資源簡介

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第二節　常用邏輯用語
課標解讀 考向預測
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系. 2.理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確使用存在(或全稱)量詞對全稱(或存在)量詞命題進行否定. 新高考對常用邏輯用語直接考查的頻率比較低，一般與其他知識交匯考查，難度為中等偏易.2025年備考仍以選擇題為主訓練，主要涉及與函數、數列、三角的有關性質、不等式的解法及直線與平面位置關系的判定等相關知識結合考查.
【知識梳理】
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
p與q的關系 結論
p q p是q的充分條件，q是p的必要條件
p q且qp p是q的充分不必要條件
p q且q p p是q的必要不充分條件
p q p是q的充要條件
p q且q p p是q的既不充分也不必要條件
2.充分、必要條件與集合的子集之間的關系
設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則
(1)若A B，則p是q的充分條件；
(2)若A B，則p是q的必要條件；
(3)若A＝B，則p是q的充要條件；
(4)若A?B，則p是q的充分不必要條件；
(5)若A?B，則p是q的必要不充分條件．
3．全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定
名稱 形式 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) x∈M， p(x)
【常用結論】
1．在判斷充分、必要條件時，小范圍可以推大范圍，大范圍不可以推小范圍．
2．含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”．對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　)
(2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.(　　)
(3)“ x∈M，p(x)”與“ x∈M， p(x)”的真假性相反．(　　)
2．小題熱身
(1)(2024·四川綿陽南山中學模擬)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________條件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
(2)已知p：x>a是q：2(3)(人教A必修第一冊習題1.5 T6改編)已知“若x＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，則實數λ的取值范圍是________．
(4)設命題p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命題q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均為真命題，則實數m的取值范圍為________．
【考點探究】
考點一　充分條件、必要條件的判斷
例1(1)(2023·全國甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　)
A．充分條件但不是必要條件
B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件
(2)(2023·河北石家莊模擬)已知a，b，c∈R，則“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(3)(多選)下列四個條件中，能成為x>y的充分不必要條件的是(　　)
A．xc2>yc2 B.<<0
C．|x|>|y| D．ln x>ln y
【通性通法】
充分、必要條件的兩種常用判斷方法
【鞏固遷移】
1．(2023·北京高考)若xy≠0，則“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
2．(多選)(2023·廣東廣州華南師大附中模擬)函數f(x)＝sin為偶函數的一個充分條件是(　　)
A．φ＝－ B．φ＝－
C．φ＝ D．φ＝
考點二　根據充分條件、必要條件求參數的取值范圍
例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的必要不充分條件，則實數m的取值范圍為________；
(2)若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍為________．
【通性通法】
由充分、必要條件求參數范圍的策略
巧用轉化求參數 把充分、必要條件或充要條件轉化為集合的包含、相等關系，然后根據集合之間的關系列出有關參數的不等式(組)求解，注意條件的等價變形
端點值慎取舍 在求參數范圍時，要注意區間端點值的檢驗，從而確定取舍
注意：考慮空集的情況．
【鞏固遷移】
3．(2023·福建福州四校聯考)已知p：A＝，q：B＝{x|x－a<0}，若p是q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
考點三　含有量詞的命題的否定及真假判斷
例3 (1)設命題p：平行四邊形對角線相等，則 p為(　　)
A．平行四邊形對角線不相等
B．有的平行四邊形對角線相等
C．有的平行四邊形對角線不相等
D．不是平行四邊形對角線就不相等
(2)(2024·湖北百校高三聯考)設命題p： x∈(0，4)，2x＋＝18；命題q：每個三角形都有內切圓，則(　　)
A．命題p的否定： x∈(0，4)，2x＋＝18
B．命題p是真命題
C．命題q的否定：存在一個三角形沒有內切圓
D．命題q是假命題
【通性通法】
1．含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定
含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定有一定的區別，含有量詞命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)，并把結論否定；而不含量詞命題的否定需先將量詞加上再按照含有量詞命題的否定解答即可．
2．含有量詞命題真假判斷的策略
判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．
【鞏固遷移】
4．(多選)(2024·河北滄州部分學校高三聯考)命題p： x∈(0，2)，x3>x6；命題q：每個大于2的素數都是奇數．關于這兩個命題，下列判斷正確的是(　　)
A．p是真命題
B． p： x∈(0，2)，x3C．q是真命題
D． q：存在一個大于2的素數不是奇數
5．(2024·湖北部分學校高三聯考)已知p： m∈{m|－2考點四　根據命題的真假求參數的取值范圍
例4(1)已知p： x∈[3，4)，x2－a≥0，則p成立的一個充分不必要條件可以是(　　)
A．a<9 B．a>9
C．a<16 D．a>16
(2)(2024·山東聊城一中高三期中)若命題“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，則實數a的取值范圍是________．
【通性通法】
由命題真假求參數范圍的本質是恒成立問題或有解問題，一是直接由命題的含義，利用函數的最值求參數的范圍；二是利用等價命題，即p與 p的關系，轉化成 p的真假求參數的范圍．
【鞏固遷移】
6．若命題“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍是(　　)
A．[－4，－3] B．(－∞，－4)
C．[－4，＋∞) D．[－4，0]
7．已知命題p： x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是________．
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第二節　常用邏輯用語
課標解讀 考向預測
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系. 2.理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確使用存在(或全稱)量詞對全稱(或存在)量詞命題進行否定. 新高考對常用邏輯用語直接考查的頻率比較低，一般與其他知識交匯考查，難度為中等偏易.2025年備考仍以選擇題為主訓練，主要涉及與函數、數列、三角的有關性質、不等式的解法及直線與平面位置關系的判定等相關知識結合考查.
