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第一章 1.1　集合的概念
第二課時(shí)　集合的表示方法
課標(biāo)要求
1.掌握集合的兩種表示方法(列舉法和描述法).
2.能夠運(yùn)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合.
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合的概念，還有一些特殊的集合，比如非負(fù)整數(shù)集、正整數(shù)集等.我們發(fā)現(xiàn)可以用自然語(yǔ)言描述一個(gè)集合，而語(yǔ)言正是我們之間相互聯(lián)系的一種方式，同樣的祝福又有著不同的表示方式，例如，我們中文說(shuō)“祝你生日快樂(lè)”，英文為“Happy Birthday to you”等等，那么對(duì)于一個(gè)集合，會(huì)有哪些不同的表示方法呢？讓我們一同進(jìn)入今天的探究之旅.
引入
課時(shí)精練
一、列舉法
二、描述法
三、集合表示方法的綜合應(yīng)用
課堂達(dá)標(biāo)
內(nèi)容索引
列舉法
一
探究1 觀察下面兩個(gè)集合：
①中國(guó)的“五岳”組成的集合M；
②設(shè)集合N是小于6的正整數(shù)構(gòu)成的集合.
(1)上述問(wèn)題中的集合M，N中的元素能一一列舉出來(lái)嗎？
提示　能.集合M中的元素為：泰山、華山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素為：1，2，3，4，5.
(2)上述集合M與N除了用自然語(yǔ)言描述外，還可以用什么方式表示呢？如何表示？
提示　列舉法.M＝{泰山，華山，衡山，恒山，嵩山}，N＝{1，2，3，4，5}.
把集合的所有元素__________出來(lái)，并用______________括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.
知識(shí)梳理
一一列舉
花括號(hào)“{ }”
溫馨提示
(1)列舉法表示集合，集合中的相同元素只能列舉一次；元素與元素之間用“，”隔開(kāi)；“{　}”表示“所有”的含義，不能省略.
(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但必須把元素間的規(guī)律顯示清楚，然后加省略號(hào)，比如正整數(shù)集可表示為{1，2，3，4，5，…}.
例1
(鏈接教材P3例1)用列舉法表示下列給定的集合：
(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；
(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；
(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0，2，4，6，8，10，
所以A＝{0，2，4，6，8，10}.
(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}.
(3)方程x2＝x的實(shí)數(shù)根組成的集合C；
(4)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.
(3)由x2＝x，得x＝0或x＝1，
所以方程x2＝x的實(shí)根組成的集合C＝{0，1}.
1.列舉法表示集合的三個(gè)步驟：
(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次；(3)用花括號(hào)括起來(lái).
2.二元方程組的解集、函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合都是點(diǎn)集，應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對(duì)用小括號(hào)括起來(lái)表示一個(gè)元素.
思維升華
用列舉法表示下列給定的集合：
(1)大于2且小于8的整數(shù)組成的集合A；
(2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解組成的集合B；
(3)直線y＝3x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合C.
訓(xùn)練1
(1)因?yàn)榇笥?且小于8的整數(shù)包括3，4，5，6，7，
所以A＝{3，4，5，6，7}.
(2)因?yàn)榉匠?x－1)2(x－2)＝0的解為1或2，所以集合B＝{1，2}.
(3)將x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1.
所以兩直線的交點(diǎn)為(0，1)，故C＝{(0，1)}.
描述法
二
探究2 “大于－2且小于2的實(shí)數(shù)”構(gòu)成的集合能用列舉法表示嗎？為什么？
提示　不能.集合中的元素有無(wú)數(shù)多個(gè)，元素不能完全列舉.
探究3 設(shè)x為“大于－2且小于2的實(shí)數(shù)”構(gòu)成的集合的元素，x有何特征？
提示　x∈R且－2知識(shí)梳理
一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為_(kāi)____________，這種表示集合的方法稱為描述法.有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線.
{x∈A|P(x)}
溫馨提示
描述法中豎線“|”及其左邊的代表元素一般不能省略，如果豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)，可以省略x∈R，如集合{x|0例2
(鏈接教材P4例2)用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3<1的解組成的集合A；
(2)被3除余2的正整數(shù)組成的集合B；
(1)設(shè)代表元素為x，則x滿足2x－3<1，
則A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}.
(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，
但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N，
所以集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合C.
