資源簡介

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第六節　二項分布、超幾何分布、正態分布
課標解讀 考向預測
1.了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題. 2.了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題. 3.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量，通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征. 4.了解正態分布的均值、方差及其含義. 預計2025年高考可能將二項分布或超幾何分布與數字特征綜合起來呈現，也可能將正態分布與數據的統計分析綜合起來呈現.
【知識梳理】
1．伯努利試驗與二項分布
(1)伯努利試驗
只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
(2)二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．
(3)二項分布的均值、方差
若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超幾何分布
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品．從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．其均值E(X)＝，D(X)＝.
3．正態分布
(1)正態曲線
函數f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數，我們稱函數f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線．
(2)正態曲線的特點
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
③曲線在x＝μ處達到峰值；
④曲線與x軸圍成的面積為1；
⑤在參數σ取固定值時，正態曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖1所示；
⑥當μ取定值時，正態曲線的形狀由σ確定，σ較小時，峰值高，正態曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，峰值低，正態曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖2所示．
(3)正態分布的定義及表示
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)＝e，x∈R，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態分布．
(4)3σ原則
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(5)正態分布的均值與方差
若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
【常用結論】
1．二項分布當n＝1時就是兩點分布．
2．“二項分布”與“超幾何分布”的區別：有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理．
3．若X服從正態分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態曲線關于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1解題．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)n重伯努利試驗中各次試驗的結果相互獨立．(　　)
(2)正態分布是對連續型隨機變量而言的．(　　)
(3)X表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數，則X服從二項分布．(　　)
(4)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數X服從超幾何分布．(　　)
(5)正態分布中的參數μ和σ完全確定了正態分布密度函數，參數μ是正態分布的均值，σ是正態分布的標準差．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教B選擇性必修第二冊 4.2.4練習A T4改編)設50個產品中有10個次品，任取產品20個，取到的次品可能有X個，則E(X)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)(人教B選擇性必修第二冊 4.2.5練習B T2改編)隨機變量X～N(8，σ2)，若P(7≤X≤9)＝0.4，則P(X>9)＝(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
(3)設某實驗成功率是失敗率的3倍，3次實驗成功的次數為隨機變量ξ，則P(ξ＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
(4)已知隨機變量X服從二項分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3，則D(aX－3)＝________．
【考點探究】
考點一　二項分布及其應用
例1　(2023·武漢聯考)在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是.
(1)求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；
(2)若該運動員能打破世界紀錄的項目數為X，求X的分布列及均值．
【通性通法】
二項分布概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三個條件：
(1)在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數p；
(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；
(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了k次的概率．
【鞏固遷移】
1．為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模式，“3”是語文、外語、數學三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目．某學校為做好選課走班教學，給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中A組合：物理、化學、生物，B組合：歷史、政治、地理，C組合：物理、化學、地理，根據選課數據得到，選擇A組合的概率為，選擇B組合的概率為，選擇C組合的概率為，甲、乙、丙三位同學每人選課是相互獨立的．
(1)求這三位同學恰好選擇互不相同的組合的概率；
(2)記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數，求η的分布列及均值．
考點二　超幾何分布及其應用
例2　(2023·天津模擬)某大學生志愿者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．
(1)求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率；
(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列及期望．
【通性通法】
1．隨機變量是否服從超幾何分布的判斷
若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取n次；(2)隨機變量X表示抽取到的次品件數(或類似事件)，反之亦然．
2．求超幾何分布的分布列的步驟
步驟一 驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N，M，n的值
步驟二 根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率
步驟三 列出分布列
【鞏固遷移】
2．第三十一屆世界大學生夏季運動會于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕．來自113個國家和地區的6500名運動員在此屆運動會上展現了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優異的狀態譜寫了青春、團結、友誼的新篇章．外國運動員在返家時紛紛購買紀念品，尤其對中國的唐裝頗感興趣．現隨機對200名外國運動員(其中男性120名，女性80名)就是否有興趣購買唐裝進行了解，統計結果如下：
有興趣 無興趣 合計
男性運動員 80 40 120
女性運動員 40 40 80
合計 120 80 200
(1)是否有99%的把握認為“外國運動員對唐裝是否感興趣與性別有關”；
(2)按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，再從中任意抽取3名運動員作進一步采訪，記3名運動員中男性有X名，求X的分布列與數學期望．
參考公式：χ2＝.
