資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第一節(jié)　隨機(jī)抽樣、常用統(tǒng)計(jì)圖表
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法. 2.通過(guò)實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法. 3.在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問(wèn)題. 4.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性. 在近幾年的高考中，抽樣方法、頻率分布直方圖考查的較多，常結(jié)合樣本的數(shù)字特征出題，這部分出題比較靈活，多結(jié)合實(shí)際問(wèn)題出題，考查分析問(wèn)題的能力，以及處理數(shù)據(jù)的能力．預(yù)計(jì)2025年的高考仍以此形式呈現(xiàn)，可以是選擇題、填空題，也可以是解答題，在解答題中常與概率等聯(lián)合出題.
【知識(shí)梳理】
1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n(1≤n＜N)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本
通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．
(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法
實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法有很多，抽簽法和隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法．
2．分層隨機(jī)抽樣
一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層．
在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．
3．統(tǒng)計(jì)圖表
(1)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等．
(2)作頻率分布直方圖的步驟
①求極差；
②決定組距與組數(shù)；
③將數(shù)據(jù)分組；
④列頻率分布表；
⑤畫(huà)頻率分布直方圖．
【常用結(jié)論】
1．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘以抽樣比．
2．頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣．(　　)
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)．(　　)
(3)分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．(　　)
(4)頻率分布直方圖中，小長(zhǎng)方形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)從某市參加升學(xué)考試的學(xué)生中隨機(jī)抽查1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生
B．樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)
C．樣本量指的是1000名學(xué)生
D．個(gè)體指的是1000名學(xué)生中的每一名學(xué)生
答案　B
解析　對(duì)于A，總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故B正確；對(duì)于C，樣本量是1000，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，個(gè)體指的是每名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故D錯(cuò)誤．
(2)(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題9.1 T5改編)為了了解高一、高二、高三學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽出一個(gè)容量為1200的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)之比依次為k∶5∶3，已知高一年級(jí)共抽取了240人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為(　　)
A．240 B．300
C．360 D．400
答案　C
解析　依題意可得＝，解得k＝2，所以高三年級(jí)抽取的人數(shù)為×1200＝360.
(3)(人教B必修第二冊(cè)5.1.1練習(xí)A T2改編)從某班50名同學(xué)中選出5人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將50名同學(xué)按01，02，…，50進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為(　　)
注：表為隨機(jī)數(shù)表的第1行與第2行
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A．24 B．36
C．46 D．47
答案　A
解析　由題意知，從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始，由表可知依次選取43，36，47，46，24.
(4)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度至350度之間，頻率分布直方圖如圖．
①直方圖中x的值為_(kāi)_______；
②在這些用戶中，月用電量落在區(qū)間[100，250)內(nèi)的戶數(shù)為_(kāi)_______．
答案　①0.0044　②70
解析　①由頻率分布直方圖知數(shù)據(jù)落在[200，250)內(nèi)的頻率為1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012)×50＝0.22，于是x＝＝0.0044.
②因?yàn)閿?shù)據(jù)落在[100，250)內(nèi)的頻率為(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以所求戶數(shù)為0.7×100＝70.
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
例1　(2024·河南部分中學(xué)高三聯(lián)考)已知某班共有學(xué)生46人，該班語(yǔ)文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書(shū)籍的時(shí)長(zhǎng)情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進(jìn)行編號(hào)．現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76
63 01 63 78 59　16 95 56 57 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
若從表中第7行第41列開(kāi)始向右依次讀取2個(gè)數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是(　　)
A．07 B．12
C．39 D．44
答案　D
解析　由題意可知，得到的樣本編號(hào)依次為12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是44.
【通性通法】
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需滿足：總體的個(gè)體數(shù)有限；逐個(gè)抽取；等可能抽取．
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用抽簽法(適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況)、隨機(jī)數(shù)法(適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況)．
【鞏固遷移】
1．用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)樣本量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
答案　A
解析　第一次被抽到，顯然為；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性為×＝.
考點(diǎn)二　比例分配的分層隨機(jī)抽樣
例2　(1)(2024·河南襄城三模)現(xiàn)有300名老年人、500名中年人、400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取n人，若抽取的老年人與青年人共21名，則n的值為(　　)
A．15 B．30
C．32 D．36
答案　D
解析　由題意可知＝，解得n＝36.