平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，
即x<0，y>0，
故第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為C＝{(x，y)|x<0，y>0}.
思維升華
利用描述法表示集合應(yīng)注意三點(diǎn)
(1)寫(xiě)清楚該集合代表元素的符號(hào).例如，集合{x|x<1}不能寫(xiě)成{x<1}.
(2)所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi).例如，{x|x＝2k}，k∈Z，這種表示方式就不符合要求，需將k∈Z也寫(xiě)進(jìn)大括號(hào)，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母.
(1)(多選)下列用描述法表示的集合，正確的是
A.奇數(shù)集可以表示為{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}
B.“小于10的整數(shù)”構(gòu)成的集合可以表示為{x|x<10}
C.{x|x>2}表示大于2的全體實(shí)數(shù)
D.不等式x2－1>0的解集表示為{x|x2－1>0}
訓(xùn)練2
√
√
√
(1)B中，{x|x<10}表示“小于10的實(shí)數(shù)”，“小于10的整數(shù)”構(gòu)成的集合表示為{x|x<10，且x∈Z}.其余的全正確.
(2)圖中陰影部分(含邊界)的點(diǎn)組成的集合B用描述法表示為B＝___________________________.
{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}
設(shè)集合B中的代表元素是(x，y).
由題意，－1≤x≤3，且0≤y≤3，
因此所求集合B＝{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}.
集合表示方法的綜合應(yīng)用
三
例3
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一個(gè)元素，求a的值.
當(dāng)a＝0時(shí)，原方程變?yōu)?x＋1＝0，
故Δ＝4－4a＝0，即a＝1時(shí)，原方程的解為x＝－1，符合題意.
故當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，原方程只有一個(gè)解，
此時(shí)A中只有一個(gè)元素.
遷移1
在本例條件下，若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.
A中至多有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)元素或沒(méi)有元素.
當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，由例題可知，a＝0或a＝1.
當(dāng)A中沒(méi)有元素時(shí)，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1.
故當(dāng)A中至多有一個(gè)元素時(shí)，a的取值范圍為{a|a＝0或a≥1}.
遷移2
在本例條件下，集合A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍的集合.
依題意，a≠0，且Δ＝4－4a>0，
∴a<1且a≠0，
故實(shí)數(shù)a取值范圍的集合是{a|a<1且a≠0}.
思維升華
1.若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如本例集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題.
2.求解集合與方程的問(wèn)題應(yīng)注意：
(1)當(dāng)方程中含有參數(shù)時(shí)，一般要根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的情況來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍，必要時(shí)要分類討論.
(2)求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性.
訓(xùn)練3
已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時(shí)，求集合B.
因?yàn)锳＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
所以方程x2＋px＋q＝x有兩個(gè)相等實(shí)根x1＝x2＝2，
【課堂達(dá)標(biāo)】
1.集合{x|－3≤x≤3且x∈N}用列舉法可表示為
√
{x|－3≤x≤3，且x∈N}＝{0，1，2，3}.
A.{－3，－2，－1，0，1，2，3} B.{－2，－1，0，1，2}
C.{0，1，2，3} D.{1，2，3}
√
2.下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是
A.{0} B.{y|y2＝0}
C.{x|x＝0} D.{x＝0}
由集合的含義知{0}＝{y|y2＝0}＝{x|x＝0}，集合{x＝0}表示由元素“x＝0”組成的集合，故選D.
3.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的取值組成的集合為
_________________.
由題意，方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)不相等實(shí)根，
{k|k<1且k≠0}
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，∴k<1且k≠0.
4.用列舉法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}為
________________________.
由已知得集合D為點(diǎn)集，x∈N，y∈N，
{(0，8)，(1，7)，(2，4)}
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝8；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝7；
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4.
若x≥3，則y＝8－x2<0，不合題意.
所以集合D＝{(0，8)，(1，7)，(2，4)}.
【課時(shí)精練】
√
1.已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列結(jié)論正確的是
∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A.
A.0∈A B.1?A
C.－1∈A D.0?A
√
2.下列各組集合中，表示同一個(gè)集合的是
A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B.M＝{3，2}，N＝{2，3}
C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{(1，2)}，N＝{1，2}
選項(xiàng)A，兩個(gè)集合中的元素是有序數(shù)對(duì)，顯然元素不同；
選項(xiàng)C，集合M表示的是直線x＋y＝1上的點(diǎn)，而集合N表示的是直線x＋y＝1上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不是同一個(gè)集合；
選項(xiàng)D，集合M中的元素是有序數(shù)對(duì)，而集合N中的元素是實(shí)數(shù)，不是同一個(gè)集合；
選項(xiàng)B，兩個(gè)集合都表示由2，3這兩個(gè)元素構(gòu)成的集合.
