資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第五節　空間向量及其運算
課標解讀 考向預測
1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示. 2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直. 從近三年高考來看，本節內容主要與立體幾何知識結合考查，預計2025年仍然會與立體幾何知識結合，考查空間向量線性運算及數量積運算，試題難度中檔.
【知識梳理】
1．空間向量的有關概念
名稱 定義
空間向量 在空間中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共線向量(或平行向量) 表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一個平面的向量
2.空間向量的有關定理
(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．
3．空間向量的數量積及運算律
(1)數量積
非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先將向量a與向量b平移到同一平面α內，如圖1，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直線l上的投影
如圖2，向量c稱為向量a在直線l上的投影向量．
(3)向量a在平面β上的投影
如圖3，分別由向量a的起點A和終點B作平
面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，則向量(a′)稱為向量a在平面β上的投影向量．
【常用結論】
1．在空間中，A，B，C三點共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為空間任意一點．
2．在空間中，P，A，B，C四點共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點．
3．空間向量的數量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．在利用＝x＋y證明MN∥平面ABC時，必須說明點M或點N不在平面ABC內．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)對于非零向量b，若a·b＝b·c，則a＝c.(　　)
(2)若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量．(　　)
(3)空間直角坐標系中，在yOz平面上的點的坐標一定是(0，b，c)．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題1.2 T2改編)若{a，b，c}為空間向量的一個基底，則下列各項中，能構成空間向量的一個基底的是(　　)
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題1.1 T2改編)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
(3)(2024·山東濟南期中)在平面ABCD中，＝(－1，1，－1)，＝(－1，3，4)，＝(a，－2，0)，則實數a＝________．
解得x＝－，y＝－，a＝.
(4)(2024·四川成都樹德中學模擬)已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，則 ·＝________．
【考點探究】
考點一　空間向量的線性運算
例1　如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3)＋1.
【通性通法】
用基向量表示指定向量的方法
(1)結合已知向量和所求向量觀察圖形．
(2)將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中．
(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．
【鞏固遷移】
1．(2023·廣東深圳外國語學校期中)在正四面體A－BCD中，其外接球的球心為O，則＝(　　)
A．－＋
B．＋＋
C．＋＋
D．－＋
考點二　共線、共面向量定理的應用
例2　(1)(2023·福建三明模擬)已知{a，b，c}是空間的一個基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)，若m∥n，則x＋y＝(　　)
A．0 B．－6
C．6 D．5
(2)已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋)．
①判斷，，三個向量是否共面；
②判斷點M是否在平面ABC內．
【通性通法】
1．對空間任一點O，＝x＋y，若x＋y＝1，則點P，A，B共線．
2．證明空間四點P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y.
(2)對空間任一點O，＝＋x＋y.
(3)對空間任一點O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(4)∥(或∥或∥)．
【鞏固遷移】
2．(2023·遼寧沈陽模擬)空間中，若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，則m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
3．(多選)(2024·山東濟南模擬)對于空間一點O，下列命題中正確的是(　　)
A．若＝－＋，則P，A，B，C四點共面
B．若＝－＋2－，則P，A，B，C四點共面
C．若＝－＋，則P，A，B三點共線
D．若＝＋2，則B是線段AP的中點
考點三　空間向量的數量積及其應用(多考向探究)
考向1　求空間向量的數量積
例3　(1)已知向量a＝(2，1，3)，|a＋b|＝|3a－b|，則a·b＝(　　)
A． B．14
C． D．
(2)正四面體O－ABC的棱長為1，E為BC的中點，則·＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【通性通法】
空間向量數量積的計算方法
(1)定義法：設向量a，b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.
