資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一節　直線的傾斜角、斜率與直線的方程
課標解讀 考向預測
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式. 2.根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式). 近幾年高考對本節內容的考查方式及題目難度變化不大，主要考查直線的方程，以常規題型常規解法為主要方向，常結合圓錐曲線考查．預計2025年高考會繼續考查直線與其他知識的交匯融合，以運算為主.
【知識梳理】
1．直線的方向向量
設A，B是直線上的兩點，則就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°．
3．直線的斜率
(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．
(2)過兩點的直線的斜率公式
如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直線的方向向量同斜率的關系
若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝．
5．直線的截距
若直線l與坐標軸分別交于(a，0)，(0，b)，則稱a為直線l在x軸上的截距，b為直線l在y軸上的截距．截距可正、可負，也可以為零．
6．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線
兩點式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直線x＝x1和直線y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐標系內的直線都適用
【常用結論】
1．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個法向量v＝(A，B)，一個方向向量a＝(－B，A)．
2．兩直線的夾角公式
若直線y＝k1x＋b1與直線y＝k2x＋b2的夾角為α，則tanα＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)根據直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(　　)
(2)若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα.(　　)
(3)斜率相等的兩條直線的傾斜角不一定相等．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題2.1 T3改編)若直線經過兩點A(m，1)，B(2－3m，2)，且其傾斜角為135°，則m的值為(　　)
A．0 B．－
C． D．
答案　D
解析　經過兩點A(m，1)，B(2－3m，2)的直線的斜率為k＝＝，又直線的傾斜角為135°，所以＝－1，解得m＝.故選D.
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題2.2 T2改編)設x，y為實數，已知直線的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是這條直線上的三個點，則x＋y＝(　　)
A．4 B．3
C．－1 D．1
答案　D
解析　因為A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是斜率k＝2的直線上的三個點，所以kAB＝kAC＝2，所以＝＝2，解得x＝4，y＝－3，則x＋y＝1.故選D.
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題2.2 T10改編)如果AC<0，BC>0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經過(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　因為AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不為零，將直線方程Ax＋By＋C＝0化為y＝－x＋，因為AC<0，且BC>0，可得直線的斜率k＝－>0，在y軸上的截距為－<0，所以直線經過第一、三、四象限，不經過第二象限．故選B.
(4)過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________．
答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析　當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當截距不為0時，設直線方程為＋＝1，則＋＝1，解得a＝5，所以直線方程為x＋y－5＝0.綜上，直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
【考點探究】
考點一　直線的傾斜角與斜率
例1　(1)直線y＝－x＋3的傾斜角為(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　C
解析　設直線y＝－x＋3的傾斜角為α，因為直線的斜率為k＝tanα＝－，所以α＝120°.故選C.
(2)已知點A(－1，2)，B(2，)，P(1，0)，點Q是線段AB上的動點，則直線PQ的斜率的范圍為____________，直線PQ的傾斜角的范圍為____________．
答案　(－∞，－1]∪[，＋∞)　
解析　如圖，kPA＝＝－1，kPB＝＝，則直線PQ的斜率的范圍為(－∞，－1]∪[，＋∞)．因為直線PA，PB對應的傾斜角分別為，，則直線PQ的傾斜角的范圍為.
【通性通法】
確定傾斜角與斜率范圍的常用方法
數形結合法 作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數的單調性確定
函數圖象法 根據正切函數圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可
【鞏固遷移】
1．已知直線l的方程為xsinα＋y－1＝0，α∈R，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　)
A．∪ B．∪
C． D．
答案　B
解析　直線l的方程為xsinα＋y－1＝0，則直線l的斜率k＝－sinα∈，設直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈，所以當k∈時，θ∈；當k∈時，θ∈.綜上所述，直線l的傾斜角θ的取值范圍是∪.故選B.
2．若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________．
答案　　－3
解析　如圖，在正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖所示的平面直角坐標系．設對角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ＝2，由正方形的性質可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OC的傾斜角為θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.
考點二　求直線的方程
例2　由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是－，經過點A(8，－2)；
(2)經過點B(4，2)，平行于x軸；
(3)在x軸和y軸上的截距分別是，－3；
(4)經過兩點A(3，－2)，B(5，－4)；
(5)在x軸上的截距是－7，傾斜角是45°；
(6)傾斜角為60°，與y軸的交點到x軸的距離是3.
