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第2課時　簡單的三角恒等變換
【考點探究】
考點一　三角函數式的化簡
例1 2＋＝(　　)
A．2cos2 B．2sin2
C．4sin2＋2cos2 D．2sin2＋4cos2
【通性通法】
1．三角函數式的化簡要遵循“三看”原則
2．三角函數式化簡的方法：弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次．
【鞏固遷移】
1．(2024·江蘇無錫天一中學高三模擬)已知0<θ<π，則＝________．
考點二　三角函數式的求值(多考向探究)
考向1給角求值問題
例2 (1)cos(－75°)的值是(　　)
A． B．
C． D．
(2)化簡：＝(　　)
A． B．2
C． D．－1
(3)cos20°cos40°cos100°＝________．
【通性通法】
解決給角求值問題的技巧
(1)對于非特殊角的三角函數式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角函數公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形．
(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，化分子、分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式．
(3)直接正用、逆用二倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化，一般可以化為特殊角．
(4)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式．
【鞏固遷移】
2．若tanα＝2tan10°，則＝________．
考向2給值求值問題
例3 已知cos＝－，－π<α<0，則cosα＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【通性通法】
給值求值問題的求解思路
【鞏固遷移】
3．已知α∈，cos2α＝，則sin2＝(　　)
A． B．
C． D．
考向3給值求角問題
例4 已知cosα＝，sinβ＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　)
A． B．
C． D．
【通性通法】
已知三角函數值求角的解題步驟
提醒：在根據三角函數值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案．
【鞏固遷移】
4．若cosα＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，則角β的值為(　　)
A． B．
C． D．
例5 設m為實數，已知sinα－cosα＝m－1，則m的取值范圍是________．
【通性通法】
三角恒等變換的綜合應用主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通常是把復雜的三角函數通過恰當的三角變換，轉化為一種簡單的三角函數，再研究轉化后函數的性質．在這個過程中通常利用輔助角公式，將y＝asinx＋bcosx轉化為y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函數的性質，解題時注意觀察角、函數名、結構等特征，注意利用整體思想解決相關問題．
【鞏固遷移】
5．已知函數f(x)＝sin＋cos.
(1)求函數f(x)在區間上的最值；
(2)若cosθ＝，θ∈，求f的值．
第2課時　簡單的三角恒等變換
【考點探究】
考點一　三角函數式的化簡
例1 2＋＝(　　)
A．2cos2 B．2sin2
C．4sin2＋2cos2 D．2sin2＋4cos2
答案　B
解析　2＋＝2＋＝2＋＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∵<2<π，∴cos2<0，∵sin2＋cos2＝sin，0<2＋<π，∴sin2＋cos2>0，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.故選B.
【通性通法】
1．三角函數式的化簡要遵循“三看”原則
2．三角函數式化簡的方法：弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次．
【鞏固遷移】
1．(2024·江蘇無錫天一中學高三模擬)已知0<θ<π，則＝________．
答案　－cosθ
解析　原式＝＝cos·＝.因為0<θ<π，所以0<<，即cos>0，所以原式＝－cosθ.
考點二　三角函數式的求值(多考向探究)
考向1給角求值問題
例2 (1)cos(－75°)的值是(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝×＋×＝.故選C.
(2)化簡：＝(　　)
A． B．2
C． D．－1
答案　A
解析　＝＝
＝＝.故選A.
(3)cos20°cos40°cos100°＝________．
答案　－
解析　cos20°cos40°cos100°＝－cos20°cos40°cos80°
＝－
＝－＝－＝－＝－＝－.
【通性通法】
解決給角求值問題的技巧
(1)對于非特殊角的三角函數式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角函數公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形．
(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，化分子、分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式．
(3)直接正用、逆用二倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化，一般可以化為特殊角．
(4)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式．
【鞏固遷移】
2．若tanα＝2tan10°，則＝________．
答案　3
解析　∵tanα＝2tan10°，
∴＝＝
＝＝
＝＝3.
考向2給值求值問題
例3 已知cos＝－，－π<α<0，則cosα＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　D
解析　因為－π<α<0，所以－<＋α<，又cos＝－<0，所以－<＋α<－，所以sin＝－，所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－.故選D.
【通性通法】
給值求值問題的求解思路
【鞏固遷移】
3．已知α∈，cos2α＝，則sin2＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　∵α∈，∴2α∈，又cos2α＝，∴sin2α＝＝＝，∴sin2＝＝＝＝.故選D.
考向3給值求角問題
例4 已知cosα＝，sinβ＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　∵α∈，β∈，∴sinα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.故選B.
【通性通法】
已知三角函數值求角的解題步驟
提醒：在根據三角函數值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案．
【鞏固遷移】
4．若cosα＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，則角β的值為(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π，由cosα＝，sin(α＋β)＝，得sinα＝，cos(α＋β)＝±.若cos(α＋β)＝，則sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝×－×<0，與sinβ>0矛盾，故舍去；若cos(α＋β)＝－，則cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝，又β∈，∴β＝.故選A.
考點三　三角恒等變換的綜合應用
例5 設m為實數，已知sinα－cosα＝m－1，則m的取值范圍是________．
答案　[－1，3]
解析　sinα－cosα＝2＝2sin＝m－1，因為－1≤sin≤1，所以－2≤2sin≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，則m的取值范圍是[－1，3]．
【通性通法】
三角恒等變換的綜合應用主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通常是把復雜的三角函數通過恰當的三角變換，轉化為一種簡單的三角函數，再研究轉化后函數的性質．在這個過程中通常利用輔助角公式，將y＝asinx＋bcosx轉化為y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函數的性質，解題時注意觀察角、函數名、結構等特征，注意利用整體思想解決相關問題．
【鞏固遷移】
5．已知函數f(x)＝sin＋cos.
(1)求函數f(x)在區間上的最值；
(2)若cosθ＝，θ∈，求f的值．
解　(1)由題意得f(x)＝sin＋cos＝×＝－sin.
因為x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函數f(x)在區間上的最大值為，最小值為－.
(2)因為cosθ＝，θ∈，
所以sinθ＝－，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，
cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－sin＝－(sin2θ－cos2θ)
＝(cos2θ－sin2θ)＝×＝.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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