(2)坐標法：設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
【鞏固遷移】
4．(多選)已知四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結論中正確的是(　　)
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D．·＝·＝·＝0
5．(2024·山西大同一中月考)若a，b，c為空間中兩兩夾角為的單位向量，＝2a－2b，＝b－c，則·＝________．
考向2　利用數量積求長度與夾角
例4　(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則向量與夾角的余弦值為(　　)
A． B．
C．－ D．
(2)(2024·安徽合肥九中檢測)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2，D為BC1上一點，且＝，則||＝(　　)
A．2 B．3
C．3 D．4
【通性通法】
(1)運用公式|a|2＝a·a，可使線段長度(即兩點間距離)的計算問題轉化為向量數量積的計算問題．
(2)設非零向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝，進而可求兩向量的夾角．
【鞏固遷移】
6．已知空間三點A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，若向量與的夾角為60°，則實數m＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
7.(2024·遼寧沈陽模擬)如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處．已知庫底與水壩所成的二面角為150°，測得從D，C到庫底與水壩的交線的距離分別為DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝20 m，則甲、乙兩人相距(　　)
A．10 m B．10 m
C．70 m D．10 m
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1.(2024·山西太原五中質檢)如圖，在三棱錐O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，則下列表示正確的是(　　)
A．＋＋
B．＋＋
C．－＋＋
D．＋＋
2．已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，則“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點共面”的(　　)
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．已知空間向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
4．(2024·上海七寶中學開學考試)已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，則實數x＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
5.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點F是側面CDD1C1的中心，若＝x＋y＋z，則x－y＋z＝(　　)
A． B．1
C． D．2
6．(2024·福建漳州模擬)已知空間單位向量a，b，c兩兩垂直，則|a＋b＋c|＝(　　)
A． B．
C．3 D．6
7．(2023·湖南郴州模擬)已知空間A，B，C，D四點共面，且其中任意三點均不共線，設P為空間中任意一點，若＝5－4＋λ，則λ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
8．(2023·山東泰安模擬)已知正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，P是正六棱柱內(不含表面)的一點，則·的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
二、多項選擇題
9.(2024·遼寧大連質檢)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，則下列說法中正確的是(　　)
A．＝a＋b＋c
B．||＝
C．⊥
D．cos〈，〉＝
10．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿它的對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，則此時B，D兩點間的距離可能為(　　)
A． B．
C．2 D．3
11.(2023·貴州名校三模)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P為空間一點，且滿足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，則(　　)
A．當λ＝0時，點P在棱BB1上
B．當λ＝μ時，點P在線段B1C上
C．當μ＝1時，點P在棱B1C1上
D．當λ＋μ＝1時，點P在線段B1C上
三、填空題
12．(2024·廣東汕頭期末)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)滿足條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________．
13.(2023·福建廈門一中檢測)如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，E是上底面A′C′的中心，若＝x(＋＋)，則x＝________；若＝＋m＋n，則m＋n＝________．
14．(2024·湖北武漢模擬)已知點A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，點Q在直線OP上運動，則當·取得最小值時，點Q的坐標為________．
【B組 素養提升】
15.(多選)(2023·黑龍江哈爾濱期中)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且彼此夾角都是60°，下列說法中正確的是(　　)
A．AC1＝6
B．AC1⊥BD
C．向量與的夾角是60°
D．向量與所成角的余弦值為
16．如圖，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點，＝，＝2，AC1與平面EFG交于點M，則＝________．
17.(2024·江蘇南京摸底)如圖，在三棱錐P－ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM＝3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求證＋＋為定值，并求出該定值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第五節　空間向量及其運算
課標解讀 考向預測
1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示. 2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直. 從近三年高考來看，本節內容主要與立體幾何知識結合考查，預計2025年仍然會與立體幾何知識結合，考查空間向量線性運算及數量積運算，試題難度中檔.
【知識梳理】
1．空間向量的有關概念
名稱 定義
空間向量 在空間中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共線向量(或平行向量) 表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一個平面的向量
2.空間向量的有關定理
(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．
3．空間向量的數量積及運算律
(1)數量積
非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先將向量a與向量b平移到同一平面α內，如圖1，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直線l上的投影
如圖2，向量c稱為向量a在直線l上的投影向量．
(3)向量a在平面β上的投影
如圖3，分別由向量a的起點A和終點B作平
面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，則向量(a′)稱為向量a在平面β上的投影向量．
【常用結論】
1．在空間中，A，B，C三點共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為空間任意一點．
2．在空間中，P，A，B，C四點共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點．
3．空間向量的數量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．在利用＝x＋y證明MN∥平面ABC時，必須說明點M或點N不在平面ABC內．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)對于非零向量b，若a·b＝b·c，則a＝c.(　　)
(2)若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量．(　　)
(3)空間直角坐標系中，在yOz平面上的點的坐標一定是(0，b，c)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題1.2 T2改編)若{a，b，c}為空間向量的一個基底，則下列各項中，能構成空間向量的一個基底的是(　　)
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
答案　C
解析　∵λa＋μb(λ，μ∈R)與a，b共面，∴A，B，D不符合題意．故選C.
