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第五節　離散型隨機變量的分布列及數字特征
課標解讀 考向預測
通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征(均值、方差). 預計2025年高考仍將以條件概率、相互獨立事件的概率、全概率公式求概率和分布列、均值與方差的計算、統計為核心，整合構建綜合解答題.
【知識梳理】
1．離散型隨機變量
一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點w，都有唯一的實數X(w)與之對應，我們稱X為隨機變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量的分布列
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．
3．離散型隨機變量的分布列的性質
(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi為隨機變量X的均值或數學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)方差
稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝__(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，并稱__為隨機變量X的標準差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度．
5．兩點分布的分布列及其數字特征
若X服從兩點分布，則分布列如下：
X 0 1
P 1－p p
期望E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．
6．均值與方差的性質
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數)．
【常用結論】
1．隨機變量的線性關系
若X是隨機變量，Y＝aX＋b，a，b是常數，則Y也是隨機變量．
2．判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗．
3．均值與方差的四個常用性質
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)離散型隨機變量是指某一區間內的任意值．(　　)
(2)如果隨機變量X的分布列由下表給出，
X 2 5
P 0.3 0.7
則它服從兩點分布．(　　)
(3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小．(　　)
(4)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
2．小題熱身
(1)袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是(　　)
A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球
C．取到白球的個數 D．取到球的個數
(2)設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝a，i＝1，2，3，則a的值為(　　)
A． B．
C． D．
(3)甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示(　　)
A．甲贏三局
B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局二次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
(4)若隨機變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數，則D(X)的值為________．
【考點探究】
考點一　離散型隨機變量分布列的性質
例1　已知隨機變量X的分布列為
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差數列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．
【通性通法】
離散型隨機變量分布列的性質的應用
應用一 利用“概率之和為1”可以求相關參數的值
應用二 利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率
應用三 可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確
【鞏固遷移】
1．設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求2X＋1的分布列；
(2)求隨機變量Y＝|X－1|的分布列．
考點二　求離散型隨機變量的分布列(多考向探究)
考向1　與互斥事件、獨立事件有關的分布列
例2　甲、乙兩所學校之間進行排球比賽，采用五局三勝制(先贏3局的學校獲勝，比賽結束)，約定比賽規則如下：先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽．按照以往比賽經驗，在男生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為.每局比賽結果相互獨立．
(1)求甲校以3∶1獲勝的概率；
(2)記比賽結束時女生比賽的局數為ξ，求ξ的概率分布列．
【通性通法】
在求幾個互斥事件構成的事件的概率時，一般先利用獨立事件的定義求出各個互斥事件發生的概率，然后用概率加法公式求概率，審題時應注意關鍵詞語，如“至多有一個”“至少有一個”“恰有一個”等，在求復雜事件的概率時，應學會對事件等價分解(互斥事件的和、幾個獨立事件同時發生)，或者考慮結合對立事件求解，從而使問題變得更易解決．
【鞏固遷移】
2．(2023·廣東潮陽實驗、湛江一中、深圳實驗三校聯考)在一個口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的五張卡片，這些卡片除編號不同外其他都相同，從口袋中有放回地摸卡片3次．
(1)求3次摸出卡片的數字之和為奇數的概率；
(2)記這3次中摸出卡片的最大編號數為隨機變量X，求X的分布列．
考向2　與古典概型有關的分布列
例3　(2024·江蘇連云港模擬)某校為校級元旦晚會選拔主持人，現有來自高一年級的參賽選手5名，其中男生2名，高二年級的參賽選手5名，其中男生3名．從這10名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽．
(1)設事件A為“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個年級”，求事件A發生的概率；
(2)設X為選出的4人中男生的人數，求隨機變量X的分布列．
【通性通法】
(1)求古典概型的離散型隨機變量的分布列，要注意應用計數原理、排列組合的知識求樣本點的個數及事件A包含的樣本點的個數，然后應用古典概型的概率公式求概率．
(2)求出分布列后，注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確．
【鞏固遷移】
3．有編號為1，2，3，…，n的n名學生，入座編號為1，2，3，…，n的n個座位，每名學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為X，已知X＝2時，共有6種坐法．
(1)求n的值；
(2)求隨機變量X的分布列．
考點三　離散型隨機變量的數字特征(多考向探究)
考向1　數字特征的計算
例4　某班元旦聯歡晚會上，設計了一個摸球表演節目的游戲：在一個紙盒中裝有1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球，這些球除顏色外完全相同，同學不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止．規定摸到紅球表演兩個節目，摸到白球或黃球表演1個節目，摸到黑球不用表演節目．
(1)求A同學摸球三次后停止摸球的概率；
(2)記X為A同學摸球后表演節目的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望、方差．
