資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一節　函數的概念及其表示
課標解讀 考向預測
1.了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域. 2.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數，理解函數圖象的作用. 3.通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用. 以基本初等函數為載體，考查函數的表示法、定義域；分段函數以及函數與其他知識的綜合是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏上．預計2025年高考函數的定義域、值域、解析式仍會出題，一般在選擇題或填空題中出現，分段函數的考查比較靈活，各種題型都可能涉及.
【知識梳理】
1．函數的概念
一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數的定義域、值域
(1)在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．
(2)函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
(3)如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數是同一個函數．
3．函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、列表法和圖象法．
4．分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．
(3)各段函數的定義域區間端點應不重不漏．
【常用結論】
1．直線x＝a(a是常數)與函數y＝f(x)的圖象有0個或1個交點．
2．在函數的定義中，非空數集A，B，A即為函數的定義域，值域為B的子集．
3．分段函數無論分成幾段，都是一個函數，求分段函數的函數值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論．
4．判斷兩個函數是否相同，要抓住的兩點
(1)定義域是否相同．
(2)對應關系是否相同，當解析式可以化簡時，要注意化簡過程的等價性．
5．常見函數的定義域
(1)一次函數、二次函數的定義域為R.
(2)分式函數中分母不等于0.
(3)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.
(4)零次冪的底數不能為0.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若兩個函數的定義域和值域相同，則這兩個函數是同一個函數．(　　)
(2)對于函數f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)函數f(x)＝＋的定義域為 .(　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的函數．(　　)
2．小題熱身
(1)若函數y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數y＝f(x)的圖象可能是(　　)
(2)設f(x)＝則f(5)的值為(　　)
A．16 B．18
C．21 D．24
(3)(人教A必修第一冊3.1.1例3改編)下列函數中與函數y＝x(x∈R)是同一個函數的是(　　)
A．y＝()2 B．u＝
C．y＝ D．m＝
(4)函數f(x)＝＋的定義域是________．
【考點探究】
考點一　函數的概念
例1(1)設集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖象中，能表示集合M到集合N的函數關系的是(　　)
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②(2)(多選)(2023·山東濟南高三期末)下列各組函數是同一個函數的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
【通性通法】
(1)函數的定義要求非空數集A中的任何一個元素在非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素．
(2)構成函數的三要素中，若定義域和對應關系相同，則值域一定相同．
【鞏固遷移】
1．下列四個圖象中，是函數圖象的是(　　)
A．①② B．①②③
C．①③④ D．①②③④
2．(2024·黑龍江佳木斯四校聯合體高三第一次調研)下列各組函數中，表示同一個函數的是(　　)
A．f(x)＝x0與g(x)＝1
B．f(x)＝x與g(x)＝
C．f(x)＝與g(x)＝x－2024
D．f(x)＝與g(x)＝
考點二　函數的定義域(多考向探究)
考向1具體函數的定義域
例2(1)(2024·湖北部分省級示范高中高三期中聯考)函數y＝＋lg (5－3x)的定義域是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知函數f(x)＝的定義域是R，則實數a的取值范圍是________．
【通性通法】
1．已知解析式的函數，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時只要根據函數解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．
2．求函數定義域的注意點
(1)不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發生變化．
(2)定義域是一個集合，要用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．
3．已知函數的定義域求參數問題的解題步驟
(1)調整思維方向，根據已知函數，將給出的定義域問題轉化為方程或不等式的解集問題．
(2)根據方程或不等式的解集情況確定參數的取值或范圍．
【鞏固遷移】
3．(2024·江蘇淮安高三期中聯考)函數f(x)＝＋的定義域是________．
4．若函數y＝＋ln (x＋2)的定義域為[1，＋∞)，則a＝________．
考向2抽象函數的定義域
例3(1)已知函數f(x)的定義域為[1，2]，求函數y＝f(2x＋1)的定義域；
(2)已知函數y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，求函數f(x)的定義域；
(3)已知函數y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，求函數y＝f(2x－1)的定義域．
解　(1)由1≤2x＋1≤2，得0≤x≤，所以函數y＝f(2x＋1)的定義域為.