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題1.1 T2改編)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
答案　A
解析　由題意，得＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.故選A.
(3)(2024·山東濟南期中)在平面ABCD中，＝(－1，1，－1)，＝(－1，3，4)，＝(a，－2，0)，則實數a＝________．
答案　
解析　由于，，共面，所以存在實數x，y，使得＝x＋y，所以
解得x＝－，y＝－，a＝.
(4)(2024·四川成都樹德中學模擬)已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，則 ·＝________．
答案　3
解析　設＝a，＝b，＝c，由題意得，|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝1，b·c＝1，·＝(b＋c)·(b＋a)＝b2＋b·c＋b·a＋a·c＝1＋1＋0＋1＝3.
【考點探究】
考點一　空間向量的線性運算
例1　如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3)＋1.
解　(1)∵P是C1D1的中點，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中點，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中點，
∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋＝a＋b＋c.
【通性通法】
用基向量表示指定向量的方法
(1)結合已知向量和所求向量觀察圖形．
(2)將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中．
(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．
【鞏固遷移】
1．(2023·廣東深圳外國語學校期中)在正四面體A－BCD中，其外接球的球心為O，則＝(　　)
A．－＋
B．＋＋
C．＋＋
D．－＋
答案　C
解析　在正四面體A－BCD中，設△BCD的中心為E，BC的中點為F.因為O是外接球的球心，所以＝，又因為＝＋＝＋×＝＋＋，所以＝＋＋.故選C.
考點二　共線、共面向量定理的應用
例2　(1)(2023·福建三明模擬)已知{a，b，c}是空間的一個基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)，若m∥n，則x＋y＝(　　)
A．0 B．－6
C．6 D．5
答案　C
解析　n＝(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c，因為m∥n，所以存在實數λ，使得n＝λm，所以(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c＝λ(2a＋3b－c)，所以解得所以x＋y＝6.故選C.
(2)已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋)．
①判斷，，三個向量是否共面；
②判斷點M是否在平面ABC內．
解　①由題知＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
所以，，共面．
②解法一：由①知，，，共面且所在直線過同一點M，所以M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內．
解法二：因為＝(＋＋)＝＋＋，且＋＋＝1，
所以M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內．
【通性通法】
1．對空間任一點O，＝x＋y，若x＋y＝1，則點P，A，B共線．
2．證明空間四點P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y.
(2)對空間任一點O，＝＋x＋y.
(3)對空間任一點O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(4)∥(或∥或∥)．
【鞏固遷移】
2．(2023·遼寧沈陽模擬)空間中，若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，則m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　C
解析　因為b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)，所以b，c不共線，可以取為基底．若向量a，b，c共面，則存在實數x，y，使得a＝xb＋yc，即(5，9，m)＝x(1，－1，2)＋y(2，5，1)，即解得故選C.
3．(多選)(2024·山東濟南模擬)對于空間一點O，下列命題中正確的是(　　)
A．若＝－＋，則P，A，B，C四點共面
B．若＝－＋2－，則P，A，B，C四點共面
C．若＝－＋，則P，A，B三點共線
D．若＝＋2，則B是線段AP的中點
答案　BCD
解析　對于A，因為－1＋＝0≠1，所以P，A，B，C四點不共面，故A錯誤；對于B，因為－＋2－＝1，所以P，A，B，C四點共面，故B正確；對于C，因為－＋＝1，所以P，A，B三點共線，故C正確；對于D，＝＋2，即－＝2，即＝2，則||＝2||，，共線，且點P，B在點A的一側，又因為，有公共點A，所以A，P，B三點共線，且B是線段AP的中點，故D正確．故選BCD.