【通性通法】
求離散型隨機變量X的數字特征的步驟
(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．
(2)求X取每個值的概率．
(3)寫出X的分布列．
(4)由均值的定義求E(X)．
(5)由方差的定義求D(X)．
注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應用．
【鞏固遷移】
4．(2024·九省聯考)盒中有標記數字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球．
(1)求取出的3個小球上的數字兩兩不同的概率；
(2)記取出的3個小球上的最小數字為X，求X的分布列及數學期望E(X)．
考向2　數字特征的應用
例5　(2024·山西太原模擬)某地區擬建立一個藝術博物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進入最后的招標．現從建筑設計院聘請專家設計了一個招標方案：兩家公司從6個招標問題中隨機抽取3個問題，已知這6個招標問題中，甲公司可正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．
(1)求甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率；
(2)設甲公司答對題數為隨機變量X，求X的分布列、數學期望和方差；
(3)請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標成功的可能性更大？
【通性通法】
隨機變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
【鞏固遷移】
5．某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點投籃與三步上籃兩個項目．每個學生在每個項目投籃5次，以規范動作投中3次為考核合格，定點投籃考核合格得4分，否則得0分；三步上籃考核合格得6分，否則得0分．現將該班學生分為兩組，一組先進行定點投籃考核，一組先進行三步上籃考核，若先考核的項目不合格，則無需進行下一個項目，直接判定為考核不合格；若先考核的項目合格，則進入下一個項目進行考核，無論第二個項目考核是否合格都結束考核．已知小明定點投籃考核合格的概率為0.8，三步上籃考核合格的概率為0.7，且每個項目考核合格的概率與考核次序無關．
(1)若小明先進行定點投籃考核，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
(2)為使累計得分的均值最大，小明應選擇先進行哪個項目的考核？并說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第五節　離散型隨機變量的分布列及數字特征
課標解讀 考向預測
通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數字特征(均值、方差). 預計2025年高考仍將以條件概率、相互獨立事件的概率、全概率公式求概率和分布列、均值與方差的計算、統計為核心，整合構建綜合解答題.
【知識梳理】
1．離散型隨機變量
一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點w，都有唯一的實數X(w)與之對應，我們稱X為隨機變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量．
2．離散型隨機變量的分布列
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．
3．離散型隨機變量的分布列的性質
(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi為隨機變量X的均值或數學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
(2)方差
稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝__(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，并稱__為隨機變量X的標準差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度．
5．兩點分布的分布列及其數字特征
若X服從兩點分布，則分布列如下：
X 0 1
P 1－p p
期望E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．
6．均值與方差的性質
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數)．
【常用結論】
1．隨機變量的線性關系
若X是隨機變量，Y＝aX＋b，a，b是常數，則Y也是隨機變量．
2．判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗．
3．均值與方差的四個常用性質
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)離散型隨機變量是指某一區間內的任意值．(　　)
(2)如果隨機變量X的分布列由下表給出，
X 2 5
P 0.3 0.7
則它服從兩點分布．(　　)
(3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小．(　　)
(4)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．小題熱身
(1)袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是(　　)
A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球
C．取到白球的個數 D．取到球的個數
答案　C
解析　A，B表述的都是隨機事件；D是確定的值2，并不隨機；C是隨機變量，可能取值為0，1，2.
(2)設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝a，i＝1，2，3，則a的值為(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由題意a＝1，a＝.
(3)甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示(　　)
A．甲贏三局
B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局二次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
答案　D
解析　因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故{ξ＝3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．
(4)若隨機變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數，則D(X)的值為________．
答案　0
解析　因為P(X＝c)＝1，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.
【考點探究】
考點一　離散型隨機變量分布列的性質
例1　已知隨機變量X的分布列為
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差數列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．
答案　　
解析　因為a，b，c成等差數列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，因此P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根據分布列的性質，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.故公差d的取值范圍是.
