資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一節　等式性質與不等式性質
課標解讀 考向預測
理解不等式的概念，掌握不等式的性質. 高考主要與其他知識及實際問題相結合進行命題，為中檔難度.2025年備考要重視性質的運用，明確其成立的前提，靈活運用估值法，適當關注與實際問題的結合.
【知識梳理】
1．等式的性質
(1)對稱性：若a＝b，則b＝a.
(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.
(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.
(5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性質
性質 性質內容 注意
對稱性 a>b ba 可逆
傳遞性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向同正
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
可開方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
3.兩個實數比較大小的方法
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
【常用結論】
若a＞b＞0，m＞0，則
(1)＜；＞(a－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)a＝b ac＝bc.(　　)
(2)若a(3)若a>b>c，則(a－b)c>(b－a)c.(　　)
2．小題熱身
(1)實數x，y滿足x＞y，則下列不等式成立的是(　　)
A.＜1 B．2－x＜2－y
C．lg (x－y)＞0 D．x2＞y2
(2)(人教B必修第一冊2.2.1練習B T2改編)若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(　　)
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
(3)(人教A必修第一冊習題2.1 T8)下列命題為真命題的是(　　)
A．若a>b>0，則ac2>bc2
B．若a>b>0，則a2>b2
C．若aD．若a(4)已知1【考點探究】
考點一　不等式的性質
例1 (多選)(2023·湖南長沙長郡中學高三二模)已知實數a，b，c滿足0A.> B.>
C.> D．ab＋c2>ac＋bc
【通性通法】
應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則．有時可以結合函數的單調性進行推導．
【鞏固遷移】
1．(2024·山東濟南高三開學考試)“x>y”的一個充分條件可以是(　　)
A．2x－y> B．x2>y2
C.>1 D．xt2>yt2
考點二　比較兩個數(式)的大小(多考向探究)
考向1作差法
例2已知a，b∈R，a>b>0，則下列不等式中一定成立的是(　　)
A.> B.>
C.> D．a－>b－
【通性通法】
作差法的一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論．其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差．
【鞏固遷移】
2．若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
考向2作商法
例3已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y的大小關系是(　　)
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的關系隨c而定
【通性通法】
作商法的一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小；(4)結論．注意作商前要先判斷正負，一般要比較的兩數(式)均為正數，可考慮使用作商法．
【鞏固遷移】
3．已知a，b，c為正實數，且a2＋b2＝c2，則當n∈N，且n＞2時，cn與an＋bn的大小關系為________．
考向3特殊值法
例4(2023·北京海淀高三模擬)已知x，y∈R，且x＋y>0，則(　　)
A.＋>0 B．x3＋y3>0
C．lg (x＋y)>0 D．sin(x＋y)>0
【通性通法】
解有關不等式選擇題時，可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取值要有代表性．
【鞏固遷移】
4．(2024·福建三明第一中學高三月考)若非零實數a，b滿足a>b，則(　　)
A．ac2>bc2 B.＋>2
C．ea－b>1 D．ln a>ln b
考向4中間量法
例5 (2023·四川南充模擬)設a＝0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log0.50.2，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
【通性通法】
對于兩個數(式)，若無法直接比較大小，則可以考慮利用中間值來比較大小，一般常用的中間值為－1，0，，1，等．
【鞏固遷移】
5．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　)
A．aC．c考點三　不等式性質的綜合應用
例6(1)已知－1(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，則的取值范圍是________．
【通性通法】
利用不等式的性質求代數式取值范圍的注意點
【鞏固遷移】
6．已知127．(2024·廣東五校高三上學期期末聯考)已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，則5a＋b的取值范圍為________．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第一節　等式性質與不等式性質
課標解讀 考向預測
理解不等式的概念，掌握不等式的性質. 高考主要與其他知識及實際問題相結合進行命題，為中檔難度.2025年備考要重視性質的運用，明確其成立的前提，靈活運用估值法，適當關注與實際問題的結合.
【知識梳理】
1．等式的性質
(1)對稱性：若a＝b，則b＝a.
(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.
(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.
(5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性質
性質 性質內容 注意
對稱性 a>b ba 可逆
傳遞性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向同正
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
可開方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
3.兩個實數比較大小的方法
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
【常用結論】
若a＞b＞0，m＞0，則
(1)＜；＞(a－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)a＝b ac＝bc.(　　)
(2)若a(3)若a>b>c，則(a－b)c>(b－a)c.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．小題熱身
(1)實數x，y滿足x＞y，則下列不等式成立的是(　　)
A.＜1 B．2－x＜2－y
C．lg (x－y)＞0 D．x2＞y2
答案　B
(2)(人教B必修第一冊2.2.1練習B T2改編)若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(　　)
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
答案　B
(3)(人教A必修第一冊習題2.1 T8)下列命題為真命題的是(　　)
A．若a>b>0，則ac2>bc2
B．若a>b>0，則a2>b2
C．若aD．若a答案　B
解析　對于A，當c2＝0時不正確；對于B，因為a＞b＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，所以B正確；對于C，由a＜b＜0可得，a2＞ab＞b2，所以C不正確；對于D，因為a＜b＜0，所以>，所以D不正確．
(4)已知1答案　(－4，7)
解析　因為8a＋b＝2(a＋2b)＋3(2a－b)，1【考點探究】
考點一　不等式的性質
例1 (多選)(2023·湖南長沙長郡中學高三二模)已知實數a，b，c滿足0A.> B.>
C.> D．ab＋c2>ac＋bc
答案　BCD
解析　因為0b－a>0，<，故A錯誤；因為a＞0，b＞0，b＋c＞0，a＋c＞0，所以> b(a＋c)>a(b＋c) bc>ac b>a，故B正確；因為a＞0，b＞0，c－a＞0，所以> > b>a，故C正確；ab＋c2>ac＋bc c(c－b)－a(c－b)>0 (c－a)(c－b)>0，故D正確．故選BCD.
