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第一章 1.1　集合的概念
第一課時(shí)　集合的含義
課標(biāo)要求
1.通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.
2.針對(duì)具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合.
我校2024級(jí)高一新生入學(xué)軍訓(xùn)的時(shí)候，隨著教官一聲口令“高一(1)班集合”，高一(1)班的同學(xué)從四面八方聚集到教官附近，不是高一(1)班的同學(xué)會(huì)自動(dòng)走開，這里的“集合”是一個(gè)動(dòng)詞，但教官的“集合口令”卻把“一些確定的對(duì)象(高一(1)班各位同學(xué))聚集在一起了”，這就是本節(jié)課研究的數(shù)學(xué)重要概念——集合.
引入
課時(shí)精練
一、元素與集合的概念
二、集合中元素的特征
三、元素和集合之間的關(guān)系
課堂達(dá)標(biāo)
內(nèi)容索引
元素與集合的概念
一
探究1 閱讀下面的例子，并回答提出的問題：
(2)哪個(gè)語句中的對(duì)象不確定？為什么？
提示?、壑械膶?duì)象不確定，因?yàn)椤靶愿耖_朗”沒有明確的劃分標(biāo)準(zhǔn)，其他①、②、④中的對(duì)象均是確定的.
(3)上述問題實(shí)例中的①、②、④有什么共同的特點(diǎn)？
提示　三個(gè)實(shí)例中均指“所有的”，即某種研究對(duì)象的全體.
1.元素：一般地，我們把研究______統(tǒng)稱為元素.元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示.
2.集合：把一些元素組成的______叫做集合(簡(jiǎn)稱為集)，集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.
知識(shí)梳理
對(duì)象
總體
溫馨提示
通過探究1的問題(2)可知構(gòu)成集合中的一組對(duì)象必須是明確的，即須有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn).
例1
例1 考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：
(1)不超過20的非負(fù)數(shù)；
(2)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；
(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合；
(2)能構(gòu)成集合，方程只有兩個(gè)實(shí)根3和－3；
(3)“高科技”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于一個(gè)產(chǎn)品是不是高科技產(chǎn)品無法客觀判斷.因此不能構(gòu)成一個(gè)集合；
判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使給定的對(duì)象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的.如果是“確定無疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合.
思維升華
訓(xùn)練1 (多選) (鏈接教材P5練習(xí)T1)下列所給對(duì)象能構(gòu)成集合的是
A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)
B.高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本上的所有難題
C.著名的藝術(shù)大師
D.某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生
訓(xùn)練1
√
√
A，D能構(gòu)成集合，二者有確定的判斷標(biāo)準(zhǔn).
A中元素是“到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)”，D中元素是“某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生”.
B，D項(xiàng)的對(duì)象不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤半y題”與“著名”標(biāo)準(zhǔn)不明確.
集合中元素的特征
二
探究2 英文單詞good的所有字母能否組成一個(gè)集合？若能組成一個(gè)集合，則該集合中有幾個(gè)元素？為什么？
提示　能.因?yàn)榧现械脑厥谴_定的；三個(gè)元素.因?yàn)榧现械脑厥腔ゲ幌嗤?
探究3 分別由元素1，2，3和3，2，1組成的兩個(gè)集合有何關(guān)系？集合中的元素有沒有先后順序？
提示　兩集合相等.集合中的元素沒有先后順序(無序的).
知識(shí)梳理
1.集合中元素的特征：________、互異性與________.
2.集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是________，則稱兩個(gè)集合相等.
確定性
無序性
一樣的
溫馨提示
集合中的元素必須是確定的，不能是模棱兩可的，相同的元素在同一集合中只能出現(xiàn)一次.
例2
(1)已知集合A含有兩個(gè)元素1和a2，若a是集合A中的元素，則實(shí)數(shù)a＝________.
依題意a＝1或a＝a2，
0
當(dāng)a＝1時(shí)，a2＝1，與集合中元素的互異性矛盾，
所以a≠1，因此a＝a2，
所以a＝0或a＝1(舍去)，綜上可知，實(shí)數(shù)a＝0.
由A＝B的意義及a≠0，
1
遷移1
若例題(1)中題目的條件變?yōu)椋杭螦中含有兩個(gè)元素a和a2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
依據(jù)集合元素的互異性，a≠a2，
所以a≠0且a≠1.
