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第三節(jié)　隨機事件與概率
課標解讀 考向預測
1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別. 2.理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系. 3.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，會求隨機事件的并、交運算. 4.掌握隨機事件概率的運算法則，了解兩個互斥事件的概率加法公式. 5.理解古典概型及其概率計算公式. 近幾年的高考以考查隨機事件的頻率與概率、古典概型為主，其中古典概型常與排列組合知識交匯考查．預計2025年高考以上題型均可能出現(xiàn)，其中隨機事件的頻率與概率的題目以解答題的形式出現(xiàn)，互斥事件、對立事件的概念及古典概型以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中檔.
【知識梳理】
1．樣本空間和隨機事件
(1)樣本點和有限樣本空間
①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，常用ω表示．
全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．
②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．
(2)隨機事件
①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件．
②表示：大寫字母A，B，C，….
③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件．
2．事件的運算
定義 表示法 圖示
并事件 事件A與事件B至少有一個發(fā)生，稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 事件A與事件B同時發(fā)生，稱這樣一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB)
3．事件的關系
定義 表示法 圖示
包含關系 若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
互斥事件 如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，則A與B互斥
對立事件 如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，則A與B對立
4.概率與頻率
(1)頻率的穩(wěn)定性
一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．
(2)頻率穩(wěn)定性的作用
可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．
5．概率的性質(zhì)
性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質(zhì)5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性質(zhì)6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．古典概型
具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個．
(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．
7．古典概型的概率公式
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．
【常用結(jié)論】
1．概率加法公式的推廣
當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．當隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當隨機事件A，B對立時，一定互斥．也即兩事件互斥是對立的必要不充分條件．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，則A∩B是不可能事件．(　　)
(3)從裝有3個大球、1個小球的袋中取出一球的試驗是古典概型．(　　)
(4)若A∪B是必然事件，則事件A與B是對立事件．(　　)
(5)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”這三個結(jié)果是等可能事件．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊習題10.1 T14改編)從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學的身高超過175 cm的概率為(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
(2)一個射手進行射擊，記事件A1＝“脫靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶環(huán)數(shù)大于4”．則在上述事件中，互斥而不對立的事件是(　　)
A．A1與A2 B．A1與A3
C．A2與A3 D．以上都不對
(3)把語文、數(shù)學、英語、物理4本書從左到右排成一行，則語文書和英語書不相鄰的概率為(　　)
A． B．1
C． D．
【考點探究】
考點一　隨機事件(多考向探究)
考向1　隨機事件的關系及運算
例1　(1)(2024·廣東梅州中學月考)“黑匣子”是飛機專用的電子記錄設備之一，黑匣子有兩個，分別為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器．某興趣小組對黑匣子內(nèi)部構造進行相關課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個黑匣子”，事件C為“至多研究一個黑匣子”，事件D為“兩個黑匣子都研究”．則(　　)
A．A與C是互斥事件
B．B與D是對立事件
C．B與C是對立事件
D．C與D是互斥事件
(2)(多選)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ci＝“點數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“點數(shù)不大于2”，D2＝“點數(shù)不小于2”，D3＝“點數(shù)大于5”；E＝“點數(shù)為奇數(shù)”；F＝“點數(shù)為偶數(shù)”．下列結(jié)論正確的是(　　)
A．C1與C2對立 B．D1與D2不互斥
C．D3 F D．E (D1∩D2)
【通性通法】
事件關系判斷的策略
判斷事件的互斥、對立關系 一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生
判斷事件的交、并關系 一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析，也可類比集合的關系和運用Venn圖分析事件
【鞏固遷移】
1．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D發(fā)生的概率分別是0.2，0.2，0.3，0.3，則下列說法正確的是(　　)
A．A∪B與C是互斥事件，也是對立事件
B．B∪C與D是互斥事件，也是對立事件
C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對立事件
D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件
考向2　隨機事件的頻率與概率
例2　某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：
上年度 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：
出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5
頻數(shù) 60 50 30 30 20 10
(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；
(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；
(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．
解　(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.
