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中小學教育資源及組卷應用平臺
第二節　二項式定理
課標解讀 考向預測
能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題. 近幾年的高考中考查了二項展開式的通項的應用、二項式定理的正用和逆用，二項式系數的性質與各項的和．預計2025年高考可能會以二項式、三項式或兩因式乘積的形式呈現，考查特定項或特定項的系數，難度中檔.
【知識梳理】
1．二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通項：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數C，C，…，C.
2．二項式系數的性質
(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．
(2)增減性與最大值：當n是偶數時，中間的一項C取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項C與C相等，且同時取得最大值．
3．各二項式系數和
(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
(2)奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
【常用結論】
(a＋b)n的展開式形式上的特點：
(1)項數為n＋1.
(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.
(4)二項式系數從C，C，一直到C，C.
(5)二項式系數與項的系數是完全不同的兩個概念．二項式系數是指C，C，…，C，它只與各項的項數有關，而與a，b的值無關；而項的系數是指該項中除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關，還與a，b的值有關．
(6)(a＋b)n的展開式與(b＋a)n的展開式的項完全相同，但對應的項不相同，而且兩個展開式的通項不同．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項．(　　)
(2)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項．(　　)
(3)(a＋b)n的展開式中，某項的系數與該項的二項式系數一定不同．(　　)
(4)(a＋b)n的展開式中每一項的二項式系數與a，b的值無關．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(x－1)10的展開式的第6項的系數是(　　)
A．C B．－C
C．C D．－C
答案　D
解析　T6＝Cx5(－1)5，所以第6項的系數是－C.
(2)(人教B選擇性必修第二冊習題3－3A T2改編)的展開式中，x2的系數為(　　)
A．－45 B．－10
C．10 D．45
答案　D
解析　的展開式的通項為Tk＋1＝C·(－)k＝(－1)kCx，令k－10＝2，解得k＝8，所以x2的系數為(－1)8C＝45.
(3)(多選)(2024·江蘇南京寧海中學模擬)關于的展開式，下列結論正確的是(　　)
A．所有項的二項式系數和為32
B．所有項的系數和為0
C．常數項為－20
D．系數最大的項為第3項
答案　BC
解析　所有項的二項式系數和為26＝64，故A錯誤；令x＝1得所有項的系數和為0，故B正確；常數項為Cx3＝－20，故C正確；Tk＋1＝Cx6－k，系數為(－1)kC，最大為C或C，為第3項或第5項，故D錯誤．
(4)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，則C＋C＋C＋…＋C＝(　　)
A．31 B．32
C．15 D．16
答案　A
解析　逆用二項式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.
【考點探究】
考點一　二項展開式的通項及其應用(多考向探究)
考向1　求二項展開式中的特定項(或系數)
例1　(1)二項式的展開式中的常數項是(　　)
A．－45 B．－10
C．45 D．65
答案　C
解析　由二項式定理得Tk＋1＝C·(－x2)k＝(－1)kCx，令－5＝0得k＝2，所以常數項為(－1)2C＝45.
(2)(2023·天津高考)在的展開式中，x2的系數是________．
答案　60
解析　解法一：二項式展開式的通項為Tk＋1＝C(2x3)6－k＝(－1)k26－kCx18－4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系數為(－1)4×22×C＝60.
解法二：將二項式看成6個多項式相乘，要想出現x2項，則先在2個多項式中分別取2x3，然后在余下的多項式中都?。?，相乘，即C(2x3)2×C＝60x2，所以x2的系數為60.
【通性通法】
求二項展開式中特定項的步驟
【鞏固遷移】
1．(2023·江蘇無錫江陰模擬)二項式(1＋2x)2＋(1＋2x)3＋…＋(1＋2x)7的展開式中，含x2項的二項式系數為(　　)
A．84 B．56
C．35 D．21
答案　B
解析　含x2項的二項式系數為C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝56.
2．在二項式(＋x)9的展開式中，常數項是________；系數為有理數的項的個數是________．
答案　16　5
解析　由題意，得(＋x)9的通項為Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0，1，2，…，9)．當k＝0時，可得常數項為T1＝C()9＝16.若展開式的系數為有理數，則k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5個．
考向2　已知兩個因式之積求其特定項
(或系數)
例2　(1)(2024·湖南益陽質量檢測)若(1＋2x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，x∈R，則a2的值為(　　)
A．－20 B．20
C．40 D．60
答案　B
解析　因為(1＋2x)(1－2x)5＝(1－2x)5＋2x(1－2x)5，所以展開式中x2的系數a2＝C(－2)2＋2×C(－2)1＝40－20＝20.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為________(用數字作答)．
答案　－28
解析　展開式中含有x2y6的項為1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6.
