資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一節　集合
課標解讀 考向預測
1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、符號語言刻畫集合. 2.理解集合之間的包含與相等關系，能識別給定集合的子集，了解全集與空集的含義. 3.理解集合之間的交、并、補的含義，能求兩個集合的并集與交集，能求給定子集的補集. 4.能使用Venn圖表達集合之間的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用. 集合是高考必考內容，重點考查集合的基本運算，以小題形式出現，常聯系不等式的解集，試題難度較低.2025年備考仍以小題為主訓練，在注重集合概念的基礎上，牢固掌握集合的基本關系與運算，適當加強與函數、不等式等知識的聯系，借助數軸和Venn圖等工具解決相關問題.
【知識梳理】
1．元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b A.
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常用數集及記法
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
(5)集合的分類：有限集和無限集．
2．集合間的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集．記作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
3．集合的基本運算
運算 自然語言 符號語言 Venn圖
并集 由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集 由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
補集 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合 UA＝{x|x∈U，且x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
【常用結論】
1．空集的性質：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
2．若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．
3．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
5．集合元素個數公式：若用card表示有限集中元素的個數，則card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)∈Q.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)如果集合B A，那么若元素a不屬于A，則必不屬于B.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，則下列式子正確的是(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
答案　C
(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，則集合A的真子集的個數為(　　)
A．3 B．4
C．8 D．7
答案　D
(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，則圖中陰影部分表示的集合是(　　)
A．{－2，1，2} B．{－1，4，6}
C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6}
答案　A
解析　由圖可知陰影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故陰影部分表示的集合是{－2，1，2}．故選A.
(4)(人教A必修第一冊習題1.3 T4改編)設全集為R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，則 R(A∪B)＝________，( R A)∩B＝________．
答案　{x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或7≤x＜10}
【考點探究】
考點一　集合的基本概念
例1 (1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四個命題正確的是(　　)
A．10以內的素數集合是{1，3，5，7}
B．0與{0}表示同一個集合
C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}
D．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}
答案　D
解析　10以內的素數有2，3，5，7，A錯誤；0是集合{0}中的一個元素，B錯誤；由集合中元素的互異性可知，C錯誤；由集合中元素的無序性可知，D正確．故選D.
(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實數a＝________．
答案　0或1
解析　①當a－3＝－3時，a＝0，此時A＝{－3，－1，－4}；②當2a－1＝－3時，a＝－1，此時A＝{－4，－3，－3}，舍去；③當a2－4＝－3時，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，則當a＝1時，A＝{－2，1，－3}．綜上，a＝0或1.
【通性通法】
與集合中元素有關問題的三個關鍵點
【鞏固遷移】
1．已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2 A，則實數a的取值范圍是(　　)
A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}
C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}
答案　C
解析　由題意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故選C.
2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
答案　A
解析　集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9個元素．故選A.
3．設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則a2024＋b2024＝________．
答案　2
解析　由題意知a≠0，因為{1，a＋b，a}＝，所以a＋b＝0，則＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2024＝1＋1＝2.
考點二　集合間的基本關系
例2 (1)(2023·新課標Ⅱ卷)設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，則a＝(　　)
A．2 B．1
C. D．－1
答案　B
解析　因為A B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，則實數m的取值范圍為________．
答案　(－∞，3]
解析　∵B A，∴若B＝ ，則2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠ ，則解得2≤m≤3.綜上，實數m的取值范圍為(－∞，3]．
【通性通法】
1．判斷集合間關系的三種方法
列舉法 根據題中限定條件把集合元素列舉出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關系
結構法 從元素的結構特點入手，結合通分、化簡、變形等技巧，從元素結構上找差異進行判斷
數軸法 在同一個數軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關系，從而確定集合與集合之間的關系
2.已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．求得參數后，可以把端點值代入進行驗證，以免增解或漏解．
注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮是否存在空集的情況，否則易造成漏解．
【鞏固遷移】
4．設集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關系是(　　)
A．M＝P B．P∈M
C．M?P D．P?M
答案　D
解析　因為P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以P?M.
5．(2024·湖南湘潭模擬)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，則實數m的取值范圍為________．
答案　[－2，2)
解析　若B＝ ，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合題意；若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意；若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此時B＝，不符合題意．綜上所述，實數m的取值范圍為[－2，2)．
考點三　集合的基本運算(多考向探究)
考向1 集合間的交、并、補運算
例3(1)(2023·新課標Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
答案　C
解析　因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C.