(2)因為y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，即1≤x≤2，
所以3≤2x＋1≤5，即函數f(x)的定義域為[3，5]．
(3)因為函數y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，所以3≤2x＋1≤5.由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函數y＝f(2x－1)的定義域為[2，3]．
【通性通法】
求抽象函數的定義域的策略
(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范圍，即為f(g(x))的定義域．
(2)若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，即為f(x)的定義域．
口訣：定義域指的是x的范圍，括號內范圍相同．
【鞏固遷移】
5．已知函數y＝f(x－1)的定義域為[1，3]，則函數y＝f(log3x)的定義域為(　　)
A．[0，1] B．[1，9]
C．[0，2] D．[0，9]
6．(2024·黑龍江牡丹江三中高三月考)若函數y＝f(x)的定義域是[0，2]，則函數g(x)＝的定義域為________．
考點三 函數的解析式
例4(1)已知f(|x－1|)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函數，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函數f(x)滿足f(cosx－1)＝cos2x－1，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解　(1)(配湊法)因為f(|x－1|)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＝|x－1|2＋2，所以f(x)＝x2＋2(x≥0)．
(2)(待定系數法)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(換元法)f(cosx－1)＝cos2x－1＝2cos2x－1－1＝2cos2x－2，
設cosx－1＝t，則cosx＝t＋1，由cosx∈[－1，1]知t∈[－2，0]，
故原函數可轉化為f(t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，t∈[－2，0]，即f(x)的解析式為f(x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0)．
(4)(解方程組法)因為2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
【通性通法】
求函數解析式的常用方法
配湊法 由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式
待定系數法 若已知函數的類型(如一次函數、二次函數等)，則可用待定系數法
換元法 主要用于解決已知復合函數f(g(x))的解析式，求解函數f(x)的解析式的問題，先令g(x)＝t解出x并用含t的代數式表示x，然后代入f(x)中即可求得f(t)，從而求得f(x)，要注意新元的取值范圍
解方程組法 已知關于f(x)與f或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)
【鞏固遷移】
7．已知函數f(x2＋1)＝x4，則函數y＝f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2，x≥0
B．f(x)＝(x－1)2，x≥1
C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0
D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1
8．已知f(x)是一次函數，且f(f(x))＝4x＋3，則f(x)的解析式為________．
9．已知f(x6)＝log2x，則f(8)＝________．
10．(2024·福建泉州高三模擬)設函數f(x)對x≠0的一切實數均有f(x)＋2f＝3x，則f(2024)＝________．
考點四　分段函數(多考向探究)
考向1分段函數求值問題
例5(1)(2024·福建三明高三模擬)已知函數f(x)＝則f(f(－2))＝________．
(2)已知函數f(x)＝若f(m)＝3，則m＝________．
【通性通法】
“分段函數——分段看”，遇到分段函數要時刻盯住自變量的范圍，并根據自變量的范圍選擇合適的解析式代入，若自變量的范圍并不完全在某一段中，要注意進行分類討論．解題思路如下：
(1)求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．
(2)求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．
【鞏固遷移】
11．已知f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，則f(a)＝(　　)
A．2 B.
C．1 D．0
考向2分段函數與方程、不等式問題
例6(1)已知函數f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數a的值為(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知函數f(x)＝則f＝________；若當x∈[a，b]時，1≤f(x)≤3，則b－a的最大值是________．
【通性通法】
求參數或自變量的值(范圍)的解題思路
(1)解決此類問題時，先在分段函數的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可．
(2)如果分段函數的圖象易得，也可以畫出函數圖象后結合圖象求解．
【鞏固遷移】
12．(多選)已知函數f(x)＝則下列關于函數f(x)的結論正確的是(　　)
A．f(x)的值域為(－∞，4)
B．f(1)＝3
C．若f(x)＝3，則x的值是
D．f(x)<1的解集為(－1，1)
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．若M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝－x2}，則M∩N＝(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，0]
C．(－∞，0] D．[0，1]
2．下列各曲線表示的y與x之間的關系中，y不是x的函數的是(　　)
3．函數f(x)＝的定義域是(　　)
A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)
C．(0，3] D．(0，1)∪(1，3]
4．下列各組函數中，表示同一個函數的是(　　)
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
C．f(x)＝，g(x)＝sinx
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
5．已知函數f(x)的定義域為[0，1]，值域為[1，2]，那么函數f(x＋2)的定義域和值域分別是(　　)
