資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第二節(jié)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義. 2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題. 預(yù)計(jì)2025年高考主要考查與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的判斷和求解異面直線所成的角，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，為中、低檔題.
【知識(shí)梳理】
1．與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論
(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)
基本事實(shí) 內(nèi)容 圖形 符號(hào)
基本事實(shí)1 過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事實(shí)2 如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事實(shí)3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論
推論 內(nèi)容 圖形 作用
推論1 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 確定平面的依據(jù)
推論2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面
推論3 經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面
2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
直線與直線 直線與平面 平面與平面
平行關(guān)系 圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言 a∥b a∥α α∥β
相交關(guān)系 圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
獨(dú)有關(guān)系 圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言 a，b是異面直線 a α
3.基本事實(shí)4和等角定理
基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
4．異面直線所成的角
(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)范圍：．
【常用結(jié)論】
1．證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.
2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．(　　)
(2)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(　　)
(3)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)點(diǎn)A的任意一條直線．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題8.4 T3改編)下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面
B．和同一條直線異面的兩條直線一定共面
C．與兩異面直線分別相交的兩條直線一定不平行
D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交
答案　C
解析　兩組對(duì)邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯(cuò)誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，而DD1與B1C1是異面直線，故B錯(cuò)誤；如圖2，直線AB與CD是異面直線，若AC∥BD，有AC與BD確定一個(gè)平面α，則AC α，BD α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB α，CD α，這與直線AB與CD是異面直線矛盾，則直線AC與BD一定不平行，故C正確；如圖1，AB∥CD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯(cuò)誤．故選C.
(2)(2023·四川綿陽(yáng)中學(xué)診斷考試)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
答案　D
解析　依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D.
(3)(2024·湖北荊州中學(xué)階段考試)如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，則平面ABC與平面β的交線是(　　)
A．直線AC B．直線AB
C．直線CD D．直線BC
答案　C
解析　由題意知，D∈l，l β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故選C.
(4)(2024·浙江杭州二中月考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是(　　)
A．CC1與B1E是異面直線
B．CC1與AE共面
C．AE與B1C1是異面直線
D．AE與B1C1所成的角為60°
答案　C
解析　由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故CC1與B1E是共面的，A錯(cuò)誤；由于CC1 平面C1B1BC，而AE與平面C1B1BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)E不在CC1上，故CC1與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理，AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E為BC的中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯(cuò)誤．故選C.
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　基本事實(shí)的應(yīng)用
例1　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，連接D1F，CE.求證：
(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
證明　(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，
∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，
∴EF∥A1B，且EF＝A1B.
又A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF與CD1能夠確定一個(gè)平面ECD1F，
即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，
∴四邊形CD1FE是梯形，
∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈CE，且P∈D1F，
∵CE 平面ABCD，D1F 平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝DA，
∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
【通性通法】
共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明
(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．
(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．
(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．
【鞏固遷移】
1．(多選)(2024·湖北襄陽(yáng)五中質(zhì)檢)下列關(guān)于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的說(shuō)法中不正確的是(　　)
A．若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則它們一定重合
B．空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)
C．直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b是異面直線
D．正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則A，M，O三點(diǎn)共線，且A，M，O，C四點(diǎn)共面
答案　ABC
解析　對(duì)于A，當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)，兩個(gè)平面可以不重合，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，但平面ABCD與平面ADD1A1相交，不重合，故A不正確；對(duì)于B，從點(diǎn)A出發(fā)的三條棱AA1，AB，AD不在同一平面內(nèi)，故B不正確；對(duì)于C，如圖，記直線AA1，B1C1分別為c，d，直線AB1，A1B1分別為a，b，可知AB1∩A1B1＝B1，則此時(shí)直線a，b相交，故C不正確；對(duì)于D，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因?yàn)橹本€A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，所以M∈AO，即A，M，O三點(diǎn)共線，因?yàn)锳，M，O三點(diǎn)共線，直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以A，O，C，M四點(diǎn)共面，故D正確．故選ABC.
考點(diǎn)二　空間兩條直線的位置關(guān)系
例2　(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
答案　D
解析　如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．故選D.
(2)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，與直線BC1異面的棱有(　　)
A．1條 B.2條
C．3條 D．4條
答案　C
解析　在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1異面的直線有A1B1，AC，AA1，共3條．故選C.
【通性通法】
空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法和技巧
【鞏固遷移】
2．(2023·廣東廣州調(diào)研)若空間中四條直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1，l4既不平行也不垂直
D．l1，l4位置關(guān)系不確定
答案　D
解析　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取AA1為l2，BB1為l3，AD為l1，BC為l4，則l1∥l4；取AD為l1，AB為l4，則l1⊥l4；取AD為l1，A1B1為l4，則l1與l4異面，因此l1，l4的位置關(guān)系不確定．故選D.