臨界值表：
α 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
考點三　正態分布及其應用(多考向探究)
考向1　正態曲線及正態分布的概率計算
例3　(1)(多選)(2024·哈爾濱模擬)某市有甲、乙兩個工廠生產同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正態曲線如圖所示，則下列結論中正確的是(　　)
A．甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值
B．甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值
C．甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
D．甲工廠生產零件尺寸的穩定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝________．
【通性通法】
利用正態曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意活用下面兩個結論：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X＜μ－σ)＝P(X>μ＋σ)．
【鞏固遷移】
3．(2024·惠州調研)若隨機變量X滿足正態分布N(μ，σ2)，則有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.現有20000人參加數學測試，成績大致服從正態分布N(100，102)，則可估計本次數學測試成績在120分以上的學生人數為(　　)
A．1587 B．228
C．455 D．3174
4.(多選)(2023·石家莊模擬)若隨機變量X～N(1，σ2)，且正態分布N(1，σ2)的正態密度曲線如圖所示，則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是(　　)
A．－P(X≤0)
B．－P(X≥2)
C．P(X≤2)－P(X≤0)
D．－P(1≤X≤2)
考向2　正態分布的實際應用
例4　(2023·山東濰坊模擬)2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知這種球的質量指標ξ(單位：g)服從正態分布X～N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規則如下(比賽采取5局3勝制)：比賽中以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3∶2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分．第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率為p(0(1)令η＝，則η～N(0，1)，且Φ(a)＝P(η(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3∶1取勝的概率為f(p)，求出f(p)的最大值點p0，并以p0作為p的值，解決下列問題．
①在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為X，求X的分布列；
②已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多)？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由．
參考數據：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
【通性通法】
正態分布出現在解答題中，通常與二項分布、超幾何分布相結合．解決正態分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸為直線x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區間．利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率．
【鞏固遷移】
5．在某大學舉行的自主招生考試中，隨機抽取了100名考生的成績(單位：分)，并把所得數據列成了如下所示的頻數分布表：
組別 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
頻數 5 18 28 26 17 6
(1)求抽取樣本的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；
(2)已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認為這次成績Z服從正態分布N(μ，σ2)(其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2＝161)，且規定82.7分是復試線，那么在這2000名考生中，能進入復試的約有多少人？附：≈12.7，若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.
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第六節　二項分布、超幾何分布、正態分布
課標解讀 考向預測
1.了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題. 2.了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題. 3.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量，通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征. 4.了解正態分布的均值、方差及其含義. 預計2025年高考可能將二項分布或超幾何分布與數字特征綜合起來呈現，也可能將正態分布與數據的統計分析綜合起來呈現.
【知識梳理】
1．伯努利試驗與二項分布
(1)伯努利試驗
只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
(2)二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．
(3)二項分布的均值、方差
若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超幾何分布
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品．從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．其均值E(X)＝，D(X)＝.
3．正態分布
(1)正態曲線
函數f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數，我們稱函數f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線．
(2)正態曲線的特點
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
③曲線在x＝μ處達到峰值；
④曲線與x軸圍成的面積為1；
⑤在參數σ取固定值時，正態曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖1所示；
⑥當μ取定值時，正態曲線的形狀由σ確定，σ較小時，峰值高，正態曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，峰值低，正態曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖2所示．
(3)正態分布的定義及表示
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)＝e，x∈R，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態分布．
(4)3σ原則
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(5)正態分布的均值與方差
若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
【常用結論】
1．二項分布當n＝1時就是兩點分布．
2．“二項分布”與“超幾何分布”的區別：有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理．
3．若X服從正態分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態曲線關于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1解題．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)n重伯努利試驗中各次試驗的結果相互獨立．(　　)
(2)正態分布是對連續型隨機變量而言的．(　　)
(3)X表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數，則X服從二項分布．(　　)
(4)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數X服從超幾何分布．(　　)
(5)正態分布中的參數μ和σ完全確定了正態分布密度函數，參數μ是正態分布的均值，σ是正態分布的標準差．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
2．小題熱身
(1)(人教B選擇性必修第二冊 4.2.4練習A T4改編)設50個產品中有10個次品，任取產品20個，取到的次品可能有X個，則E(X)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
答案　A
解析　由題意知，X服從超幾何分布，則E(X)＝＝4.
(2)(人教B選擇性必修第二冊 4.2.5練習B T2改編)隨機變量X～N(8，σ2)，若P(7≤X≤9)＝0.4，則P(X>9)＝(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
答案　D
解析　∵隨機變量X～N(8，σ2)，P(7≤X≤9)＝0.4，∴P(X>8)＝0.5，P(89)＝0.3.
