資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三節　空間直線、平面的平行
課標解讀 考向預測
1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明. 2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質，并會簡單應用. 近幾年空間直線與平面平行的有關知識，一直是高考命題的熱點，重點考查學生的空間想象能力、計算能力、推理論證能力以及轉化思想．預計2025年高考這一部分知識仍會考查，以解答題第(1)問的形式出現，難度中檔.
【知識梳理】
1．線面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 a∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 a∥b
2.面面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 β∥α　　
性質定理 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行 a∥b　
【常用結論】
1．(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
(4)若α∥β，a α，則a∥β.
2．三種平行關系的轉化
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數條．(　　)
(2)若直線a 平面α，直線b 平面β，a∥b，則α∥β.(　　)
(3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊習題8.5 T1改編)下列說法中，與“直線a∥平面α”等價的是(　　)
A．直線a上有無數個點不在平面α內
B．直線a與平面α內的所有直線平行
C．直線a與平面α內無數條直線不相交
D．直線a與平面α內的任意一條直線都不相交
答案　D
解析　因為a∥平面α，所以直線a與平面α無交點，因此直線a與平面α內的任意一條直線都不相交．故選D.
(2)已知不重合的直線a，b和平面α，則下列說法正確的是(　　)
A．若a∥α，b α，則a∥b
B．若a∥α，b∥α，則a∥b
C．若a∥b，b α，則a∥α
D．若a∥b，a α，則b∥α或b α
答案　D
解析　若a∥α，b α，則a，b平行或異面，A錯誤；若a∥α，b∥α，則a，b平行、異面或相交，B錯誤；若a∥b，b α，則a∥α或a α，C錯誤；若a∥b，a α，則b∥α或b α，D正確．故選D.
(3)(2024·福建寧德一中質檢)已知α，β是空間兩個不同的平面，命題p：“α∥β”，命題q：“平面α內有無數條直線與β平行”，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　若α∥β，則平面α內的任意一條直線平行于另一個平面，故平面α內有無數條直線與β平行，所以p可以推出q；根據面面平行的判定定理，如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．若平面α內有無數條直線與β平行，則α與β可能相交，不一定平行，所以q不能推出p.故選A.
(4)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．
答案　平行四邊形
解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．
【考點探究】
考點一　空間中平行關系的基本問題
例1　在下列判斷兩個平面α與β平行的四個命題中，真命題的個數是(　　)
①α，β都垂直于平面γ，那么α∥β；
②α，β都平行于平面γ，那么α∥β；
③α，β都垂直于直線l，那么α∥β；
④如果l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　如圖，易知在正方體中相鄰兩個側面都垂直于底面，故①是假命題；由平面平行的傳遞性可知②是真命題；由線面垂直的性質可知③是真命題；過直線l作平面γ與α，β分別交于l1，l2，過直線m作平面χ與α，β分別交于m1，m2，因為l∥α，l∥β，所以l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，因為l1 β，l2 β，所以l1∥β，同理，m1∥β，又l，m是兩條異面直線，所以l1，m1相交，且l1 α，m1 α，所以α∥β，故④是真命題．故選D.
【通性通法】
(1)判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，無論是選擇題還是含有選擇項的填空題，都可以先從中選出最熟悉、最容易判斷的選項確定或排除，再逐步判斷其余選項．
(2)直線、平面間平行的判定方法
①關注是否符合判定定理與性質定理，并注意定理中易忽視的條件；
②結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷；
③利用實物進行空間想象，比較判斷；
④熟記一些常見結論，如垂直于同一條直線的兩個平面平行等．
【鞏固遷移】
1．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面．
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥β，b∥β a∥b；
③a∥c，c∥α a∥α；④a∥β，a∥α α∥β；
⑤a α，b α，a∥b a∥α.
其中正確的命題是(　　)
A．①⑤ B．①②
C．②④ D．③⑤
答案　A
解析　對于①，由基本事實4，可知①正確；對于②，若a∥β，b∥β，則a，b共面或異面，故②錯誤；對于③，若a∥c，c∥α，則a∥α或a α，故③錯誤；對于④，若a∥β，a∥α，則α，β平行或相交，故④錯誤；對于⑤，由a α，b α，a∥b，根據線面平行的判定定理，可得a∥α，故⑤正確．故選A.
考點二　直線與平面平行的判定與性質(多考向探究)
考向1　直線與平面平行的判定
例2　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F分別是BC，PD的中點．求證：
(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.
證明　(1)如圖，連接BD交AC于O，
連接OF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，
又F是PD的中點，
∴OF∥PB，
又OF 平面ACF，PB 平面ACF，
∴PB∥平面ACF.
(2)證法一：如圖，取PA的中點G，連接GF，BG.