遷移2
若例題(1)中題目的條件變?yōu)椋杭螦中含有兩個(gè)元素a和a2，若元素1是A中的元素，則a＝________.
－1
依題意a＝1或a2＝1，
若a＝1，則a2＝1，與元素的互異性矛盾，
∴a≠1，從而a2＝1，得a＝－1，
此時(shí)，集合A中有兩個(gè)元素－1和1滿足題意.
綜上可知a＝－1.
思維升華
1.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意兩點(diǎn)：(1)根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值；(2)再根據(jù)集合中的元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).
2.若兩個(gè)集合相等，則兩集合的元素相同，但元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.
已知集合P有三個(gè)元素－1，2a＋1，a2－1，若元素0是集合P的元素，則實(shí)數(shù)a
的值為________.
訓(xùn)練2
依題意2a＋1＝0或a2－1＝0，
元素和集合之間的關(guān)系
三
探究4 如果體育老師說“男同學(xué)打籃球，女同學(xué)跳繩”，你去打籃球嗎？
提示　是男生就去，不是男生就不去.
探究5 非負(fù)整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別？
提示　非負(fù)整數(shù)集包括元素0，而正整數(shù)集不包括元素0.
知識(shí)梳理
1.元素和集合之間的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn) 關(guān)系 概念 記法 讀法
元素與集合的關(guān)系 屬于 如果a是集合A的元素 ________ a屬于集合A
不屬于 如果a不是集合A的元素 ________ a不屬于集合A
a∈A
a A
2.常用數(shù)集及其記法
名稱 非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集) 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
記法 ____ N*或N＋ ____ ____ ____
N
Z
Q
R
溫馨提示
符號(hào)“∈”“ ”只能用在元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關(guān)系，且二者必居其一，注意開口方向.
例3
(1)(多選)集合M是由大于－2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系正確的是
√
√
∈
∈
思維升華
判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法
(1)直接法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的，然后判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn).
(2)推理法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征.
訓(xùn)練3
(1)(鏈接教材P5練習(xí)T2)下列結(jié)論中，不正確的是
A.若a∈N，則－a N
B.若a∈Z，則a2∈Z
C.若a∈Q，則|a|∈Q
D.若a∈R，則a3∈R
當(dāng)a＝0時(shí)，a∈N，且－a∈N，知A不正確.顯然選項(xiàng)B，C，D正確.
√
已知集合A中元素x滿足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________.
因?yàn)? A，2∈A，
－4【課堂達(dá)標(biāo)】
1.(多選)下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的有
A.某一天到商場(chǎng)買過商品的顧客 B.小于0的實(shí)數(shù)
C.(2 024，1)與(1，2 024) D.中國卓越的數(shù)學(xué)家
√
A中“某一天到商場(chǎng)買過商品的顧客”的標(biāo)準(zhǔn)確定，能構(gòu)成集合；
√
√
B中小于0是一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成集合；
C中(2 024，1)與(1，2 024)是兩個(gè)不同的點(diǎn)，是確定的，能構(gòu)成集合；
D中中國卓越的數(shù)學(xué)家對(duì)象不具備確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合.
√
2.下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是
∵N，Z，Q，R分別是自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集，
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
3.方程x2－1＝0和x2－x＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合中元素的個(gè)數(shù)為________.
方程x2－1＝0的實(shí)根為－1，1，
方程x2－x＝0的實(shí)根為0，1，
由于集合中的元素具有互異性，
故集合中的元素為－1，0，1，共3個(gè).
3
4.已知集合A中有兩個(gè)元素a2和a－1，集合B中有兩個(gè)元素0和－1，若A＝B，則a＝________.
由于A＝B，且a2≥0，
0
【課時(shí)精練】
√
1.(多選)給出下列說法，其中正確的有
A，C中的元素具備確定性，可以構(gòu)成集合，A，C正確.
A.中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合
B.高一(1)班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個(gè)集合
C.正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合
D.大于2 024且小于2 030的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合
√
B中高一(1)班較胖的同學(xué)不具有確定性，不能構(gòu)成集合，B錯(cuò)誤.
D中的元素能構(gòu)成集合，D錯(cuò)誤.
