資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二節　基本不等式
課標解讀 考向預測
1.掌握基本不等式≤(a，b>0)，了解其證明過程. 2.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題. 基本不等式是高考考查的重點，基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”及將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常用于比較數(式)的大小或證明不等式．從近幾年高考來看，基本不等式考查的內容、頻率、題型難度均變化不大，2025年備考仍以選擇題、解答題為主，重點關注利用基本不等式進行大小判斷、與解三角形、圓錐曲線、導數等知識相結合求最值或求取值范圍的問題.
【知識梳理】
1．基本不等式：≤.
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0．
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．
(3)其中叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同號)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b．
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2．(簡記：積定和最小)
(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2．(簡記：和定積最大)
注意：(1)利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．
(2)形如y＝x＋(a>0)的函數求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數的單調性求解．
【常用結論】
1．連續使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件要一致．
2．若a>0，b>0，則≤≤≤，當且僅當a＝b時，等號成立．
3．常見求最值的模型
模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x>0)，當且僅當x＝時，等號成立；
模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x>a)，當且僅當x－a＝時，等號成立；
模型三：＝≤(a>0，c>0，x>0)，當且僅當x＝時，等號成立；
模型四：x(n－mx)＝≤·＝，當且僅當x＝時，等號成立．
4．三個正數的均值不等式：若a，b，c>0，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)≥2.(　　)
(3)已知0(4)函數f(x)＝sinx＋的最小值為4.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．小題熱身
(1)設a＞0，則9a＋的最小值為(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　C
解析　9a＋≥2＝6，當且僅當9a＝，即a＝時，等號成立．
(2)矩形兩邊長分別為a，b，且a＋2b＝6，則矩形面積的最大值是(　　)
A．4 B.
C. D．2
答案　B
解析　依題意，可得a＞0，b＞0，則6＝a＋2b≥2＝2·，當且僅當a＝2b時取等號，所以ab≤＝，即矩形面積的最大值為.故選B.
(3)(2024·河南鄭州高三模擬)已知實數a>0，b>0，a＋b＝2，則＋的最小值為________．
答案　＋
解析　＋＝×＋＝＋＋≥＋2＝＋，當且僅當＝，即a＝2－2，b＝4－2時，等號成立．
(4)(人教A必修第一冊習題2.2 T1(2)改編)函數y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．
答案　
解析　因為0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤＝，當且僅當2x＝3－2x，即x＝時取等號．
(5)(人教A必修第一冊復習參考題2 T5改編)已知a，b>0，且ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍為________．
答案　[9，＋∞)
解析　因為a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2，于是ab－2－3≥0，解得≤－1(舍去)或≥3，所以ab≥9，當且僅當a＝b＝3時，等號成立，所以ab的取值范圍是[9，＋∞)．
【考點探究】
考點一　利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1配湊法求最值
例1(1)(2024·福建福州四校高三期中聯考)已知0A．2 B．4
C．5 D．6
答案　A
解析　因為0(2)函數y＝(x<－1)的最大值為(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
答案　D
解析　y＝＝＝－＋1≤－2×＋1＝－1，當且僅當x＋1＝＝－1，即x＝－2時，等號成立．故選D.
【通性通法】
配湊法求最值的關鍵點
【鞏固遷移】
1．函數y＝3x＋的最小值為(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
答案　D
解析　因為x>，所以3x－1>0，所以y＝3x＋＝(3x－1)＋＋1≥2＋1＝5，當且僅當3x－1＝，即x＝1時，等號成立，故函數y＝3x＋的最小值為5.故選D.
2．(2023·浙江杭州高三教學質量檢測)已知a>1，b>1，且log2＝logb4，則ab的最小值為(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
答案　C
解析　∵log2＝logb4，∴log2a＝logb4，即log2a＝，∴log2a·log2b＝4.∵a>1，b>1，∴log2a>0，log2b>0，∴log2(ab)＝log2a＋log2b≥2＝4，當且僅當log2a＝log2b＝2，即a＝b＝4時取等號，所以ab≥24＝16，當且僅當a＝b＝4時取等號，故ab的最小值為16.故選C.
