資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二節(jié)　用樣本估計總體
課標解讀 考向預測
1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù). 2.能用樣本的數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度. 用樣本估計總體在高考中出題頻率較高，常結合頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征出題．預計2025年高考將會以與統(tǒng)計圖表的識讀、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析相綜合的形式呈現(xiàn).
【知識梳理】
1．總體百分位數(shù)的估計
(1)第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．
(2)四分位數(shù)
常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)(即中位數(shù))，第75百分位數(shù)．這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)．
2．樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)．
(4)標準差與方差：設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
3．總體平均數(shù)、方差、標準差與樣本平均數(shù)、方差、標準差
名稱 定義
總體均值(總體平均數(shù))、方差、標準差 一般式：如果總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱＝＝Yi為總體均值，又稱總體平均數(shù)，稱S2＝ (Yi－)2為總體方差，S＝為總體標準差
加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體均值為＝fiYi，總體方差為S2＝fi(Yi－)2
樣本均值(樣本平均數(shù))、方差、標準差 如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱＝＝y(tǒng)i為樣本均值，又稱樣本平均數(shù)，稱s2＝ (yi－)2為樣本方差，s＝為樣本標準差
說明：(1)在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)、方差、標準差去估計總體平均數(shù)、方差、標準差. (2)總體平均數(shù)、方差、標準差是一個確定的數(shù)，樣本平均數(shù)、方差、標準差具有隨機性(因為樣本具有隨機性). (3)一般情況下，樣本量越大，估計越準確
【常用結論】
1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關系
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)．
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．
2．平均數(shù)、方差的公式推廣
若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a，方差為m2s2.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．(　　)
(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中．(　　)
(3)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊習題9.2 T1改編)下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是(　　)
2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
(2)(多選)(人教B必修第二冊習題5－1B T3改編)給出一組數(shù)據(jù)：1，3，3，5，5，5，下列說法正確的是(　　)
A．這組數(shù)據(jù)的極差為4
B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3
C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4
D．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3和5
(3)(人教B必修第二冊練習B T4改編)某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用比例分配的分層隨機抽樣的方法從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件進行使用壽命的測試，由所得的測試結果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為980 h，1020 h，1032 h，則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為________ h.
(4)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖，則眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．
【考點探究】
考點一　百分位數(shù)的計算
例1　(1)(2023·江蘇南通海安質量監(jiān)測)“雙減”政策實施后，學生的課外閱讀增多．某班50名學生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：
借書數(shù)量/本 5 6 7 8 9 10
頻數(shù)/人 5 8 13 11 9 4
則這50名學生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)是(　　)
A．8 B．8.5
C．9 D．10
(2)某校為了了解高三年級學生的身體素質狀況，在開學初舉行了一場身體素質體能測試，以便對體能不達標的學生進行有針對性的訓練，促進他們體能的提升，現(xiàn)從整個年級測試成績中抽取100名學生的測試成績，并把測試成績分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．其中分數(shù)在[90，100]這一組內的縱坐標為a，則該次體能測試成績的80%分位數(shù)約為________分．
【通性通法】
計算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟
【鞏固遷移】
1．為了養(yǎng)成良好的運動習慣，某人記錄了自己一周內每天的運動時長(單位：分鐘)，分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則x＝(　　)
A．58或64 B．59或64
C．58 D．59
2．(2024·安徽十校聯(lián)考)學校組織班級知識競賽，某班的8名學生的成績(單位：分)分別是68，63，77，76，82，88，92，93，則這8名學生成績的75%分位數(shù)是(　　)
A．88分 B．89分
C．90分 D．92分
考點二　總體集中趨勢的估計
例2　(1)(2024·山東臨沂模擬)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則(　　)
A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
(2)(多選)(2023·湖北荊州中學模擬)某公司為提高職工政治素養(yǎng)，對全體職工進行了一次時事政治測試，隨機抽取了100名職工的成績，并將其制成如圖所示的頻率分布直方圖，以樣本估計總體，則下列結論中正確的是(　　)
A．該公司職工的測試成績不低于60分的人數(shù)約占總人數(shù)的80%
B．該公司職工測試成績的中位數(shù)約為70分
C．該公司職工測試成績的平均值約為68分
D．該公司職工測試成績的眾數(shù)約為60分
【通性通法】
頻率分布直方圖中的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標．
(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應該相等．
(3)平均數(shù)：各組區(qū)間的中點值與對應頻率之積的和．
【鞏固遷移】
3．某市市民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？
(2)假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費．
考點三　總體離散程度的估計
例3　甲、乙兩名學生參加數(shù)學競賽培訓，現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)求兩位學生預賽成績的平均數(shù)和方差；
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由．
【通性通法】
標準差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標準差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．
【鞏固遷移】
4．(2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)．試驗結果如下：
試驗序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為，樣本方差為s2.