√
√
3.下列各組中集合P與Q，表示同一個(gè)集合的是
由于A中P，Q的元素完全相同，
所以P與Q表示同一個(gè)集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，
所以P與Q不能表示同一個(gè)集合.
√
4.(多選)由a2，2－a，4組成一個(gè)集合A，且集合A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值不可能是
由題意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，
A.1 B.－2 C.－1 D.2
√
√
解得a≠±2，且a≠1，
所以a的取值不可能是1，2與－2.
√
5.下列說法中正確的是
N中最小的數(shù)為0，所以A錯(cuò)；
A.集合N中最小的數(shù)為1
B.若－a∈R，則a∈R
C.若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2
D.所有小的正數(shù)組成一個(gè)集合
易知B對(duì)；
若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為0，所以C錯(cuò)；
“小”的正數(shù)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以D錯(cuò).
6.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－2x－3＝0的根為元素的集合中共有________個(gè)元素.
方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，
3
方程x2－2x－3＝0的根是－1，3.
根據(jù)集合中元素的互異性知，以這兩個(gè)方程的根為元素的集合中共有3個(gè)元素.
7.設(shè)集合A是關(guān)于x的不等式3x－m－1<0的解集，若1∈A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
m>2
1
8.設(shè)集合A含有兩個(gè)元素x，y，B含有兩個(gè)元素0，x2，若A＝B，則實(shí)數(shù)x＝______；y＝______.
0
9.設(shè)A是方程x2－ax－5＝0的解組成的集合.
(1)0是否是集合A中的元素？
將x＝0代入方程，則02－0－5≠0，
所以0不是集合A中的元素.
(2)若－5∈A，求實(shí)數(shù)a的值.
若－5∈A，則(－5)2＋5a－5＝0，
所以5a＝－20，則a＝－4.
10.設(shè)x∈R，集合A中含有三個(gè)元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x應(yīng)滿足的條件；
由集合中元素的互異性可得x≠3，
(2)若－2∈A，求實(shí)數(shù)x的值.
若－2∈A，則x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0無實(shí)數(shù)解，
所以x＝－2.
經(jīng)檢驗(yàn)，知x＝－2時(shí)三個(gè)元素符合互異性.
故x＝－2.
√
11.下列說法中正確的是
A.與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合
B.由title中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5
C.一個(gè)集合中有三個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等邊三角形
D.高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合
A項(xiàng)中，與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，可以構(gòu)成集合，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)中，由title中字母構(gòu)成的集合的元素有4個(gè)，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)中，由集合互異性可知，a，b，c互不相等，故△ABC不是等邊三角形，故C正確；
D項(xiàng)中，“游泳能手”不具有確定性，不能構(gòu)成集合，D錯(cuò)誤.
12.集合A的元素y滿足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)滿足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).則下列選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是
√
集合A中的元素為y，是數(shù)集，
A.2∈A，且2∈B B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C.2∈A，且(3，10)∈B D.(3，10)∈A，且2∈B
又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素為點(diǎn)(x，y)，
且滿足y＝x2＋1，經(jīng)驗(yàn)證，(3，10)∈B.
13.已知集合A含有兩個(gè)元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解組成的集合，且集合A與集合B相等，則a＝________；b＝________.
因?yàn)榧螦與集合B相等，且1∈A，2∈A，
－3
2
所以1∈B，2∈B，
(2)證明集合A不可能是單元素集.第一章 集合與常用邏輯用語
1.1　集合的概念
第一課時(shí)　集合的含義
課標(biāo)要求　1.通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系. 2.針對(duì)具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合.
【引入】 我校2024級(jí)高一新生入學(xué)軍訓(xùn)的時(shí)候，隨著教官一聲口令“高一(1)班集合”，高一(1)班的同學(xué)從四面八方聚集到教官附近，不是高一(1)班的同學(xué)會(huì)自動(dòng)走開，這里的“集合”是一個(gè)動(dòng)詞，但教官的“集合口令”卻把“一些確定的對(duì)象(高一(1)班各位同學(xué))聚集在一起了”，這就是本節(jié)課研究的數(shù)學(xué)重要概念——集合.