(3)設某實驗成功率是失敗率的3倍，3次實驗成功的次數為隨機變量ξ，則P(ξ＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由于成功率是失敗率的3倍，所以成功率是，失敗率是，所以P(ξ＝2)＝C××＝.故選A.
(4)已知隨機變量X服從二項分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3，則D(aX－3)＝________．
答案　9
解析　因為X～B(12，0.25)，所以E(X)＝12×0.25＝3，D(X)＝12×0.25×(1－0.25)＝，又E(aX－3)＝aE(X)－3＝3，即3a－3＝3，解得a＝2，所以D(aX－3)＝D(2X－3)＝22D(X)＝4×＝9.
【考點探究】
考點一　二項分布及其應用
例1　(2023·武漢聯考)在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是.
(1)求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；
(2)若該運動員能打破世界紀錄的項目數為X，求X的分布列及均值．
解　(1)依題意知，該運動員在每個項目上“能打破世界紀錄”為獨立事件，并且每個事件發生的概率相同．
設其打破世界紀錄的項目數為隨機變量ξ，設“該運動員至少能打破2項世界紀錄”為事件A，
則P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C××＋C×＝.
(2)由(1)可知X～B，
則P(X＝0)＝C×＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝C×＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
【通性通法】
二項分布概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三個條件：
(1)在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數p；
(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；
(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了k次的概率．
【鞏固遷移】
1．為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模式，“3”是語文、外語、數學三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目．某學校為做好選課走班教學，給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中A組合：物理、化學、生物，B組合：歷史、政治、地理，C組合：物理、化學、地理，根據選課數據得到，選擇A組合的概率為，選擇B組合的概率為，選擇C組合的概率為，甲、乙、丙三位同學每人選課是相互獨立的．
(1)求這三位同學恰好選擇互不相同的組合的概率；
(2)記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數，求η的分布列及均值．
解　用Ai表示第i位同學選擇A組合，用Bi表示第i位同學選擇B組合，用Ci表示第i位同學選擇C組合，i＝1，2，3.
由題意可知，Ai，Bi，Ci互相獨立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.
(1)三位同學恰好選擇互不相同的組合共有A＝6種情況，每種情況的概率相同，故三位同學恰好選擇互不相同的組合的概率
P＝6P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)由題意知，η的所有可能取值為0，1，2，3，且η～B，
所以P(η＝0)＝C××＝，
P(η＝1)＝C××＝，
P(η＝2)＝C××＝，
P(η＝3)＝C××＝，
所以η的分布列為
η 0 1 2 3
P
E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
考點二　超幾何分布及其應用
例2　(2023·天津模擬)某大學生志愿者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．
(1)求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率；
(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列及期望．
解　(1)從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教，樣本點總數n＝C，
設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A，事件A包含的樣本點個數m＝CC＋CC，
則選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為P(A)＝＝.
(2)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【通性通法】
1．隨機變量是否服從超幾何分布的判斷
若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取n次；(2)隨機變量X表示抽取到的次品件數(或類似事件)，反之亦然．
2．求超幾何分布的分布列的步驟
步驟一 驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N，M，n的值
步驟二 根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率
步驟三 列出分布列
【鞏固遷移】
2．第三十一屆世界大學生夏季運動會于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕．來自113個國家和地區的6500名運動員在此屆運動會上展現了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優異的狀態譜寫了青春、團結、友誼的新篇章．外國運動員在返家時紛紛購買紀念品，尤其對中國的唐裝頗感興趣．現隨機對200名外國運動員(其中男性120名，女性80名)就是否有興趣購買唐裝進行了解，統計結果如下：
有興趣 無興趣 合計
男性運動員 80 40 120
女性運動員 40 40 80
合計 120 80 200
(1)是否有99%的把握認為“外國運動員對唐裝是否感興趣與性別有關”；
(2)按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，再從中任意抽取3名運動員作進一步采訪，記3名運動員中男性有X名，求X的分布列與數學期望．
參考公式：χ2＝.
