資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三節　二次函數與一元二次方程、不等式
課標解讀 考向預測
1.會結合一元二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解函數的零點與方程根的關系. 2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的實際意義. 3.能借助一元二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系. 二次函數、一元二次方程和一元二次不等式統稱為“二次問題”，二次函數是解決“二次問題”的核心靈魂．對于高考，主要考查利用二次函數解決一元二次不等式，借助二次函數的圖象利用數形結合寫出有關不等式的解集或者是未知參數的取值范圍．預計2025年高考對于二次函數的考查，還是以結合一元二次不等式為主，難度不會太大，比如集合部分和函數定義域部分的求解等，稍有難度的主要還是與數形結合出題，整體保持穩定.
【知識梳理】
1．二次函數與一元二次方程、不等式解集的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有兩相異實根x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實根x1＝x2＝－ 沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x>x2或xax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
2.分式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
3．簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集為(－a，a)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3或x＞2}．(　　)
(2)不等式≥2等價于x－1≥2x＋6.(　　)
(3)不等式x2－a≤0的解集是[－，]．(　　)
(4)已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c，關于x的不等式f(x)<0的解集為(－1，3)，則f(4)>f(0)>f(1)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教B必修第一冊2.2.3練習B T1改編)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，則A∩B＝(　　)
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4}
C．{0，1} D．{2，4}
答案　D
解析　由題意，得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1(2)設m＋n>0，則關于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m答案　B
解析　原不等式可變形為(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的兩根為m，－n，顯然由m＋n>0，得m>－n，所以原不等式的解集是{x|－n(3)若關于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，則a＋b的值是________．
答案?。?4
解析　由題意，知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的兩根，由根與系數的關系，得
則所以a＋b＝－14.
(4)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對任意x都成立，則實數m的取值范圍是________．
答案　(－2，2]
解析　原不等式可整理為(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.當m＝2時，不等式為4＞0，該不等式恒成立；當m≠2時，需滿足
解得－2＜m＜2.綜上可知，實數m的取值范圍是(－2，2]．
【考點探究】
考點一　一元二次不等式的解法(多考向探究)
考向1不含參數的一元二次不等式的解法
例1已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，則A∪B＝(　　)
A．{x|－2C．{x|－2答案　C
解析　因為A＝{x|－2【通性通法】
解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
【鞏固遷移】
1．(2024·浙江紹興諸暨高三聯考)已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}，則M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
答案　B
解析　因為N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．故選B.
考向2含參數的一元二次不等式的解法
例2解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．
解　原不等式可化為(ax－1)(x－1)＜0，
當a＞0時，有(x－1)＜0，
所以當a＞1時，解得＜x＜1；
當a＝1時，解集為 ；
當0＜a＜1時，解得1＜x＜；
當a＝0時，原不等式等價于－x＋1＜0，即x＞1；
當a＜0時，＜1，原不等式可化為(x－1)＞0，
解得x＞1或x＜.
綜上，當0＜a＜1時，原不等式的解集為；
當a＝1時，原不等式的解集為 ；
當a＞1時，原不等式的解集為；
當a＝0時，原不等式的解集為{x|x＞1}；
當a＜0時，原不等式的解集為.