一、元素與集合的概念
探究1 閱讀下面的例子，并回答提出的問題：
①在平面直角坐標(biāo)系中，第四象限的點(diǎn)的全體；
②方程x2－2 024＝0的所有實(shí)數(shù)根；
③某校高一(1)班所有性格開朗的女生；
④不等式組的所有整數(shù)解.
(1)以上各例子中要研究的對(duì)象分別是什么？
提示　分別為點(diǎn)、實(shí)數(shù)根、女生、整數(shù)解.
(2)哪個(gè)語句中的對(duì)象不確定？為什么？
提示　③中的對(duì)象不確定，因?yàn)椤靶愿耖_朗”沒有明確的劃分標(biāo)準(zhǔn)，其他①、②、④中的對(duì)象均是確定的.
(3)上述問題實(shí)例中的①、②、④有什么共同的特點(diǎn)？
提示　三個(gè)實(shí)例中均指“所有的”，即某種研究對(duì)象的全體.
【知識(shí)梳理】
1.元素：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素.元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示.
2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集)，集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.
溫馨提示　通過探究1的問題(2)可知構(gòu)成集合中的一組對(duì)象必須是明確的，即須有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn).
例1 考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：
(1)不超過20的非負(fù)數(shù)；
(2)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；
(3)未來世界的高科技產(chǎn)品；
(4)的近似值的全體.
解　(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合；
(2)能構(gòu)成集合，方程只有兩個(gè)實(shí)根3和－3；
(3)“高科技”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于一個(gè)產(chǎn)品是不是高科技產(chǎn)品無法客觀判斷.因此不能構(gòu)成一個(gè)集合；
(4)“的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合.
思維升華　判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使給定的對(duì)象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的.如果是“確定無疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合.
訓(xùn)練1 (多選) (鏈接教材P5練習(xí)T1)下列所給對(duì)象能構(gòu)成集合的是(　　)
A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)
B.高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本上的所有難題
C.著名的藝術(shù)大師
D.某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生
答案　AD
解析　A，D能構(gòu)成集合，二者有確定的判斷標(biāo)準(zhǔn).
A中元素是“到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)”，D中元素是“某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生”.
B，D項(xiàng)的對(duì)象不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤半y題”與“著名”標(biāo)準(zhǔn)不明確.
二、集合中元素的特征
探究2 英文單詞good的所有字母能否組成一個(gè)集合？若能組成一個(gè)集合，則該集合中有幾個(gè)元素？為什么？
提示　能.因?yàn)榧现械脑厥谴_定的；三個(gè)元素.因?yàn)榧现械脑厥腔ゲ幌嗤?
探究3 分別由元素1，2，3和3，2，1組成的兩個(gè)集合有何關(guān)系？集合中的元素有沒有先后順序？
提示　兩集合相等.集合中的元素沒有先后順序(無序的).
【知識(shí)梳理】
1.集合中元素的特征：確定性、互異性與無序性.
2.集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，則稱兩個(gè)集合相等.
溫馨提示　集合中的元素必須是確定的，不能是模棱兩可的，相同的元素在同一集合中只能出現(xiàn)一次.
例2 (1)已知集合A含有兩個(gè)元素1和a2，若a是集合A中的元素，則實(shí)數(shù)a＝________.
(2)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，集合A中含有0，b，三個(gè)元素，集合B中含有1，a，a＋b三個(gè)元素，且集合A與集合B相等，則a＋2b＝________.
答案　(1)0　(2)1
解析　(1)依題意a＝1或a＝a2，
當(dāng)a＝1時(shí)，a2＝1，與集合中元素的互異性矛盾，
所以a≠1，因此a＝a2，
所以a＝0或a＝1(舍去)，綜上可知，實(shí)數(shù)a＝0.
(2)由A＝B的意義及a≠0，
得a＋b＝0，則＝－1，
因此b＝1，所以a＝－1，
故a＋2b＝1.
遷移1 若例題(1)中題目的條件變?yōu)椋杭螦中含有兩個(gè)元素a和a2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解　依據(jù)集合元素的互異性，a≠a2，
所以a≠0且a≠1.
遷移2 若例題(1)中題目的條件變?yōu)椋杭螦中含有兩個(gè)元素a和a2，若元素1是A中的元素，則a＝________.
答案?。?