(2)(2024·山東濰坊高三上學期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|ex<1}，則A∪B＝(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(－2，0) D．(－1，2)
答案　B
解析　由題意，A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1(3)(2023·全國乙卷)設集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
答案　A
解析　由題意可得M∪N＝{x|x<2}，則 U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正確； UM＝{x|x≥1}，則N∪ UM＝{x|x>－1}，B錯誤；M∩N＝{x|－1【通性通法】
解決集合運算問題的三個技巧
看元素構成 集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵
對集合化簡 有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決
應用數形 離散型數集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；連續型數集的運算，常借助數軸求解
【鞏固遷移】
6．(2022·全國甲卷)設全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，則 U(A∪B)＝(　　)
A．{1，3} B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
答案　D
解析　由題意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以 U(A∪B)＝{－2，0}．故選D.
7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
答案　D
解析　因為M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，N＝{x|3x≥1}＝，所以M∩N＝.故選D.
8.用圖形直觀表示集合的運算關系，最早是由瑞士數學家歐拉所創，故將表示集合運算關系的圖形稱為“歐拉圖”．后來，英國邏輯學家約翰·韋恩在歐拉圖的基礎上創建了世人所熟知的“Venn圖”．則圖中的陰影部分表示的集合為(　　)
A．A∩B∩C B．( UA)∩B∩C
C．A∩( UB)∩C D．A∩B∩( UC)
答案　D
解析　由圖可知，陰影部分在集合A，B的公共部分，且不在集合C中，故圖中的陰影部分表示的集合為A∩B∩( UC)．故選D.
考向2利用集合的運算求參數
例4 (2024·江蘇無錫天一中學高三模擬)已知集合A＝{x∈Z|－1A．(0，4) B．(0，4]
C．(0，3] D．(0，3)
答案　C
解析　由集合A＝{x∈Z|－1【通性通法】
利用集合的運算求參數的方法
注意：確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“＝”，另外千萬不要忘記考慮空集．
【鞏固遷移】
9．(2023·河北衡水中學高三一模)已知集合M＝{x|x≤m}，N＝.若M∪N＝R，則實數m的取值范圍是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，4]
答案　B
解析　由x2－3x－4>0，得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，因為M∪N＝R，M＝(－∞，m]，所以m≥4，即實數m的取值范圍為[4，＋∞)．故選B.
10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1答案　(－∞，－1)∪(0，3)
解析　由題意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因為A∩B≠ ，所以或解得a<－1或0考向3集合語言與思想的運用
例5 某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有________人．
答案　8
解析　設參加數學、物理、化學小組的人構成的集合分別為A，B，C，同時參加數學和化學小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖，由全班共36名同學可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同時參加數學和化學小組的有8人．
【通性通法】
(1)運用集合語言及思想解決實際問題時，注意Venn圖的應用，它是解決集合交、并、補運算的有力工具，先利用Venn圖表示交、并、補的區域，如果在集合外，那么與集合的補集運算有關，如果在公共部分，那么與集合的交集運算有關．
(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理運用．
【鞏固遷移】
11．某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該中學學生總數的比例是(　　)
A．62% B．56%
C．46% D．42%
答案　C
解析　用Venn圖表示該中學喜歡足球和游泳的學生所占比例之間的關系如圖，設既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該中學學生總數的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故選C.
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第一節　集合
課標解讀 考向預測
1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、符號語言刻畫集合. 2.理解集合之間的包含與相等關系，能識別給定集合的子集，了解全集與空集的含義. 3.理解集合之間的交、并、補的含義，能求兩個集合的并集與交集，能求給定子集的補集. 4.能使用Venn圖表達集合之間的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用. 集合是高考必考內容，重點考查集合的基本運算，以小題形式出現，常聯系不等式的解集，試題難度較低.2025年備考仍以小題為主訓練，在注重集合概念的基礎上，牢固掌握集合的基本關系與運算，適當加強與函數、不等式等知識的聯系，借助數軸和Venn圖等工具解決相關問題.
【知識梳理】
1．元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b A.