【通性通法】
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式的特定項(或系數)問題的思路
(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．
(2)觀察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通項，綜合分析解決問題．
【鞏固遷移】
3．(2024·湖南名校大聯考)(x3＋2)的展開式中的常數項為(　　)
A．80 B．160
C．240 D．320
答案　D
解析　(x3＋2)＝x3·＋2，展開式的通項為Tk＋1＝C(2x)6－k·＝C·26－k·(－1)k·x6－3k，當6－3k＝－3時，k＝3，當6－3k＝0時，k＝2，則原展開式中的常數項為x3·C23(－1)3x－3＋2C24(－1)2＝－160＋480＝320.
考向3　已知三項式求其特定項(或系數)
例3　(1)(2023·佛山模擬)(x－y＋2)5的展開式中，x3y的系數為(　　)
A．80 B．40
C．－80 D．－40
答案　D
解析　(x－y＋2)5＝[x－(y－2)]5的展開式中含x3的項為Cx3(y－2)2，(y－2)2的展開式中含y的項為Cy(－2)，所以(x－y＋2)5的展開式中，x3y的系數為CC(－2)＝－40.
(2)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為________．
答案　30
解析　解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2，其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系數為CC＝30.
解法二：(x2＋x＋y)5表示5個因式(x2＋x＋y)之積．所以x5y2可從兩個因式中取x2，剩余的3個因式中1個取x，其余兩個取y，因此x5y2的系數為CCC＝30.
【通性通法】
求三項展開式中特定項(系數)的方法
【鞏固遷移】
4.的展開式中常數項為(　　)
A．－61 B．－59
C．－57 D．－55
答案　B
解析　將原式看成6個相同的因式相乘，按x的選取個數分類，得展開式中常數項為C＋CC(－2)＋CC(－2)2＝－59.
考點二　二項式系數與各項的系數和問題
例4　(1)(多選)(2024·鹽城調研)在的展開式中，各項系數和與二項式系數和之和為128，則(　　)
A．二項式系數和為64 B．各項系數和為64
C．常數項為－135 D．常數項為135
答案　ABD
解析　在的展開式中，各項系數和與二項式系數和之和為128，令x＝1，得各項系數和為2n，二項式系數和為2n，則2×2n＝128，得n＝6，即二項式系數和為64，各項系數和也為64，故A，B正確；展開式的通項為Tk＋1＝C(3x)6－k·＝C(－1)k36－k·x6－k，令6－k＝0，得k＝4，因此展開式中的常數項為T5＝C(－1)4·32＝135，故D正確．
(2)(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝(　　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
答案　B
解析　令x＝1，則a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，則a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41.故選B.
【通性通法】
(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法．對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
【鞏固遷移】
5．在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數項的二項式系數之和為128，則展開式的中間項的系數為(　　)
A．－960 B．960
C．1120 D．1680
答案　C
解析　根據題意，奇數項的二項式系數之和也應為128，所以在(1－2x)n的展開式中，二項式系數之和為256，即2n＝256，解得n＝8，則(1－2x)8的展開式的中間項為第5項，且T5＝C(－2)4x4＝1120x4，即展開式的中間項的系數為1120.故選C.
6．已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是________．
答案?。?
解析　記f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
考點三　二項展開式中的系數最值問題
例5　(2023·江蘇南京模擬)若(2＋ax)n(a≠0)的展開式中各項的二項式系數之和為512，且第6項的系數最大，則a的取值范圍為________．
答案　[2，3]
解析　2n＝512，n＝9，T6＝C24(ax)5，T5＝C25(ax)4，T7＝C23(ax)6，∵第6項的系數最大，∴則2≤a≤3.故a的取值范圍為[2，3]．
【通性通法】
1．二項式系數最大項的確定方法
當n為偶數時，展開式中第＋1項的二項式系數最大，最大值為Cn；當n為奇數時，展開式中第項和第項的二項式系數最大，最大值為Cn或Cn.