【通性通法】
解含參數的一元二次不等式的一般步驟
提醒：求對應方程的根優先考慮用因式分解法確定，不能因式分解時再用求根公式計算．
【鞏固遷移】
2．(2024·山東濰坊一中高三上期中)若關于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集不為空集，則實數a的取值范圍為__________．
答案　(－∞，－2)∪
解析　根據題意，分兩種情況討論：①當a2－4＝0，即a＝±2時，若a＝2，則原不等式為4x－1≥0，解得x≥，故不等式的解集為，不是空集；若a＝－2，則原不等式為－1≥0，無解，不符合題意；②當a2－4≠0，即a≠±2時，若(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，則有解得－2考向3可化為一元二次不等式的分式不等式的解法
例3若集合A＝{x|－x2－x＋6>0}，B＝，則A∩B＝(　　)
A．(－3，3) B．[－2，3)
C．(－2，2) D．[－2，2)
答案　D
解析　將－x2－x＋6>0化為x2＋x－6<0，解得－3【通性通法】
分式不等式的求解策略
分式不等式的求解策略是把分式不等式轉化為整式不等式，對于形如>m的分式不等式，一般應遵循“移項—通分—化乘積”的原則進行求解．
注意：解不等式>m時，不能直接在不等式兩邊同乘以分母g(x)，因為g(x)的符號不確定．
【鞏固遷移】
3．(2024·廣東部分地市高三模擬)若集合A＝，B＝{x|2x2－(2a＋1)x＋a≤0}，且A∩B≠ ，則實數a的取值范圍為(　　)
A．[－3，－1] B．[－3，－1)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
答案　C
解析　依題意，得A＝＝{x|－3≤x<－1}，方程2x2－(2a＋1)x＋a＝0，即(2x－1)(x－a)＝0，解得x＝或x＝a.當a>時，B＝，此時A∩B＝ ，不符合題意；當a＝時，B＝，此時A∩B＝ ，不符合題意；當－1≤a<時，B＝，此時A∩B＝ ，不符合題意；當a<－1時，B＝，此時A∩B≠ ，符合題意．綜上可得，實數a的取值范圍為(－∞，－1)．故選C.
考點二　三個二次之間的關系
例4若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－12ax的解集是(　　)
A．{x|03}
C．{x|1答案　A
解析　由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0　①.又不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－1【通性通法】
三個“二次”即二次函數、一元二次方程、一元二次不等式，三者之間具有豐富的內涵和密切的聯系．一元二次方程和一元二次不等式可看作二次函數的一種特殊情況：當y＝0時，函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)轉化為二次方程ax2＋bx＋c＝0；當y>0或y<0時，就轉化為一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，所以解決問題需要三者相互聯系．
【鞏固遷移】
4．已知函數y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值為0，若關于x的不等式x2＋ax＋bA．9 B．8
C．6 D．4
答案　D
解析　由題意得＝0，∴b＝，又不等式x2＋ax＋b考點三　一元二次不等式恒成立問題(多考向探究)
考向1在R上的恒成立問題
例5關于x的不等式mx2－mx＋m＋1>0恒成立，則m的取值范圍為________．
答案　[0，＋∞)
解析　當m＝0時，1>0成立；當m≠0時，解得m>0，所以m≥0，即m的取值范圍為[0，＋∞)．
【通性通法】
一元二次不等式在R上恒成立問題一般要結合二次函數圖象，用判別式解決．
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數x恒成立
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數x恒成立
注意：題目中是否有“一元二次”幾個字，也就是判斷是否要考慮二次項系數為0的情況．
【鞏固遷移】
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集為 ，則實數a的取值范圍是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2C．{a|－2答案　C
解析　由題意得不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R，即不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對一切實數x恒成立．當a－2＝0，即a＝2時，－4<0，符合題意；當a－2<0，即a<2時，由Δ＝[2(a－2)]2＋4×4×(a－2)<0，解得－2考向2在給定區間上的恒成立問題
例6(2024·江蘇連云港海濱中學高三學情檢測)設函數f(x)＝mx2－mx－1，若對于x∈[1，3]，f(x)>－m＋2恒成立，則實數m的取值范圍為________．
答案　(3，＋∞)
解析　由f(x)>－m＋2，得mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3，當x∈[1，3]時，x2－x＋1∈[1，7]，所以m>在x∈[1，3]上恒成立，只需m>，當x＝1時，x2－x＋1有最小值，為1，則有最大值，為3，則m>3，故實數m的取值范圍為(3，＋∞)．
【通性通法】
一元二次不等式在給定區間上恒成立問題的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，則集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數的值(或取值范圍)．
(2)轉化為函數值域問題，即已知函數f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
【鞏固遷移】
6．(2024·廣東深圳高三模擬)對于任意x∈[－2，3]，不等式x2－a|x|＋1>0恒成立，則實數a的取值范圍為________．
答案　(－∞，2)
解析　當a＝0時，不等式x2＋1>0恒成立，當a≠0時，不等式可變形為a<，0<|x|≤3，設t＝|x|，t∈(0，3]，則y＝＝＝t＋，由對勾函數的性質，知該函數在(0，1]上單調遞減，在[1，3]上單調遞增，∴當t＝1時，y＝t＋取得最小值2，∴a<2.故實數a的取值范圍是(－∞，2)．
考向3給定參數范圍的恒成立問題
例7若不等式x2＋px>4x＋p－3，當0≤p≤4時恒成立，則x的取值范圍是(　　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　不等式x2＋px>4x＋p－3可化為(x－1)p＋x2－4x＋3>0，則[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，則
解得x<－1或x>3.