解析　依題意a＝1或a2＝1，
若a＝1，則a2＝1，與元素的互異性矛盾，
∴a≠1，從而a2＝1，得a＝－1，
此時(shí)，集合A中有兩個(gè)元素－1和1滿足題意.
綜上可知a＝－1.
思維升華　1.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意兩點(diǎn)：(1)根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值；(2)再根據(jù)集合中的元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).
2.若兩個(gè)集合相等，則兩集合的元素相同，但元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.
訓(xùn)練2 已知集合P有三個(gè)元素－1，2a＋1，a2－1，若元素0是集合P的元素，則實(shí)數(shù)a的值為________.
答案?。?
解析　依題意2a＋1＝0或a2－1＝0，
解得a＝－或a＝±1.
當(dāng)a＝－時(shí)，a2－1＝－，符合題意；
當(dāng)a＝1時(shí)，2a＋1＝3，符合題意；
當(dāng)a＝－1時(shí)，2a＋1＝－1，不滿足元素的互異性，舍去.
綜上，實(shí)數(shù)a的值為－或1.
三、元素和集合之間的關(guān)系
探究4 如果體育老師說“男同學(xué)打籃球，女同學(xué)跳繩”，你去打籃球嗎？
提示　是男生就去，不是男生就不去.
探究5 非負(fù)整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別？
提示　非負(fù)整數(shù)集包括元素0，而正整數(shù)集不包括元素0.
【知識(shí)梳理】
1.元素和集合之間的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn) 關(guān)系 概念 記法 讀法
元素與集合的關(guān)系 屬于 如果a是集合A的元素 a∈A a屬于集合A
不屬于 如果a不是集合A的元素 a?A a不屬于集合A
2.常用數(shù)集及其記法
名稱 非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集) 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集
記法 N N*或N＋ Z Q R
溫馨提示　符號(hào)“∈”“?”只能用在元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關(guān)系，且二者必居其一，注意開口方向.
例3 (1)(多選)集合M是由大于－2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系正確的是(　　)
A.∈M B.0∈M
C.1∈M D.－∈M
(2)(鏈接教材P5習(xí)題1.1復(fù)習(xí)鞏固T1)用符號(hào)“∈”或“?”填空：
①設(shè)集合B是小于的所有實(shí)數(shù)的集合，則2________B，1＋________B；
②設(shè)集合C是滿足方程x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合，則3________C，5________C.
答案　(1)BD　(2)①?　∈?、?　∈
解析　(1)>1，故A錯(cuò)誤；－2<0<1，故B正確；1?M，故C錯(cuò)誤；－2<－<1，故D正確.
(2)①∵2＝>，∴2?B.
∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，
∴1＋<，∴1＋∈B.
②因?yàn)閚∈N*，所以n2＋1≠3，∴3?C.
當(dāng)n＝2時(shí)，x＝n2＋1＝5，則5∈C.
思維升華　判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法
(1)直接法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的，然后判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn).
(2)推理法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征.
訓(xùn)練3 (1) (鏈接教材P5練習(xí)T2)下列結(jié)論中，不正確的是(　　)
A.若a∈N，則－a?N
B.若a∈Z，則a2∈Z
C.若a∈Q，則|a|∈Q
D.若a∈R，則a3∈R
(2)已知集合A中元素x滿足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.
答案　(1)A　(2)－4解析　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，a∈N，且－a∈N，知A不正確.顯然選項(xiàng)B，C，D正確.
(2)因?yàn)??A，2∈A，
所以即－4【課堂達(dá)標(biāo)】
1.(多選)下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的有(　　)
A.某一天到商場(chǎng)買過商品的顧客
B.小于0的實(shí)數(shù)
C.(2 024，1)與(1，2 024)
D.中國卓越的數(shù)學(xué)家
答案　ABC
解析　A中“某一天到商場(chǎng)買過商品的顧客”的標(biāo)準(zhǔn)確定，能構(gòu)成集合；
B中小于0是一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成集合；
C中(2 024，1)與(1，2 024)是兩個(gè)不同的點(diǎn)，是確定的，能構(gòu)成集合；
D中中國卓越的數(shù)學(xué)家對(duì)象不具備確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合.
2.下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是(　　)
①0∈N；②－1∈Z；③π∈Q；④?R.
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
答案　A
解析　∵N，Z，Q，R分別是自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集，
∴0∈N，－1∈Z，π?Q，∈R.