(1)求，s2；
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果≥2，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．
考點四　分層隨機抽樣的均值與方差
例4　為調查某地區(qū)中學生每天的睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間的均值為9小時，方差為0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間的均值為8小時，方差為1，則估計該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為________．
【通性通法】
在分層隨機抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為，方差為s；第二層的樣本量為n，平均值為，方差為s，則樣本的平均值為＝，樣本的方差為s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}．
特別地，在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，用樣本方差s2估計總體方差S2.
【鞏固遷移】
5．(2023·安徽宣城模擬)某學校有男生400人，女生600人，為調查該校全體學生每天運動時間的情況，按照男女比例通過分層隨機抽樣的方法取到一個樣本，樣本中男生每天運動時間的平均值為80分鐘，方差為10，女生每天運動時間的平均值為60分鐘，方差為20.結合數(shù)據(jù)，估計該校全體學生每天運動時間的方差為(　　)
A．15 B．16
C．96 D．112
6．為了了解全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況，采用比例分配的分層隨機抽樣方法，從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級干部預測全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況．現(xiàn)將這40名科級干部分為正科級干部組和副科級干部組，利用同一份試卷分別進行測試．經(jīng)過測試后，兩組各自將測試成績統(tǒng)計分析如下表：
分組 人數(shù) 平均成績
正科級干部組 a 80
副科級干部組 b 70
則40名科級干部測試成績的平均分＝________．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第二節(jié)　用樣本估計總體
課標解讀 考向預測
1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù). 2.能用樣本的數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度. 用樣本估計總體在高考中出題頻率較高，常結合頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征出題．預計2025年高考將會以與統(tǒng)計圖表的識讀、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析相綜合的形式呈現(xiàn).
【知識梳理】
1．總體百分位數(shù)的估計
(1)第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．
(2)四分位數(shù)
常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)(即中位數(shù))，第75百分位數(shù)．這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)．
2．樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)．
(4)標準差與方差：設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
3．總體平均數(shù)、方差、標準差與樣本平均數(shù)、方差、標準差
名稱 定義
總體均值(總體平均數(shù))、方差、標準差 一般式：如果總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱＝＝Yi為總體均值，又稱總體平均數(shù)，稱S2＝ (Yi－)2為總體方差，S＝為總體標準差
加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體均值為＝fiYi，總體方差為S2＝fi(Yi－)2
樣本均值(樣本平均數(shù))、方差、標準差 如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱＝＝y(tǒng)i為樣本均值，又稱樣本平均數(shù)，稱s2＝ (yi－)2為樣本方差，s＝為樣本標準差
說明：(1)在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)、方差、標準差去估計總體平均數(shù)、方差、標準差. (2)總體平均數(shù)、方差、標準差是一個確定的數(shù)，樣本平均數(shù)、方差、標準差具有隨機性(因為樣本具有隨機性). (3)一般情況下，樣本量越大，估計越準確
【常用結論】
1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關系
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)．
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．
2．平均數(shù)、方差的公式推廣
若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a，方差為m2s2.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．(　　)
(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中．(　　)
(3)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊習題9.2 T1改編)下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是(　　)
2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
答案　A
解析　把該組數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列，可得2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，得第3個數(shù)據(jù)3.2是第25百分位數(shù)．
(2)(多選)(人教B必修第二冊習題5－1B T3改編)給出一組數(shù)據(jù)：1，3，3，5，5，5，下列說法正確的是(　　)
A．這組數(shù)據(jù)的極差為4
B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3
C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4
D．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3和5
答案　AC
解析　這組數(shù)據(jù)的極差為5－1＝4，A正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝，B錯誤；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為＝4，C正確；這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，D錯誤．
(3)(人教B必修第二冊練習B T4改編)某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用比例分配的分層隨機抽樣的方法從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件進行使用壽命的測試，由所得的測試結果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為980 h，1020 h，1032 h，則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為________ h.