【通性通法】
應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則．有時可以結合函數的單調性進行推導．
【鞏固遷移】
1．(2024·山東濟南高三開學考試)“x>y”的一個充分條件可以是(　　)
A．2x－y> B．x2>y2
C.>1 D．xt2>yt2
答案　D
解析　由x>y，得x－y>0.對于A，由2x－y>，得2x－y>2－1，由指數函數的性質，得x－y>－1，因為x－y>－1不一定有x－y>0，故A不正確；對于B，由x2>y2，得x2－y2>0，即(x＋y)(x－y)>0，則或故B不正確；對于C，由>1，得－1>0，即>0，所以y(x－y)>0，則或故C不正確；對于D，由xt2>yt2，知t2>0，所以x>y成立，故D正確．故選D.
考點二　比較兩個數(式)的大小(多考向探究)
考向1作差法
例2已知a，b∈R，a>b>0，則下列不等式中一定成立的是(　　)
A.> B.>
C.> D．a－>b－
答案　C
解析　對于A，－＝＝，因為b－1的正負不確定，所以>不一定成立，即A錯誤；對于B，－＝＝，因為2b－a的正負不確定，所以>不一定成立，即B錯誤；對于C，－＝＝，因為a－b>0，b>0，b＋1>0，所以>一定成立，即C正確；對于D，a－－＝，因為ab－1的正負不確定，所以a－>b－不一定成立，即D錯誤．故選C.
【通性通法】
作差法的一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論．其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差．
【鞏固遷移】
2．若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
答案　B
解析　由題意，得B2－A2＝－2≤0，所以B2≤A2.又A≥0，B≥0，所以A≥B.故選B.
考向2作商法
例3已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y的大小關系是(　　)
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的關系隨c而定
答案　C
解析　易知x>0，y＞0，又＝＝＝<1，所以x【通性通法】
作商法的一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小；(4)結論．注意作商前要先判斷正負，一般要比較的兩數(式)均為正數，可考慮使用作商法．
【鞏固遷移】
3．已知a，b，c為正實數，且a2＋b2＝c2，則當n∈N，且n＞2時，cn與an＋bn的大小關系為________．
答案　cn＞an＋bn
解析　∵a2＋b2＝c2，∴＋＝1，則0＜＜1，0＜＜1.又n∈N，且n＞2，∴<，<，∴＝＋＜＋＝1，∴cn＞an＋bn.
考向3特殊值法
例4(2023·北京海淀高三模擬)已知x，y∈R，且x＋y>0，則(　　)
A.＋>0 B．x3＋y3>0
C．lg (x＋y)>0 D．sin(x＋y)>0
答案　B
解析　令x＝1，y＝－，顯然＋＝1－2<0，故A錯誤；因為x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝(x＋y)，顯然x＝y，y＝0不能同時成立，所以(x＋y)>0，故B正確；取x＝1，y＝0，則lg (x＋y)＝0，故C錯誤；取x＝1，y＝3，則sin(x＋y)＝sin4<0，故D錯誤．故選B.
【通性通法】
解有關不等式選擇題時，可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取值要有代表性．
【鞏固遷移】
4．(2024·福建三明第一中學高三月考)若非零實數a，b滿足a>b，則(　　)
A．ac2>bc2 B.＋>2
C．ea－b>1 D．ln a>ln b
答案　C
解析　對于A，當c＝0時，ac2＝bc2＝0，故A錯誤；對于B，當a＝1，b＝－1時，＋＝－2<0，故B錯誤；對于C，∵a>b，∴a－b>0，∴ea－b>e0＝1，故C正確；對于D，當0>a>b時，ln a，ln b無意義，故D錯誤．故選C.
考向4中間量法
例5 (2023·四川南充模擬)設a＝0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log0.50.2，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案　C
解析　因為a＝0.50.2>0.5＝，a＝0.50.2＜0.50＝1，b＝log0.20.5＝log0.2log0.50.5＝1，所以c>1>a>>b，故選C.
【通性通法】
對于兩個數(式)，若無法直接比較大小，則可以考慮利用中間值來比較大小，一般常用的中間值為－1，0，，1，等．
【鞏固遷移】
5．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　)
A．aC．c答案　B
解析　a＝log20.220＝1，c＝0.20.3<0.20＝1，即c∈(0，1)，故a考點三　不等式性質的綜合應用
例6(1)已知－1答案　(－4，2)　(1，18)
解析　因為－1(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，則的取值范圍是________．
答案　
解析　∵a∈(－3，－2)，∴∈，故<－<，又2【通性通法】
利用不等式的性質求代數式取值范圍的注意點
【鞏固遷移】
6．已知12答案　(－60，30)　
解析　因為157．(2024·廣東五校高三上學期期末聯考)已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，則5a＋b的取值范圍為________．
答案　[11，27]
解析　設5a＋b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，所以解得則5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)，又1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21，由不等式的性質，得11≤2(a－b)＋3(a＋b)≤27，則5a＋b的取值范圍為[11，27]．
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