√
√
4.(多選)下列是集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的有
A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(2，－1)
因?yàn)镸＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，
√
√
√
5.下列命題中正確的是
{x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；
6.能被2整除的正整數(shù)的集合，用描述法可表示為_(kāi)_______________.
正整數(shù)中所有的偶數(shù)均能被2整除，
{x|x＝2n，n∈N*}
所以集合可表示成{x|x＝2n，n∈N*}.
7.用列舉法表示集合{x|x＋y＝4，x∈N，y∈N*}＝______________.
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；
{0，1，2，3}
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1；
當(dāng)x≥4時(shí)，y?N*.
所以{x|x＋y＝4，x∈N，y∈N*}＝{0，1，2，3}.
8.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，則集合{x|x2－3x＋a＝0}用列舉法表示為_(kāi)_______.
因?yàn)椋?∈{x|x2－ax－5＝0}，
{－1，4}
所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4.
解x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，
所以{x|x2－3x＋a＝0}＝{－1，4}.
9. (鏈接教材P5練習(xí)T3)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然數(shù)集內(nèi)，小于1 000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；
(3)不等式x－2>6的解構(gòu)成的集合；
(1){0，－1}.
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1，2，3，4，5，6}.
√
11.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為
A.5 B.6 C.8 D.9
A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}.
當(dāng)a＝b時(shí)，則a－b＝0，
當(dāng)a>b時(shí)，a－b＝1或a－b＝2，
當(dāng)a所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5個(gè)元素.
12.(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是
√
√
√
13.已知A＝{x|3x2－mx＋2m<0}.
(1)若3∈A，求m的取值范圍；
由3∈A，得27－3m＋2m<0，
解得m>27，所以m的取值范圍為{m|m>27}.
(2)若0∈A且1∈A，求m的取值范圍.
因?yàn)?∈A，且1∈A，第二課時(shí)　集合的表示方法
課標(biāo)要求　1.掌握集合的兩種表示方法(列舉法和描述法). 2.能夠運(yùn)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合.
【引入】 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合的概念，還有一些特殊的集合，比如非負(fù)整數(shù)集、正整數(shù)集等.我們發(fā)現(xiàn)可以用自然語(yǔ)言描述一個(gè)集合，而語(yǔ)言正是我們之間相互聯(lián)系的一種方式，同樣的祝福又有著不同的表示方式，例如，我們中文說(shuō)“祝你生日快樂(lè)”，英文為“Happy Birthday to you”等等，那么對(duì)于一個(gè)集合，會(huì)有哪些不同的表示方法呢？讓我們一同進(jìn)入今天的探究之旅.
一、列舉法
探究1 觀察下面兩個(gè)集合：
①中國(guó)的“五岳”組成的集合M；
②設(shè)集合N是小于6的正整數(shù)構(gòu)成的集合.
(1)上述問(wèn)題中的集合M，N中的元素能一一列舉出來(lái)嗎？
提示　能.集合M中的元素為：泰山、華山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素為：1，2，3，4，5.
(2)上述集合M與N除了用自然語(yǔ)言描述外，還可以用什么方式表示呢？如何表示？
提示　列舉法.M＝{泰山，華山，衡山，恒山，嵩山}，N＝{1，2，3，4，5}.
【知識(shí)梳理】
把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{__}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.
溫馨提示　(1)列舉法表示集合，集合中的相同元素只能列舉一次；元素與元素之間用“，”隔開(kāi)；“{　}”表示“所有”的含義，不能省略.
(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但必須把元素間的規(guī)律顯示清楚，然后加省略號(hào)，比如正整數(shù)集可表示為{1，2，3，4，5，…}.
例1 (鏈接教材P3例1)用列舉法表示下列給定的集合：
(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；
(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；
(3)方程x2＝x的實(shí)數(shù)根組成的集合C；
(4)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.
解　(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0，2，4，6，8，10，
所以A＝{0，2，4，6，8，10}.
(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}.