答案　1013
解析　由比例分配的分層隨機抽樣的知識可知，從第一、二、三分廠抽取的電子產(chǎn)品件數(shù)分別為25，50，25，則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為×(980×25＋1020×50＋1032×25)＝1013(h)．
(4)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖，則眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．
答案　65　67
解析　因為最高小長方形底邊中點的橫坐標為65，所以眾數(shù)為65；平均數(shù)＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.
【考點探究】
考點一　百分位數(shù)的計算
例1　(1)(2023·江蘇南通海安質量監(jiān)測)“雙減”政策實施后，學生的課外閱讀增多．某班50名學生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：
借書數(shù)量/本 5 6 7 8 9 10
頻數(shù)/人 5 8 13 11 9 4
則這50名學生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)是(　　)
A．8 B．8.5
C．9 D．10
答案　C
解析　由50×75%＝37.5，故第75百分位數(shù)為借書數(shù)量從小到大排序后的第38個，又5＋8＋13＋11＝37<38<5＋8＋13＋11＋9＝46，故上四分位數(shù)(第75百分位數(shù))是9.
(2)某校為了了解高三年級學生的身體素質狀況，在開學初舉行了一場身體素質體能測試，以便對體能不達標的學生進行有針對性的訓練，促進他們體能的提升，現(xiàn)從整個年級測試成績中抽取100名學生的測試成績，并把測試成績分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．其中分數(shù)在[90，100]這一組內的縱坐標為a，則該次體能測試成績的80%分位數(shù)約為________分．
答案　92
解析　由頻率分布直方圖知，10×(0.002＋0.004＋0.014＋0.020＋a＋0.035)＝1，得a＝0.025.因為0.02＋0.04＋0.14＋0.20＋0.35＝0.75，所以該次體能測試成績的80%分位數(shù)落在[90，100]內，設其為x，則由(x－90)×0.025＝0.05，解得x＝92.
【通性通法】
計算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟
【鞏固遷移】
1．為了養(yǎng)成良好的運動習慣，某人記錄了自己一周內每天的運動時長(單位：分鐘)，分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則x＝(　　)
A．58或64 B．59或64
C．58 D．59
答案　A
解析　將已知的6個數(shù)從小到大排序為45，49，53，57，61，79.若x≤57，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，它們的差為4，不符合條件；若x≥79，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若572．(2024·安徽十校聯(lián)考)學校組織班級知識競賽，某班的8名學生的成績(單位：分)分別是68，63，77，76，82，88，92，93，則這8名學生成績的75%分位數(shù)是(　　)
A．88分 B．89分
C．90分 D．92分
答案　C
解析　8名學生的成績從小到大排列為63，68，76，77，82，88，92，93，因為8×75%＝6，所以75%分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，即×(88＋92)＝90(分)．
考點二　總體集中趨勢的估計
例2　(1)(2024·山東臨沂模擬)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則(　　)
A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案　B
解析　將生產(chǎn)的件數(shù)由小到大排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，a＝×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b＝15，c＝17.因此c>b>a.故選B.