【通性通法】
解給定參數范圍的不等式恒成立問題，可考慮變換思維角度，即把變量與參數交換位置(變換主元)，構造以參數為變量的函數，再根據原參數的范圍求解．
【鞏固遷移】
7．(2023·湖北部分重點高中高三聯考)若命題“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”為假命題，則x的取值范圍為________．
答案　[－1，0]∪
解析　由題意知“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”為真命題．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，則即解得
所以x的取值范圍為[－1，0]∪.
考向4不等式能成立或有解問題
例8已知關于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，) B．
C．(，＋∞) D．
答案　A
解析　問題轉化為m<在(0，2]上有解，設g(x)＝，則g(x)＝＝，x∈(0，2]，又x＋≥2，當且僅當x＝時取等號，則g(x)max＝＝，故m<.故選A.
【通性通法】
能成立或有解問題與恒成立問題處理方法類似，一般也是轉化為函數的最值問題，一是直接研究原函數的最值；二是參數分離后研究最值，常用到以下兩個結論：
(1)a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
(2)a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【鞏固遷移】
8．若存在x∈[－2，2]，x2＋mx＋3－m≤0有解，則實數m的取值范圍為________．
答案　(－∞，－7]∪[2，＋∞)
解析　因為f(x)＝x2＋mx＋3－m的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝－，①當－≤－2，即m≥4時，f(x)min＝f(－2)＝4－2m＋3－m≤0，即m≥，∴m≥4；②當－2<－<2，即－421世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第三節　二次函數與一元二次方程、不等式
課標解讀 考向預測
1.會結合一元二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解函數的零點與方程根的關系. 2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的實際意義. 3.能借助一元二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系. 二次函數、一元二次方程和一元二次不等式統稱為“二次問題”，二次函數是解決“二次問題”的核心靈魂．對于高考，主要考查利用二次函數解決一元二次不等式，借助二次函數的圖象利用數形結合寫出有關不等式的解集或者是未知參數的取值范圍．預計2025年高考對于二次函數的考查，還是以結合一元二次不等式為主，難度不會太大，比如集合部分和函數定義域部分的求解等，稍有難度的主要還是與數形結合出題，整體保持穩定.