∵F是PD的中點，
∴GF是△PAD的中位線，∴GF綊AD，
∵底面ABCD是平行四邊形，E是BC的中點，
∴BE綊AD，∴GF綊BE，
∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴EF∥BG，
又EF 平面PAB，BG 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
證法二：如圖，取AD的中點H，
連接FH，EH.
∵F為PD的中點，
∴FH是△PAD的中位線，
∴FH綊PA，
又PA 平面PAB，FH 平面PAB，
∴FH∥平面PAB.
∵H為AD的中點，E為BC的中點，
∴EH∥AB，又AB 平面PAB，EH 平面PAB，
∴EH∥平面PAB，又FH∩EH＝H，
∴平面EFH∥平面PAB，
又EF 平面EFH，∴EF∥平面PAB.
【通性通法】
判斷或證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點)．
(2)利用線面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3)利用面面平行的性質(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性質(α∥β，a β，a∥α a∥β)(客觀題可用)．
【鞏固遷移】
2．如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一點P，Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.
證明　證法一：如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，AP＝DQ，∴PE＝QB，
又PM∥AB∥QN，
∴＝＝＝，∴＝.
又AB＝DC，∴PM＝QN，
∴四邊形PMNQ為平行四邊形，
∴PQ∥MN.
又MN 平面BCE，PQ 平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
證法二：如圖，在平面ABEF內，過點P作PM∥BE交AB于M，連接QM，
∵BE 平面BCE，PM 平面BCE，
∴PM∥平面BCE，
∵PM∥BE，∴＝，
又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，
∴＝，∴＝，
∴MQ∥AD，
又AD∥BC，
∴MQ∥BC，
∵BC 平面BCE，MQ 平面BCE，
∴MQ∥平面BCE，
又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，
又PQ 平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
考向2　直線與平面平行的性質
例3　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.
求證：PA∥GH.
證明　如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點，
又M是PC的中點，∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又PA 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
【通性通法】
應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平面確定交線．
【鞏固遷移】
3．如圖，四邊形ABCD是矩形，P 平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F，EF與AD不重合．求證：四邊形BCFE是梯形．
證明　∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD.
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC 平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四邊形BCFE是梯形．
考點三　平面與平面平行的判定與性質
例4　(2024·江西九江一中質檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，
(1)若E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG；
(2)若D，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1，試求的值．
解　(1)證明：∵E，F分別是AB，AC的中點，
∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG，
∵A1G∥EB，A1G＝EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，
∴A1E∥GB，又A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG，
又A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
(2)如圖，連接A1B，AB1，設A1B與AB1相交于點O，連接OD1，
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
∴BC1∥D1O，同理可得AD1∥DC1，
∴＝＝1，即D1為線段A1C1的中點，∴D為線段AC的中點，即＝1.
【通性通法】
1．判定面面平行的四種方法
(1)利用定義：即證兩個平面沒有公共點(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．
(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用)．
2．面面平行的應用
(1)兩平面平行，構造與之相交的第三個平面，可得交線平行．
(2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行，可用于證明線面平行．
【鞏固遷移】
4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點．
證明　(1)∵E，F分別為B1C1，A1B1的中點，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分別為A1B1，AB的中點，
∴A1F＝BG，又A1F∥BG，
∴四邊形A1GBF為平行四邊形，
則BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，
平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G∩平面ABC＝GH，
則A1C1∥GH，
又A1C1∥AC，∴GH∥AC，
∵G為AB的中點，∴H為BC的中點．
考點四　平行關系的綜合應用
例5　(2023·廣東佛山高三模擬)在三棱錐S－ABC中，AB⊥平面SAC，AS⊥SC，AB＝1，AC＝，E為AB的中點，M為CE的中點，在線段SB上是否存在一點N，使MN∥平面SAC？若存在，指出點N的位置并給出證明；若不存在，說明理由．
解　存在點N為SB上的靠近S的四等分點，
即SN＝SB，使MN∥平面SAC.
證明如下：取AE的中點F，連接FN，FM，則MF∥AC，
因為AC 平面SAC，MF 平面SAC，
所以MF∥平面SAC，
因為AF＝AE＝AB，SN＝SB，
所以FN∥SA，
又SA 平面SAC，FN 平面SAC，
所以FN∥平面SAC，
又MF∩FN＝F，MF，FN 平面MNF，
所以平面MNF∥平面SAC，
又MN 平面MNF，所以MN∥平面SAC.
【通性通法】
三種平行關系的轉化
解決存在問題一般先假設求解的結果存在，從這個結果出發，尋找使這個結論成立的充分條件，若找到了使結論成立的充分條件，則存在；若找不到使結論成立的充分條件(出現矛盾)，則不存在．
【鞏固遷移】
5．(2024·河北衡水月考)如圖1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，DE⊥AB于點E，將△AED沿直線DE翻折到△A′ED，使A′E⊥BE，如圖2.
