資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第2課時(shí)　三角函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　三角函數(shù)的周期性
例1 (1)函數(shù)f(x)＝atan的最小正周期是(　　)
A．πa B．π|a|
C． D．
(2)函數(shù)f(x)＝cosx＋2cosx的一個(gè)周期為(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
【通性通法】
求三角函數(shù)周期的常用方法
【鞏固遷移】
1．(多選)(2023·山東臨沂調(diào)研)下列函數(shù)中，最小正周期為π的是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|cosx|
C．y＝cos D．y＝tan
2．已知函數(shù)f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期為2π，則ω＝________．
考點(diǎn)二　三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性(多考向探究)
考向1奇偶性
例2 (1)下列函數(shù)中周期是π的偶函數(shù)是(　　)
A．y＝|cosx| B．y＝|cos2x|
C．y＝－sinx D．y＝sinx＋1
(2)(2024·廣東茂名模擬)已知f(x)＝sin(x－α)＋cosx是奇函數(shù)，則tanα＝(　　)
A．1 B．±1
C． D．±
【通性通法】
三角函數(shù)型函數(shù)奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值，則為偶函數(shù)．若y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝＋kπ(k∈Z)．
【鞏固遷移】
3．(2024·北京房山模擬)已知函數(shù)f(x)＝2cos2(x＋θ)－1，則“θ＝＋kπ(k∈Z)”是“f(x)為奇函數(shù)”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．(2023·蘇州八校聯(lián)盟檢測(cè))已知f(x)＝sinx＋cosx，若y＝f(x＋θ)是偶函數(shù)，則cosθ＝________．
考向2對(duì)稱性
例3 (2023·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sin，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(　　)
A．點(diǎn)對(duì)稱 B．點(diǎn)對(duì)稱
C．直線x＝對(duì)稱 D．直線x＝對(duì)稱
【通性通法】
三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解思路和方法
(1)思路：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可結(jié)合y＝sinx圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心求解．
(2)方法：利用整體代換的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即對(duì)稱軸方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為0)．對(duì)于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用類似的方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的圖象無對(duì)稱軸)．
【鞏固遷移】
5．函數(shù)f(x)＝sin＋cos＋2cos2x的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(　　)
A． B．(0，3)
C． D．
6．(2023·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x＝和x＝為函數(shù)y＝f(x)的圖象的兩條對(duì)稱軸，則f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
考點(diǎn)三　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合
例4 (多選)(2024·廈門模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos2－cos2x，則(　　)
A．f(x)的最小正周期為π
B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝＋(k∈Z)
D．f(x)在[0，2π]上有4個(gè)零點(diǎn)
【通性通法】
解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法
先將y＝f(x)化為y＝asinωx＋bcosωx的形式，然后用輔助角公式化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)(如周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．
【鞏固遷移】
7．(多選)(2024·九省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，則(　　)
A．函數(shù)f為偶函數(shù)
B．曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸為直線x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增
D．f(x)的最小值為－2
第2課時(shí)　三角函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　三角函數(shù)的周期性
例1 (1)函數(shù)f(x)＝atan的最小正周期是(　　)
A．πa B．π|a|
C． D．
答案　B
解析　對(duì)于函數(shù)f(x)＝atan，顯然a≠0，所以函數(shù)的最小正周期T＝＝π|a|.故選B.
(2)函數(shù)f(x)＝cosx＋2cosx的一個(gè)周期為(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案　D
解析　易知y1＝cosx，y2＝2cosx的最小正周期分別為2π，4π，則2π，4π的公倍數(shù)4π是f(x)的一個(gè)周期．故選D.
【通性通法】
求三角函數(shù)周期的常用方法
【鞏固遷移】
1．(多選)(2023·山東臨沂調(diào)研)下列函數(shù)中，最小正周期為π的是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|cosx|
C．y＝cos D．y＝tan
答案　ABC
解析　對(duì)于A，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期為π；對(duì)于B，由圖象知y＝|cosx|的最小正周期為π；對(duì)于C，y＝cos的最小正周期T＝＝π；對(duì)于D，y＝tan的最小正周期T＝.
2．已知函數(shù)f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期為2π，則ω＝________．
答案　1
解析　因?yàn)閒(x)＝2＝2sin，f(x)的最小正周期為2π，所以ω＝＝1.
考點(diǎn)二　三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性(多考向探究)
考向1奇偶性
例2 (1)下列函數(shù)中周期是π的偶函數(shù)是(　　)
A．y＝|cosx| B．y＝|cos2x|
C．y＝－sinx D．y＝sinx＋1
答案　A
解析　對(duì)于A，y＝|cosx|為偶函數(shù)，且最小正周期為π，所以A符合題意；對(duì)于B，y＝|cos2x|為偶函數(shù)，最小正周期為，所以B不符合題意；對(duì)于C，y＝－sinx為奇函數(shù)，所以C不符合題意；對(duì)于D，y＝sinx＋1為非奇非偶函數(shù)，所以D不符合題意．故選A.