(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有(　　)
A．C·C種 B．C·C種
C．C·C種 D．C·C種
答案　D
解析　根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣的定義知，初中部共抽取60×＝40名，高中部共抽取60×＝20名，根據(jù)組合數(shù)概念和分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的抽樣結(jié)果共有C·C種．故選D.
【通性通法】
(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．
(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體數(shù)量或反之求解：根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．
【鞏固遷移】
2．某區(qū)域大型城市、中型城市、小型城市的數(shù)量之比為2∶m∶1，為了解該區(qū)域城市的空氣質(zhì)量情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為n的樣本．在樣本中，中型城市比大型城市多4個(gè)，比小型城市多8個(gè)，則n＝(　　)
A．24 B．28
C．32 D．36
答案　A
解析　根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣可設(shè)抽取的大、中、小型城市的數(shù)量分別為2x，mx，x，則解得所以n＝2x＋mx＋x＝24.
考點(diǎn)三　統(tǒng)計(jì)圖表(多考向探究)
考向1　扇形圖、條形圖
例3　(多選)某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競(jìng)賽．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖(如圖)和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖(如圖)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．成績(jī)前200名的200人中，高一學(xué)生人數(shù)比高二學(xué)生人數(shù)多30
B．成績(jī)第1～100名的100人中，高一學(xué)生人數(shù)不超過(guò)一半
C．成績(jī)第1～50名的50人中，高三最多有32人
D．成績(jī)第51～100名的50人中，高二學(xué)生人數(shù)比高一的多
答案　ABC
解析　由餅狀圖知，成績(jī)前200名的200人中，高一學(xué)生人數(shù)比高二學(xué)生人數(shù)多200×(45%－30%)＝30，A正確；由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100名的和后100名的人數(shù)相等，因此成績(jī)第1～100名的100人中，高一學(xué)生人數(shù)為200×45%×0.5＝45＜50，B正確；成績(jī)第1～50名的50人中，高一學(xué)生人數(shù)為200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正確；第51～100名的50人中，高一學(xué)生人數(shù)為200×45%×0.3＝27，高二最多有23人，因此高二學(xué)生人數(shù)比高一的少，D錯(cuò)誤．
【通性通法】
(1)通過(guò)扇形圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．
(2)條形圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)．
【鞏固遷移】
3．(多選)(2024·廣東梅州三模)某公司經(jīng)營(yíng)五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對(duì)市場(chǎng)變化，在五年前進(jìn)行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤(rùn)不斷增長(zhǎng)，今年總利潤(rùn)比五年前增加了一倍，調(diào)整前后各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)占總利潤(rùn)的比例如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A．調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量小于雜志
B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)有所下降
C．調(diào)整后試卷的利潤(rùn)增加不到一倍
D．調(diào)整后圖書(shū)的利潤(rùn)增長(zhǎng)了一倍以上
答案　ABC
解析　設(shè)調(diào)整前的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)的總和為a，則調(diào)整后的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)的總和為2a.對(duì)于A，調(diào)整前傳媒的利潤(rùn)為0.1a，雜志的利潤(rùn)為0.05a，調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)為0.24a，雜志的利潤(rùn)為0.16a，則調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量為0.14a，雜志的利潤(rùn)增量為0.11a，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，調(diào)整前房地產(chǎn)的利潤(rùn)為0.45a，調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)為0.5a，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，調(diào)整前試卷的利潤(rùn)為0.15a，調(diào)整后試卷的利潤(rùn)為0.46a，且>3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，調(diào)整前圖書(shū)的利潤(rùn)為0.25a，調(diào)整后圖書(shū)的利潤(rùn)為0.64a，且>2，故D正確．
考向2　折線圖
例4　(多選)(2024·河北唐山二模)2023年的夏季，全國(guó)多地迎來(lái)罕見(jiàn)極端高溫天氣．某課外小組通過(guò)當(dāng)?shù)貧庀蟛块T(mén)統(tǒng)計(jì)了當(dāng)?shù)仄咴路萸?0天每天的最高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，根據(jù)圖表，下列判斷正確的是(　　)
A．七月份前20天最低氣溫的中位數(shù)低于25 ℃
B．七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差
C．七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40 ℃
D．七月份前10天(1～10日)最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差
答案　BD
解析　七月份前20天中，最低氣溫低于25 ℃的天數(shù)不超過(guò)9天，故中位數(shù)不可能低于25 ℃，故A錯(cuò)誤；最高氣溫的最大值大于40 ℃，最小值低于35 ℃，而最低氣溫的最大值小于30 ℃，最小值接近25 ℃，故最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差，故B正確；最高氣溫超過(guò)40 ℃的天數(shù)不超過(guò)5天，且最大值不超過(guò)45 ℃，故平均數(shù)不可能高于40 ℃，故C錯(cuò)誤；前10天中，最低氣溫的分布更集中，故最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差，故D正確．
【通性通法】
折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì)．
【鞏固遷移】
4．(2024·安徽滁州教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))某品牌為了研究旗下某產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)平臺(tái)的銷(xiāo)售狀況，統(tǒng)計(jì)了2023年7月到12月甲、乙官方平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額(單位：萬(wàn)元)，得到如圖所示的折線圖．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)
A．乙平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額的平均值在[31，32]內(nèi)
B．甲平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額總體呈上升趨勢(shì)
C．乙平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差比甲平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差小