考向2常數代換法求最值
例2(1)已知0A．50 B．49
C．25 D．7
答案　B
解析　因為0(2)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，則＋的最小值為(　　)
A. B.
C．1＋ D．1＋
答案　C
解析　因為a＋2b＝3，所以a＋b＝1，所以＝＋＋＋≥1＋2＝1＋，當且僅當＝，即a＝3(－1)，b＝時，等號成立．故選C.
【通性通法】
常數代換法求最值的基本步驟
【鞏固遷移】
3．若正實數x，y滿足2x＋y＝9，則－－的最大值是(　　)
A. B．－
C．6＋4 D．－6－4
答案　B
解析　因為＋＝×(2x＋y)＝≥，當且僅當＝，即x＝，y＝9(2－)時，等號成立，所以－－≤－.故選B.
4．(2024·湖北荊門三校高三聯考)已知實數a，b滿足lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，則2a＋b的最小值是(　　)
A．5 B．9
C．13 D．18
答案　B
解析　由lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，可得lg (ab)＝lg (a＋2b)，所以ab＝a＋2b，即＋＝1，且a>0，b>0，則2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當＝，即a＝b＝3時，等號成立，所以2a＋b的最小值為9.故選B.
考向3消元法、換元法求最值
例3(1)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是(　　)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　因為5x2y2＋y4＝1，所以x2＝，又x2≥0，所以y2∈(0，1]，所以x2＋y2＝y2＋＝＝≥×2＝，當且僅當4y2＝，即y2＝，x2＝時取等號，所以x2＋y2的最小值是.故選B.
(2)(2024·浙江嘉興第一中學高三期中)若x>0，y>0，且＋＝1，則2x＋y的最小值為(　　)
A．2 B．2
C.＋ D．4＋2
答案　C
解析　設x＋1＝a，x＋2y＝b，則x＝a－1，y＝，且a>0，b>0，則＋＝1，2x＋y＝2(a－1)＋＝－，而3a＋b＝(3a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，當且僅當＝，即a＝，b＝＋1時，等號成立，則2x＋y≥－＝＋.故選C.
【通性通法】
當所求最值的代數式中變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值．
【鞏固遷移】
5．(2023·江蘇南京高三調研)設a≥0，b≥0，且2＋b＝1，則的最小值為__________．
答案　0
解析　因為2＋b＝1，所以a＝＝，所以＝＝＋－≥2－＝0，當且僅當a＝0，b＝1時取等號．
6．(2024·湖北襄陽五中高三質量檢測)若正數a，b滿足2a＋b＝1，則＋的最小值是________．
答案　－
解析　設u＝2－2a，v＝2－b，則a＝，b＝2－v，則u＋v＝3(u>0，v>0)，所以＋＝＋＝＋－＝(u＋v)－＝－≥－＝1＋－＝－，當且僅當v＝6－3，u＝3－3時，等號成立，所以＋的最小值為－.
考向4“和”“積”互化求最值
例4(多選)設a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2＋2
B．a＋b有最大值2－2
C．ab有最大值3－2
D．ab有最小值3＋2
答案　AD
解析　∵a>1，b>1，∴ab－1＝a＋b≥2，當a＝b時取等號，即ab－2－1≥0，解得≥＋1，∴ab≥(＋1)2＝3＋2，∴ab有最小值3＋2.又ab≤，當a＝b時取等號，∴1＝ab－(a＋b)≤－(a＋b)，即(a＋b)2－4(a＋b)≥4，則[(a＋b)－2]2≥8，解得a＋b－2≥2，即a＋b≥2＋2，∴a＋b有最小值2＋2.故選AD.