【知識梳理】
1．二次函數與一元二次方程、不等式解集的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有兩相異實根x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實根x1＝x2＝－ 沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x>x2或xax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
2.分式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
3．簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集為(－a，a)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3或x＞2}．(　　)
(2)不等式≥2等價于x－1≥2x＋6.(　　)
(3)不等式x2－a≤0的解集是[－，]．(　　)
(4)已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c，關于x的不等式f(x)<0的解集為(－1，3)，則f(4)>f(0)>f(1)．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教B必修第一冊2.2.3練習B T1改編)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，則A∩B＝(　　)
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4}
C．{0，1} D．{2，4}
(2)設m＋n>0，則關于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m(3)若關于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，則a＋b的值是________．
(4)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對任意x都成立，則實數m的取值范圍是________．
【考點探究】
考點一　一元二次不等式的解法(多考向探究)
考向1不含參數的一元二次不等式的解法
例1已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，則A∪B＝(　　)
A．{x|－2C．{x|－2【通性通法】
解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
【鞏固遷移】
1．(2024·浙江紹興諸暨高三聯考)已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}，則M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
考向2含參數的一元二次不等式的解法
例2解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．
【通性通法】
解含參數的一元二次不等式的一般步驟
提醒：求對應方程的根優先考慮用因式分解法確定，不能因式分解時再用求根公式計算．
【鞏固遷移】
2．(2024·山東濰坊一中高三上期中)若關于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集不為空集，則實數a的取值范圍為__________．
考向3可化為一元二次不等式的分式不等式的解法
例3若集合A＝{x|－x2－x＋6>0}，B＝，則A∩B＝(　　)
A．(－3，3) B．[－2，3)
C．(－2，2) D．[－2，2)
【通性通法】
分式不等式的求解策略
分式不等式的求解策略是把分式不等式轉化為整式不等式，對于形如>m的分式不等式，一般應遵循“移項—通分—化乘積”的原則進行求解．
注意：解不等式>m時，不能直接在不等式兩邊同乘以分母g(x)，因為g(x)的符號不確定．
【鞏固遷移】
3．(2024·廣東部分地市高三模擬)若集合A＝，B＝{x|2x2－(2a＋1)x＋a≤0}，且A∩B≠ ，則實數a的取值范圍為(　　)
A．[－3，－1] B．[－3，－1)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
考點二　三個二次之間的關系
例4若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－12ax的解集是(　　)
A．{x|03}
C．{x|1【通性通法】
三個“二次”即二次函數、一元二次方程、一元二次不等式，三者之間具有豐富的內涵和密切的聯系．一元二次方程和一元二次不等式可看作二次函數的一種特殊情況：當y＝0時，函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)轉化為二次方程ax2＋bx＋c＝0；當y>0或y<0時，就轉化為一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，所以解決問題需要三者相互聯系．
【鞏固遷移】
4．已知函數y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值為0，若關于x的不等式x2＋ax＋bA．9 B．8
C．6 D．4
考點三　一元二次不等式恒成立問題(多考向探究)
考向1在R上的恒成立問題
例5關于x的不等式mx2－mx＋m＋1>0恒成立，則m的取值范圍為________．
【通性通法】
一元二次不等式在R上恒成立問題一般要結合二次函數圖象，用判別式解決．
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數x恒成立
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數x恒成立
注意：題目中是否有“一元二次”幾個字，也就是判斷是否要考慮二次項系數為0的情況．
【鞏固遷移】
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集為 ，則實數a的取值范圍是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2C．{a|－2考向2在給定區間上的恒成立問題
例6(2024·江蘇連云港海濱中學高三學情檢測)設函數f(x)＝mx2－mx－1，若對于x∈[1，3]，f(x)>－m＋2恒成立，則實數m的取值范圍為________．
【通性通法】
一元二次不等式在給定區間上恒成立問題的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，則集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數的值(或取值范圍)．
(2)轉化為函數值域問題，即已知函數f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
【鞏固遷移】
6．(2024·廣東深圳高三模擬)對于任意x∈[－2，3]，不等式x2－a|x|＋1>0恒成立，則實數a的取值范圍為________．
考向3給定參數范圍的恒成立問題
例7若不等式x2＋px>4x＋p－3，當0≤p≤4時恒成立，則x的取值范圍是(　　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【通性通法】
解給定參數范圍的不等式恒成立問題，可考慮變換思維角度，即把變量與參數交換位置(變換主元)，構造以參數為變量的函數，再根據原參數的范圍求解．
【鞏固遷移】
7．(2023·湖北部分重點高中高三聯考)若命題“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”為假命題，則x的取值范圍為________．
所以x的取值范圍為[－1，0]∪.
考向4不等式能成立或有解問題
例8已知關于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，) B．
C．(，＋∞) D．
【通性通法】
能成立或有解問題與恒成立問題處理方法類似，一般也是轉化為函數的最值問題，一是直接研究原函數的最值；二是參數分離后研究最值，常用到以下兩個結論：
(1)a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
(2)a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【鞏固遷移】
8．若存在x∈[－2，2]，x2＋mx＋3－m≤0有解，則實數m的取值范圍為________．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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