D．10、11、12月份的總營(yíng)業(yè)額甲平臺(tái)比乙平臺(tái)少
答案　D
解析　對(duì)于A，乙平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額的平均值＝≈31.7∈[31，32]，A正確；對(duì)于B，由題圖可知正確；對(duì)于C，乙平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差為52－14＝38，甲平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差為53－7＝46，C正確；對(duì)于D，甲平臺(tái)10、11、12月份的總營(yíng)業(yè)額為33＋44＋53＝130，乙平臺(tái)10、11、12月份的總營(yíng)業(yè)額為30＋52＋47＝129，D錯(cuò)誤．
考向3　頻率分布直方圖
例5　某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，進(jìn)行了一次摸底考試，從中選取60名學(xué)生的成績(jī)，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，則分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為_(kāi)_______；根據(jù)評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則，排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng)，則估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要________分．
答案　0.25　88
解析　設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.010＋0.015＋0.020＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為0.25，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在[80，90)內(nèi)的頻率為0.25，在[90，100]內(nèi)的頻率為0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，所以設(shè)排名前10%的分界點(diǎn)為90－a，則0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界點(diǎn)為88分，即獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要88分．
【通性通法】
頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論
(1)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.
(2)頻率分布直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距×，即矩形的面積．
(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù)．
【鞏固遷移】
5．(2021·全國(guó)甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(　　)
A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%
B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%
C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元
D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間
答案　C
解析　由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正確；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正確；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬(wàn)元)，故C錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的農(nóng)戶比率約為(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正確．故選C.
考向4　雷達(dá)圖
例6　(多選)為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分)．繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖．例如，圖中甲的數(shù)學(xué)抽象能力指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象能力指標(biāo)值為5，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．甲的邏輯推理能力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值
B．甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值高于乙的直觀想象能力指標(biāo)值
C．甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值高于甲的直觀想象能力指標(biāo)值
D．甲的六維能力整體水平低于乙的六維能力整體水平
答案　AD
解析　對(duì)于A，甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4，乙的邏輯推理能力指標(biāo)值為3，所以甲的邏輯推理能力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值，故A正確；對(duì)于B，甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值低于乙的直觀想象能力指標(biāo)值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值低于甲的直觀想象能力指標(biāo)值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為＝，乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為＝4>，所以甲的六維能力整體水平低于乙的六維能力整體水平，所以D正確．
【通性通法】
雷達(dá)圖可以在同一坐標(biāo)系內(nèi)展示多指標(biāo)的分析比較情況，它是由一組坐標(biāo)和多個(gè)同心圓組成的圖表．雷達(dá)圖分析法是綜合評(píng)價(jià)中常用的一種方法，尤其適用于對(duì)多屬性體系結(jié)構(gòu)描述的對(duì)象作出全局性、整體性評(píng)價(jià)，在數(shù)據(jù)可視化中經(jīng)常會(huì)用到．
【鞏固遷移】
6．(多選)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃，下面敘述正確的是(　　)
A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上
B．八月的平均溫差比十一月的平均溫差大
C．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有4個(gè)
D．四月和十一月的平均最低氣溫基本相同
答案　ABD
解析　對(duì)于A，由題圖可知，各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上，故A正確；對(duì)于B，由題圖可知，八月的平均最高氣溫點(diǎn)與平均最低氣溫點(diǎn)之間的距離大于十一月的平均最高氣溫點(diǎn)與平均最低氣溫點(diǎn)之間的距離，故B正確；對(duì)于C，由題圖可知，平均最高氣溫高于20 ℃的月份有七月和八月，只有兩個(gè)月份，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題圖可知，四月和十一月的平均最低氣溫均為5 ℃，D正確．
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第一節(jié)　隨機(jī)抽樣、常用統(tǒng)計(jì)圖表
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法. 2.通過(guò)實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法. 3.在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問(wèn)題. 4.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性. 在近幾年的高考中，抽樣方法、頻率分布直方圖考查的較多，常結(jié)合樣本的數(shù)字特征出題，這部分出題比較靈活，多結(jié)合實(shí)際問(wèn)題出題，考查分析問(wèn)題的能力，以及處理數(shù)據(jù)的能力．預(yù)計(jì)2025年的高考仍以此形式呈現(xiàn)，可以是選擇題、填空題，也可以是解答題，在解答題中常與概率等聯(lián)合出題.