A．[0，1]，[1，2] B．[2，3]，[3，4]
C．[－2，－1]，[1，2] D．[－1，2]，[3，4]
6．已知函數f(x)＝的定義域為R，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－1，2) B．(－1，2]
C．[－1，2] D．[－1，2)
7．(2023·廣東深圳光明中學一模)已知函數f(x)＝若f(a)＝1，則f(a＋1)＝(　　)
A．－1 B．－
C．0 D．1
8．若函數f(x)＝的定義域和值域的交集為空集，則正數a的取值范圍是(　　)
A．(0，1] B．(0，1)
C．(1，4) D．(2，4)
二、多項選擇題
9．下列對應關系f滿足函數定義的是(　　)
A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x
C．f(cosx)＝x D．f(ex)＝x
10．若函數f(1－2x)＝(x≠0)，則(　　)
A．f＝15
B．f(2)＝－
C．f(x)＝－1(x≠0)
D．f＝－1(x≠0且x≠1)
11．(2024·湖北十堰月考)函數D(x)＝被稱為狄利克雷函數，則下列結論成立的是(　　)
A．函數D(x)的值域為[0，1]
B．若D(x0)＝1，則D(x0＋1)＝1
C．若D(x1)－D(x2)＝0，則x1－x2∈Q
D． x∈R，D(x＋)＝1
三、填空題
12．(2023·湖北黃岡高三聯考)若函數f(x)的定義域為[－2，2]，則函數y＝f(2x)ln (x＋1)的定義域為________．
13．已知函數f(x)滿足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，則f(－2)＝________．
14．(2023·湖南湘潭高三模擬)已知a>0，且a≠1，函數f(x)＝若f(f(－1))＝2，則a＝________，f(x)≤4的解集為________．
【B組 素養提升】
15．(2024·安徽合肥八中高三質檢)已知函數f(x)＝則滿足f(a)＞f的a的取值范圍是(　　)
A.
B．(－∞，－1]∪
C.
D.∪(1，＋∞)
16．(多選)設函數f(x)的定義域為D， x∈D， y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，則稱f(x)為“美麗函數”．下列所給出的函數中，是“美麗函數”的是(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝ln (2x＋3)
D．f(x)＝2x＋3
17．(多選)(2024·江蘇南京模擬)已知函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x，y∈R，則(　　)
A．f(0)＝0
B．f(k)＝kf(1)(k∈Z)
C．f(x)＝kf(k≠0)
D．f(－x)f(x)＜0
18．設f(x)是定義在R上的函數，且f(x＋2)＝f(x)，f(x)＝其中a，b為正實數，e為自然對數的底數，若f＝f，則的取值范圍為________．
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第一節　函數的概念及其表示
課標解讀 考向預測
1.了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域. 2.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數，理解函數圖象的作用. 3.通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用. 以基本初等函數為載體，考查函數的表示法、定義域；分段函數以及函數與其他知識的綜合是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏上．預計2025年高考函數的定義域、值域、解析式仍會出題，一般在選擇題或填空題中出現，分段函數的考查比較靈活，各種題型都可能涉及.
【知識梳理】
1．函數的概念
一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數的定義域、值域
(1)在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．
(2)函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
(3)如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數是同一個函數．
3．函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、列表法和圖象法．
4．分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．
(3)各段函數的定義域區間端點應不重不漏．
【常用結論】
1．直線x＝a(a是常數)與函數y＝f(x)的圖象有0個或1個交點．
2．在函數的定義中，非空數集A，B，A即為函數的定義域，值域為B的子集．
3．分段函數無論分成幾段，都是一個函數，求分段函數的函數值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論．
4．判斷兩個函數是否相同，要抓住的兩點
(1)定義域是否相同．
(2)對應關系是否相同，當解析式可以化簡時，要注意化簡過程的等價性．
5．常見函數的定義域
(1)一次函數、二次函數的定義域為R.
(2)分式函數中分母不等于0.
(3)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.
(4)零次冪的底數不能為0.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若兩個函數的定義域和值域相同，則這兩個函數是同一個函數．(　　)
(2)對于函數f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)函數f(x)＝＋的定義域為 .(　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的函數．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小題熱身
(1)若函數y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數y＝f(x)的圖象可能是(　　)
答案　B
解析　A中函數的定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數；D中函數的值域不是[0，2]．故選B.
(2)設f(x)＝則f(5)的值為(　　)
A．16 B．18
C．21 D．24
答案　B
(3)(人教A必修第一冊3.1.1例3改編)下列函數中與函數y＝x(x∈R)是同一個函數的是(　　)
A．y＝()2 B．u＝
C．y＝ D．m＝
答案　B
解析　對于A，兩函數定義域不相同，所以不是同一個函數；對于B，兩函數對應關系、定義域都相同，所以是同一個函數；對于C，y＝＝|x|＝當x<0時，它的對應關系與函數y＝x(x∈R)不相同，所以與函數y＝x(x∈R)不是同一個函數；對于D，兩函數定義域不相同，所以不是同一個函數．故選B.
