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第一章
章末復(fù)習(xí)提升
網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
理解集合的概念，明確集合中元素的特征，能選擇恰當(dāng)方法表示集合，求解相關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：
(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集.
(2)看這些元素滿足什么限制條件.
(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.
一、集合的基本概念
例1
(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為
A.9 B.8
C.5 D.4
√
所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}.
所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，所以A中元素的個(gè)數(shù)為9.
(2)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是
A.1 B.3 C.5 D.9
√
(1)設(shè)集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是
A.4 B.5 C.6 D.7
訓(xùn)練1
√
∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，
所以x＝2，3，4，5，6，8，
∴B中有6個(gè)元素.
當(dāng)m＋2＝5時(shí)，m＝3，M＝{1，5，13}，符合題意；
(2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為________.
3或1
當(dāng)m2＋4＝5時(shí)，m＝1或m＝－1.
若m＝1，M＝{1，3，5}，符合題意；
若m＝－1，則m＋2＝1，不滿足元素的互異性，
故m＝3或1.
集合與集合之間的關(guān)系是包含和相等的關(guān)系，判斷兩集合之間的關(guān)系，可從元素特征入手，并注意代表元素.利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍要注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的活用.
二、集合間的基本關(guān)系
例2
(1)設(shè)全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P?U，( UP)?S，則這樣的集合P共有
A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)
√
易知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，
因?yàn)?U( UP)＝P，所以存在一個(gè) UP，
則有一個(gè)相應(yīng)的P.
由于S＝{－2，1，3}，且( UP)?S，
則集合S的子集 UP共有8個(gè)，所以集合P也有8個(gè).
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1{m|m≤4}
當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，則m≤2.
當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，如圖.
訓(xùn)練2
3
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2aa的取值范圍為_________________.
三、集合的基本運(yùn)算
集合的運(yùn)算是指集合間的交、并、補(bǔ)這三種常見的運(yùn)算，在運(yùn)算過程中往往由于運(yùn)算能力差或考慮不全面而出現(xiàn)錯(cuò)誤，不等式解集之間的包含關(guān)系通常用數(shù)軸法，而用列舉法表示的集合運(yùn)算常用Venn圖法，運(yùn)算時(shí)特別注意對?的討論，不要遺漏.
例3
已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求( UA)∩B；
因?yàn)锳＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R，
所以 UA＝{x|x<2或x>8}，
所以( UA)∩B＝{x|1因?yàn)锳∩C≠?，A＝{x|2≤x≤8}，C＝{x|x>a}，
(2)若A∩C≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
畫數(shù)軸如圖：
訓(xùn)練3
已知集合A＝{x|－3(1)A∩M＝______________；
因?yàn)锳＝{x|－3{x|－3所以A∩M＝{x|－3因?yàn)镸＝{x|－4≤x<5}，
(2)若B∪( UM)＝R，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為______________.
{b|－2≤b<－1}
所以 UM＝{x|x<－4或x≥5}，
又B＝{x|b－3四、充分條件與必要條件
例4
設(shè)集合A＝{x|－1(1)若a＝2，求A∪B和A∩B；
A＝{x|－1因?yàn)閍＝2，所以B＝{x|0所以A∪B＝{x|－1A∩B＝{x|0因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件，所以B?A，
(2)設(shè)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
訓(xùn)練4
設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足a0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足2(1)若a＝1，且p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
當(dāng)a＝1時(shí)，命題p：1(2)若綈p是綈q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
綈p是綈q的充分不必要條件，
五、全稱量詞命題與存在量詞命題
例5
(1)命題p的否定：對任意實(shí)數(shù)x，有x－a≤0且x－b>0.
訓(xùn)練5
設(shè)集合A＝{x|－2　　
一、集合的基本概念
理解集合的概念，明確集合中元素的特征，能選擇恰當(dāng)方法表示集合，求解相關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：
(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集.
(2)看這些元素滿足什么限制條件.
(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.
例1 (1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為(　　)
A.9 B.8
C.5 D.4
(2)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是(　　)
A.1 B.3
C.5 D.9
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.
又x∈Z，y∈Z，
所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}.
所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，
所以A中元素的個(gè)數(shù)為9.
(2)①當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，1，2，此時(shí)x－y的值分別為0，－1，－2；
②當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，1，2，此時(shí)x－y的值分別為1，0，－1；
③當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，1，2，此時(shí)x－y的值分別為2，1，0.