3.(2024·南京模擬)如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．直線CD與直線GH異面
B．直線CD與直線EF共面
C．直線AB與直線EF平行
D．直線GH與直線EF共面
答案　B
解析　如圖，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，故A錯(cuò)誤；∵CE∥BD，且CE＝BD，∴四邊形CDBE是平行四邊形，∴CD∥EF，∴CD與EF共面，故B正確；∵AB∩EF＝B，∴AB與EF相交，故C錯(cuò)誤；∵EF與GH既不平行也不相交，∴EF與GH是異面直線，故D錯(cuò)誤．故選B.
考點(diǎn)三　異面直線所成的角
例3　(2024·河北邢臺(tái)月考)已知圓柱的母線長(zhǎng)與底面半徑之比為∶2，四邊形ABCD為其軸截面，若點(diǎn)E為上底面的中點(diǎn)，則異面直線DE與AB所成角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　如圖所示，因?yàn)锳B∥CD，所以∠EDC(或其補(bǔ)角)為異面直線DE與AB所成的角．設(shè)CD的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥底面圓于F，連接OE，OF，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以F是的中點(diǎn)，CD⊥OF.又因?yàn)镋F⊥圓O，所以EF⊥CD.由于EF∩OF＝F，OF，EF 平面OEF，則CD⊥平面OEF，OD⊥OE.設(shè)AD＝，則OD＝OF＝2.所以O(shè)E＝，ED＝，所以cos∠EDC＝＝＝.故選A.
【通性通法】
求異面直線所成角的步驟
(1)作：通過(guò)作平行線得到相交直線．
(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)．
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．
【鞏固遷移】
4．(2023·湖北荊州模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點(diǎn)，若AA1＝，則異面直線A1C與AD所成角的大小為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　如圖，取B1C1的中點(diǎn)D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，∠CA1D1(或其補(bǔ)角)就是異面直線A1C與AD所成的角．連接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C 平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1CD1為直角三角形，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝，∴∠CA1D1＝60°.故選C.
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第二節(jié)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義. 2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題. 預(yù)計(jì)2025年高考主要考查與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的判斷和求解異面直線所成的角，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，為中、低檔題.
【知識(shí)梳理】
1．與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論
(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)
基本事實(shí) 內(nèi)容 圖形 符號(hào)
基本事實(shí)1 過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事實(shí)2 如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事實(shí)3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論
推論 內(nèi)容 圖形 作用
推論1 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 確定平面的依據(jù)
推論2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面
推論3 經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面
2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
直線與直線 直線與平面 平面與平面
平行關(guān)系 圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言 a∥b a∥α α∥β
相交關(guān)系 圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
獨(dú)有關(guān)系 圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言 a，b是異面直線 a α
3.基本事實(shí)4和等角定理
基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
4．異面直線所成的角
(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)范圍：．
【常用結(jié)論】
1．證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.
2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．(　　)
(2)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(　　)
(3)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)點(diǎn)A的任意一條直線．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題8.4 T3改編)下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面
B．和同一條直線異面的兩條直線一定共面
C．與兩異面直線分別相交的兩條直線一定不平行
D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交
(2)(2023·四川綿陽(yáng)中學(xué)診斷考試)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
(3)(2024·湖北荊州中學(xué)階段考試)如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，則平面ABC與平面β的交線是(　　)
A．直線AC B．直線AB
C．直線CD D．直線BC
(4)(2024·浙江杭州二中月考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是(　　)
A．CC1與B1E是異面直線
B．CC1與AE共面
C．AE與B1C1是異面直線
D．AE與B1C1所成的角為60°
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　基本事實(shí)的應(yīng)用
例1　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，連接D1F，CE.求證：
(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
【通性通法】
共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明
(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．
(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．
(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．
【鞏固遷移】
1．(多選)(2024·湖北襄陽(yáng)五中質(zhì)檢)下列關(guān)于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的說(shuō)法中不正確的是(　　)
A．若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則它們一定重合
B．空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)
C．直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b是異面直線
D．正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則A，M，O三點(diǎn)共線，且A，M，O，C四點(diǎn)共面
考點(diǎn)二　空間兩條直線的位置關(guān)系