因此①②正確，③④錯(cuò)誤.
3.方程x2－1＝0和x2－x＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合中元素的個(gè)數(shù)為________.
答案　3
解析　方程x2－1＝0的實(shí)根為－1，1，
方程x2－x＝0的實(shí)根為0，1，
由于集合中的元素具有互異性，
故集合中的元素為－1，0，1，共3個(gè).
4.已知集合A中有兩個(gè)元素a2和a－1，集合B中有兩個(gè)元素0和－1，若A＝B，則a＝________.
答案　0
解析　由于A＝B，且a2≥0，
所以
解之得a＝0.
一、基礎(chǔ)鞏固
1.(多選)給出下列說法，其中正確的有(　　)
A.中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合
B.高一(1)班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個(gè)集合
C.正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合
D.大于2 024且小于2 030的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合
答案　AC
解析　A，C中的元素具備確定性，可以構(gòu)成集合，A，C正確.
B中高一(1)班較胖的同學(xué)不具有確定性，不能構(gòu)成集合，B錯(cuò)誤.
D中的元素能構(gòu)成集合，D錯(cuò)誤.
2.設(shè)集合M是由不小于2的數(shù)組成的集合，a＝，則下列關(guān)系中正確的是(　　)
A.a∈M B.a?M
C.a＝M D.a≠M(fèi)
答案　B
解析　由于<＝2，所以a?M.
3.下列各組中集合P與Q，表示同一個(gè)集合的是(　　)
A.P是由元素1，，π構(gòu)成的集合，Q是由元素π，1，|－|構(gòu)成的集合
B.P是由π構(gòu)成的集合，Q是由3.141 59構(gòu)成的集合
C.P是由2，3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(duì)(2，3)構(gòu)成的集合
D.P是滿足不等式－1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x2＝1的解集
答案　A
解析　由于A中P，Q的元素完全相同，
所以P與Q表示同一個(gè)集合，
而B，C，D中P，Q的元素不相同，
所以P與Q不能表示同一個(gè)集合.
4.(多選)由a2，2－a，4組成一個(gè)集合A，且集合A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值不可能是(　　)
A.1 B.－2
C.－1 D.2
答案　ABD
解析　由題意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，
解得a≠±2，且a≠1，
所以a的取值不可能是1，2與－2.
5.下列說法中正確的是(　　)
A.集合N中最小的數(shù)為1
B.若－a∈R，則a∈R
C.若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2
D.所有小的正數(shù)組成一個(gè)集合
答案　B
解析　N中最小的數(shù)為0，所以A錯(cuò)；
易知B對(duì)；
若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為0，所以C錯(cuò)；
“小”的正數(shù)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以D錯(cuò).
6.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－2x－3＝0的根為元素的集合中共有________個(gè)元素.
答案　3
解析　方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，
方程x2－2x－3＝0的根是－1，3.
根據(jù)集合中元素的互異性知，以這兩個(gè)方程的根為元素的集合中共有3個(gè)元素.
7.設(shè)集合A是關(guān)于x的不等式3x－m－1<0的解集，若1∈A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案　m>2
解析　由3x－m－1<0，得x<，
又1∈A，∴1<，解之得m>2.
8.設(shè)集合A含有兩個(gè)元素x，y，B含有兩個(gè)元素0，x2，若A＝B，則實(shí)數(shù)x＝______；y＝______.
答案　1　0
解析　由題意得或
即或
又當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，不滿足集合元素的互異性，
所以x＝1，y＝0.
9.設(shè)A是方程x2－ax－5＝0的解組成的集合.
(1)0是否是集合A中的元素？
(2)若－5∈A，求實(shí)數(shù)a的值.
解　(1)將x＝0代入方程，則02－0－5≠0，
所以0不是集合A中的元素.
(2)若－5∈A，則(－5)2＋5a－5＝0，
所以5a＝－20，則a＝－4.
10.設(shè)x∈R，集合A中含有三個(gè)元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x應(yīng)滿足的條件；
(2)若－2∈A，求實(shí)數(shù)x的值.
解　(1)由集合中元素的互異性可得x≠3，
x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，則x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0無實(shí)數(shù)解，
所以x＝－2.