(3)由x2＝x，得x＝0或x＝1，
所以方程x2＝x的實(shí)根組成的集合C＝{0，1}.
(4)由得
所以一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點(diǎn)為(1，4)，所以D＝{(1，4)}.
思維升華　1.列舉法表示集合的三個(gè)步驟：
(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次；(3)用花括號(hào)括起來(lái).
2.二元方程組的解集、函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合都是點(diǎn)集，應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對(duì)用小括號(hào)括起來(lái)表示一個(gè)元素.
訓(xùn)練1 用列舉法表示下列給定的集合：
(1)大于2且小于8的整數(shù)組成的集合A；
(2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解組成的集合B；
(3)直線y＝3x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合C.
解　(1)因?yàn)榇笥?且小于8的整數(shù)包括3，4，5，6，7，
所以A＝{3，4，5，6，7}.
(2)因?yàn)榉匠?x－1)2(x－2)＝0的解為1或2，
所以集合B＝{1，2}.
(3)將x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1.
所以兩直線的交點(diǎn)為(0，1)，故C＝{(0，1)}.
二、描述法
探究2 “大于－2且小于2的實(shí)數(shù)”構(gòu)成的集合能用列舉法表示嗎？為什么？
提示　不能.集合中的元素有無(wú)數(shù)多個(gè)，元素不能完全列舉.
探究3 設(shè)x為“大于－2且小于2的實(shí)數(shù)”構(gòu)成的集合的元素，x有何特征？
提示　x∈R且－2【知識(shí)梳理】
一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法.有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線.
溫馨提示　描述法中豎線“|”及其左邊的代表元素一般不能省略，如果豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)，可以省略x∈R，如集合{x|0例2 (鏈接教材P4例2)用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3<1的解組成的集合A；
(2)被3除余2的正整數(shù)組成的集合B；
(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合C.
解　(1)設(shè)代表元素為x，則x滿足2x－3<1，
則A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}.
(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，
但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N，
所以集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即x<0，y>0，
故第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為C＝{(x，y)|x<0，y>0}.
思維升華　利用描述法表示集合應(yīng)注意三點(diǎn)
(1)寫(xiě)清楚該集合代表元素的符號(hào).例如，集合{x|x<1}不能寫(xiě)成{x<1}.
(2)所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi).例如，{x|x＝2k}，k∈Z，這種表示方式就不符合要求，需將k∈Z也寫(xiě)進(jìn)大括號(hào)，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母.
訓(xùn)練2 (1)(多選)下列用描述法表示的集合，正確的是(　　)
A.奇數(shù)集可以表示為{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}
B.“小于10的整數(shù)”構(gòu)成的集合可以表示為{x|x<10}
C.{x|x>2}表示大于2的全體實(shí)數(shù)
D.不等式x2－1>0的解集表示為{x|x2－1>0}
(2)圖中陰影部分(含邊界)的點(diǎn)組成的集合B用描述法表示為B＝________.
答案　(1)ACD
(2){(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}
解析　(1)B中，{x|x<10}表示“小于10的實(shí)數(shù)”，“小于10的整數(shù)”構(gòu)成的集合表示為{x|x<10，且x∈Z}.其余的全正確.
(2)設(shè)集合B中的代表元素是(x，y).
由題意，－1≤x≤3，且0≤y≤3，
因此所求集合B＝{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}.
三、集合表示方法的綜合應(yīng)用
例3 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一個(gè)元素，求a的值.
解　當(dāng)a＝0時(shí)，原方程變?yōu)?x＋1＝0，
此時(shí)x＝－，符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，原方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，
故Δ＝4－4a＝0，即a＝1時(shí)，原方程的解為x＝－1，符合題意.
故當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，原方程只有一個(gè)解，
此時(shí)A中只有一個(gè)元素.
遷移1 在本例條件下，若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.
解　A中至多有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)元素或沒(méi)有元素.
當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，由例題可知，a＝0或a＝1.
當(dāng)A中沒(méi)有元素時(shí)，Δ＝4－4a<0，且a≠0，
即a>1.
故當(dāng)A中至多有一個(gè)元素時(shí)，a的取值范圍為{a|a＝0或a≥1}.
遷移2 在本例條件下，集合A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍的集合.
解　依題意，a≠0，且Δ＝4－4a>0，
∴a<1且a≠0，
故實(shí)數(shù)a取值范圍的集合是{a|a<1且a≠0}.
