資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一節　基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
課標解讀 考向預測
1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構. 2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖. 3.知道球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題. 近三年高考考查了空間幾何體的體積及外接球的相關知識．預計2025年高考會繼續考查空間幾何體的體積，涉及空間幾何體的結構特征、直觀圖等內容，要求考生要有較強的空間想象能力和計算能力，主要以選擇題或填空題的形式出現，難度不大.
【知識梳理】
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側棱 平行且相等 相交于一點，但不一定相等 延長線交于一點
側面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓面
側面展開圖 矩形 扇形 扇環
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直；
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半．
3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【常用結論】
1．求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．
2．求旋轉體的表面積時，可從旋轉體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應的側面展開圖中的邊長之間的關系．
3．錐體中平行于底面的截面的性質
在錐體中，用平行于底面的截面截原錐體，得到一個小錐體，則小錐體與原錐體有如下比例關系：
＝＝＝對應線段(如高、斜高、底面邊長等)的平方之比．
這個比例關系很重要，在求錐體的側面積、底面積比時，會大大簡化計算過程．在求臺體的側面積、底面積比時，將臺體補成錐體，也可應用這個關系式．
4．有關棱柱直截面問題
在棱柱中，與各側棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及與底面平行的截面．棱柱的側面積與直截面周長有如下關系式：
S棱柱側＝C直截l(其中C直截，l分別為棱柱的直截面周長與側棱長)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分別為棱柱的直截面面積與側棱長)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　)
(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　)
(3)斜三棱柱的側面積也可以用c·l來求解，其中c是底面周長，l為側棱長．(　　)
(4)底面積相等且高相等的兩個同類幾何體的體積相等．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊習題8.1 T6改編)下列說法正確的個數為(　　)
①圓柱的所有母線長都相等；②棱柱的側棱長都相等，側面都是平行四邊形；③底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；④棱臺的側棱延長后必交于一點．
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，則原圖形的面積是(　　)
A．4 B．10
C．4 D．5
(3)(人教A必修第二冊8.3.2練習T1改編)已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為(　　)
A．2π B．3π
C．4π D．5π
(4)(2023·江蘇常州一模)已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，側面積為3π，則該圓臺的體積為(　　)
A． B．
C．5π D．
【考點探究】
考點一　基本立體圖形(多考向探究)
考向1　空間幾何體的結構特征
例1　(2024·河北唐山階段考試)下列說法錯誤的是(　　)
A．球體是旋轉體
B．圓柱的母線平行于軸
C．斜棱柱的側面中沒有矩形
D．用平行于正棱錐底面的平面截正棱錐所得的棱臺叫做正棱臺
【通性通法】
空間幾何體結構特征的判斷技巧
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定．
(2)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
【鞏固遷移】
1．(2024·湖北襄陽五中月考)下列說法正確的是(　　)
A．各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
B．球的直徑是連接球面上兩點并且經過球心的線段
C．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐
D．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺
考向2　平面圖形與其直觀圖
例2　已知△ABC是邊長為a的正三角形，那么水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
【通性通法】
利用斜二測畫法解題的策略
策略一 在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半
策略二 按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系為S直觀圖＝S原圖形
【鞏固遷移】
2．(2023·益陽調研)如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖O′A′B′C′的面積為4，則該平面圖形的面積為(　　)
A． B．4
C．8 D．2
考向3　空間幾何體的展開圖
例3　(2024·黑龍江哈九中期末)如圖，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的底面邊長為1 cm，側面積為9 cm2，則一質點自點A出發，沿著三棱柱的側面繞行一周到達點A′的最短路線的長為________ cm.