2．二項展開式系數最大項的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數最大的項，一般是采用待定系數法．設展開式各項系數分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數最大，應用注意解出k后要檢驗首末兩項．
【鞏固遷移】
7．(多選)(2024·唐山模擬)下列關于的展開式的說法中正確的是(　　)
A．常數項為－160
B．第4項的系數最大
C．第4項的二項式系數最大
D．所有項的系數和為1
答案　ACD
解析　展開式的通項為Tk＋1＝C·(－2x)k＝(－2)kC·x2k－6.對于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常數項為(－2)3C＝－8×20＝－160，A正確；對于B，由通項知，若要系數最大，k的所有可能取值為0，2，4，6，∴T1＝x－6，T3＝4Cx－2＝60x－2，T5＝(－2)4Cx2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴展開式第5項的系數最大，B錯誤；對于C，展開式共有7項，得第4項的二項式系數最大，C正確；對于D，令x＝1，則所有項的系數和為(1－2)6＝1，D正確．
考點四　二項式定理的綜合應用
例6　(1)(2023·湖北荊州中學模擬)已知m>0，且152024＋m恰能被14整除，則m的取值可以是(　　)
A．1 B．12
C．7 D．27
答案　D
解析　∵152024＋m＝(1＋14)2024＋m＝1＋C141＋C142＋C143＋…＋C142024＋m，故若152024＋m恰能被14整除，只需要1＋m能被14整除即可，又m>0，∴m的取值可以是13，27等．故選D.
(2)(2024·廣東佛山模擬)1.026的近似值(精確到0.01)為(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
答案　B
解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.故選B.
【通性通法】
二項式定理應用的題型及解法
(1)在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形，使被除式(數)展開后的每一項都含有除式的因式．
(2)二項式定理的一個重要用途是做近似計算：當n不很大，|x|比較小時，(1＋x)n≈1＋nx.
【鞏固遷移】
8．(2023·四川綿陽中學模擬)2424被5除的余數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　由題意可知，2424＝(25－1)24，則其展開式的通項為Tk＋1＝C·2524－k·(－1)k(k＝0，1，2，…，24)，由通項可得，只有k＝24時，T25＝C×250×(－1)24＝1不能被5整除，其余項均能被5整除．故2424被5除的余數為1.故選A.
9．(2024·湖南長沙一中階段考試)估算C0.998＋C0.9982＋C0.9983＋C0.9984＋C0.9985的結果，精確到0.01的近似值為(　　)
A．30.84 B．31.84
C．30.40 D．32.16
答案　A
解析　原式＝(1＋0.998)5－1＝(2－0.002)5－1＝C25－C24×0.002＋C23×0.0022－…－C×0.0025－1≈32－0.16－1＝30.84.故選A.
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第二節　二項式定理
課標解讀 考向預測
能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題. 近幾年的高考中考查了二項展開式的通項的應用、二項式定理的正用和逆用，二項式系數的性質與各項的和．預計2025年高考可能會以二項式、三項式或兩因式乘積的形式呈現，考查特定項或特定項的系數，難度中檔.
【知識梳理】
1．二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通項：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數C，C，…，C.
2．二項式系數的性質
(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．
(2)增減性與最大值：當n是偶數時，中間的一項C取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項C與C相等，且同時取得最大值．
3．各二項式系數和
(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
(2)奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
【常用結論】
(a＋b)n的展開式形式上的特點：
(1)項數為n＋1.
(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.
(4)二項式系數從C，C，一直到C，C.
(5)二項式系數與項的系數是完全不同的兩個概念．二項式系數是指C，C，…，C，它只與各項的項數有關，而與a，b的值無關；而項的系數是指該項中除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關，還與a，b的值有關．
(6)(a＋b)n的展開式與(b＋a)n的展開式的項完全相同，但對應的項不相同，而且兩個展開式的通項不同．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項．(　　)
(2)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項．(　　)
(3)(a＋b)n的展開式中，某項的系數與該項的二項式系數一定不同．(　　)
(4)(a＋b)n的展開式中每一項的二項式系數與a，b的值無關．(　　)
2．小題熱身
(1)(x－1)10的展開式的第6項的系數是(　　)
A．C B．－C
C．C D．－C
(2)(人教B選擇性必修第二冊習題3－3A T2改編)的展開式中，x2的系數為(　　)
A．－45 B．－10
C．10 D．45
(3)(多選)(2024·江蘇南京寧海中學模擬)關于的展開式，下列結論正確的是(　　)
A．所有項的二項式系數和為32
B．所有項的系數和為0
C．常數項為－20
D．系數最大的項為第3項
(4)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，則C＋C＋C＋…＋C＝(　　)
A．31 B．32
C．15 D．16
【考點探究】
考點一　二項展開式的通項及其應用(多考向探究)
考向1　求二項展開式中的特定項(或系數)
例1　(1)二項式的展開式中的常數項是(　　)
A．－45 B．－10
C．45 D．65
(2)(2023·天津高考)在的展開式中，x2的系數是________．
解法二：將二項式看成6個多項式相乘，要想出現x2項，則先在2個多項式中分別取2x3，然后在余下的多項式中都取－，相乘，即C(2x3)2×C＝60x2，所以x2的系數為60.