臨界值表：
α 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解　(1)由已知χ2＝＝≈5.556<6.635，
故沒有99%的把握認為“外國運動員對唐裝是否感興趣與性別有關”．
(2)按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，則其中男性運動員有4名，女性運動員有2名，則X＝1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
X的分布列為
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
考點三　正態分布及其應用(多考向探究)
考向1　正態曲線及正態分布的概率計算
例3　(1)(多選)(2024·哈爾濱模擬)某市有甲、乙兩個工廠生產同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正態曲線如圖所示，則下列結論中正確的是(　　)
A．甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值
B．甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值
C．甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
D．甲工廠生產零件尺寸的穩定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
答案　AC
解析　X，Y均服從正態分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，結合正態曲線可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性，故C正確，D錯誤．
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝________．
答案　0.14
解析　因為X～N(2，σ2)，所以P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，因此P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
【通性通法】
利用正態曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意活用下面兩個結論：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X＜μ－σ)＝P(X>μ＋σ)．
【鞏固遷移】
3．(2024·惠州調研)若隨機變量X滿足正態分布N(μ，σ2)，則有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.現有20000人參加數學測試，成績大致服從正態分布N(100，102)，則可估計本次數學測試成績在120分以上的學生人數為(　　)
A．1587 B．228
C．455 D．3174
答案　C
解析　由題意可知μ＝100，σ＝10，記本次數學測試成績為隨機變量X，由于P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，所以P(80≤X≤120)≈0.9545，因此本次數學測試成績在120分以上的學生約有20000×＝455人．
4.(多選)(2023·石家莊模擬)若隨機變量X～N(1，σ2)，且正態分布N(1，σ2)的正態密度曲線如圖所示，則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是(　　)
A．－P(X≤0)
B．－P(X≥2)
C．P(X≤2)－P(X≤0)
D．－P(1≤X≤2)
答案　ABC
解析　根據正態分布的性質可知，正態密度曲線關于直線x＝1對稱，所以題圖中陰影部分的面積為－P(X≤0)，A正確；根據對稱性，P(X≤0)＝P(X≥2)，所以題圖中陰影部分的面積可表示為P(0≤X≤1)＝－P(X≤0)＝－P(X≥2)，B正確；陰影部分的面積也可以表示為，C正確；陰影部分的面積也可以表示為P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正確．
考向2　正態分布的實際應用
例4　(2023·山東濰坊模擬)2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知這種球的質量指標ξ(單位：g)服從正態分布X～N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規則如下(比賽采取5局3勝制)：比賽中以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3∶2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分．第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率為p(0(1)令η＝，則η～N(0，1)，且Φ(a)＝P(η(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3∶1取勝的概率為f(p)，求出f(p)的最大值點p0，并以p0作為p的值，解決下列問題．
①在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為X，求X的分布列；
②已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多)？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由．
參考數據：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
解　(1)Φ(－2)＝P(η<－2)＝P(ξ<260)，
又P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，
所以Φ(－2)＝P(ξ<260)≈0.5－＝0.5－0.47725＝0.02275.
因為Φ(－2)＝P(η<－2)，根據正態曲線對稱性，Φ(－2)＝P(η<－2)＝P(η>2)，
又因為Φ(2)＝P(η<2)＝1－P(η≥2)，
所以Φ(－2)＋Φ(2)＝1.
(2)f(p)＝Cp3(1－p)＝3p3(1－p)，
f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)．
令f′(p)＝0，得p＝.
當p∈時，f′(p)>0，f(p)在上為增函數；
當p∈時，f′(p)<0，f(p)在上為減函數．
所以f(p)的最大值點p0＝，從而p＝.
①X的所有可能取值為3，2，1，0.
P(X＝3)＝p3＋Cp2(1－p)p＝，
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2p＝，
P(X＝1)＝Cp2(1－p)3＝，
P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)3＝，
所以X的分布列為
X 3 2 1 0
P
②若X＝3，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，則11輪過后的總積分是28分，29>28，所以1班如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，其概率為P(X＝3)＝.
【通性通法】
正態分布出現在解答題中，通常與二項分布、超幾何分布相結合．解決正態分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸為直線x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區間．利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率．
【鞏固遷移】
5．在某大學舉行的自主招生考試中，隨機抽取了100名考生的成績(單位：分)，并把所得數據列成了如下所示的頻數分布表：
組別 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
頻數 5 18 28 26 17 6
(1)求抽取樣本的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；
(2)已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認為這次成績Z服從正態分布N(μ，σ2)(其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2＝161)，且規定82.7分是復試線，那么在這2000名考生中，能進入復試的約有多少人？附：≈12.7，若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.
解　(1)由所得數據列成的頻數分布表，得
＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70.
(2)由(1)知Z～N(70，161)，
所以P(70－12.7≤Z≤70＋12.7)≈0.6827，
所以P(Z>82.7)≈＝0.15865，
所以在這2000名考生中，能進入復試的約有2000×0.15865≈317人．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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