思維升華　1.若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如本例集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題.
2.求解集合與方程的問(wèn)題應(yīng)注意：
(1)當(dāng)方程中含有參數(shù)時(shí)，一般要根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的情況來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍，必要時(shí)要分類討論.
(2)求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性.
訓(xùn)練3 已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時(shí)，求集合B.
解　因?yàn)锳＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
所以方程x2＋px＋q＝x有兩個(gè)相等實(shí)根x1＝x2＝2，
由根與系數(shù)的關(guān)系得
所以
所以B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}＝{x|x2－6x＋5＝0}＝{1，5}.
【課堂達(dá)標(biāo)】
1.集合{x|－3≤x≤3且x∈N}用列舉法可表示為(　　)
A.{－3，－2，－1，0，1，2，3}
B.{－2，－1，0，1，2}
C.{0，1，2，3}
D.{1，2，3}
答案　C
解析　{x|－3≤x≤3，且x∈N}＝{0，1，2，3}.
2.下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是(　　)
A.{0} B.{y|y2＝0}
C.{x|x＝0} D.{x＝0}
答案　D
解析　由集合的含義知{0}＝{y|y2＝0}＝{x|x＝0}，集合{x＝0}表示由元素“x＝0”組成的集合，故選D.
3.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的取值組成的集合為_(kāi)_______.
答案　{k|k<1且k≠0}
解析　由題意，方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)不相等實(shí)根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，
∴k<1且k≠0.
4.用列舉法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}為_(kāi)_______.
答案　{(0，8)，(1，7)，(2，4)}
解析　由已知得集合D為點(diǎn)集，x∈N，y∈N，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝8；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝7；
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4.
若x≥3，則y＝8－x2<0，不合題意.
所以集合D＝{(0，8)，(1，7)，(2，4)}.
一、基礎(chǔ)鞏固
1.已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列結(jié)論正確的是(　　)
A.0∈A B.1?A
C.－1∈A D.0?A
答案　A
解析　∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A.
2.下列各組集合中，表示同一個(gè)集合的是(　　)
A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B.M＝{3，2}，N＝{2，3}
C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{(1，2)}，N＝{1，2}
答案　B
解析　選項(xiàng)A，兩個(gè)集合中的元素是有序數(shù)對(duì)，顯然元素不同；
選項(xiàng)C，集合M表示的是直線x＋y＝1上的點(diǎn)，而集合N表示的是直線x＋y＝1上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不是同一個(gè)集合；
選項(xiàng)D，集合M中的元素是有序數(shù)對(duì)，而集合N中的元素是實(shí)數(shù)，不是同一個(gè)集合；
選項(xiàng)B，兩個(gè)集合都表示由2，3這兩個(gè)元素構(gòu)成的集合.
3.方程組的解集是(　　)
A.{(1，－1)，(－1，1)} B.{(1，1)，(－2，2)}
C.{(1，－1)，(－2，2)} D.{(2，－2)，(－2，2)}
答案　C
解析　由得或
∴方程組的解集是{(－2，2)，(1，－1)}.
4.(多選)下列是集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的有(　　)
A.(0，0) B.(0，1)
C.(1，0) D.(2，－1)
答案　ABC
解析　因?yàn)镸＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，
所以或或
所以M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}.故選ABC.
5.下列命題中正確的是(　　)
A.集合{x∈R|x2＝1}中有兩個(gè)元素
B.集合{0}中沒(méi)有元素
C.∈{x|x<2}
D.{1，2}與{2，1}是不同的集合
答案　A
解析　{x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；
集合{0}是單元素集，有一個(gè)元素，這個(gè)元素是0；
{x|x<2}＝{x|x<}，>，?{x|x<2}；
根據(jù)集合中元素的無(wú)序性可知{1，2}與{2，1}是同一個(gè)集合.
6.能被2整除的正整數(shù)的集合，用描述法可表示為_(kāi)_______________.
答案　{x|x＝2n，n∈N*}
解析　正整數(shù)中所有的偶數(shù)均能被2整除，
所以集合可表示成{x|x＝2n，n∈N*}.
7.用列舉法表示集合{x|x＋y＝4，x∈N，y∈N*}＝________.
答案　{0，1，2，3}
解析　當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1；
當(dāng)x≥4時(shí)，y?N*.