【通性通法】
多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．
【鞏固遷移】
3．(2024·貴州黔東南期末)如圖1的平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖2的“正六面體”，則SS′＝________．
考向4　空間幾何體的截面圖
例4　(多選)如圖，從一個正方體中挖掉一個四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面圖形可能是該幾何體的截面的是(　　)
【通性通法】
作多面體截面的關鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連接成截線，從而得到截面．
【鞏固遷移】
4．(2024·吉林長春五中階段考試)圓柱內有一內接正三棱錐，過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖是(　　)
考點二　空間幾何體的表面積
例5　(2024·江西萍鄉期末)如圖，平面四邊形ABCD中，∠DAB＝，∠ADC＝，AB＝5，CD＝，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積為(　　)
A．56π＋π B．56π＋2π
C．55π＋π D．55π＋2π
【通性通法】
空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側面展開圖中邊的關系．
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．
【鞏固遷移】
5．(2023·河南鄭州一中期末)已知圓臺OO1軸截面的面積為3，上、下底面半徑之比為1∶2，母線與底面所成的角為60°，則圓臺的側面積為(　　)
A．3π B．6π
C．6π D．9π
6．(2024·江蘇南京期中)如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為(　　)
A．8 B．4
C．2 D．
考點三　空間幾何體的體積(多考向探究)
考向1　直接法求體積
例6　(1)(2023·全國甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝，則該棱錐的體積為(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
(2)(2023·新課標Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則該棱臺的體積為________．
【通性通法】
直接法：規則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解．
【鞏固遷移】
7．(2023·全國乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120°，若△PAB的面積等于，則該圓錐的體積為(　　)
A．π B．π
C．3π D．3π
考向2　補形法求體積
例7　如圖，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為36，E，F分別為棱B1B，C1C上的點(異于端點)，且EF∥BC，則四棱錐A1－AEFD的體積為________．
【通性通法】
把不規則的幾何體補成規則的幾何體，便于計算．常見的補形有：(1)將正四面體補形成正方體；(2)將等腰四面體(對棱相等)補形成長方體；(3)將三條棱兩兩相互垂直且相等的三棱錐補成正方體；(4)將臺體補成錐體等．
【鞏固遷移】
8．如圖，一個底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為4和10，則該幾何體的體積為(　　)
A．90π B．63π
C．42π D．36π
考向3　分割法求體積
例8　(2023·安徽合肥一中期末)木楔子在傳統木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝2，則該木楔子的體積為(　　)
A． B．
C． D．
【通性通法】
分割法：把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，當規則的幾何體用公式不易求出時，可將其分割轉化成比較好求體積的幾何體．大多數情況下，可以把不規則幾何體分割為三棱柱＋四棱錐，從四棱錐底面對角線或幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”．
【鞏固遷移】
9．如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．
考向4　轉化法求體積
例9　(2023·江西吉安模擬)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，D是棱CC1的中點，點E在棱AA1上，則三棱錐B1－EBD的體積為(　　)
A．1 B．2
C． D．2
【通性通法】
(1)等體積轉化法一般情況下是三棱錐才有的特性．
(2)盡可能尋找在表面的三個點，通過三棱錐“換底”求解三棱錐的體積．轉化的目的是找到易于計算的“好底”與“好高”．
【鞏固遷移】
10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝1，則點B1到平面A1BC的距離為________．
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．一個菱形的邊長為4 cm，一內角為60°，用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為(　　)
A．2 cm2 B．2 cm2
C．4 cm2 D．8 cm2
2．(2024·河南鄭州模擬)若圓錐的母線與底面所成的角為，底面半徑為，則該圓錐的體積為(　　)
A． B．π
C．2π D．3π
3.如圖，圓錐的母線長AB為2，底面半徑為r，若一只螞蟻從圓錐的點B出發，沿表面爬到AC的中點D處，其爬行的最短路線長為，則圓錐的底面半徑為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．
4．(2023·江蘇宿遷中學一模)設體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為S1，S2，S3，則(　　)
A．S1C．S35．(2024·河南商丘聯考)某廣場設置了一些石凳供大家休息，如圖，每個石凳都是由正方體截去八個相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結論不正確的是(　　)
A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形
B．該幾何體恰有12個面
C．該幾何體恰有24條棱
D．該幾何體恰有12個頂點
6．(2023·陜西西安一模)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M在對角線BC1上移動，則三棱錐M－AB1D1的體積為(　　)
A． B．8
C． D．4
7．(2023·天津高考)在三棱錐P－ABC中，線段PC上的點M滿足PM＝PC，線段PB上的點N滿足PN＝PB，則三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比為(　　)
A． B．
C． D．
8．(2023·河北邯鄲模擬)如圖1，在高為h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.現往該容器內灌進一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面恰好為△A1B1C(如圖2)，則容器的高h為(　　)
A．3 B．4
C．4 D．6
二、多項選擇題
9.(2024·河北張家口摸底)如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝，則在原平面圖形△ABC中，有(　　)
A．AC＝BC B．AB＝2
C．AC＝2 D．S△ABC＝4
10．(2023·新課標Ⅱ卷)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則(　　)
A．該圓錐的體積為π
B．該圓錐的側面積為4π
C．AC＝2
D．△PAC的面積為
三、填空題
11．(2023·新課標Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為________．
12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，若BD＝1，則三棱錐D－ABC的表面積為________．
13．(2024·九省聯考)已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等，則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值是________，圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是________．
14.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，點E為AB上的動點，則D1E＋CE的最小值為________．
四、解答題
15.(2024·寧夏銀川期中)如圖，某組合體是由正方體ABCD－A1B1C1D1與正四棱錐P－A1B1C1D1組成，已知AB＝6，且PA1＝AB.