經(jīng)檢驗(yàn)，知x＝－2時(shí)三個(gè)元素符合互異性.
故x＝－2.
二、綜合運(yùn)用
11.下列說法中正確的是(　　)
A.與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合
B.由title中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5
C.一個(gè)集合中有三個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等邊三角形
D.高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合
答案　C
解析　A項(xiàng)中，與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，可以構(gòu)成集合，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)中，由title中字母構(gòu)成的集合的元素有4個(gè)，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)中，由集合互異性可知，a，b，c互不相等，故△ABC不是等邊三角形，故C正確；
D項(xiàng)中，“游泳能手”不具有確定性，不能構(gòu)成集合，D錯(cuò)誤.
12.集合A的元素y滿足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)滿足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).則下列選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是(　　)
A.2∈A，且2∈B
B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C.2∈A，且(3，10)∈B
D.(3，10)∈A，且2∈B
解析　C
解析　集合A中的元素為y，是數(shù)集，
又y＝x2＋1≥1，故2∈A，
集合B中的元素為點(diǎn)(x，y)，
且滿足y＝x2＋1，
經(jīng)驗(yàn)證，(3，10)∈B.
13.已知集合A含有兩個(gè)元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解組成的集合，且集合A與集合B相等，則a＝________；b＝________.
答案　－3　2
解析　因?yàn)榧螦與集合B相等，且1∈A，2∈A，
所以1∈B，2∈B，
即1，2是方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以所以
三、創(chuàng)新拓展
14.設(shè)集合A中的元素均為實(shí)數(shù)，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1，且a≠0).
(1)若2∈A，寫出集合A中的元素；
(2)證明集合A不可能是單元素集.
(1)解　若a∈A，則∈A.
又因?yàn)?∈A，所以＝－1∈A.
因?yàn)椋?∈A，所以＝∈A.
因?yàn)椤蔄，所以＝2∈A.
再計(jì)算下去，仍然只得到2，－1，這三個(gè)數(shù)，
所以集合A中的元素只有2，－1和.
(2)證明　若A為單元素集，則a＝，
即a2－a＋1＝0，方程無實(shí)數(shù)解.
所以a≠，所以集合A不可能是單元素集.1.1　集合的概念
第一課時(shí)　集合的含義
課標(biāo)要求　1.通過實(shí)例,了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系. 2.針對(duì)具體問題,能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上,用符號(hào)語言刻畫集合.
【引入】 我校2024級(jí)高一新生入學(xué)軍訓(xùn)的時(shí)候,隨著教官一聲口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同學(xué)從四面八方聚集到教官附近,不是高一(1)班的同學(xué)會(huì)自動(dòng)走開,這里的“集合”是一個(gè)動(dòng)詞,但教官的“集合口令”卻把“一些確定的對(duì)象(高一(1)班各位同學(xué))聚集在一起了”,這就是本節(jié)課研究的數(shù)學(xué)重要概念——集合.
一、元素與集合的概念
探究1 閱讀下面的例子,并回答提出的問題:
①在平面直角坐標(biāo)系中,第四象限的點(diǎn)的全體;
②方程x2-2 024=0的所有實(shí)數(shù)根;
③某校高一(1)班所有性格開朗的女生；
④不等式組的所有整數(shù)解.
(1)以上各例子中要研究的對(duì)象分別是什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)哪個(gè)語句中的對(duì)象不確定 為什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)上述問題實(shí)例中的①②④有什么共同的特點(diǎn)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識(shí)梳理】
1.元素:一般地,我們把研究　　　　統(tǒng)稱為元素.元素通常用小寫拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素組成的　　　　叫做集合(簡(jiǎn)稱為集),集合通常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示.
溫馨提示　通過探究1的問題(2)可知構(gòu)成集合中的一組對(duì)象必須是明確的,即須有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn).
例1 考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合:
(1)不超過20的非負(fù)數(shù);
(2)方程x2-9=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解;
(3)未來世界的高科技產(chǎn)品;
(4)的近似值的全體.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn),使給定的對(duì)象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的.如果是“確定無疑”的,就可以構(gòu)成集合;如果是“模棱兩可”的,就不能構(gòu)成集合.