(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.
(3)由所給數(shù)據(jù)得
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.
【通性通法】
頻率與概率的關系
區(qū)別 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值
聯(lián)系 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率
【鞏固遷移】
2．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面試驗結(jié)果：
A配方的頻數(shù)分布表
指標值分組 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]
頻數(shù) 8 20 42 22 8
B配方的頻數(shù)分布表
指標值分組 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]
頻數(shù) 4 12 42 32 10
(1)分別估計用A配方、B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標值t的關系為y＝估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的平均利潤．
解　(1)由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3.
由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42.
(2)由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0，當且僅當其質(zhì)量指標值t≥94，由試驗結(jié)果知，質(zhì)量指標值t≥94的頻率為＝0.96，
所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率約為0.96.
用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的平均利潤為×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68元．
考點二　互斥事件與對立事件的概率
例3　(1)人類通常有O，A，B，AB四種血型，某一血型的人可以給哪些血型的人輸血，是有嚴格規(guī)定的．設X代表O，A，B，AB中某種血型，箭頭左邊表示供血者，右邊表示受血者，則輸血規(guī)則如下：①X→X；②O→X；③X→AB.已知我國O，A，B，AB四種血型的人數(shù)所占比例分別為41%，28%，24%，7%，在臨床上，按照上述規(guī)則，若受血者為A型血，則一位供血者能為這位受血者正確輸血的概率為(　　)
A．0.31 B．0.48
C．0.65 D．0.69
(2)某學校成立了數(shù)學、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39，32，33名成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示．現(xiàn)隨機選取一名成員，則他至少參加2個小組的概率為________，他至多參加2個小組的概率為________．
【通性通法】
求互斥事件概率的一般方法
直接法 將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算
間接法 先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法比較簡便
【鞏固遷移】
3．已知袋子中有10個小球，其中紅球2個，黑球和白球共8個，從中隨機取出一個，設取出紅球為事件A，取出黑球為事件B，隨機事件C與B對立．若P(A∪B)＝0.5，則P(C)＝(　　)
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.8
4．若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數(shù)a的取值范圍為________．
考點三　古典概型
例4　(1)(2024·南通質(zhì)檢)我國數(shù)學家張益唐在“孿生素數(shù)”研究方面取得突破，孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個相差2的素數(shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝(a，b)，n＝(1，1)，則向量m與n所成的角為銳角的概率是(　　)
A． B．
C． D．
(3)已知m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n，則方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是________．
【通性通法】
公式法求解古典概型問題的步驟
【鞏固遷移】
5．將3名男生、1名女生共4名同學分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加社會實踐，每個社區(qū)至少一名同學，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是(　　)
A． B．
C． D．
6．(2022·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．
7．已知函數(shù)y＝x2，集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，現(xiàn)從A中任意取出若干個元素組成函數(shù)y＝x2的定義域D，則函數(shù)y＝x2的值域為{1，4}的概率為________．
考點四　古典概型與統(tǒng)計的交匯問題
例5　為了了解某種新型藥物對治療某種疾病的療效，某機構日前聯(lián)合醫(yī)院，進行了小規(guī)模的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當多的受訪者擔心使用新藥后會有副作用．為了了解使用該種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀，該機構隨機抽取了某地患有這種疾病的275人進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：
新藥 疲乏癥狀 合計
無疲乏癥狀 有疲乏癥狀
未使用新藥 150 25 t
使用新藥 x y 100
合計 225 m 275
(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否判斷有無疲乏癥狀與是否使用該新藥有關？
(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽出4人，再從這4人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解　(1)由數(shù)表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，
零假設為H0：有無疲乏癥狀與是否使用該新藥無關．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝＝≈4.911＞3.841＝x0.05.