(1)求該組合體的體積；
(2)求該組合體的表面積．
16.如圖，已知一個圓錐的底面半徑為2，高為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱．
(1)當x＝時，求圓柱的體積；
(2)當x為何值時，此圓柱的側面積最大？并求出此最大值．
【B組 素養提升】
17．(2024·南京金陵中學月考)用一個平面去截一個正方體，所得截面形狀可能為(　　)
①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形；⑤圓．
A．①②③ B．①②④
C．①②③④ D．①②③④⑤
18.(多選)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側面AA1C1C的中心為O，點E是側棱BB1上的一個動點，下列判斷正確的是(　　)
A．直三棱柱的側面積是4＋2
B．直三棱柱的表面積是5＋
C．直三棱柱的體積是
D．三棱錐E－AA1O的體積為定值
19．(多選)(2023·浙江溫州校聯考期中)陽馬和鱉臑(biē nào)是我國古代對一些特殊錐體的稱謂．取一長方體按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱(圖2，圖3)，稱為塹堵．再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開(圖4)，得四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬(圖5)．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑(圖6)．若圖1中的長方體是棱長為4的正方體，則下列結論正確的是(　　)
A．鱉臑中只有一個面不是直角三角形
B．塹堵的表面積為48＋16
C．陽馬的體積為
D．鱉臑的體積為正方體的
20．(多選)(2023·新課標Ⅰ卷)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內的有(　　)
A．直徑為0.99 m的球體
B．所有棱長均為1.4 m的四面體
C．底面直徑為0.01 m，高為1.8 m的圓柱體
D．底面直徑為1.2 m，高為0.01 m的圓柱體
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第一節　基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
課標解讀 考向預測
1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構. 2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖. 3.知道球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題. 近三年高考考查了空間幾何體的體積及外接球的相關知識．預計2025年高考會繼續考查空間幾何體的體積，涉及空間幾何體的結構特征、直觀圖等內容，要求考生要有較強的空間想象能力和計算能力，主要以選擇題或填空題的形式出現，難度不大.
【知識梳理】
1．空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側棱 平行且相等 相交于一點，但不一定相等 延長線交于一點
側面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓面
側面展開圖 矩形 扇形 扇環
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直；
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半．
3．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【常用結論】
1．求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．
2．求旋轉體的表面積時，可從旋轉體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應的側面展開圖中的邊長之間的關系．
3．錐體中平行于底面的截面的性質
在錐體中，用平行于底面的截面截原錐體，得到一個小錐體，則小錐體與原錐體有如下比例關系：
＝＝＝對應線段(如高、斜高、底面邊長等)的平方之比．
這個比例關系很重要，在求錐體的側面積、底面積比時，會大大簡化計算過程．在求臺體的側面積、底面積比時，將臺體補成錐體，也可應用這個關系式．
4．有關棱柱直截面問題
在棱柱中，與各側棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及與底面平行的截面．棱柱的側面積與直截面周長有如下關系式：
S棱柱側＝C直截l(其中C直截，l分別為棱柱的直截面周長與側棱長)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分別為棱柱的直截面面積與側棱長)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　)
(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　)
(3)斜三棱柱的側面積也可以用c·l來求解，其中c是底面周長，l為側棱長．(　　)
(4)底面積相等且高相等的兩個同類幾何體的體積相等．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊習題8.1 T6改編)下列說法正確的個數為(　　)
①圓柱的所有母線長都相等；②棱柱的側棱長都相等，側面都是平行四邊形；③底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；④棱臺的側棱延長后必交于一點．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　對于①，由圓柱的性質知，母線長相等，故①正確；對于②，所有棱柱的側棱長相等，側面都是平行四邊形，故②正確；對于③，底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐是正棱錐，故③錯誤；對于④，用平行于底面的平面去截棱錐可得到棱臺，所以棱臺的側棱延長后必交于一點，故④正確．故選C.