(1)求三棱錐C－A′BD的體積；
(2)在線段A′D上是否存在一點F，使EF∥平面A′BC？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
解　(1)由題意可知，在菱形ABCD中，
∠A＝60°，AB＝BC＝CD＝DA＝4，DE⊥AB，
故AE＝EB＝2，ED＝2，
所以在四棱錐A′－EBCD中，A′E⊥ED，A′E⊥EB，
又ED∩EB＝E，
所以A′E⊥平面EBCD，且A′E＝AE＝2，
連接BD，因為BC＝CD＝4，∠BCD＝60°，
則S△BCD＝×4×2＝4，
所以VC－A′BD＝VA′－BCD＝S△BCD·A′E＝×4×2＝.
故三棱錐C－A′BD的體積為.
(2)設線段A′D的中點為F，線段A′C的中點為G，連接EF，FG，GB，
因為F為A′D的中點，
G為A′C的中點，
所以FG∥DC，FG＝DC＝2，
又由(1)得，EB∥DC，EB＝2，
所以FG∥EB，FG＝EB，
所以四邊形EBGF為平行四邊形，
故EF∥BG，EF＝BG，
又EF 平面A′BC，BG 平面A′BC，
所以EF∥平面A′BC，此時F為A′D的中點，故＝1.
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第三節　空間直線、平面的平行
課標解讀 考向預測
1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明. 2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質，并會簡單應用. 近幾年空間直線與平面平行的有關知識，一直是高考命題的熱點，重點考查學生的空間想象能力、計算能力、推理論證能力以及轉化思想．預計2025年高考這一部分知識仍會考查，以解答題第(1)問的形式出現，難度中檔.
【知識梳理】
1．線面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 a∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 a∥b
2.面面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 β∥α　　
性質定理 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行 a∥b　
【常用結論】
1．(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
(4)若α∥β，a α，則a∥β.
2．三種平行關系的轉化
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數條．(　　)
(2)若直線a 平面α，直線b 平面β，a∥b，則α∥β.(　　)
(3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A必修第二冊習題8.5 T1改編)下列說法中，與“直線a∥平面α”等價的是(　　)
A．直線a上有無數個點不在平面α內
B．直線a與平面α內的所有直線平行
C．直線a與平面α內無數條直線不相交
D．直線a與平面α內的任意一條直線都不相交
(2)已知不重合的直線a，b和平面α，則下列說法正確的是(　　)
A．若a∥α，b α，則a∥b
B．若a∥α，b∥α，則a∥b
C．若a∥b，b α，則a∥α
D．若a∥b，a α，則b∥α或b α
(3)(2024·福建寧德一中質檢)已知α，β是空間兩個不同的平面，命題p：“α∥β”，命題q：“平面α內有無數條直線與β平行”，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(4)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．
【考點探究】
考點一　空間中平行關系的基本問題
例1　在下列判斷兩個平面α與β平行的四個命題中，真命題的個數是(　　)
①α，β都垂直于平面γ，那么α∥β；
②α，β都平行于平面γ，那么α∥β；
③α，β都垂直于直線l，那么α∥β；
④如果l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β.
A．0 B．1
C．2 D．3
【通性通法】
(1)判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，無論是選擇題還是含有選擇項的填空題，都可以先從中選出最熟悉、最容易判斷的選項確定或排除，再逐步判斷其余選項．
(2)直線、平面間平行的判定方法
①關注是否符合判定定理與性質定理，并注意定理中易忽視的條件；
②結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷；
③利用實物進行空間想象，比較判斷；
④熟記一些常見結論，如垂直于同一條直線的兩個平面平行等．
【鞏固遷移】
1．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面．
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥β，b∥β a∥b；
③a∥c，c∥α a∥α；④a∥β，a∥α α∥β；
⑤a α，b α，a∥b a∥α.
其中正確的命題是(　　)
A．①⑤ B．①②
C．②④ D．③⑤
考點二　直線與平面平行的判定與性質(多考向探究)
考向1　直線與平面平行的判定
例2　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F分別是BC，PD的中點．求證：
(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.
【通性通法】
判斷或證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點)．
(2)利用線面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3)利用面面平行的性質(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性質(α∥β，a β，a∥α a∥β)(客觀題可用)．
【鞏固遷移】
2．如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一點P，Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.
考向2　直線與平面平行的性質
例3　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.
求證：PA∥GH.