(2)(2024·廣東茂名模擬)已知f(x)＝sin(x－α)＋cosx是奇函數(shù)，則tanα＝(　　)
A．1 B．±1
C． D．±
答案　B
解析　因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即sin(－α)＋cos0＝0，解得sinα＝，所以cosα＝±，此時(shí)f(x)＝sinxcosα－cosxsinα＋cosx＝sinxcosα＝±sinx，是奇函數(shù)，所以tanα＝±1.故選B.
【通性通法】
三角函數(shù)型函數(shù)奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值，則為偶函數(shù)．若y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝＋kπ(k∈Z)．
【鞏固遷移】
3．(2024·北京房山模擬)已知函數(shù)f(x)＝2cos2(x＋θ)－1，則“θ＝＋kπ(k∈Z)”是“f(x)為奇函數(shù)”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　因?yàn)閒(x)＝2cos2(x＋θ)－1＝cos(2x＋2θ)，若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則2θ＝＋kπ(k∈Z)，解得θ＝＋(k∈Z)，因?yàn)?，因此“θ＝＋kπ(k∈Z)”是“f(x)為奇函數(shù)”的充分不必要條件．故選A.
4．(2023·蘇州八校聯(lián)盟檢測(cè))已知f(x)＝sinx＋cosx，若y＝f(x＋θ)是偶函數(shù)，則cosθ＝________．
答案　±
解析　f(x)＝sinx＋cosx＝sin，由y＝f(x＋θ)是偶函數(shù)，得f(－x＋θ)＝f(x＋θ)，即sin＝sin，所以θ＋－x＝θ＋＋x＋2kπ，k∈Z恒成立或θ＋－x＋θ＋＋x＝π＋2kπ，k∈Z恒成立．顯然θ＋－x＝θ＋＋x＋2kπ，k∈Z不恒成立，故由θ＋－x＋θ＋＋x＝π＋2kπ，k∈Z，得θ＝＋kπ，k∈Z，當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，cosθ＝cos＝cos＝；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，cosθ＝cos＝cos＝－.所以cosθ＝±.
考向2對(duì)稱性
例3 (2023·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sin，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(　　)
A．點(diǎn)對(duì)稱 B．點(diǎn)對(duì)稱
C．直線x＝對(duì)稱 D．直線x＝對(duì)稱
答案　C
解析　由題意，設(shè)2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為(k∈Z)．設(shè)2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝＋(k∈Z)，通過對(duì)比選項(xiàng)可知，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．故選C.
【通性通法】
三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解思路和方法
(1)思路：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可結(jié)合y＝sinx圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心求解．
(2)方法：利用整體代換的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即對(duì)稱軸方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為0)．對(duì)于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用類似的方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的圖象無對(duì)稱軸)．
【鞏固遷移】
5．函數(shù)f(x)＝sin＋cos＋2cos2x的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(　　)
A． B．(0，3)
C． D．
答案　C
解析　f(x)＝sin＋cos＋2cos2x＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos－sin2xsin＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋cos2x－sin2x＋2cos2x＝cos2x＋(1＋cos2x)＝2cos2x＋.由2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，此時(shí)f(x)＝，所以f(x)圖象的對(duì)稱中心為(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為.故選C.
6．(2023·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x＝和x＝為函數(shù)y＝f(x)的圖象的兩條對(duì)稱軸，則f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　D
解析　由題意，＝－＝，不妨設(shè)ω>0，則T＝π，ω＝＝2，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最小值，則2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，則φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，則f(x)＝sin，則f＝sin＝.故選D.
考點(diǎn)三　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合
例4 (多選)(2024·廈門模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos2－cos2x，則(　　)
A．f(x)的最小正周期為π
B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝＋(k∈Z)
D．f(x)在[0，2π]上有4個(gè)零點(diǎn)
答案　ACD
解析　f(x)＝－cos2x＝＋－cos2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，則f(x)的最小正周期為π，A正確；易知f(x)圖象的對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為，B錯(cuò)誤；令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即為f(x)圖象的對(duì)稱軸方程，C正確；由f(x)＝sin＋＝0，得sin＝－，當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，2x－∈，作出函數(shù)y＝sinx的圖象，如圖所示．由圖可知方程sin＝－在[0，2π]上有4個(gè)不同的實(shí)根，即f(x)在[0，2π]上有4個(gè)零點(diǎn)，D正確．
【通性通法】
解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法
先將y＝f(x)化為y＝asinωx＋bcosωx的形式，然后用輔助角公式化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)(如周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．
【鞏固遷移】
7．(多選)(2024·九省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，則(　　)
A．函數(shù)f為偶函數(shù)
B．曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸為直線x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增
D．f(x)的最小值為－2
答案　AC
解析　f(x)＝sin＋cos＝sin2xcos＋sincos2x＋cos2xcos－sin2xsin＝－sin2x＋cos2x－cos2x－sin2x＝－sin2x，即f(x)＝－sin2x.對(duì)于A，f＝－sin＝cos2x，易知為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，令2x＝＋kπ，k∈Z，則x＝＋，k∈Z，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x∈時(shí)，2x∈，y＝sin2x單調(diào)遞減，則f(x)＝－sin2x單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閟in2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－，]，故D錯(cuò)誤．故選AC.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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