【知識(shí)梳理】
1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n(1≤n＜N)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本
通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．
(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法
實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法有很多，抽簽法和隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法．
2．分層隨機(jī)抽樣
一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層．
在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．
3．統(tǒng)計(jì)圖表
(1)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等．
(2)作頻率分布直方圖的步驟
①求極差；
②決定組距與組數(shù)；
③將數(shù)據(jù)分組；
④列頻率分布表；
⑤畫(huà)頻率分布直方圖．
【常用結(jié)論】
1．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘以抽樣比．
2．頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣．(　　)
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)．(　　)
(3)分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．(　　)
(4)頻率分布直方圖中，小長(zhǎng)方形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大．(　　)
2．小題熱身
(1)從某市參加升學(xué)考試的學(xué)生中隨機(jī)抽查1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生
B．樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)
C．樣本量指的是1000名學(xué)生
D．個(gè)體指的是1000名學(xué)生中的每一名學(xué)生
(2)(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題9.1 T5改編)為了了解高一、高二、高三學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽出一個(gè)容量為1200的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)之比依次為k∶5∶3，已知高一年級(jí)共抽取了240人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為(　　)
A．240 B．300
C．360 D．400
(3)(人教B必修第二冊(cè)5.1.1練習(xí)A T2改編)從某班50名同學(xué)中選出5人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將50名同學(xué)按01，02，…，50進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為(　　)
注：表為隨機(jī)數(shù)表的第1行與第2行
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A．24 B．36
C．46 D．47
(4)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度至350度之間，頻率分布直方圖如圖．
①直方圖中x的值為_(kāi)_______；
②在這些用戶中，月用電量落在區(qū)間[100，250)內(nèi)的戶數(shù)為_(kāi)_______．
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
例1　(2024·河南部分中學(xué)高三聯(lián)考)已知某班共有學(xué)生46人，該班語(yǔ)文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書(shū)籍的時(shí)長(zhǎng)情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進(jìn)行編號(hào)．現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76
63 01 63 78 59　16 95 56 57 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
若從表中第7行第41列開(kāi)始向右依次讀取2個(gè)數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是(　　)
A．07 B．12
C．39 D．44
【通性通法】
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需滿足：總體的個(gè)體數(shù)有限；逐個(gè)抽取；等可能抽取．
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用抽簽法(適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況)、隨機(jī)數(shù)法(適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況)．
【鞏固遷移】
1．用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)樣本量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
考點(diǎn)二　比例分配的分層隨機(jī)抽樣
例2　(1)(2024·河南襄城三模)現(xiàn)有300名老年人、500名中年人、400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取n人，若抽取的老年人與青年人共21名，則n的值為(　　)
A．15 B．30
C．32 D．36
(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有(　　)
A．C·C種 B．C·C種
C．C·C種 D．C·C種
【通性通法】
(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．
(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體數(shù)量或反之求解：根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．
【鞏固遷移】
2．某區(qū)域大型城市、中型城市、小型城市的數(shù)量之比為2∶m∶1，為了解該區(qū)域城市的空氣質(zhì)量情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為n的樣本．在樣本中，中型城市比大型城市多4個(gè)，比小型城市多8個(gè)，則n＝(　　)
A．24 B．28
C．32 D．36
考點(diǎn)三　統(tǒng)計(jì)圖表(多考向探究)
考向1　扇形圖、條形圖
例3　(多選)某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競(jìng)賽．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖(如圖)和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖(如圖)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．成績(jī)前200名的200人中，高一學(xué)生人數(shù)比高二學(xué)生人數(shù)多30
B．成績(jī)第1～100名的100人中，高一學(xué)生人數(shù)不超過(guò)一半