綜上可知，x－y的可能取值為－2，－1，0，1，2，共5個(gè).
訓(xùn)練1 (1)設(shè)集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為________.
答案　(1)C　(2)3或1
解析　(1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，
所以x＝2，3，4，5，6，8，
∴B中有6個(gè)元素.
(2)當(dāng)m＋2＝5時(shí)，m＝3，M＝{1，5，13}，符合題意；
當(dāng)m2＋4＝5時(shí)，m＝1或m＝－1.
若m＝1，M＝{1，3，5}，符合題意；
若m＝－1，則m＋2＝1，不滿足元素的互異性，
故m＝3或1.
二、集合間的基本關(guān)系
集合與集合之間的關(guān)系是包含和相等的關(guān)系，判斷兩集合之間的關(guān)系，可從元素特征入手，并注意代表元素.利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍要注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的活用.
例2 (1)設(shè)全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P?U，( UP)?S，則這樣的集合P共有(　　)
A.5個(gè) B.6個(gè)
C.7個(gè) D.8個(gè)
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1答案　(1)D　(2){m|m≤4}
解析　(1)易知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，
因?yàn)?U( UP)＝P，
所以存在一個(gè) UP，
則有一個(gè)相應(yīng)的P.
由于S＝{－2，1，3}，且( UP)?S，
則集合S的子集 UP共有8個(gè)，
所以集合P也有8個(gè).
(2)當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，則m≤2.
當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，如圖.
則解得2綜上，m的取值范圍為{m|m≤4}.
訓(xùn)練2 (1)已知非空集合A，若對于任意x∈A，都有∈A，則稱集合A具有“反射性”.則在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合個(gè)數(shù)為________.
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a答案　(1)3　(2){a|a<－2或≤a<1}
解析　(1)在集合{1，2，4，8}的所有子集中，由于?x∈A，都有∈A，
所以A中的元素可能有2，1，4且1與4同時(shí)存在.
因此具有“反射性”的集合為{1，4}，{2}，{1，2，4}共3個(gè).
(2)因?yàn)閍<1，所以2a畫數(shù)軸如圖所示.
由B?A知，a＋1<－1或2a≥1，
解之得a<－2或a≥.
由已知a<1，所以a<－2或≤a<1，
故a的取值范圍是{a|a<－2或≤a<1}.
三、集合的基本運(yùn)算
集合的運(yùn)算是指集合間的交、并、補(bǔ)這三種常見的運(yùn)算，在運(yùn)算過程中往往由于運(yùn)算能力差或考慮不全面而出現(xiàn)錯(cuò)誤，不等式解集之間的包含關(guān)系通常用數(shù)軸法，而用列舉法表示的集合運(yùn)算常用Venn圖法，運(yùn)算時(shí)特別注意對?的討論，不要遺漏.
例3 已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求( UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解　(1)因?yàn)锳＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1C＝{x|x>a}，U＝R，
所以 UA＝{x|x<2或x>8}，
所以( UA)∩B＝{x|1(2)因?yàn)锳∩C≠?，A＝{x|2≤x≤8}，C＝{x|x>a}，
畫數(shù)軸如圖：
由圖可得a的取值范圍是{a|a<8}.
訓(xùn)練3 已知集合A＝{x|－3(1)A∩M＝________；
(2)若B∪( UM)＝R，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為________.
答案　(1){x|－3解　(1)因?yàn)锳＝{x|－3所以A∩M＝{x|－3(2)因?yàn)镸＝{x|－4≤x<5}，
所以 UM＝{x|x<－4或x≥5}，
又B＝{x|b－3所以
解之得－2≤b<－1.
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是{b|－2≤b<－1}.
四、充分條件與必要條件
1.(1)若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件，同時(shí)q是p的必要不充分條件.
(2)若p?q，則p是q的充要條件，同時(shí)q是p的充要條件.
2.判定充分條件與必要條件的常用方法：
(1)利用定義：判斷若p，則q的真假.
(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷.
例4 設(shè)集合A＝{x|－1(1)若a＝2，求A∪B和A∩B；
(2)設(shè)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解　(1)A＝{x|－1因?yàn)閍＝2，所以B＝{x|0所以A∪B＝{x|－1A∩B＝{x|0(2)因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件，
所以B?A，
當(dāng)B＝?時(shí)，2－a≥2＋a，得a≤0；
當(dāng)B≠?時(shí)，
等號不能同時(shí)取到，得0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤1}.