(2)如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，則原圖形的面積是(　　)
A．4 B．10
C．4 D．5
答案　B
解析　平行四邊形O′A′B′C′中，O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，所以平行四邊形O′A′B′C′的面積為S′＝O′A′·O′C′sin30°＝5×2×＝5，所以原平面圖形的面積是S＝2S′＝2×5＝10.故選B.
(3)(人教A必修第二冊8.3.2練習T1改編)已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為(　　)
A．2π B．3π
C．4π D．5π
答案　C
解析　設圓錐的母線長為l，則l·＝2π，解得l＝3，則該圓錐的表面積為π×1×3＋π×12＝4π.故選C.
(4)(2023·江蘇常州一模)已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，側面積為3π，則該圓臺的體積為(　　)
A． B．
C．5π D．
答案　B
解析　如圖，設圓臺的母線長為l，則S圓臺側＝π(r1＋r2)l＝π(1＋2)l＝3π，解得l＝，所以圓臺的高h＝＝2，則V圓臺＝(S上＋S下＋)h＝(π＋4π＋)×2＝.故選B.
【考點探究】
考點一　基本立體圖形(多考向探究)
考向1　空間幾何體的結構特征
例1　(2024·河北唐山階段考試)下列說法錯誤的是(　　)
A．球體是旋轉體
B．圓柱的母線平行于軸
C．斜棱柱的側面中沒有矩形
D．用平行于正棱錐底面的平面截正棱錐所得的棱臺叫做正棱臺
答案　C
解析　球體是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉一周所得的幾何體，即球體是旋轉體，A正確；由圓柱的結構特征知，圓柱的母線平行于軸，B正確；如圖，斜平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，若AD⊥平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，則AD⊥AA1，側面四邊形ADD1A1是矩形，C錯誤；由正棱臺的定義知，D正確．故選C.
【通性通法】
空間幾何體結構特征的判斷技巧
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定．
(2)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
【鞏固遷移】
1．(2024·湖北襄陽五中月考)下列說法正確的是(　　)
A．各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
B．球的直徑是連接球面上兩點并且經過球心的線段
C．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐
D．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺
答案　B
解析　對于A，雖然各側面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯誤；對于B，球的直徑的定義即為“連接球面上兩點并且經過球心的線段”，故B正確；對于C，以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是兩個共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯誤；對于D，用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，故D錯誤．故選B.
考向2　平面圖形與其直觀圖
例2　已知△ABC是邊長為a的正三角形，那么水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
答案　A
解析　解法一：根據題意，建立如圖1所示的平面直角坐標系，再按照斜二測畫法畫出△ABC的直觀圖，如圖2所示．
由斜二測畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝O′C′＝a，S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝a·a＝a2.故選A.
解法二：根據斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長度變為原來的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若設原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝××S＝S.本題中易得S△ABC＝a2，則S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.故選A.
【通性通法】
利用斜二測畫法解題的策略
策略一 在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半
策略二 按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系為S直觀圖＝S原圖形
【鞏固遷移】
2．(2023·益陽調研)如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖O′A′B′C′的面積為4，則該平面圖形的面積為(　　)
A． B．4
C．8 D．2
答案　C
解析　由S原圖形＝2S直觀圖，得S原圖形＝2×4＝8.
考向3　空間幾何體的展開圖
例3　(2024·黑龍江哈九中期末)如圖，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的底面邊長為1 cm，側面積為9 cm2，則一質點自點A出發，沿著三棱柱的側面繞行一周到達點A′的最短路線的長為________ cm.
答案　3
解析　將正三棱柱ABC－A′B′C′沿側棱展開，其側面展開圖如圖所示，依題意，AB＝BC＝CA1＝1 cm，由側面積為9 cm2，得C△ABC·AA′＝9，則AA′＝3 cm，依題意，沿著三棱柱的側面繞行一周到達點A′的最短路線的長為AA1′＝＝＝3 cm.
【通性通法】
多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．
【鞏固遷移】
3．(2024·貴州黔東南期末)如圖1的平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖2的“正六面體”，則SS′＝________．
答案　
解析　該六面體是由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為1，如圖，在棱長為1的正四面體S－ABC中，取BC的中點D，連接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，則AD＝SD＝，OD＝AD＝，SO＝＝，所以SS′＝2SO＝.