【通性通法】
求二項展開式中特定項的步驟
【鞏固遷移】
1．(2023·江蘇無錫江陰模擬)二項式(1＋2x)2＋(1＋2x)3＋…＋(1＋2x)7的展開式中，含x2項的二項式系數為(　　)
A．84 B．56
C．35 D．21
2．在二項式(＋x)9的展開式中，常數項是________；系數為有理數的項的個數是________．
考向2　已知兩個因式之積求其特定項
(或系數)
例2　(1)(2024·湖南益陽質量檢測)若(1＋2x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，x∈R，則a2的值為(　　)
A．－20 B．20
C．40 D．60
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為________(用數字作答)．
【通性通法】
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式的特定項(或系數)問題的思路
(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．
(2)觀察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通項，綜合分析解決問題．
【鞏固遷移】
3．(2024·湖南名校大聯考)(x3＋2)的展開式中的常數項為(　　)
A．80 B．160
C．240 D．320
考向3　已知三項式求其特定項(或系數)
例3　(1)(2023·佛山模擬)(x－y＋2)5的展開式中，x3y的系數為(　　)
A．80 B．40
C．－80 D．－40
(2)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為________．
【通性通法】
求三項展開式中特定項(系數)的方法
【鞏固遷移】
4.的展開式中常數項為(　　)
A．－61 B．－59
C．－57 D．－55
考點二　二項式系數與各項的系數和問題
例4　(1)(多選)(2024·鹽城調研)在的展開式中，各項系數和與二項式系數和之和為128，則(　　)
A．二項式系數和為64 B．各項系數和為64
C．常數項為－135 D．常數項為135
(2)(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝(　　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
【通性通法】
(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法．對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
【鞏固遷移】
5．在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數項的二項式系數之和為128，則展開式的中間項的系數為(　　)
A．－960 B．960
C．1120 D．1680
6．已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是________．
考點三　二項展開式中的系數最值問題
例5　(2023·江蘇南京模擬)若(2＋ax)n(a≠0)的展開式中各項的二項式系數之和為512，且第6項的系數最大，則a的取值范圍為________．
【通性通法】
1．二項式系數最大項的確定方法
當n為偶數時，展開式中第＋1項的二項式系數最大，最大值為Cn；當n為奇數時，展開式中第項和第項的二項式系數最大，最大值為Cn或Cn.
2．二項展開式系數最大項的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數最大的項，一般是采用待定系數法．設展開式各項系數分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數最大，應用注意解出k后要檢驗首末兩項．
【鞏固遷移】
7．(多選)(2024·唐山模擬)下列關于的展開式的說法中正確的是(　　)
A．常數項為－160
B．第4項的系數最大
C．第4項的二項式系數最大
D．所有項的系數和為1
考點四　二項式定理的綜合應用
例6　(1)(2023·湖北荊州中學模擬)已知m>0，且152024＋m恰能被14整除，則m的取值可以是(　　)
A．1 B．12
C．7 D．27
(2)(2024·廣東佛山模擬)1.026的近似值(精確到0.01)為(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
【通性通法】
二項式定理應用的題型及解法
(1)在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形，使被除式(數)展開后的每一項都含有除式的因式．
(2)二項式定理的一個重要用途是做近似計算：當n不很大，|x|比較小時，(1＋x)n≈1＋nx.
【鞏固遷移】
8．(2023·四川綿陽中學模擬)2424被5除的余數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
9．(2024·湖南長沙一中階段考試)估算C0.998＋C0.9982＋C0.9983＋C0.9984＋C0.9985的結果，精確到0.01的近似值為(　　)
A．30.84 B．31.84
C．30.40 D．32.16
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