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常用數集及記法
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
(5)集合的分類：有限集和無限集．
2．集合間的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集．記作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
3．集合的基本運算
運算 自然語言 符號語言 Venn圖
并集 由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集 由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
補集 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合 UA＝{x|x∈U，且x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
【常用結論】
1．空集的性質：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
2．若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．
3．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
5．集合元素個數公式：若用card表示有限集中元素的個數，則card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)∈Q.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)如果集合B A，那么若元素a不屬于A，則必不屬于B.(　　)
2．小題熱身
(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，則下列式子正確的是(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，則集合A的真子集的個數為(　　)
A．3 B．4
C．8 D．7
D
(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，則圖中陰影部分表示的集合是(　　)
A．{－2，1，2} B．{－1，4，6}
C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6}
(4)(人教A必修第一冊習題1.3 T4改編)設全集為R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，則 R(A∪B)＝________，( R A)∩B＝________．
【考點探究】
考點一　集合的基本概念
例1 (1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四個命題正確的是(　　)
A．10以內的素數集合是{1，3，5，7}
B．0與{0}表示同一個集合
C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}
D．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}
(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實數a＝________．
【通性通法】
與集合中元素有關問題的三個關鍵點
【鞏固遷移】
1．已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2 A，則實數a的取值范圍是(　　)
A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}
C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}
2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
3．設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則a2024＋b2024＝________．
考點二　集合間的基本關系
例2 (1)(2023·新課標Ⅱ卷)設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，則a＝(　　)
A．2 B．1
C. D．－1
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，則實數m的取值范圍為________．
【通性通法】
1．判斷集合間關系的三種方法
列舉法 根據題中限定條件把集合元素列舉出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關系
結構法 從元素的結構特點入手，結合通分、化簡、變形等技巧，從元素結構上找差異進行判斷
數軸法 在同一個數軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關系，從而確定集合與集合之間的關系
2.已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．求得參數后，可以把端點值代入進行驗證，以免增解或漏解．
注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮是否存在空集的情況，否則易造成漏解．
【鞏固遷移】
4．設集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關系是(　　)
A．M＝P B．P∈M
C．M?P D．P?M
5．(2024·湖南湘潭模擬)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，則實數m的取值范圍為________．
考點三　集合的基本運算(多考向探究)
考向1 集合間的交、并、補運算
例3(1)(2023·新課標Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
(2)(2024·山東濰坊高三上學期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|ex<1}，則A∪B＝(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(－2，0) D．(－1，2)
(3)(2023·全國乙卷)設集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
【通性通法】
解決集合運算問題的三個技巧
看元素構成 集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵
對集合化簡 有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決
應用數形 離散型數集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；連續型數集的運算，常借助數軸求解
【鞏固遷移】
6．(2022·全國甲卷)設全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，則 U(A∪B)＝(　　)
A．{1，3} B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
8.用圖形直觀表示集合的運算關系，最早是由瑞士數學家歐拉所創，故將表示集合運算關系的圖形稱為“歐拉圖”．后來，英國邏輯學家約翰·韋恩在歐拉圖的基礎上創建了世人所熟知的“Venn圖”．則圖中的陰影部分表示的集合為(　　)
A．A∩B∩C B．( UA)∩B∩C
C．A∩( UB)∩C D．A∩B∩( UC)
考向2利用集合的運算求參數
例4 (2024·江蘇無錫天一中學高三模擬)已知集合A＝{x∈Z|－1A．(0，4) B．(0，4]
【通性通法】
利用集合的運算求參數的方法
注意：確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“＝”，另外千萬不要忘記考慮空集．
【鞏固遷移】
9．(2023·河北衡水中學高三一模)已知集合M＝{x|x≤m}，N＝.若M∪N＝R，則實數m的取值范圍是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，4]
10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1考向3集合語言與思想的運用
例5 某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有________人．
【通性通法】
(1)運用集合語言及思想解決實際問題時，注意Venn圖的應用，它是解決集合交、并、補運算的有力工具，先利用Venn圖表示交、并、補的區域，如果在集合外，那么與集合的補集運算有關，如果在公共部分，那么與集合的交集運算有關．
(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理運用．
【鞏固遷移】
11．某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該中學學生總數的比例是(　　)
A．62% B．56%
C．46% D．42%
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