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為有無疲乏癥狀與是否使用該新藥有關．
(2)從使用新藥的100人中用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取4人的抽樣比為＝，則抽取有疲乏癥狀的人數(shù)為×25＝1，無疲乏癥狀的人數(shù)為3，
記“這2人中恰有1人有疲乏癥狀”為事件M，于是P(M)＝＝，所以這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率是.
【通性通法】
有關古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型．概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準確從題中提煉信息是解題的關鍵．復雜事件的概率問題可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}．
【鞏固遷移】
8．為了調(diào)查國企員工對現(xiàn)行個稅法的滿意程度，研究人員在某地各個國企中隨機抽取了1000名員工進行調(diào)查，并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖，其中a＝4b.
(1)求a，b的值并估計被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)；(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))
(2)若采用比例分配的分層隨機抽樣方法從[50，60)，[60，70)中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數(shù)在[50，60)的概率．
解　(1)依題意，得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006，
所以中位數(shù)為70＋≈75.14.
(2)依題意，知分數(shù)在[50，60)的員工抽取了2人，記為a，b，分數(shù)在[60，70)的員工抽取了6人，記為1，2，3，4，5，6，
所以從這8人中隨機抽取2人的所有的情況有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共28種，
其中滿足條件的有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，共13種，
設“至少有1人的分數(shù)在[50，60)”為事件A，則P(A)＝.
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第三節(jié)　隨機事件與概率
課標解讀 考向預測
1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別. 2.理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系. 3.了解隨機事件的并、交與互斥的含義，會求隨機事件的并、交運算. 4.掌握隨機事件概率的運算法則，了解兩個互斥事件的概率加法公式. 5.理解古典概型及其概率計算公式. 近幾年的高考以考查隨機事件的頻率與概率、古典概型為主，其中古典概型常與排列組合知識交匯考查．預計2025年高考以上題型均可能出現(xiàn)，其中隨機事件的頻率與概率的題目以解答題的形式出現(xiàn)，互斥事件、對立事件的概念及古典概型以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中檔.
【知識梳理】
1．樣本空間和隨機事件
(1)樣本點和有限樣本空間
①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，常用ω表示．
全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．
②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．
(2)隨機事件
①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件．
②表示：大寫字母A，B，C，….
③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件．
2．事件的運算
定義 表示法 圖示
并事件 事件A與事件B至少有一個發(fā)生，稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 事件A與事件B同時發(fā)生，稱這樣一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB)
3．事件的關系
定義 表示法 圖示
包含關系 若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
互斥事件 如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，則A與B互斥
對立事件 如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，則A與B對立
4.概率與頻率
(1)頻率的穩(wěn)定性
一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．
(2)頻率穩(wěn)定性的作用
可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．
5．概率的性質(zhì)
性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質(zhì)5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性質(zhì)6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．古典概型
具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個．
(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．
7．古典概型的概率公式
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．
【常用結(jié)論】
1．概率加法公式的推廣
當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．當隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當隨機事件A，B對立時，一定互斥．也即兩事件互斥是對立的必要不充分條件．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，則A∩B是不可能事件．(　　)
(3)從裝有3個大球、1個小球的袋中取出一球的試驗是古典概型．(　　)
(4)若A∪B是必然事件，則事件A與B是對立事件．(　　)
(5)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”這三個結(jié)果是等可能事件．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊習題10.1 T14改編)從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學的身高超過175 cm的概率為(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
答案　B
解析　由題意知該同學的身高小于160 cm的概率、該同學的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率和該同學的身高超過175 cm的概率和為1，故所求概率為1－0.2－0.5＝0.3.