訓(xùn)練4 設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足a0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足2(1)若a＝1，且p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
(2)若綈p是綈q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，命題p：1所以當(dāng)p，q均為真命題時(shí)，有
解得2(2)綈p是綈q的充分不必要條件，
即綈p?綈q且綈q綈p.
設(shè)A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
則A?B.
所以03，即1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|1五、全稱量詞命題與存在量詞命題
1.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.對含有量詞命題進(jìn)行否定：一是改寫量詞，二是對結(jié)論進(jìn)行否定.
2.根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍，一般把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、不等式或集合問題解決.解題過程中要注意變量取值范圍的限制.
例5 命題p是“對某些實(shí)數(shù)x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常數(shù).
(1)寫出命題p的否定；
(2)當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，命題p的否定為真？
解　(1)命題p的否定：對任意實(shí)數(shù)x，有x－a≤0且x－b>0.
(2)要使命題p的否定為真，需要使不等式組的解集不為空集，
通過畫數(shù)軸可看出a，b應(yīng)滿足的條件是b訓(xùn)練5 若對?x∈{x|－2解　設(shè)集合A＝{x|－2由題意知，A?B，則有解得a≥3.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥3}.章末復(fù)習(xí)提升
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、集合的基本概念
理解集合的概念,明確集合中元素的特征,能選擇恰當(dāng)方法表示集合,求解相關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn):
(1)確定集合的元素是什么,即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集.
(2)看這些元素滿足什么限制條件.
(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí),要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.
例1 (1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個(gè)數(shù)為 (　　)
A.9 B.8
C.5 D.4
(2)已知集合A={0,1,2},則集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是 (　　)
A.1 B.3
C.5 D.9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練1 (1)設(shè)集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},則集合B中元素的個(gè)數(shù)是 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,則m的值為　　　　.
二、集合間的基本關(guān)系
集合與集合之間的關(guān)系是包含和相等的關(guān)系,判斷兩集合之間的關(guān)系,可從元素特征入手,并注意代表元素.利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍要注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的活用.
例2 (1)設(shè)全集U={x||x|<4,且x∈Z},S={-2,1,3},若P U,( UP) S,則這樣的集合P共有 (　　)
A.5個(gè) B.6個(gè)
C.7個(gè) D.8個(gè)
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練2 (1)已知非空集合A,若對于任意x∈A,都有∈A,則稱集合A具有“反射性”.則在集合{1,2,4,8}的所有子集中,具有“反射性”的集合個(gè)數(shù)為　　　　.
(2)已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a三、集合的基本運(yùn)算
集合的運(yùn)算是指集合間的交、并、補(bǔ)這三種常見的運(yùn)算,在運(yùn)算過程中往往由于運(yùn)算能力差或考慮不全面而出現(xiàn)錯(cuò)誤,不等式解集之間的包含關(guān)系通常用數(shù)軸法,而用列舉法表示的集合運(yùn)算常用Venn圖法,運(yùn)算時(shí)特別注意對 的討論,不要遺漏.
例3 已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1a},U=R.
(1)求( UA)∩B;
(2)若A∩C≠ ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練3 已知集合A={x|-3(1)A∩M=　　　　;
(2)若B∪( UM)=R,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為　　　　.
四、充分條件與必要條件
1.(1)若p q,且qp,則p是q的充分不必要條件,同時(shí)q是p的必要不充分條件.
(2)若p q,則p是q的充要條件,同時(shí)q是p的充要條件.
2.判定充分條件與必要條件的常用方法:
(1)利用定義:判斷若p,則q的真假.
(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷.
例4 設(shè)集合A={x|-1(1)若a=2,求A∪B和A∩B;
(2)設(shè)命題p:x∈A,命題q:x∈B,若p是q成立的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練4 設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足a0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足2(1)若a=1,且p,q均為真命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)若綈p是綈q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
五、全稱量詞命題與存在量詞命題
1.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.對含有量詞命題進(jìn)行否定:一是改寫量詞,二是對結(jié)論進(jìn)行否定.
2.根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍,一般把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、不等式或集合問題解決.解題過程中要注意變量取值范圍的限制.
例5 命題p是“對某些實(shí)數(shù)x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常數(shù).
(1)寫出命題p的否定;
(2)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),命題p的否定為真
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓(xùn)練5 若對 x∈{x|-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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