【通性通法】
離散型隨機變量分布列的性質的應用
應用一 利用“概率之和為1”可以求相關參數的值
應用二 利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率
應用三 可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確
【鞏固遷移】
1．設離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求2X＋1的分布列；
(2)求隨機變量Y＝|X－1|的分布列．
解　(1)由分布列的性質知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表為
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
從而2X＋1的分布列為
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由(1)知m＝0.3，列表為
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
所以P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(Y＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(Y＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故Y＝|X－1|的分布列為
Y 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
考點二　求離散型隨機變量的分布列(多考向探究)
考向1　與互斥事件、獨立事件有關的分布列
例2　甲、乙兩所學校之間進行排球比賽，采用五局三勝制(先贏3局的學校獲勝，比賽結束)，約定比賽規則如下：先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽．按照以往比賽經驗，在男生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為.每局比賽結果相互獨立．
(1)求甲校以3∶1獲勝的概率；
(2)記比賽結束時女生比賽的局數為ξ，求ξ的概率分布列．
解　(1)甲校以3∶1獲勝，則甲校在第四局獲勝，前三局勝兩局，
P＝C××××＋××＝＋＝.
(2)ξ的所有可能取值為1，2，3，
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝＋C××××＋××＝，
P(ξ＝3)＝1－－＝，
故ξ的概率分布列為
ξ 1 2 3
P
【通性通法】
在求幾個互斥事件構成的事件的概率時，一般先利用獨立事件的定義求出各個互斥事件發生的概率，然后用概率加法公式求概率，審題時應注意關鍵詞語，如“至多有一個”“至少有一個”“恰有一個”等，在求復雜事件的概率時，應學會對事件等價分解(互斥事件的和、幾個獨立事件同時發生)，或者考慮結合對立事件求解，從而使問題變得更易解決．
【鞏固遷移】
2．(2023·廣東潮陽實驗、湛江一中、深圳實驗三校聯考)在一個口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的五張卡片，這些卡片除編號不同外其他都相同，從口袋中有放回地摸卡片3次．
(1)求3次摸出卡片的數字之和為奇數的概率；
(2)記這3次中摸出卡片的最大編號數為隨機變量X，求X的分布列．
解　(1)依題意，摸一次編號為奇數的概率為，編號為偶數的概率為，
要使3次摸出卡片的數字之和為奇數，則有1次或3次摸出的為奇數卡片，
所以概率P＝C××＋＝.
(2)依題意，X的所有可能取值為1，2，3，4，5，
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝C××＋C××＋C×＝，
P(X＝3)＝C××＋C××＋C×＝，
P(X＝4)＝C××＋C××＋C×＝，
P(X＝5)＝C××＋C××＋C×＝，
所以X的分布列為
X 1 2 3 4 5
P
考向2　與古典概型有關的分布列
例3　(2024·江蘇連云港模擬)某校為校級元旦晚會選拔主持人，現有來自高一年級的參賽選手5名，其中男生2名，高二年級的參賽選手5名，其中男生3名．從這10名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽．
(1)設事件A為“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個年級”，求事件A發生的概率；
(2)設X為選出的4人中男生的人數，求隨機變量X的分布列．
解　(1)由題意可知，從這10名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽共有C＝210種選法，
事件A的選法共有CC＋CC＝40種，
故P(A)＝＝.
(2)由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
由于P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)，
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
【通性通法】
(1)求古典概型的離散型隨機變量的分布列，要注意應用計數原理、排列組合的知識求樣本點的個數及事件A包含的樣本點的個數，然后應用古典概型的概率公式求概率．
(2)求出分布列后，注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確．
【鞏固遷移】
3．有編號為1，2，3，…，n的n名學生，入座編號為1，2，3，…，n的n個座位，每名學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為X，已知X＝2時，共有6種坐法．
(1)求n的值；
(2)求隨機變量X的分布列．
解　(1)因為當X＝2時，有C種方法，
又C＝6，即＝6，也即n2－n－12＝0，
解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因為學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為X，
由題意可知X的可能取值為0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的分布列為
X 0 2 3 4
P
考點三　離散型隨機變量的數字特征(多考向探究)
考向1　數字特征的計算
例4　某班元旦聯歡晚會上，設計了一個摸球表演節目的游戲：在一個紙盒中裝有1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球，這些球除顏色外完全相同，同學不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止．規定摸到紅球表演兩個節目，摸到白球或黃球表演1個節目，摸到黑球不用表演節目．
(1)求A同學摸球三次后停止摸球的概率；
(2)記X為A同學摸球后表演節目的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望、方差．
解　(1)設“A同學摸球三次后停止摸球”為事件E，則P(E)＝＝，
故A同學摸球三次后停止摸球的概率為.