(2)一個射手進行射擊，記事件A1＝“脫靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶環(huán)數(shù)大于4”．則在上述事件中，互斥而不對立的事件是(　　)
A．A1與A2 B．A1與A3
C．A2與A3 D．以上都不對
答案　B
解析　射手進行射擊時，事件A1＝“脫靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶環(huán)數(shù)大于4”，事件A1與A2不可能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，即事件A1與A2互斥且對立，A不正確；事件A1與A3不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，即事件A1與A3互斥不對立，B正確；事件A2與A3可以同時發(fā)生，即事件A2與A3不互斥不對立，C不正確，顯然D不正確．
(3)把語文、數(shù)學、英語、物理4本書從左到右排成一行，則語文書和英語書不相鄰的概率為(　　)
A． B．1
C． D．
答案　C
解析　根據(jù)題意，語文、數(shù)學、英語、物理4本書從左到右排成一行，有A＝24種不同的排法，若語文書和英語書不相鄰，其排法有AA＝12種，則語文書和英語書不相鄰的概率P＝＝.
【考點探究】
考點一　隨機事件(多考向探究)
考向1　隨機事件的關系及運算
例1　(1)(2024·廣東梅州中學月考)“黑匣子”是飛機專用的電子記錄設備之一，黑匣子有兩個，分別為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器．某興趣小組對黑匣子內(nèi)部構造進行相關課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個黑匣子”，事件C為“至多研究一個黑匣子”，事件D為“兩個黑匣子都研究”．則(　　)
A．A與C是互斥事件
B．B與D是對立事件
C．B與C是對立事件
D．C與D是互斥事件
答案　D
解析　事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”；事件B為“至少研究一個黑匣子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；事件C為“至多研究一個黑匣子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或“兩個黑匣子都不研究”；事件D為“兩個黑匣子都研究”，即“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”．對于A，事件A與事件C不是互斥事件，故A不正確；對于B，事件B與事件D不是對立事件，故B不正確；對于C，事件B與事件C不是對立事件，故C不正確；對于D，事件C和事件D不能同時發(fā)生，故C與D是互斥事件，故D正確．故選D.
(2)(多選)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：Ci＝“點數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“點數(shù)不大于2”，D2＝“點數(shù)不小于2”，D3＝“點數(shù)大于5”；E＝“點數(shù)為奇數(shù)”；F＝“點數(shù)為偶數(shù)”．下列結(jié)論正確的是(　　)
A．C1與C2對立 B．D1與D2不互斥
C．D3 F D．E (D1∩D2)
答案　BC
解析　對于A，C1＝“點數(shù)為1”，C2＝“點數(shù)為2”，C1與C2互斥但不對立，故A不正確；對于B，D1＝“點數(shù)不大于2”，D2＝“點數(shù)不小于2”，當出現(xiàn)的點數(shù)是2時，D1與D2同時發(fā)生，所以D1與D2不互斥，故B正確；對于C，D3＝“點數(shù)大于5”表示出現(xiàn)6點，F(xiàn)＝“點數(shù)為偶數(shù)”，所以D3發(fā)生時F一定發(fā)生，所以D3 F，故C正確；對于D，D1∩D2表示兩個事件同時發(fā)生，即出現(xiàn)2點，E＝“點數(shù)為奇數(shù)”，所以D1∩D2發(fā)生，事件E不發(fā)生，所以E (D1∩D2)不正確，故D不正確．
【通性通法】
事件關系判斷的策略
判斷事件的互斥、對立關系 一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生
判斷事件的交、并關系 一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析，也可類比集合的關系和運用Venn圖分析事件
【鞏固遷移】
1．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D發(fā)生的概率分別是0.2，0.2，0.3，0.3，則下列說法正確的是(　　)
A．A∪B與C是互斥事件，也是對立事件
B．B∪C與D是互斥事件，也是對立事件
C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對立事件
D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件
答案　D
解析　對于A，A∪B與C是互斥事件，但不對立，因為P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A錯誤；對于B，B∪C與D是互斥事件，但不對立，因為P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B錯誤；對于C，A∪C與B∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C錯誤；對于D，A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正確．
考向2　隨機事件的頻率與概率
例2　某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：
上年度 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：
出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5
頻數(shù) 60 50 30 30 20 10
(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；
(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；
(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．
解　(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.
(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.
(3)由所給數(shù)據(jù)得
保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.