(4)函數f(x)＝＋的定義域是________．
答案　(－4，4]
【考點探究】
考點一　函數的概念
例1(1)設集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖象中，能表示集合M到集合N的函數關系的是(　　)
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②
答案　C
解析　對于①，定義域為{x|0≤x≤1}，不符合題意；對于④，集合M中有的元素在集合N中對應兩個值，不符合函數定義；②③符合題意．故選C.
(2)(多選)(2023·山東濟南高三期末)下列各組函數是同一個函數的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案　AC
解析　同一個函數應滿足①定義域相同，②對應關系相同，只有A，C滿足．
【通性通法】
(1)函數的定義要求非空數集A中的任何一個元素在非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素．
(2)構成函數的三要素中，若定義域和對應關系相同，則值域一定相同．
【鞏固遷移】
1．下列四個圖象中，是函數圖象的是(　　)
A．①② B．①②③
C．①③④ D．①②③④
答案　C
解析　根據函數的定義，一個自變量值對應唯一一個函數值，或者多個自變量值對應唯一一個函數值，顯然只有②不滿足．故選C.
2．(2024·黑龍江佳木斯四校聯合體高三第一次調研)下列各組函數中，表示同一個函數的是(　　)
A．f(x)＝x0與g(x)＝1
B．f(x)＝x與g(x)＝
C．f(x)＝與g(x)＝x－2024
D．f(x)＝與g(x)＝
答案　D
解析　對于A，二者定義域不同，不是同一個函數；對于B，二者定義域不同，不是同一個函數；對于C，因為f(x)＝＝|x－2024|與g(x)＝x－2024的對應關系不同，故二者不是同一個函數；對于D，g(x)＝＝＝與f(x)＝的定義域以及對應關系都相同，故二者是同一個函數．故選D.
考點二　函數的定義域(多考向探究)
考向1具體函數的定義域
例2(1)(2024·湖北部分省級示范高中高三期中聯考)函數y＝＋lg (5－3x)的定義域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由得1≤x<，故所求函數的定義域為.故選C.
(2)已知函數f(x)＝的定義域是R，則實數a的取值范圍是________．
答案　(－12，0]
解析　由題意可知ax2＋ax－3≠0對任意實數x都成立．當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12【通性通法】
1．已知解析式的函數，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時只要根據函數解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．
2．求函數定義域的注意點
(1)不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發生變化．
(2)定義域是一個集合，要用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．
3．已知函數的定義域求參數問題的解題步驟
(1)調整思維方向，根據已知函數，將給出的定義域問題轉化為方程或不等式的解集問題．
(2)根據方程或不等式的解集情況確定參數的取值或范圍．
【鞏固遷移】
3．(2024·江蘇淮安高三期中聯考)函數f(x)＝＋的定義域是________．
答案　(－∞，1)∪(1，2]
解析　由已知，得解得x≤2且x≠1，即函數f(x)＝＋的定義域是(－∞，1)∪(1，2]．
4．若函數y＝＋ln (x＋2)的定義域為[1，＋∞)，則a＝________．
答案　－3
解析　由得則上式的解集為[1，＋∞)，所以x＝1為方程x2＋2x＋a＝0的一個根，即1＋2＋a＝0，解得a＝－3.經檢驗符合題意，故a＝－3.
考向2抽象函數的定義域
例3(1)已知函數f(x)的定義域為[1，2]，求函數y＝f(2x＋1)的定義域；
(2)已知函數y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，求函數f(x)的定義域；
(3)已知函數y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，求函數y＝f(2x－1)的定義域．
解　(1)由1≤2x＋1≤2，得0≤x≤，所以函數y＝f(2x＋1)的定義域為.
(2)因為y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，即1≤x≤2，
所以3≤2x＋1≤5，即函數f(x)的定義域為[3，5]．
(3)因為函數y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，所以3≤2x＋1≤5.由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函數y＝f(2x－1)的定義域為[2，3]．
【通性通法】
求抽象函數的定義域的策略
(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范圍，即為f(g(x))的定義域．
(2)若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，即為f(x)的定義域．
口訣：定義域指的是x的范圍，括號內范圍相同．
【鞏固遷移】
5．已知函數y＝f(x－1)的定義域為[1，3]，則函數y＝f(log3x)的定義域為(　　)
A．[0，1] B．[1，9]
C．[0，2] D．[0，9]
答案　B
解析　由x∈[1，3]，得x－1∈[0，2]，所以log3x∈[0，2]，所以x∈[1，9]．故選B.