【知識梳理】
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
p與q的關系 結論
p q p是q的充分條件，q是p的必要條件
p q且qp p是q的充分不必要條件
p q且q p p是q的必要不充分條件
p q p是q的充要條件
p q且q p p是q的既不充分也不必要條件
2.充分、必要條件與集合的子集之間的關系
設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則
(1)若A B，則p是q的充分條件；
(2)若A B，則p是q的必要條件；
(3)若A＝B，則p是q的充要條件；
(4)若A?B，則p是q的充分不必要條件；
(5)若A?B，則p是q的必要不充分條件．
3．全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定
名稱 形式 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) x∈M， p(x)
【常用結論】
1．在判斷充分、必要條件時，小范圍可以推大范圍，大范圍不可以推小范圍．
2．含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”．對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　)
(2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.(　　)
(3)“ x∈M，p(x)”與“ x∈M， p(x)”的真假性相反．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√
2．小題熱身
(1)(2024·四川綿陽南山中學模擬)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________條件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
答案　必要不充分
解析　若α＝，β＝，則滿足sinα＝sinβ，而不滿足α＝β；當α＝β時，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ ”是“α＝β ”的必要不充分條件．
(2)已知p：x>a是q：2答案　(－∞，2]
解析　由已知可得{x|2a}，所以a≤2.
(3)(人教A必修第一冊習題1.5 T6改編)已知“若x＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，則實數λ的取值范圍是________．
答案　(3，＋∞)
解析　因為“若x＞1，則2x＋1＞λ”是假命題，所以“ x＞1，使2x＋1≤λ”是真命題．因為當x＞1時，2x＋1＞3，所以實數λ的取值范圍是(3，＋∞)．
(4)設命題p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命題q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均為真命題，則實數m的取值范圍為________．
答案　
解析　若命題p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0為真命題，則Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命題q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0為真命題，則Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m∈.又p，q均為真命題，所以實數m的取值范圍為{m|m≤4}∩＝.
【考點探究】
考點一　充分條件、必要條件的判斷
例1(1)(2023·全國甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　)
A．充分條件但不是必要條件
B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件
答案　B
解析　當sin2α＋sin2β＝1時，例如α＝，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；當sinα＋cosβ＝0時，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.綜上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要條件但不是充分條件．故選B.
(2)(2023·河北石家莊模擬)已知a，b，c∈R，則“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　C
解析　若a＝b＝c，則a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋bc＋ac＝3a2，即a＝b＝c a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，滿足充分性；若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，則2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，則a＝b＝c，滿足必要性．故選C.
(3)(多選)下列四個條件中，能成為x>y的充分不必要條件的是(　　)
A．xc2>yc2 B.<<0
C．|x|>|y| D．ln x>ln y
答案　ABD
解析　對于A，若xc2>yc2，則c2≠0，則x>y，反之x>y，當c＝0時得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要條件，故A符合題意．對于B，由<<0可得yy，但x>y不能推出<<0(因為x，y的正負不確定)，所以“<<0”是“x>y”的充分不必要條件，故B符合題意．對于C，由|x|>|y|可得x2>y2，則(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故C不符合題意．對于D，若ln x>ln y，則x>y>0，反之x>y得不出ln x>ln y，所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要條件，故D符合題意．
【通性通法】
充分、必要條件的兩種常用判斷方法
【鞏固遷移】
1．(2023·北京高考)若xy≠0，則“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　C
解析　因為xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要條件．故選C.
2．(多選)(2023·廣東廣州華南師大附中模擬)函數f(x)＝sin為偶函數的一個充分條件是(　　)
A．φ＝－ B．φ＝－
C．φ＝ D．φ＝
答案　BD
解析　由題意得φ＋＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，則φ＝－；令k＝0，則φ＝.故選BD.