【通性通法】
頻率與概率的關系
區(qū)別 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值
聯(lián)系 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率
【鞏固遷移】
2．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面試驗結(jié)果：
A配方的頻數(shù)分布表
指標值分組 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]
頻數(shù) 8 20 42 22 8
B配方的頻數(shù)分布表
指標值分組 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]
頻數(shù) 4 12 42 32 10
(1)分別估計用A配方、B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標值t的關系為y＝估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的平均利潤．
解　(1)由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3.
由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42.
(2)由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0，當且僅當其質(zhì)量指標值t≥94，由試驗結(jié)果知，質(zhì)量指標值t≥94的頻率為＝0.96，
所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率約為0.96.
用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的平均利潤為×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68元．
考點二　互斥事件與對立事件的概率
例3　(1)人類通常有O，A，B，AB四種血型，某一血型的人可以給哪些血型的人輸血，是有嚴格規(guī)定的．設X代表O，A，B，AB中某種血型，箭頭左邊表示供血者，右邊表示受血者，則輸血規(guī)則如下：①X→X；②O→X；③X→AB.已知我國O，A，B，AB四種血型的人數(shù)所占比例分別為41%，28%，24%，7%，在臨床上，按照上述規(guī)則，若受血者為A型血，則一位供血者能為這位受血者正確輸血的概率為(　　)
A．0.31 B．0.48
C．0.65 D．0.69
答案　D
解析　若受血者為A型血，則O型血和A型血可以為這位受血者輸血，所以一位供血者能為這位受血者正確輸血的概率為0.41＋0.28＝0.69.
(2)某學校成立了數(shù)學、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39，32，33名成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示．現(xiàn)隨機選取一名成員，則他至少參加2個小組的概率為________，他至多參加2個小組的概率為________．
答案　　
解析　記“恰好參加2個小組”為事件A，“恰好參加3個小組”為事件B，隨機選取一名成員，恰好參加2個小組的概率P(A)＝＋＋＝，恰好參加3個小組的概率P(B)＝＝，則至少參加2個小組的概率為P(A)＋P(B)＝＋＝，至多參加2個小組的概率為1－P(B)＝1－＝.
【通性通法】
求互斥事件概率的一般方法
直接法 將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算
間接法 先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法比較簡便
【鞏固遷移】
3．已知袋子中有10個小球，其中紅球2個，黑球和白球共8個，從中隨機取出一個，設取出紅球為事件A，取出黑球為事件B，隨機事件C與B對立．若P(A∪B)＝0.5，則P(C)＝(　　)
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.8
答案　C
解析　由題意可知，P(A)＝＝0.2.因為A與B互斥且P(A∪B)＝0.5，所以P(B)＝0.3.又因為隨機事件C與B對立，所以P(C)＝1－0.3＝0.7.
4．若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數(shù)a的取值范圍為________．
答案　
解析　由題意可知
即即解得＜a≤.故實數(shù)a的取值范圍為.
考點三　古典概型
例4　(1)(2024·南通質(zhì)檢)我國數(shù)學家張益唐在“孿生素數(shù)”研究方面取得突破，孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個相差2的素數(shù)，例如5和7.在大于3且不超過20的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　大于3且不超過20的素數(shù)為5，7，11，13，17，19，共6個，隨機選取2個不同的數(shù)，分別為(5，7)，(5，11)，(5，13)，(5，17)，(5，19)，(7，11)，(7，13)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)，共15種選法，其中恰好是一組孿生素數(shù)的有(5，7)，(11，13)，(17，19)，共3種，故隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為＝.
(2)已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝(a，b)，n＝(1，1)，則向量m與n所成的角為銳角的概率是(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　向量m與n所成的角為銳角等價于m·n>0，且m與n的方向不同，即m·n＝(a，b)·(1，1)＝a＋b>0，且a≠b，則滿足條件的向量m有(－1，2)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，共4種，又m的取法共有4×4＝16種，則向量m與n所成的角為銳角的概率是＝.