【通性通法】
“和”“積”互化求最值的方法
(1)基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數式的最值．
(2)如果條件中含有兩個變量的和與積的形式，可以直接利用基本不等式對兩個正數的和與積進行轉化，然后通過解不等式進行求解，或者通過構造一元二次方程，利用根的分布解決問題．
【鞏固遷移】
7．正實數x，y滿足4x2＋y2＋xy＝1，則xy的最大值為________，2x＋y的最大值為________．
答案　　
解析　∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，∴5xy≤1，∴xy≤，當且僅當y＝2x，即x＝，y＝時取等號．∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤，即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，當且僅當2x＝y，即x＝，y＝時取等號．
考點二　基本不等式的綜合應用
例5(2024·河南濮陽外國語學校模擬)若對任意正數x，不等式≤恒成立，則實數a的取值范圍為(　　)
A．[0，＋∞) B.
C. D.
答案　B
解析　依題意得，當x>0時，2a＋1≥＝恒成立，又x＋≥4，當且僅當x＝2時取等號，所以的最大值為，所以2a＋1≥，解得實數a的取值范圍為.故選B.
【通性通法】
1．利用基本不等式求參數的值或范圍時，要觀察題目的特點，先確定是恒成立問題還是有解問題，再利用基本不等式確定等號成立的條件，最后通過解不等式(組)得到參數的值或范圍．
2．當基本不等式與其他知識相結合時，往往是為其他知識提供一個應用基本不等式的條件，然后利用常數代換法求最值．
【鞏固遷移】
8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則△ABC面積的最大值是(　　)
A．6 B．12
C．18 D．24
答案　A
解析　設AB＝AC＝2m，BC＝2n，因為∠ADB＝π－∠CDB，所以＝－，整理得m2＝9－2n2.設△ABC的面積為S，則S＝BC×＝×2n×＝3n＝3≤3×＝6，當且僅當n＝時，等號成立．故選A.
考點三　基本不等式的實際應用
例6網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內成為商業的一個主要發展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年10月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式．根據幾個月運營發現，產品的月銷量x(萬件)與投入實體店體驗安裝的費用t(萬元)之間滿足函數關系式x＝3－.已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是________萬元．
答案　37.5
解析　由題意知t＝－1(1【通性通法】
利用基本不等式解決實際應用問題的技巧
【鞏固遷移】
9．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10 g黃金，售貨員先將5 g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5 g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．若顧客實際購得的黃金為m g，則(　　)
A．m>10 B．m＝10
C．m<10 D．以上都有可能
答案　A
解析　由于天平兩臂不等長，可設天平左臂長為a，右臂長為b，則a≠b，設先稱得黃金為x g，后稱得黃金為y g，則bx＝5a，ay＝5b，∴x＝，y＝，∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝10，當且僅當＝，即a＝b時，等號成立，但a≠b，等號不成立，即x＋y>10.因此顧客實際購得的黃金克數m>10.故選A.
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第二節　基本不等式
課標解讀 考向預測
1.掌握基本不等式≤(a，b>0)，了解其證明過程. 2.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題. 基本不等式是高考考查的重點，基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”及將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常用于比較數(式)的大小或證明不等式．從近幾年高考來看，基本不等式考查的內容、頻率、題型難度均變化不大，2025年備考仍以選擇題、解答題為主，重點關注利用基本不等式進行大小判斷、與解三角形、圓錐曲線、導數等知識相結合求最值或求取值范圍的問題.
【知識梳理】
1．基本不等式：≤.
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0．
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．
(3)其中叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同號)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b．
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2．(簡記：積定和最小)
(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2．(簡記：和定積最大)
注意：(1)利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．
(2)形如y＝x＋(a>0)的函數求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數的單調性求解．
【常用結論】
1．連續使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件要一致．
2．若a>0，b>0，則≤≤≤，當且僅當a＝b時，等號成立．
3．常見求最值的模型
模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x>0)，當且僅當x＝時，等號成立；
模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x>a)，當且僅當x－a＝時，等號成立；
模型三：＝≤(a>0，c>0，x>0)，當且僅當x＝時，等號成立；
模型四：x(n－mx)＝≤·＝，當且僅當x＝時，等號成立．
4．三個正數的均值不等式：若a，b，c>0，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)≥2.(　　)
(3)已知0(4)函數f(x)＝sinx＋的最小值為4.(　　)
2．小題熱身
(1)設a＞0，則9a＋的最小值為(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
(2)矩形兩邊長分別為a，b，且a＋2b＝6，則矩形面積的最大值是(　　)
A．4 B.
