際高度．(結果精確到0.1 m，取sin55°＝0.82)
解　由題知，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝55°，
在△BCD中，由正弦定理得
＝，
則BD＝＝＝≈70.7 m，
在△ABD中，AB⊥BD，∠ADB＝45°，
所以AB＝BDtan∠ADB＝BD≈70.7 m.
故黃河樓的實際高度約為70.7 m.
【通性通法】
(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內，視線與水平線的夾角．
(2)在實際問題中，若遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題．
(4)運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用．
【鞏固遷移】
2．(2023·安徽蚌埠模擬)圭表是我國古代通過觀察記錄正午時影子長度的長短變化來確定季節變化的一種天文儀器，它包括一根直立的標桿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺(稱為“圭”)．當正午陽光照射在表上時，影子就會落在圭面上，圭面上影子長度最長的那一天定為冬至，影子長度最短的那一天定為夏至．如圖是根據蚌埠市(北緯32.92°)的地理位置設計的圭表的示意圖，已知蚌埠市冬至正午太陽高度角(即∠ABC)約為33.65°，夏至正午太陽高度角(即∠ADC)約為80.51°.圭面上冬至線和夏至線之間的距離(即BD的長)為7米，則表高(即AC的長)約為(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　由圖可知∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝80.51°－33.65°＝46.86°.在△ABD中，＝，得AD＝.在△ACD中，AC＝ADsin∠ADC＝.故選C.
考點三　測量角度問題
例3 已知在島A南偏西38°方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/小時的速度向島A北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？
解　如圖，設緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點，緝私艇的速度為x海里/小時，則BC＝0.5x，AC＝5，
依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD.
故緝私艇以14海里/小時的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船．
【通性通法】
(1)測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解．
(2)方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．
【鞏固遷移】
3.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100 m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡角為θ，則cosθ＝(　　)
A． B．－2
C．－1 D．－1
答案　C
解析　由題意知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.在△ABC中，由正弦定理，得＝，又AB＝100 m，所以AC＝100 m．在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，由正弦定理，得＝，所以cosθ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.故選C.
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第七節　余弦定理、正弦定理應用舉例
課標解讀 考向預測
1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題. 2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題. 3.通過解決實際問題，培養學生的數學建模、直觀想象和數學運算素養. 預計2025年高考，以利用正弦定理、余弦定理測量距離、高度、角度等實際問題為主，常與三角恒等變換、三角函數的性質結合考查，題型主要為選擇題和填空題，中檔難度.
【知識梳理】
測量中的幾個有關術語
術語名稱 術語意義 圖形表示
仰角與俯角 在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角
方位角 從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α (1)北偏東α： (2)南偏西α：
坡角與坡比 坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθ
【常用結論】
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)東南方向與南偏東45°方向相同．(　　)
(2)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＝β.(　　)
(3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系．(　　)
(4)俯角是鉛垂線與目標視線所成的角，其范圍為.(　　)
(5)在方向角中，始邊一定是南或北，旋轉方向一定是順時針．(　　)
2．小題熱身
(1)如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點間的距離為(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
(2)(人教A必修第二冊6.4.3例10改編)如圖所示，為測量某樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點之間的距離為60 m，則樹的高度為(　　)
A．(30＋30) m B．(15＋30) m
C．(30＋15) m D．(15＋15) m
(3)如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區的一個出入口，且小區里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2 min，從D沿著DC走到C用了3 min.若此人步行的速度為每分鐘50 m，則該扇形的半徑為________ m.
【考點探究】
考點一　測量距離問題
例1 (2024·重慶模擬)一個騎行愛好者從A地出發，向西騎行了2 km到達B地，然后再由B地向北偏西60°騎行了2 km到達C地，再從C地向南偏西30°騎行了5 km到達D地，則A地到D地的直線距離是(　　)
A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km
【通性通法】
距離問題的類型及解法
(1)類型：①兩點間既不可達也不可視；②兩點間可視但不可達；③兩點都不可達．
(2)解法：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．
【鞏固遷移】
1．已知某漁船在漁港O的南偏東60°方向，距離漁港約160海里的B處出現險情，此時在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機A接到漁船的求救信號，海事巡邏飛機迅速將情況通知了在C處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點施救．若海事巡邏飛機測得漁船B的俯角為68.20°，測得漁政船C的俯角為63.43°，且漁政船位于漁船的北偏東60°方向上．
(1)計算漁政船C與漁港O的距離；
(2)若漁政船以每小時25海里的速度直線行駛，能否在3小時內趕到出事地點？
(參考數據：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，≈3.32，≈3.61)
考點二　測量高度問題
例2 (1)(2024·江蘇南通調研)湖北宜昌三峽大瀑布是國家4A級景區，也是神農架探秘的必經之地，為了測量湖北宜昌三峽大瀑布的某一處實際高度，李華同學設計了如下測量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內，瀑布底端與山道在同一平面內，可粗略認為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點位置測得瀑布頂端仰角的正切值為，沿山道繼續走20 m，抵達B點位置測得瀑布頂端的仰角為.已知該同學沿山道行進的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為，則該瀑布的高度約為(　　)
A．60 m B．90 m C．108 m D．120 m
(2)(2023·遼寧協作校聯考)山東省濱州市的黃河樓位于蒲湖水面內東南方向的東關島上，渤海五路以西，南環路以北．整個黃河樓顏色質感為灰紅，意味黃河樓氣勢恢宏，更在氣勢上體現黃河的宏壯．如圖，小張為了測量黃河樓的實際高度AB，選取了與樓底B在同一水平面內的兩個測量基點C，D，現測得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在點D處測得黃河樓頂A的仰角為45°，求黃河樓的實際高度．(結果精確到0.1 m，取sin55°＝0.82)
【通性通法】
(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內，視線與水平線的夾角．
(2)在實際問題中，若遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題．
(4)運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用．
【鞏固遷移】
2．(2023·安徽蚌埠模擬)圭表是我國古代通過觀察記錄正午時影子長度的長短變化來確定季節變化的一種天文儀器，它包括一根直立的標桿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺(稱為“圭”)．當正午陽光照射在表上時，影子就會落在圭面上，圭面上影子長度最長的那一天定為冬至，影子長度最短的那一天定為夏至．如圖是根據蚌埠市(北緯32.92°)的地理位置設計的圭表的示意圖，已知蚌埠市冬至正午太陽高度角(即∠ABC)約為33.65°，夏至正午太陽高度角(即∠ADC)約為80.51°.圭面上冬至線和夏至線之間的距離(即BD的長)為7米，則表高(即AC的長)約為(　　)
A． B．
C． D．
考點三　測量角度問題
例3 已知在島A南偏西38°方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/小時的速度向島A北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？
【通性通法】
(1)測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解．
(2)方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．
【鞏固遷移】
3.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100 m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡角為θ，則cosθ＝(　　)
A． B．－2
C．－1 D．－1
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