考點三　空間向量的數量積及其應用(多考向探究)
考向1　求空間向量的數量積
例3　(1)已知向量a＝(2，1，3)，|a＋b|＝|3a－b|，則a·b＝(　　)
A． B．14
C． D．
答案　B
解析　因為|a＋b|＝|3a－b|，所以|a＋b|2＝|3a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，則a·b＝a2，因為a＝(2，1，3)，所以a2＝22＋12＋32＝14，故a·b＝14.故選B.
(2)正四面體O－ABC的棱長為1，E為BC的中點，則·＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　B
解析　以{，，}為基底，則||＝||＝||＝1，且，，兩兩夾角為60°，則＝－，＝(＋)，·＝(＋)·(－)＝(2＋·－·－·)＝×＝.故選B.
【通性通法】
空間向量數量積的計算方法
(1)定義法：設向量a，b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.
(2)坐標法：設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
【鞏固遷移】
4．(多選)已知四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結論中正確的是(　　)
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D．·＝·＝·＝0
答案　ABD
解析　如圖，作以AB，AC為鄰邊的平行四邊形ACEB，連接AE.對于A，因為AB，AC，AD兩兩互相垂直，所以AD⊥平面ABC，又AE 平面ABC，所以AD⊥AE，所以·＝0，若|＋＋|＝|＋－|，則|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，所以A正確；對于B，因為|＋＋|2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2，所以B正確；對于C，因為AD⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AD⊥BC，所以·＝0，所以(＋＋)·＝(＋)·＝·＋·＝·，因為與不一定垂直，所以·不一定等于零，所以C錯誤；對于D，因為AB，AC，AD兩兩互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一點A，所以AB⊥平面ACD，AC⊥平面ABD，CD 平面ACD，BD 平面ABD，所以AB⊥CD，AC⊥BD，又AD⊥BC，所以·＝·＝·＝0，所以D正確．故選ABD.
5．(2024·山西大同一中月考)若a，b，c為空間中兩兩夾角為的單位向量，＝2a－2b，＝b－c，則·＝________．
答案　－1
解析　由題意，得a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝a·c＝12×cos＝，則·＝(2a－2b)·(b－c)＝2a·b－2a·c－2b2＋2b·c＝－1.
考向2　利用數量積求長度與夾角
例4　(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則向量與夾角的余弦值為(　　)
A． B．
C．－ D．
答案　A
解析　解法一(基底法)：如圖，||＝2，||＝，·＝(＋)·(－＋＋)＝2，記向量與的夾角為θ，則cosθ＝＝＝.故選A．
解法二(空間向量法)：建立如圖所示的空間直角坐標系，則有D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(1，1，)，＝(－1，0，)，設與的夾角為θ，則cosθ＝＝.故選A.
(2)(2024·安徽合肥九中檢測)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2，D為BC1上一點，且＝，則||＝(　　)
A．2 B．3
C．3 D．4
答案　A
解析　由題意，得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋－)＝＋＋，2＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝×4＋×4＋×4＋×2＋0＋×2＝4，則||＝2.故選A.
【通性通法】
(1)運用公式|a|2＝a·a，可使線段長度(即兩點間距離)的計算問題轉化為向量數量積的計算問題．
(2)設非零向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝，進而可求兩向量的夾角．
【鞏固遷移】
6．已知空間三點A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，若向量與的夾角為60°，則實數m＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案　B
解析　∵＝(－2－m，－m，8－m)，＝(4－m，－4－m，6－m)，∴·＝(－2－m)(4－m)＋(－m)(－4－m)＋(8－m)(6－m)＝3m2－12m＋40，
||＝
＝，
||＝＝
，由·＝||||·cos60°，得3m2－12m＋40＝(3m2－12m＋68)×，整理，得m2－4m＋4＝0，解得m＝2.故選B.
7.(2024·遼寧沈陽模擬)如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處．已知庫底與水壩所成的二面角為150°，測得從D，C到庫底與水壩的交線的距離分別為DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝20 m，則甲、乙兩人相距(　　)
A．10 m B．10 m
C．70 m D．10 m
答案　D
解析　由題意可得，＝＋＋，則||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，又DA＝30 m，CB＝40 m，AB＝20 m，且庫底與水壩所成的二面角為150°，則〈，〉＝30°，所以||2＝(30)2＋202＋402＋0＋2×30×40×cos30°＋0＝8300，即||＝10.故選D.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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