所以{x|x＋y＝4，x∈N，y∈N*}＝{0，1，2，3}.
8.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，則集合{x|x2－3x＋a＝0}用列舉法表示為_(kāi)_____.
答案　{－1，4}
解析　因?yàn)椋?∈{x|x2－ax－5＝0}，
所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4.
解x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，
所以{x|x2－3x＋a＝0}＝{－1，4}.
9. (鏈接教材P5練習(xí)T3)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然數(shù)集內(nèi)，小于1 000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；
(3)不等式x－2>6的解構(gòu)成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合；
(5)方程組的解集.
解　(1){0，－1}.
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1，2，3，4，5，6}.
(5)解集用描述法表示為，
解集用列舉法表示為{(2，－1)}.
10.設(shè)集合B＝.
(1)試判斷元素1和2與集合B的關(guān)系；
(2)用列舉法表示集合B.
解　(1)當(dāng)x＝1時(shí)，＝2∈N；
當(dāng)x＝2時(shí)，＝?N，
所以1∈B，2?B.
(2)因?yàn)椤蔔，x∈N，
所以2＋x只能取2，3，6，
所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}.
二、綜合運(yùn)用
11.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為(　　)
A.5 B.6
C.8 D.9
答案　A
解析　A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}.
當(dāng)a＝b時(shí)，則a－b＝0，
當(dāng)a>b時(shí)，a－b＝1或a－b＝2，
當(dāng)a所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5個(gè)元素.
12.(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)
A.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限的點(diǎn)的集合為{(x，y)|xy>0}
B.方程＋|y＋2|＝0的解集為{－2，2}
C.集合{(x，y)|y＝1－x}與{x|y＝1－x}是相等的
D.若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，則－1.1∈A
答案　BCD
解析　A中，因?yàn)閤y>0?或
所以集合{(x，y)|xy>0}表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一、三象限的點(diǎn)的集合，故A正確.
B中，方程＋|y＋2|＝0的解集為{（2，-2）}，故B錯(cuò)誤.
C中，集合{(x，y)|y＝1－x}表示直線上的點(diǎn)集，
{x|y＝1－x}表示數(shù)集，兩集合不相等，C錯(cuò)誤.
D中，A＝{－1，0，1}，知－1.1?A，D錯(cuò)誤.
13.已知A＝{x|3x2－mx＋2m<0}.
(1)若3∈A，求m的取值范圍；
(2)若0∈A且1∈A，求m的取值范圍.
解　(1)由3∈A，得27－3m＋2m<0，
解得m>27，
所以m的取值范圍為{m|m>27}.
(2)因?yàn)?∈A，且1∈A，
所以解得m<－3，
所以m的取值范圍為{m|m<－3}.
三、創(chuàng)新拓展
14.已知集合A＝，B＝，試問(wèn)集合A與B有幾個(gè)相同的元素？并寫(xiě)出由這些相同元素組成的集合.
解　對(duì)于集合A，因?yàn)閤∈N，∈N，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，＝1；
當(dāng)x＝7時(shí)，＝3；
當(dāng)x＝9時(shí)，＝9.
所以A＝{1，7，9}，B＝{1，3，9}.
所以集合A與B有2個(gè)相同的元素，集合A，B的相同元素組成的集合為{1，9}.第二課時(shí)　集合的表示方法
課標(biāo)要求　1.掌握集合的兩種表示方法(列舉法和描述法). 2.能夠運(yùn)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合.
【引入】 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合的概念,還有一些特殊的集合,比如非負(fù)整數(shù)集、正整數(shù)集等.我們發(fā)現(xiàn)可以用自然語(yǔ)言描述一個(gè)集合,而語(yǔ)言正是我們之間相互聯(lián)系的一種方式,同樣的祝福又有著不同的表示方式,例如,我們中文說(shuō)“祝你生日快樂(lè)”,英文為“Happy Birthday to you”等等,那么對(duì)于一個(gè)集合,會(huì)有哪些不同的表示方法呢 讓我們一同進(jìn)入今天的探究之旅.
一、列舉法
探究1 觀察下面兩個(gè)集合:
①中國(guó)的“五岳”組成的集合M;
②設(shè)集合N是小于6的正整數(shù)構(gòu)成的集合.