C．成績(jī)第1～50名的50人中，高三最多有32人
D．成績(jī)第51～100名的50人中，高二學(xué)生人數(shù)比高一的多
【通性通法】
(1)通過(guò)扇形圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．
(2)條形圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)．
【鞏固遷移】
3．(多選)(2024·廣東梅州三模)某公司經(jīng)營(yíng)五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對(duì)市場(chǎng)變化，在五年前進(jìn)行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤(rùn)不斷增長(zhǎng)，今年總利潤(rùn)比五年前增加了一倍，調(diào)整前后各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)占總利潤(rùn)的比例如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A．調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量小于雜志
B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)有所下降
C．調(diào)整后試卷的利潤(rùn)增加不到一倍
D．調(diào)整后圖書(shū)的利潤(rùn)增長(zhǎng)了一倍以上
考向2　折線圖
例4　(多選)(2024·河北唐山二模)2023年的夏季，全國(guó)多地迎來(lái)罕見(jiàn)極端高溫天氣．某課外小組通過(guò)當(dāng)?shù)貧庀蟛块T(mén)統(tǒng)計(jì)了當(dāng)?shù)仄咴路萸?0天每天的最高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，根據(jù)圖表，下列判斷正確的是(　　)
A．七月份前20天最低氣溫的中位數(shù)低于25 ℃
B．七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差
C．七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40 ℃
D．七月份前10天(1～10日)最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差
【通性通法】
折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì)．
【鞏固遷移】
4．(2024·安徽滁州教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))某品牌為了研究旗下某產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)平臺(tái)的銷(xiāo)售狀況，統(tǒng)計(jì)了2023年7月到12月甲、乙官方平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額(單位：萬(wàn)元)，得到如圖所示的折線圖．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)
A．乙平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額的平均值在[31，32]內(nèi)
B．甲平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額總體呈上升趨勢(shì)
C．乙平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差比甲平臺(tái)的月?tīng)I(yíng)業(yè)額極差小
D．10、11、12月份的總營(yíng)業(yè)額甲平臺(tái)比乙平臺(tái)少
考向3　頻率分布直方圖
例5　某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，進(jìn)行了一次摸底考試，從中選取60名學(xué)生的成績(jī)，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，則分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為_(kāi)_______；根據(jù)評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則，排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng)，則估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要________分．
【通性通法】
頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論
(1)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.
(2)頻率分布直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距×，即矩形的面積．
(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù)．
【鞏固遷移】
5．(2021·全國(guó)甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(　　)
A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%
B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%
C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元
D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間
考向4　雷達(dá)圖
例6　(多選)為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分)．繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖．例如，圖中甲的數(shù)學(xué)抽象能力指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象能力指標(biāo)值為5，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．甲的邏輯推理能力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值
B．甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值高于乙的直觀想象能力指標(biāo)值
C．甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值高于甲的直觀想象能力指標(biāo)值
D．甲的六維能力整體水平低于乙的六維能力整體水平
【通性通法】
雷達(dá)圖可以在同一坐標(biāo)系內(nèi)展示多指標(biāo)的分析比較情況，它是由一組坐標(biāo)和多個(gè)同心圓組成的圖表．雷達(dá)圖分析法是綜合評(píng)價(jià)中常用的一種方法，尤其適用于對(duì)多屬性體系結(jié)構(gòu)描述的對(duì)象作出全局性、整體性評(píng)價(jià)，在數(shù)據(jù)可視化中經(jīng)常會(huì)用到．
【鞏固遷移】
6．(多選)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃，下面敘述正確的是(　　)
A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上
B．八月的平均溫差比十一月的平均溫差大
C．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有4個(gè)
D．四月和十一月的平均最低氣溫基本相同
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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