解　(1)由點斜式得y＋2＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)因為直線平行于x軸，所以直線的斜率等于0，由點斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0.
(3)因為在x軸和y軸上的截距分別是，－3，所以直線方程的截距式為＋＝1，
即2x－y－3＝0.
(4)由兩點式得＝，
即x＋y－1＝0.
(5)直線的斜率k＝tan45°＝1，由點斜式得y－0＝x＋7，即x－y＋7＝0.
(6)直線的斜率為tan60°＝，因為直線與y軸的交點到x軸的距離是3，所以直線在y軸上的截距為±3，所以所求直線方程為y＝x＋3或y＝x－3，即x－y＋3＝0或x－y－3＝0.
【通性通法】
求直線方程的兩種方法
(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式．
(2)待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數．
提醒：(1)應用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在．
(2)應用“截距式”方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.
(3)應用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時，注意討論B是否為0.
【鞏固遷移】
3．(2024·山東日照一中質檢)過點A(1，4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
答案　D
解析　解法一：當直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為y＝4x，即4x－y＝0；當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1(a≠0)，因為直線過點A(1，4)，所以－＝1，解得a＝－3，此時直線方程為x－y＋3＝0.綜上，直線方程為4x－y＝0或x－y＋3＝0.故選D.
解法二：易知直線斜率不存在或直線斜率為0時，不符合題意．設直線方程為y－4＝k(x－1)(k≠0)，當x＝0時，y＝4－k，當y＝0時，x＝1－，由題意知1－＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1，即直線方程為4x－y＝0或x－y＋3＝0.故選D.
4．求適合下列條件的直線方程．
(1)經過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍；
(2)經過點B(3，4)，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形；
(3)已知直線l的一個方向向量為n＝(2，3)，且l過點A(－4，3)．
解　(1)設直線y＝3x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為2α.
因為tanα＝3，
所以tan2α＝＝－.
又直線經過點A(－1，－3)，
因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(2)由題意，可知所求直線的斜率為±1.
又過點B(3，4)，由點斜式，得所求直線方程為y－4＝±(x－3)，即x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
(3)解法一：因為直線l的一個方向向量為n＝(2，3)，
所以直線l的斜率k＝，故直線l的方程為y－3＝(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.
解法二：設P(x，y)是直線l上的任意一點(不同于A)，則＝(x＋4，y－3)，因為直線l的一個方向向量為n＝(2，3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，所以直線l的方程為y－3＝(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.
考點三　直線方程的應用(多考向探究)
考向1　直線方程與不等式的結合
例3　(2024·四川成都七中診斷考試)已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，當|MA|·|MB|最小時，直線l的方程為________．
答案　x＋y－3＝0
解析　設A(a，0)，B(0，b)，則a＞0，b＞0，直線l的方程為＋＝1，所以＋＝1.||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)·－5＝＋≥4，當且僅當a＝b＝3時取等號，此時直線l的方程為x＋y－3＝0.
【通性通法】
求解與直線方程有關的最值問題，一般是先根據題意建立目標函數，然后利用基本不等式(或函數)解決問題．
【鞏固遷移】
5．若直線mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)經過點(－2，－1)，則＋的最小值為(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
答案　B
解析　因為直線mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)經過點(－2，－1)，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1(m>0，n>0)．所以＋＝·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，當且僅當＝且2m＋n＝1，即時取等號，所以＋的最小值為8.故選B.
考向2　直線方程與函數的結合
例4　(2023·江蘇泰州模擬)某房地產公司要在荒地ABCDE(如圖)上劃出一塊長方形地面(不改變方位)建一幢公寓，則公寓的最大面積為________m2(精確到1 m2)．
答案　6017
解析　在線段AB上任取一點P，分別向CD，DE作垂線，劃出一塊長方形地面，以BC，EA的交點為原點，BC，EA所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，則AB的方程為＋＝1.設P，則長方形的面積S＝(100－x)(0≤x≤30)．化簡得S＝－x2＋x＋6000(0≤x≤30)．當x＝5，y＝時，S最大，其最大值為≈6017 m2.
【通性通法】
求解與函數相結合的問題，一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)或某一變量的函數，借助函數的性質解題．
【鞏固遷移】
6．過坐標原點O作直線l：(a＋2)x＋(1－a)y－6＝0的垂線，垂足為H(s，t)，則s2＋t2的取值范圍是(　　)
A．[0，2] B．(0，2]
C．[0，8] D．(0，8]
答案　D
解析　依題意，得＝(s，t)，直線l的方向向量n＝(a－1，a＋2)，則有解得因此s2＋t2＝＝，因為當a＝－時，2＋取得最小值，所以0<≤8，即s2＋t2的取值范圍是(0，8]．故選D.