(2)隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
方差D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.
【通性通法】
求離散型隨機變量X的數字特征的步驟
(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．
(2)求X取每個值的概率．
(3)寫出X的分布列．
(4)由均值的定義求E(X)．
(5)由方差的定義求D(X)．
注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應用．
【鞏固遷移】
4．(2024·九省聯考)盒中有標記數字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球．
(1)求取出的3個小球上的數字兩兩不同的概率；
(2)記取出的3個小球上的最小數字為X，求X的分布列及數學期望E(X)．
解　(1)記“取出的3個小球上的數字兩兩不同”為事件M，
先確定3個不同數字的小球，有C種方法，
然后每種小球各取1個，有C×C×C種取法，
所以P(M)＝＝.
(2)由題意可知，X的所有可能取值為1，2，3，
當X＝1時，有兩種情況：只有一個數字為1的小球，有兩個數字為1的小球，
所以P(X＝1)＝＝；
當X＝2時，有兩種情況：只有一個數字為2的小球，有兩個數字為2的小球，
所以P(X＝2)＝＝；
當X＝3時，有兩種情況：只有一個數字為3的小球，有兩個數字為3的小球，
所以P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
考向2　數字特征的應用
例5　(2024·山西太原模擬)某地區擬建立一個藝術博物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進入最后的招標．現從建筑設計院聘請專家設計了一個招標方案：兩家公司從6個招標問題中隨機抽取3個問題，已知這6個招標問題中，甲公司可正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．
(1)求甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率；
(2)設甲公司答對題數為隨機變量X，求X的分布列、數學期望和方差；
(3)請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標成功的可能性更大？
解　(1)記“甲、乙兩家公司共答對2道題”為事件A，它是甲、乙各答對1道題的事件、甲答對2題乙沒答對題的事件和，它們互斥，
則有P(A)＝×C＋×＝，所以甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率是.
(2)設甲公司答對題數為X，則X的所有可能取值為1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
則X的分布列為
X 1 2 3
P
期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，方差D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
(3)設乙公司答對題數為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C××＝，
P(Y＝3)＝＝，
則Y的分布列為
Y 0 1 2 3
P
期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，
方差D(Y)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，
顯然E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲公司競標成功的可能性更大．
【通性通法】
隨機變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
【鞏固遷移】
5．某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點投籃與三步上籃兩個項目．每個學生在每個項目投籃5次，以規范動作投中3次為考核合格，定點投籃考核合格得4分，否則得0分；三步上籃考核合格得6分，否則得0分．現將該班學生分為兩組，一組先進行定點投籃考核，一組先進行三步上籃考核，若先考核的項目不合格，則無需進行下一個項目，直接判定為考核不合格；若先考核的項目合格，則進入下一個項目進行考核，無論第二個項目考核是否合格都結束考核．已知小明定點投籃考核合格的概率為0.8，三步上籃考核合格的概率為0.7，且每個項目考核合格的概率與考核次序無關．
(1)若小明先進行定點投籃考核，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
(2)為使累計得分的均值最大，小明應選擇先進行哪個項目的考核？并說明理由．
解　(1)由已知可得，X的所有可能取值為0，4，10，
則P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，
P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，
所以X的分布列為
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
(2)小明應選擇先進行定點投籃考核，理由如下：
由(1)可知，小明先進行定點投籃考核，累計得分的均值為
E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，
若小明先進行三步上籃考核，記Y為小明的累計得分，
則Y的所有可能取值為0，6，10，
P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，
P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，
P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，
則Y的均值為E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因為E(X)>E(Y)，所以為使累計得分的均值最大，小明應選擇先進行定點投籃考核．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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