(3)已知m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n，則方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是________．
答案　
解析　方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則m>n>0，有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共6種，在題設條件下，方程有A＝12種，所以所求概率為P＝＝.
【通性通法】
公式法求解古典概型問題的步驟
【鞏固遷移】
5．將3名男生、1名女生共4名同學分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加社會實踐，每個社區(qū)至少一名同學，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　分配方案的總數(shù)為CA，恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的分法有CA種，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是P＝＝.
6．(2022·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．
答案　
解析　從正方體的8個頂點中任取4個，有n＝C＝70種取法，這4個點在同一個平面的有m＝6＋6＝12種取法，故所求概率P＝＝＝.
7．已知函數(shù)y＝x2，集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，現(xiàn)從A中任意取出若干個元素組成函數(shù)y＝x2的定義域D，則函數(shù)y＝x2的值域為{1，4}的概率為________．
答案　
解析　易知集合A的非空子集有27－1＝127個，即樣本點的總數(shù)為127，記“函數(shù)y＝x2的值域為{1，4}”為事件M，“D中含有2個元素且函數(shù)y＝x2的值域為{1，4}”為事件M1，“D中含有3個元素且函數(shù)y＝x2的值域為{1，4}”為事件M2，“D中含有4個元素且函數(shù)y＝x2的值域為{1，4}”為事件M3，易知M1＋M2＋M3＝M，則M1中含有的樣本點為(－1，－2)，(－1，2)，(1，－2)，(1，2)，共4個；M2中含有的樣本點為(－1，－2，1)，(－1，－2，2)，(－2，1，2)，(－1，1，2)，共4個；M3中含有的樣本點為(－2，－1，1，2)，只有1個．所以P(M)＝P(M1＋M2＋M3)＝P(M1)＋P(M2)＋P(M3)＝＋＋＝.
考點四　古典概型與統(tǒng)計的交匯問題
例5　為了了解某種新型藥物對治療某種疾病的療效，某機構日前聯(lián)合醫(yī)院，進行了小規(guī)模的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當多的受訪者擔心使用新藥后會有副作用．為了了解使用該種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀，該機構隨機抽取了某地患有這種疾病的275人進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：
新藥 疲乏癥狀 合計
無疲乏癥狀 有疲乏癥狀
未使用新藥 150 25 t
使用新藥 x y 100
合計 225 m 275
(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否判斷有無疲乏癥狀與是否使用該新藥有關？
(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽出4人，再從這4人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解　(1)由數(shù)表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，
零假設為H0：有無疲乏癥狀與是否使用該新藥無關．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝＝≈4.911＞3.841＝x0.05.
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為有無疲乏癥狀與是否使用該新藥有關．
(2)從使用新藥的100人中用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取4人的抽樣比為＝，則抽取有疲乏癥狀的人數(shù)為×25＝1，無疲乏癥狀的人數(shù)為3，
記“這2人中恰有1人有疲乏癥狀”為事件M，于是P(M)＝＝，所以這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率是.
【通性通法】
有關古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型．概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準確從題中提煉信息是解題的關鍵．復雜事件的概率問題可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}．
【鞏固遷移】
8．為了調(diào)查國企員工對現(xiàn)行個稅法的滿意程度，研究人員在某地各個國企中隨機抽取了1000名員工進行調(diào)查，并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖，其中a＝4b.
(1)求a，b的值并估計被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)；(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))
(2)若采用比例分配的分層隨機抽樣方法從[50，60)，[60，70)中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數(shù)在[50，60)的概率．
解　(1)依題意，得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006，
所以中位數(shù)為70＋≈75.14.
(2)依題意，知分數(shù)在[50，60)的員工抽取了2人，記為a，b，分數(shù)在[60，70)的員工抽取了6人，記為1，2，3，4，5，6，
所以從這8人中隨機抽取2人的所有的情況有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共28種，
其中滿足條件的有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，共13種，
設“至少有1人的分數(shù)在[50，60)”為事件A，則P(A)＝.
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