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第一節　直線的傾斜角、斜率與直線的方程
課標解讀 考向預測
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式. 2.根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式). 近幾年高考對本節內容的考查方式及題目難度變化不大，主要考查直線的方程，以常規題型常規解法為主要方向，常結合圓錐曲線考查．預計2025年高考會繼續考查直線與其他知識的交匯融合，以運算為主.
【知識梳理】
1．直線的方向向量
設A，B是直線上的兩點，則就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°．
3．直線的斜率
(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．
(2)過兩點的直線的斜率公式
如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直線的方向向量同斜率的關系
若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝．
5．直線的截距
若直線l與坐標軸分別交于(a，0)，(0，b)，則稱a為直線l在x軸上的截距，b為直線l在y軸上的截距．截距可正、可負，也可以為零．
6．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線
兩點式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直線x＝x1和直線y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐標系內的直線都適用
【常用結論】
1．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個法向量v＝(A，B)，一個方向向量a＝(－B，A)．
2．兩直線的夾角公式
若直線y＝k1x＋b1與直線y＝k2x＋b2的夾角為α，則tanα＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)根據直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(　　)
(2)若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα.(　　)
(3)斜率相等的兩條直線的傾斜角不一定相等．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題2.1 T3改編)若直線經過兩點A(m，1)，B(2－3m，2)，且其傾斜角為135°，則m的值為(　　)
A．0 B．－
C． D．
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題2.2 T2改編)設x，y為實數，已知直線的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是這條直線上的三個點，則x＋y＝(　　)
A．4 B．3
C．－1 D．1
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題2.2 T10改編)如果AC<0，BC>0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經過(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(4)過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________．
【考點探究】
考點一　直線的傾斜角與斜率
例1　(1)直線y＝－x＋3的傾斜角為(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
(2)已知點A(－1，2)，B(2，)，P(1，0)，點Q是線段AB上的動點，則直線PQ的斜率的范圍為____________，直線PQ的傾斜角的范圍為____________．
【通性通法】
確定傾斜角與斜率范圍的常用方法
數形結合法 作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數的單調性確定
函數圖象法 根據正切函數圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可
【鞏固遷移】
1．已知直線l的方程為xsinα＋y－1＝0，α∈R，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　)
A．∪ B．∪
C． D．
2．若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________．
考點二　求直線的方程
例2　由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是－，經過點A(8，－2)；
(2)經過點B(4，2)，平行于x軸；
(3)在x軸和y軸上的截距分別是，－3；
(4)經過兩點A(3，－2)，B(5，－4)；
(5)在x軸上的截距是－7，傾斜角是45°；
(6)傾斜角為60°，與y軸的交點到x軸的距離是3.
【通性通法】
求直線方程的兩種方法
(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式．
(2)待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數．
提醒：(1)應用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在．
(2)應用“截距式”方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.
(3)應用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時，注意討論B是否為0.
【鞏固遷移】
3．(2024·山東日照一中質檢)過點A(1，4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
4．求適合下列條件的直線方程．
(1)經過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍；
(2)經過點B(3，4)，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形；
(3)已知直線l的一個方向向量為n＝(2，3)，且l過點A(－4，3)．
考點三　直線方程的應用(多考向探究)
考向1　直線方程與不等式的結合
例3　(2024·四川成都七中診斷考試)已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，當|MA|·|MB|最小時，直線l的方程為________．
【鞏固遷移】
5．若直線mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)經過點(－2，－1)，則＋的最小值為(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
考向2　直線方程與函數的結合
例4　(2023·江蘇泰州模擬)某房地產公司要在荒地ABCDE(如圖)上劃出一塊長方形地面(不改變方位)建一幢公寓，則公寓的最大面積為________m2(精確到1 m2)．
【通性通法】
求解與函數相結合的問題，一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)或某一變量的函數，借助函數的性質解題．
【鞏固遷移】
6．過坐標原點O作直線l：(a＋2)x＋(1－a)y－6＝0的垂線，垂足為H(s，t)，則s2＋t2的取值范圍是(　　)
A．[0，2] B．(0，2]
C．[0，8] D．(0，8]
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