考點二　根據充分條件、必要條件求參數的取值范圍
例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的必要不充分條件，則實數m的取值范圍為________；
(2)若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍為________．
答案　(1)(0，3]　(2)[9，＋∞)
解析　(1)因為p是q的必要不充分條件，所以或解得m≤3，又m>0，所以實數m的取值范圍為(0，3]．
(2)因為p是q的充分不必要條件，所以或解得m≥9，即實數m的取值范圍為[9，＋∞)．
【通性通法】
由充分、必要條件求參數范圍的策略
巧用轉化求參數 把充分、必要條件或充要條件轉化為集合的包含、相等關系，然后根據集合之間的關系列出有關參數的不等式(組)求解，注意條件的等價變形
端點值慎取舍 在求參數范圍時，要注意區間端點值的檢驗，從而確定取舍
注意：考慮空集的情況．
【鞏固遷移】
3．(2023·福建福州四校聯考)已知p：A＝，q：B＝{x|x－a<0}，若p是q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案　D
解析　由題意得A＝{x|(x－2)(x－1)≥0且x≠1}＝{x|x≥2或x<1}，B＝{x|x考點三　含有量詞的命題的否定及真假判斷
例3 (1)設命題p：平行四邊形對角線相等，則 p為(　　)
A．平行四邊形對角線不相等
B．有的平行四邊形對角線相等
C．有的平行四邊形對角線不相等
D．不是平行四邊形對角線就不相等
答案　C
解析　因為命題p為省略了全稱量詞“所有”的全稱量詞命題，所以 p：有的平行四邊形對角線不相等．故選C.
(2)(2024·湖北百校高三聯考)設命題p： x∈(0，4)，2x＋＝18；命題q：每個三角形都有內切圓，則(　　)
A．命題p的否定： x∈(0，4)，2x＋＝18
B．命題p是真命題
C．命題q的否定：存在一個三角形沒有內切圓
D．命題q是假命題
答案　C
解析　命題p的否定應為“ x∈(0，4)，2x＋≠18”，所以A錯誤；因為f(x)＝2x＋在x∈(0，4)上單調遞增，所以f(x)【通性通法】
1．含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定
含有量詞命題的否定與不含量詞命題的否定有一定的區別，含有量詞命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)，并把結論否定；而不含量詞命題的否定需先將量詞加上再按照含有量詞命題的否定解答即可．
2．含有量詞命題真假判斷的策略
判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．
【鞏固遷移】
4．(多選)(2024·河北滄州部分學校高三聯考)命題p： x∈(0，2)，x3>x6；命題q：每個大于2的素數都是奇數．關于這兩個命題，下列判斷正確的是(　　)
A．p是真命題
B． p： x∈(0，2)，x3C．q是真命題
D． q：存在一個大于2的素數不是奇數
答案　ACD
解析　若x＝，則x3>x6，所以p是真命題，A正確； p： x∈(0，2)，x3≤x6，B錯誤；每個大于2的素數都是奇數，q是真命題，C正確； q：存在一個大于2的素數不是奇數，D正確．故選ACD.
5．(2024·湖北部分學校高三聯考)已知p： m∈{m|－2答案　 m∈{m|－2解析　根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，可得 p： m∈{m|－2考點四　根據命題的真假求參數的取值范圍
例4(1)已知p： x∈[3，4)，x2－a≥0，則p成立的一個充分不必要條件可以是(　　)
A．a<9 B．a>9
C．a<16 D．a>16
答案　A
解析　若p為真命題，則a≤x2在區間[3，4)上恒成立，所以a≤9，所以p成立的一個充分不必要條件可以是a<9.故選A.
(2)(2024·山東聊城一中高三期中)若命題“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，則實數a的取值范圍是________．
答案　(－2，1)
解析　因為命題“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命題，所以命題“ x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命題，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2【通性通法】
由命題真假求參數范圍的本質是恒成立問題或有解問題，一是直接由命題的含義，利用函數的最值求參數的范圍；二是利用等價命題，即p與 p的關系，轉化成 p的真假求參數的范圍．
【鞏固遷移】
6．若命題“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍是(　　)
A．[－4，－3] B．(－∞，－4)
C．[－4，＋∞) D．[－4，0]
答案　D
解析　若“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則“ x∈[1，4]，x2－4x－m＝0”是真命題，即m＝x2－4x，設y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因為y＝x2－4x在[1，2)上單調遞減，在(2，4]上單調遞增，所以當x＝2時，ymin＝－4；當x＝4時，ymax＝0，故當1≤x≤4時，－4≤y≤0，則－4≤m≤0.
7．已知命題p： x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則a的取值范圍是________．
答案　[1，＋∞)
解析　因為p為假命題，所以命題p的否定： x>0，x＋a－1≠0是真命題，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.
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