(1)上述問(wèn)題中的集合M,N中的元素能一一列舉出來(lái)嗎
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)上述集合M與N除了用自然語(yǔ)言描述外,還可以用什么方式表示呢 如何表示
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識(shí)梳理】
把集合的所有元素　　　　　　　　出來(lái),并用　　　　　括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.
溫馨提示　(1)列舉法表示集合,集合中的相同元素只能列舉一次;元素與元素之間用“,”隔開(kāi);“{　}”表示“所有”的含義,不能省略.
(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)較多時(shí),如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律,可用列舉法,但必須把元素間的規(guī)律顯示清楚,然后加省略號(hào),比如正整數(shù)集可表示為{1,2,3,4,5,…}.
例1 (鏈接教材P3例1)用列舉法表示下列給定的集合:
(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A;
(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B;
(3)方程x2=x的實(shí)數(shù)根組成的集合C;
(4)一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.列舉法表示集合的三個(gè)步驟:
(1)求出集合的元素;(2)把元素一一列舉出來(lái),且相同元素只能列舉一次;(3)用花括號(hào)括起來(lái).
2.二元方程組的解集、函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合都是點(diǎn)集,應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對(duì)用小括號(hào)括起來(lái)表示一個(gè)元素.
訓(xùn)練1 用列舉法表示下列給定的集合:
(1)大于2且小于8的整數(shù)組成的集合A;
(2)方程(x-1)2(x-2)=0的解組成的集合B;
(3)直線y=3x+1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、描述法
探究2 “大于-2且小于2的實(shí)數(shù)”構(gòu)成的集合能用列舉法表示嗎 為什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 設(shè)x為“大于-2且小于2的實(shí)數(shù)”構(gòu)成的集合的元素,x有何特征
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識(shí)梳理】
一般地,設(shè)A是一個(gè)集合,我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為　　　　　　,這種表示集合的方法稱為描述法.有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線.
溫馨提示　描述法中豎線“|”及其左邊的代表元素一般不能省略,如果豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí),可以省略x∈R,如集合{x|0例2 (鏈接教材P4例2)用描述法表示下列集合:
(1)不等式2x-3<1的解組成的集合A;
(2)被3除余2的正整數(shù)組成的集合B;
(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　利用描述法表示集合應(yīng)注意三點(diǎn)
(1)寫(xiě)清楚該集合代表元素的符號(hào).例如,集合{x|x<1}不能寫(xiě)成{x<1}.
(2)所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi).例如,{x|x=2k},k∈Z,這種表示方式就不符合要求,需將k∈Z也寫(xiě)進(jìn)大括號(hào),即{x|x=2k,k∈Z}.
(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母.
訓(xùn)練2 (1)(多選)下列用描述法表示的集合,正確的是 (　　)
A.奇數(shù)集可以表示為{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}
B.“小于10的整數(shù)”構(gòu)成的集合可以表示為{x|x<10}
C.{x|x>2}表示大于2的全體實(shí)數(shù)
D.不等式x2-1>0的解集表示為{x|x2-1>0}
(2)圖中陰影部分(含邊界)的點(diǎn)組成的集合B用描述法表示為B=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、集合表示方法的綜合應(yīng)用
例3 已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中只有一個(gè)元素,求a的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
遷移1 在本例條件下,若A中至多有一個(gè)元素,求a的取值范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
遷移2 在本例條件下,集合A中有兩個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍的集合.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.若已知集合是用描述法給出的,讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵,如本例集合A中的元素就是所給方程的根,由此便把集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題.
2.求解集合與方程的問(wèn)題應(yīng)注意:
(1)當(dāng)方程中含有參數(shù)時(shí),一般要根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的情況來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍,必要時(shí)要分類討論.
(2)求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性.
訓(xùn)練3 已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},當(dāng)A={2}時(shí),求集合B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【課堂達(dá)標(biāo)】
1.集合{x|-3≤x≤3且x∈N}用列舉法可表示為 (　　)
A.{-3,-2,-1,0,1,2,3}
B.{-2,-1,0,1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{1,2,3}
2.下列集合中,不同于另外三個(gè)集合的是 (　　)
A.{0} B.{y|y2=0}
C.{x|x=0} D.{x=0}
3.集合A={x|kx2-8x+16=0}中有兩個(gè)元素,則實(shí)數(shù)k的取值組成的集合為　　　　.
4.用列舉法表示集合D={(x,y),x∈N,y∈N|y=-x2+8}為　　　　.

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