【鞏固遷移】
3．如圖，四邊形ABCD是矩形，P 平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F，EF與AD不重合．求證：四邊形BCFE是梯形．
考點三　平面與平面平行的判定與性質
例4　(2024·江西九江一中質檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，
(1)若E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG；
(2)若D，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1，試求的值．
【通性通法】
1．判定面面平行的四種方法
(1)利用定義：即證兩個平面沒有公共點(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．
(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用)．
2．面面平行的應用
(1)兩平面平行，構造與之相交的第三個平面，可得交線平行．
(2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行，可用于證明線面平行．
【鞏固遷移】
4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點．
考點四　平行關系的綜合應用
例5　(2023·廣東佛山高三模擬)在三棱錐S－ABC中，AB⊥平面SAC，AS⊥SC，AB＝1，AC＝，E為AB的中點，M為CE的中點，在線段SB上是否存在一點N，使MN∥平面SAC？若存在，指出點N的位置并給出證明；若不存在，說明理由．
【通性通法】
三種平行關系的轉化
解決存在問題一般先假設求解的結果存在，從這個結果出發，尋找使這個結論成立的充分條件，若找到了使結論成立的充分條件，則存在；若找不到使結論成立的充分條件(出現矛盾)，則不存在．
【鞏固遷移】
5．(2024·河北衡水月考)如圖1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，DE⊥AB于點E，將△AED沿直線DE翻折到△A′ED，使A′E⊥BE，如圖2.
(1)求三棱錐C－A′BD的體積；
(2)在線段A′D上是否存在一點F，使EF∥平面A′BC？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
課時作業
【A組 基礎練習】
一、單項選擇題
1．下列命題中正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面
B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行
C．平行于同一條直線的兩個平面平行
D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a α，b α，則b∥α
2．(2023·廣東湛江模擬)設α，β是兩個不重合的平面，下列選項中，是“α∥β ”的充要條件的是(　　)
A．α內存在無數條直線與β平行
B．存在直線l與α，β所成的角相等
C．存在平面γ，滿足γ∥α且γ∥β
D．α內存在不共線的三個點到β的距離相等
3.(2024·湖南岳陽一中階段考試)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則(　　)
A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形
4.(2023·杭州模擬)已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α與線段PA，PB，PC分別交于點A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
5.(2023·福州檢測)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點，則下列敘述中正確的是(　　)
A．直線BQ∥平面EFG
B．直線A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
6．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有(　　)
A．0條 B．1條
C．2條 D．1條或2條
7．(2024·河北承德模擬)如圖所示，設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，點Q在直線CD上，則PQ＝(　　)
A．a B．a
C．a D．a
8.(2023·重慶聯考)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F分別在線段DB，DD1上，且＝＝，點G在CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，則＝(　　)
A． B．
C． D．
二、多項選擇題
9．(2023·山東濟寧期末)已知m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列說法正確的是(　　)
A．若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n
B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β
C．若m∥n，n α，α∥β，m β，則m∥β
D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥β
10．(2023·江蘇常州模擬)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，D，E，F分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面DEF平行的是(　　)
三、填空題
11.(2023·陜西安康模擬)如圖，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AD的中點，BC與平面α交于點N，AB＝4，CD＝6，則MN＝________．
12．(2024·河南信陽光山中學質檢)正方體ABCD－A1B1C1D1中，與平面ACD1平行的面對角線有________條．
13.如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件________，就有MN∥平面B1BDD1.(注：填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)
14.(2024·江蘇輔仁高級中學階段考試)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分別是AB，BC，C1D1的中點，點P在平面ABCD內，若直線D1P∥平面EFG，則線段D1P長度的最小值是________．
四、解答題
15．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是BC，CC1，C1D1，AA1的中點，求證：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
16.(2023·廣西柳州模擬)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面PAD為正三角形，M為線段PD上一點，N為BC的中點．
(1)當M為PD的中點時，求證：MN∥平面PAB；
(2)當PB∥平面AMN時，求出點M的位置，并說明理由．
【B組 素養提升】
17．(2023·江西贛州統考二模)在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P滿足＝4，E，F分別為棱BC，CD的中點，點Q在正方體ABCD－A1B1C1D1的表面上運動，滿足A1Q∥平面EFP，則點Q的軌跡所構成圖形的周長為(　　)
A． B．2
C． D．
18．(多選)(2024·湖南長郡中學月考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝2，∠ABC＝，M是AB的中點，N是A1C1的中點，點P在線段B1N上，點Q是線段CM上靠近M的三等分點，R是線段AC1的中點，若PR∥平面B1CM，則(　　)
A．PR∥B1Q
B．P為B1N的中點
C．三棱錐P－B1CM的體積為
D．三棱錐P－ABC外接球的表面積為
19．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且＝＝.
(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的點，的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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