訓(xùn)練1 (多選)(鏈接教材P5練習(xí)T1)下列所給對(duì)象能構(gòu)成集合的是 (　　)
A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)
B.高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本上的所有難題
C.著名的藝術(shù)大師
D.某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、集合中元素的特征
探究2 英文單詞good的所有字母能否組成一個(gè)集合 若能組成一個(gè)集合,則該集合中有幾個(gè)元素 為什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 分別由元素1,2,3和3,2,1組成的兩個(gè)集合有何關(guān)系 集合中的元素有沒有先后順序
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識(shí)梳理】
1.集合中元素的特征:　　　　　　、互異性與　　　　.
2.集合相等:只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是　　　　,則稱兩個(gè)集合相等.
溫馨提示　集合中的元素必須是確定的,不能是模棱兩可的,相同的元素在同一集合中只能出現(xiàn)一次.
例2 (1)已知集合A含有兩個(gè)元素1和a2,若a是集合A中的元素,則實(shí)數(shù)a=　　　　.
(2)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),集合A中含有0,b,三個(gè)元素,集合B中含有1,a,a+b三個(gè)元素,且集合A與集合B相等,則a+2b=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
遷移1 若例題(1)中題目的條件變?yōu)?集合A中含有兩個(gè)元素a和a2,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
遷移2 若例題(1)中題目的條件變?yōu)?集合A中含有兩個(gè)元素a和a2,若元素1是A中的元素,則a=　　　　.
思維升華　1.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意兩點(diǎn):(1)根據(jù)集合中元素的確定性,可以解出字母的所有可能值;(2)再根據(jù)集合中的元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).
2.若兩個(gè)集合相等,則兩集合的元素相同,但元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.
訓(xùn)練2 已知集合P有三個(gè)元素-1,2a+1,a2-1,若元素0是集合P的元素,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　.
三、元素和集合之間的關(guān)系
探究4 如果體育老師說“男同學(xué)打籃球,女同學(xué)跳繩”,你去打籃球嗎
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 非負(fù)整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識(shí)梳理】
1.元素和集合之間的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn) 關(guān)系 概念 記法 讀法
元素與 集合的 關(guān)系 屬于 如果a是集合A的元素 　 a屬于集合A
不屬于 如果a不是集合A的元素 　 a不屬于集合A
2.常用數(shù)集及其記法
名稱 非負(fù)整數(shù)集 (或自然數(shù)集) 正整 數(shù)集 整數(shù) 集 有理 數(shù)集 實(shí)數(shù)集
記法 　　　 N*或N+ 　 　 　
溫馨提示　符號(hào)“∈”“ ”只能用在元素與集合之間,表示元素與集合之間的從屬關(guān)系,且二者必居其一,注意開口方向.
例3 (1)(多選)集合M是由大于-2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的,則下列關(guān)系正確的是 (　　)
A.∈M B.0∈M
C.1∈M D.-∈M
(2)(鏈接教材P5習(xí)題1.1復(fù)習(xí)鞏固T1)用符號(hào)“∈”或“ ”填空:
①設(shè)集合B是小于的所有實(shí)數(shù)的集合,則2　　　　B,1+　　　　B;
②設(shè)集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合,則3　　　　C,5　　　　C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法
(1)直接法:首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的,然后判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn).
(2)推理法:首先明確已知集合的元素具有什么特征,然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征.
訓(xùn)練3 (1)(鏈接教材P5練習(xí)T2)下列結(jié)論中,不正確的是 (　　)
A.若a∈N,則-a N B.若a∈Z,則a2∈Z
C.若a∈Q,則|a|∈Q D.若a∈R,則a3∈R
(2)已知集合A中元素x滿足2x+a>0,a∈R,若1 A,2∈A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【課堂達(dá)標(biāo)】
1.(多選)下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的有 (　　)
A.某一天到商場(chǎng)買過商品的顧客
B.小于0的實(shí)數(shù)
C.(2 024,1)與(1,2 024)
D.中國卓越的數(shù)學(xué)家
2.下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是 (　　)
①0∈N;②-1∈Z;③π∈Q;④ R.
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
3.方程x2-1=0和x2-x=0的實(shí)數(shù)根組成的集合中元素的個(gè)數(shù)為　　　　.
4.已知集合A中有兩個(gè)元素a2和a-1,集合B中有兩個(gè)元素0和-1,若A=B,則a=　　　　.

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