6．(2024·黑龍江牡丹江三中高三月考)若函數y＝f(x)的定義域是[0，2]，則函數g(x)＝的定義域為________．
答案　[0，1)
解析　由題意知解得0≤x<1，所以g(x)的定義域是[0，1)．
考點三 函數的解析式
例4(1)已知f(|x－1|)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函數，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函數f(x)滿足f(cosx－1)＝cos2x－1，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解　(1)(配湊法)因為f(|x－1|)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＝|x－1|2＋2，所以f(x)＝x2＋2(x≥0)．
(2)(待定系數法)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(換元法)f(cosx－1)＝cos2x－1＝2cos2x－1－1＝2cos2x－2，
設cosx－1＝t，則cosx＝t＋1，由cosx∈[－1，1]知t∈[－2，0]，
故原函數可轉化為f(t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，t∈[－2，0]，即f(x)的解析式為f(x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0)．
(4)(解方程組法)因為2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
【通性通法】
求函數解析式的常用方法
配湊法 由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式
待定系數法 若已知函數的類型(如一次函數、二次函數等)，則可用待定系數法
換元法 主要用于解決已知復合函數f(g(x))的解析式，求解函數f(x)的解析式的問題，先令g(x)＝t解出x并用含t的代數式表示x，然后代入f(x)中即可求得f(t)，從而求得f(x)，要注意新元的取值范圍
解方程組法 已知關于f(x)與f或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)
【鞏固遷移】
7．已知函數f(x2＋1)＝x4，則函數y＝f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2，x≥0
B．f(x)＝(x－1)2，x≥1
C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0
D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1
答案　B
解析　f(x2＋1)＝x4＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＋1，且x2＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x≥1.故選B.
8．已知f(x)是一次函數，且f(f(x))＝4x＋3，則f(x)的解析式為________．
答案　f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1
解析　設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.所以解得或故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.
9．已知f(x6)＝log2x，則f(8)＝________．
答案　
解析　令x6＝t，t>0，則x＝t，則f(t)＝log2t＝log2t，故f(8)＝log28＝＝.
10．(2024·福建泉州高三模擬)設函數f(x)對x≠0的一切實數均有f(x)＋2f＝3x，則f(2024)＝________．
答案　－2022
解析　∵f(x)＋2f＝3x，∴f＋2f(x)＝，聯立，得－3f(x)＝3x－，∴f(x)＝－x＋，∴f(2024)＝－2024＋2＝－2022.
考點四　分段函數(多考向探究)
考向1分段函數求值問題
例5(1)(2024·福建三明高三模擬)已知函數f(x)＝則f(f(－2))＝________．
答案　－2
解析　f(f(－2))＝f(3－2)＝log33－2＝－2.
(2)已知函數f(x)＝若f(m)＝3，則m＝________．
答案　9
解析　由題意可知或解得m＝9.
【通性通法】
“分段函數——分段看”，遇到分段函數要時刻盯住自變量的范圍，并根據自變量的范圍選擇合適的解析式代入，若自變量的范圍并不完全在某一段中，要注意進行分類討論．解題思路如下：
(1)求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．
(2)求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．
【鞏固遷移】
11．已知f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，則f(a)＝(　　)
A．2 B.
C．1 D．0
答案　B
解析　由題意知a－3≤0，a＋2>0，所以a－3＋3＝，即a2＝a＋2且a≥0，解得a＝2，所以f(a)＝f(2)＝.故選B.
考向2分段函數與方程、不等式問題
例6(1)已知函數f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數a的值為(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案　A
解析　∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2.當a≤0時，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3；當a＞0時，f(a)＝2a＝－2，方程無解．綜上，a＝－3.故選A.
(2)已知函數f(x)＝則f＝________；若當x∈[a，b]時，1≤f(x)≤3，則b－a的最大值是________．
答案　　3＋
解析　由已知得f＝－＋2＝，f＝＋－1＝，所以f＝.當x≤1時，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；當x>1時，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1【通性通法】
求參數或自變量的值(范圍)的解題思路
(1)解決此類問題時，先在分段函數的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可．
(2)如果分段函數的圖象易得，也可以畫出函數圖象后結合圖象求解．
【鞏固遷移】
12．(多選)已知函數f(x)＝則下列關于函數f(x)的結論正確的是(　　)
A．f(x)的值域為(－∞，4)
B．f(1)＝3
C．若f(x)＝3，則x的值是
D．f(x)<1的解集為(－1，1)
答案　AC
解析　當x≤－1時，f(x)的取值范圍是(－∞，1]，當－121世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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