C. D．2
(3)(2024·河南鄭州高三模擬)已知實數a>0，b>0，a＋b＝2，則＋的最小值為________．
(4)(人教A必修第一冊習題2.2 T1(2)改編)函數y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．
(5)(人教A必修第一冊復習參考題2 T5改編)已知a，b>0，且ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍為________．
【考點探究】
考點一　利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1配湊法求最值
例1(1)(2024·福建福州四校高三期中聯考)已知0A．2 B．4
C．5 D．6
(2)函數y＝(x<－1)的最大值為(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
【通性通法】
配湊法求最值的關鍵點
【鞏固遷移】
1．函數y＝3x＋的最小值為(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
2．(2023·浙江杭州高三教學質量檢測)已知a>1，b>1，且log2＝logb4，則ab的最小值為(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
考向2常數代換法求最值
例2(1)已知0A．50 B．49
C．25 D．7
(2)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，則＋的最小值為(　　)
A. B.
C．1＋ D．1＋
【通性通法】
常數代換法求最值的基本步驟
【鞏固遷移】
3．若正實數x，y滿足2x＋y＝9，則－－的最大值是(　　)
A. B．－
C．6＋4 D．－6－4
4．(2024·湖北荊門三校高三聯考)已知實數a，b滿足lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，則2a＋b的最小值是(　　)
A．5 B．9
C．13 D．18
考向3消元法、換元法求最值
例3(1)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是(　　)
A. B. C. D．2
(2)(2024·浙江嘉興第一中學高三期中)若x>0，y>0，且＋＝1，則2x＋y的最小值為(　　)
A．2 B．2
C.＋ D．4＋2
【通性通法】
當所求最值的代數式中變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值．
【鞏固遷移】
5．(2023·江蘇南京高三調研)設a≥0，b≥0，且2＋b＝1，則的最小值為__________．
6．(2024·湖北襄陽五中高三質量檢測)若正數a，b滿足2a＋b＝1，則＋的最小值是________．
考向4“和”“積”互化求最值
例4(多選)設a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2＋2
B．a＋b有最大值2－2
C．ab有最大值3－2
D．ab有最小值3＋2
【通性通法】
“和”“積”互化求最值的方法
(1)基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數式的最值．
(2)如果條件中含有兩個變量的和與積的形式，可以直接利用基本不等式對兩個正數的和與積進行轉化，然后通過解不等式進行求解，或者通過構造一元二次方程，利用根的分布解決問題．
【鞏固遷移】
7．正實數x，y滿足4x2＋y2＋xy＝1，則xy的最大值為________，2x＋y的最大值為________．
考點二　基本不等式的綜合應用
例5(2024·河南濮陽外國語學校模擬)若對任意正數x，不等式≤恒成立，則實數a的取值范圍為(　　)
A．[0，＋∞) B.
C. D.
【通性通法】
1．利用基本不等式求參數的值或范圍時，要觀察題目的特點，先確定是恒成立問題還是有解問題，再利用基本不等式確定等號成立的條件，最后通過解不等式(組)得到參數的值或范圍．
2．當基本不等式與其他知識相結合時，往往是為其他知識提供一個應用基本不等式的條件，然后利用常數代換法求最值．
【鞏固遷移】
8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則△ABC面積的最大值是(　　)
A．6 B．12
C．18 D．24
考點三　基本不等式的實際應用
例6網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內成為商業的一個主要發展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年10月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式．根據幾個月運營發現，產品的月銷量x(萬件)與投入實體店體驗安裝的費用t(萬元)之間滿足函數關系式x＝3－.已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是________萬元．
【通性通法】
利用基本不等式解決實際應用問題的技巧
【鞏固遷移】
9．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10 g黃金，售貨員先將5 g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5 g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．若顧客實際購得的黃金為m g，則(　　)
A．m>10 B．m＝10
C．m<10 D．以上都有可能
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