考向4　空間幾何體的截面圖
例4　(多選)如圖，從一個正方體中挖掉一個四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面圖形可能是該幾何體的截面的是(　　)
答案　BCD
解析　對于A，由于截面中間是矩形，如果可能的話，一定是用和正方體底面平行的截面去剖開正方體并且是從挖去四棱錐的那部分剖開，但此時剖面中間應該是一個正方形，因此A圖形不可能是該幾何體的截面；對于B，當從正方體底面的一組相對棱的中點處剖開時，截面正好通過四棱錐頂點，如圖1，此時截面形狀如B圖形，故B可能是該幾何體的截面；對于C，當截面不經過底面一組相對棱的中點處，并和另一組棱平行去剖開正方體時，如圖2中截面PDGH位置，截面形狀如C圖形，故C可能是該幾何體的截面；
對于D，如圖3所示，按圖中截面A1B1C1的位置去剖開正方體，截面形狀如D圖形，故D可能是該幾何體的截面．故選BCD.
【通性通法】
作多面體截面的關鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連接成截線，從而得到截面．
【鞏固遷移】
4．(2024·吉林長春五中階段考試)圓柱內有一內接正三棱錐，過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖是(　　)
答案　D
解析　圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如圖1所示，則過棱錐的一條側棱和高作截面，棱錐頂點為圓柱上底面的中心，可得截面圖如圖2.故選D.
考點二　空間幾何體的表面積
例5　(2024·江西萍鄉期末)如圖，平面四邊形ABCD中，∠DAB＝，∠ADC＝，AB＝5，CD＝，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積為(　　)
A．56π＋π B．56π＋2π
C．55π＋π D．55π＋2π
答案　C
解析　四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐，因為AB＝5，所以圓臺下底面的面積S1＝25π，又因為CD＝，∠ADC＝，所以ED＝EC＝1，BC＝＝5，所以圓臺的側面積S2＝π(EC＋AB)·BC＝π(1＋5)×5＝30π.圓錐的側面積S3＝·2π·EC·CD＝×2π×1×＝π.所以所求幾何體的表面積為S＝S1＋S2＋S3＝25π＋30π＋π＝55π＋π.故選C.
【通性通法】
空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側面展開圖中邊的關系．
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．
【鞏固遷移】
5．(2023·河南鄭州一中期末)已知圓臺OO1軸截面的面積為3，上、下底面半徑之比為1∶2，母線與底面所成的角為60°，則圓臺的側面積為(　　)
A．3π B．6π
C．6π D．9π
答案　C
解析　作出軸截面ABCD，則四邊形ABCD為等腰梯形，∠ABC＝60°，過點A作AE⊥BC，設上底面半徑為x，則下底面半徑為2x，則上底面直徑AD＝2x，下底面直徑BC＝4x，則BE＝(BC－AD)＝x，則AE＝x，則S梯形ABCD＝(2x＋4x)×x＝3，解得x＝1，則上底面半徑r1＝1，下底面半徑r2＝2，母線長l＝2BE＝2，則圓臺的側面積S側＝πl(r1＋r2)＝2π(1＋2)＝6π.故選C.
6．(2024·江蘇南京期中)如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為(　　)
A．8 B．4
C．2 D．
答案　B
解析　正方體的棱長為2，根據圖形，取正方體一條棱的中點M，連接MD，MC，則MD⊥MC，且MD＝MC＝1，所以CD＝，因為側面△ACD為等邊三角形，所以S△ACD＝××sin60°＝，所以該八面體的表面積S＝8×＝4.故選B.
考點三　空間幾何體的體積(多考向探究)
考向1　直接法求體積
例6　(1)(2023·全國甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝，則該棱錐的體積為(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
答案　A
解析　取AB的中點E，連接PE，CE，如圖，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，∴PE＝CE＝2×＝，又PC＝，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，又AB∩CE＝E，AB，CE 平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴VP－ABC＝S△ABC·PE＝××2××＝1.故選A.
(2)(2023·新課標Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則該棱臺的體積為________．
答案　
解析　如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為正四棱臺ABCD－A1B1C1D1的高．因為AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝AO－A1O1＝，則A1M＝＝＝，所以所求棱臺的體積V＝×(4＋1＋)×＝.