例2　(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
(2)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，與直線BC1異面的棱有(　　)
A．1條 B.2條
C．3條 D．4條
【通性通法】
空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法和技巧
【鞏固遷移】
2．(2023·廣東廣州調(diào)研)若空間中四條直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1，l4既不平行也不垂直
D．l1，l4位置關(guān)系不確定
3.(2024·南京模擬)如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．直線CD與直線GH異面
B．直線CD與直線EF共面
C．直線AB與直線EF平行
D．直線GH與直線EF共面
考點(diǎn)三　異面直線所成的角
例3　(2024·河北邢臺(tái)月考)已知圓柱的母線長(zhǎng)與底面半徑之比為∶2，四邊形ABCD為其軸截面，若點(diǎn)E為上底面的中點(diǎn)，則異面直線DE與AB所成角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
【通性通法】
求異面直線所成角的步驟
(1)作：通過(guò)作平行線得到相交直線．
(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)．
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．
【鞏固遷移】
4．(2023·湖北荊州模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點(diǎn)，若AA1＝，則異面直線A1C與AD所成角的大小為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
課時(shí)作業(yè)
【A組 基礎(chǔ)練習(xí)】
一、單項(xiàng)選擇題
1．下列敘述錯(cuò)誤的是(　　)
A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，則P∈l
B．若直線a∩b＝A，則直線a與b能確定一個(gè)平面
C．三點(diǎn)A，B，C確定一個(gè)平面
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l α
2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是(　　)
A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交或異面
B．若α⊥β，m α，n β，則直線m與n一定平行
C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n一定垂直
D．若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n一定平行
3．(2024·遼寧營(yíng)口模擬)已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．(2024·遼寧沈陽(yáng)高三模擬)如圖是某正方體的展開(kāi)圖，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)分別是原正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則在原正方體中與AB異面且所成的角為60°的直線是(　　)
A．CD B．DE
C．EF D．CE
5.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．MN＝EF，且MN與EF平行
B．MN≠EF，且MN與EF平行
C．MN＝EF，且MN與EF異面
D．MN≠EF，且MN與EF異面
6．(2023·山東威海期末)在空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，G∈CD，H∈AD，且CG＝2GD，AH＝2HD，則(　　)
A．直線EH與FG平行
B．直線EH，F(xiàn)G，BD相交于一點(diǎn)
C．直線EH與FG異面
D．直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點(diǎn)
7．(2024·浙江紹興質(zhì)檢)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線A1M與B1N所成角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
8．(2023·上海浦東華師大二附中練習(xí))已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱A1D1，D1C1，AB的中點(diǎn)，Q是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線PQ異面的是(　　)
A．AB1 B．BC1
C．CA1 D．DD1
二、多項(xiàng)選擇題
9．(2023·廣西梧州模擬)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是(　　)
10．(2024·江蘇南京一中高三檢測(cè))在四面體A－BCD中，M，N，P，Q，E分別為AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．M，N，P，Q四點(diǎn)共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四邊形MNPQ為梯形
三、填空題
11．(2023·安徽蕪湖階段考試)設(shè)a，b，c是空間的三條直線，下面給出四個(gè)命題：
①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；
②若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線；
③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面．
其中真命題的個(gè)數(shù)是________．
12.(2024·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)階段考試)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與BF所成角的大小為_(kāi)_______．
13.(2024·陜西渭南模擬)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1A的中點(diǎn)，點(diǎn)O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，若平面EOF∩平面ABCD＝l，l∩AB＝G，且AG＝kGB，則實(shí)數(shù)k＝________．
14.(2024·湖南衡陽(yáng)八中校考階段練習(xí))如圖所示，圓錐底面半徑為2，O為底面圓心，A，B為底面圓O上的點(diǎn)，且∠AOB＝，∠PAO＝，則直線OA與PB所成角的余弦值為_(kāi)_______．
四、解答題
15.(2024·河南洛陽(yáng)階段考試)如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求證：E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．
16.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．
(1)求證：直線EF與BD是異面直線；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．
【B組 素養(yǎng)提升】
17.(多選)(2023·山西太原模擬)如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．GH與EF平行
B．BD與MN為異面直線
C．GH與MN成60°角
D．DE與MN垂直
18．(多選)(2023·遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè))在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別為棱BB′，DD′，CC′上的一點(diǎn)，且＝＝＝λ，H是B′C′的中點(diǎn)，I是棱C′D′上的動(dòng)點(diǎn)，則(　　)
A．當(dāng)λ＝時(shí)，G∈平面AEF
B．當(dāng)λ＝時(shí)，AC′ 平面AEF
C．當(dāng)0<λ<1時(shí)，存在點(diǎn)I，使A，F(xiàn)，I，H四點(diǎn)共面
D．當(dāng)0<λ<1時(shí)，存在點(diǎn)I，使FI，EH，CC′三條直線交于同一點(diǎn)
19.(2023·河南校考模擬預(yù)測(cè))如圖，已知四棱錐D1－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M是棱DD1上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，N是BD1的中點(diǎn)，平面AMN交CD1于點(diǎn)H，則＝________．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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