(2)(多選)(2023·湖北荊州中學模擬)某公司為提高職工政治素養(yǎng)，對全體職工進行了一次時事政治測試，隨機抽取了100名職工的成績，并將其制成如圖所示的頻率分布直方圖，以樣本估計總體，則下列結論中正確的是(　　)
A．該公司職工的測試成績不低于60分的人數(shù)約占總人數(shù)的80%
B．該公司職工測試成績的中位數(shù)約為70分
C．該公司職工測試成績的平均值約為68分
D．該公司職工測試成績的眾數(shù)約為60分
答案　BC
解析　對于A，該公司職工的測試成績不低于60分的頻率為(0.02＋0.015)×20＝0.70，∴該公司職工的測試成績不低于60分的人數(shù)約占總人數(shù)的70%，故A錯誤；對于B，測試成績在[20，60)的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，測試成績在[60，80)的頻率為0.02×20＝0.4，∴該公司職工測試成績的中位數(shù)約為60＋×20＝70分，故B正確；對于C，該公司職工測試成績的平均值約為＝30×0.005×20＋50×0.01×20＋70×0.02×20＋90×0.015×20＝68分，故C正確；對于D，該公司職工測試成績的眾數(shù)約為＝70分，故D錯誤．故選BC.
【通性通法】
頻率分布直方圖中的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標．
(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應該相等．
(3)平均數(shù)：各組區(qū)間的中點值與對應頻率之積的和．
【鞏固遷移】
3．某市市民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？
(2)假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費．
解　(1)如題圖所示，用水量在[0.5，2)的頻率為(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5，3)的頻率為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.
∴用水量小于等于2立方米的頻率為0.45，用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.
(2)當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝10.5(元)．即當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為10.5元．
考點三　總體離散程度的估計
例3　甲、乙兩名學生參加數(shù)學競賽培訓，現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)求兩位學生預賽成績的平均數(shù)和方差；
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由．
解　(1)甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，
s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41.
(2)由(1)知甲＝乙，s甲的成績較穩(wěn)定，所以派甲參賽比較合適．
【通性通法】
標準差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標準差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．
【鞏固遷移】
4．(2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)．試驗結果如下：
試驗序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為，樣本方差為s2.
(1)求，s2；
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果≥2，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．
解　(1)＝×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3，
＝×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3，
＝－＝552.3－541.3＝11，
zi＝xi－yi的值分別為9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，
故s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)由(1)知，＝11，2＝2＝，故有≥2，所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．
考點四　分層隨機抽樣的均值與方差
例4　為調查某地區(qū)中學生每天的睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間的均值為9小時，方差為0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間的均值為8小時，方差為1，則估計該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為________．
答案　1.04
解析　該地區(qū)中學生每天睡眠時間的平均數(shù)為×9＋×8＝8.4(小時)，該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為×[0.5＋(9－8.4)2]＋×[1＋(8－8.4)2]＝1.04.
【通性通法】
在分層隨機抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為，方差為s；第二層的樣本量為n，平均值為，方差為s，則樣本的平均值為＝，樣本的方差為s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}．
特別地，在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，用樣本方差s2估計總體方差S2.
【鞏固遷移】
5．(2023·安徽宣城模擬)某學校有男生400人，女生600人，為調查該校全體學生每天運動時間的情況，按照男女比例通過分層隨機抽樣的方法取到一個樣本，樣本中男生每天運動時間的平均值為80分鐘，方差為10，女生每天運動時間的平均值為60分鐘，方差為20.結合數(shù)據(jù)，估計該校全體學生每天運動時間的方差為(　　)
A．15 B．16
C．96 D．112
答案　D
解析　由題意，用比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取樣本，且該樣本中男、女生的比為＝，不妨設抽取的男、女生人數(shù)分別為2n，3n，那么樣本的總數(shù)為5n.則所有樣本的平均值為×(80×2n＋60×3n)＝68，方差為×[10＋(80－68)2]＋×[20＋(60－68)2]＝112.故選D.
6．為了了解全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況，采用比例分配的分層隨機抽樣方法，從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級干部預測全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況．現(xiàn)將這40名科級干部分為正科級干部組和副科級干部組，利用同一份試卷分別進行測試．經(jīng)過測試后，兩組各自將測試成績統(tǒng)計分析如下表：
分組 人數(shù) 平均成績
正科級干部組 a 80
副科級干部組 b 70
則40名科級干部測試成績的平均分＝________．
答案　72
解析　樣本量與總體中的個體數(shù)的比為＝，則抽取的正科級干部人數(shù)a＝320×＝8，副科級干部人數(shù)b＝1280×＝32.所以這40名科級干部測試成績的平均分＝＝72.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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