【通性通法】
直接法：規則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解．
【鞏固遷移】
7．(2023·全國乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120°，若△PAB的面積等于，則該圓錐的體積為(　　)
A．π B．π
C．3π D．3π
答案　B
解析　在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB的中點C，連接OC，PC，則OC⊥AB，PC⊥AB，如圖，∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面積等于，得×3×PC＝，解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圓錐的體積V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故選B.
考向2　補形法求體積
例7　如圖，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為36，E，F分別為棱B1B，C1C上的點(異于端點)，且EF∥BC，則四棱錐A1－AEFD的體積為________．
答案　12
解析　補體，如圖，VA1－AEFD＝VAA1D1D－EE1F1F＝VABCD－A1B1C1D1＝12.
【通性通法】
把不規則的幾何體補成規則的幾何體，便于計算．常見的補形有：(1)將正四面體補形成正方體；(2)將等腰四面體(對棱相等)補形成長方體；(3)將三條棱兩兩相互垂直且相等的三棱錐補成正方體；(4)將臺體補成錐體等．
【鞏固遷移】
8．如圖，一個底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為4和10，則該幾何體的體積為(　　)
A．90π B．63π
C．42π D．36π
答案　B
解析　由幾何體的直觀圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故選B.
考向3　分割法求體積
例8　(2023·安徽合肥一中期末)木楔子在傳統木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝2，則該木楔子的體積為(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，則由題意，得等腰梯形ABFE全等于等腰梯形CDEF，則EG＝HF＝＝，AG＝GD＝BH＝HC＝＝.取AD的中點O，連接GO，因為AG＝GD，所以GO⊥AD，則GO＝＝，所以S△ADG＝S△BCH＝××1＝.因為AB∥EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，因為四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，又因為AD∩AG＝A，AD，AG 平面ADG，所以AB⊥平面ADG，所以EF⊥平面AGD，同理可證EF⊥平面BCH，所以多面體的體積V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝2×××＋×1＝.故選D.
【通性通法】
分割法：把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，當規則的幾何體用公式不易求出時，可將其分割轉化成比較好求體積的幾何體．大多數情況下，可以把不規則幾何體分割為三棱柱＋四棱錐，從四棱錐底面對角線或幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”．
【鞏固遷移】
9．如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．
答案　4
解析　解法一(分割法)：因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，過點C作CH⊥DG于H，連接EH，即把多面體分割成一個直三棱柱DEH－ABC和一個斜三棱柱BEF－CHG.由題意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH·AD＝×2＝2，V三棱柱BEF－CHG＝S△BEF·DE＝×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝2＋2＝4.
解法二(補形法)：因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，將多面體補成棱長為2的正方體，顯然所求多面體的體積為該正方體體積的一半．又正方體的體積V正方體ABHI－DEKG＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝×8＝4.
考向4　轉化法求體積
例9　(2023·江西吉安模擬)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，D是棱CC1的中點，點E在棱AA1上，則三棱錐B1－EBD的體積為(　　)
A．1 B．2
C． D．2
答案　C
解析　∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，D是棱CC1的中點，點E在棱AA1上，∴S△BDB1＝BB1·BC＝×3×2＝3，點E到平面BDB1的距離h＝＝，∴三棱錐B1－EBD的體積為VB1－EBD＝VE－BDB1＝S△BDB1·h＝×3×＝.故選C.
【通性通法】
(1)等體積轉化法一般情況下是三棱錐才有的特性．
(2)盡可能尋找在表面的三個點，通過三棱錐“換底”求解三棱錐的體積．轉化的目的是找到易于計算的“好底”與“好高”．
【鞏固遷移】
10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝1，則點B1到平面A1BC的距離為________．
答案　
解析　因為AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC.則S△ABC＝AB·AC＝.因為三棱錐C－A1AB與三棱錐C－A1B1B的底面積相等(S△A1AB＝S△A1B1B)，高也相等(點C到平面ABB1A1的距離)，所以三棱錐C－A1AB與三棱錐C－A1B1B的體積相等．又VC－A1AB＝VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝，所以VC－A1B1B＝VB1－A1BC＝.易得A1B＝，A1C＝2，在等腰三角形A1BC中，A1B上的高為＝，則S△A1BC＝××＝.設點B1到平面A1BC的距離為h，則VB1－A1BC＝S△A1BC·h＝，解得h＝.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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