資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第三節(jié)　圓的方程
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測
1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程. 2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題. 近三年主要考查了圓的方程及應(yīng)用，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．預(yù)計(jì)2025年高考仍會考查，且以選擇題、填空題為主，難度中檔.
【知識梳理】
1．圓的定義及圓的方程
定義 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓
方程 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C(a，b)
半徑為r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圓心C
半徑r＝
注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，表示圓心為，半徑r＝的圓；當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，表示一個點(diǎn)；當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，不表示任何圖形．
2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之間存在著下列關(guān)系：
位置關(guān)系 判斷方法
幾何法 代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程) 代數(shù)法(一般方程)
點(diǎn)在圓上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
點(diǎn)在圓外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
點(diǎn)在圓內(nèi) |MC|【常用結(jié)論】
1．確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的兩個性質(zhì)
(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．
(2)圓心在任一弦的中垂線上．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)圓x2＋y2＝a2的半徑為a.(　　)
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(3)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．小題熱身
(1)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是(　　)
A．(2，3)，3 B．(－2，3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
答案　D
解析　圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，半徑r＝.故選D.
(2)(人教A選擇性必修第一冊2.4.1練習(xí)T1改編)圓心為(1，1)且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．
答案　(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析　因?yàn)閳A心為(1，1)且過原點(diǎn)，所以該圓的半徑r＝＝，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(3)(人教A選擇性必修第一冊復(fù)習(xí)參考題2 T7改編)若圓C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________．
答案　2
解析　∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圓，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圓C過原點(diǎn)，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.
(4)(人教A選擇性必修第一冊復(fù)習(xí)參考題2 T6改編)圓心在直線x＋y＝0上，且過點(diǎn)(0，2)，(－4，0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
答案　(x＋3)2＋(y－3)2＝10
解析　點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(－4，0)確定直線的斜率為k＝＝，其中點(diǎn)為(－2，1)，所以線段的中垂線方程為y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0，又圓心在直線x＋y＝0上，由
解得所以圓心為(－3，3)，r＝＝，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　求圓的方程
例1　(1)已知圓的圓心為(－2，1)，其一條直徑的兩個端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個圓的一般方程是________________．
答案　x2＋y2＋4x－2y＝0
解析　設(shè)直徑的兩個端點(diǎn)分別為A(a，0)，B(0，b)，圓心C為點(diǎn)(－2，1)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半徑r＝＝，∴圓的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.
(2)(2024·江蘇南京一中月考)已知△ABC的頂點(diǎn)A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，則其外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
答案　(x＋1)2＋(y－1)2＝2
解析　設(shè)△ABC的外接圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因?yàn)椤鰽BC的頂點(diǎn)A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，所以
解得因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即為所求圓的方程．
【通性通法】
(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；
②若已知條件沒有明確給出圓心和半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．
【鞏固遷移】
1．(2024·河北邯鄲模擬)已知三點(diǎn)A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)為圓心作一個圓，使得A，B，C三點(diǎn)中的一個點(diǎn)在圓內(nèi)，一個點(diǎn)在圓上，一個點(diǎn)在圓外，則這個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
答案　(x－2)2＋(y＋1)2＝13
解析　由題設(shè)知，|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，∴|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三點(diǎn)中的一個點(diǎn)在圓內(nèi)，一個點(diǎn)在圓上，一個點(diǎn)在圓外，則圓以|PB|為半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
2．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為________________．
答案　x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
解析　解法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意，得
解得故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
解法二：線段AB的垂直平分線方程為2x＋y＋4＝0，聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)C(－1，－2)，又點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離d＝，所以所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
考點(diǎn)二　與圓有關(guān)的軌跡問題
例2　(2024·山東棗莊八中月考)已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．
解　(1)解法一：設(shè)C(x，y)，
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.
因?yàn)锳C⊥BC，且直線AC，BC的斜率均存在，
所以kACkBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化簡，
得x2＋y2－2x－3＝0.
因此直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動點(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．
所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3，0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)，知點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
所以直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
【通性通法】
求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．
(4)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解．
【鞏固遷移】
3．已知兩點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，動點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B的距離的3倍，則點(diǎn)P的軌跡方程為________________．
答案　x2＋y2－x＋25＝0
解析　設(shè)P(x，y)，由題意可知|PA|＝3|PB|，由兩點(diǎn)間距離公式，可得＝3，化簡，得x2＋y2－x＋25＝0.
4．(2023·江蘇淮安一模)已知點(diǎn)A(2，0)是圓x2＋y2＝4上一點(diǎn)，點(diǎn)B(1，1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)．
(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程．
解　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2，2y)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)如圖，設(shè)PQ的中點(diǎn)N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
考點(diǎn)三　與圓有關(guān)的最值問題(多考向探究)
考向1　借助幾何性質(zhì)求最值
例3　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圓心C的坐標(biāo)為(2，7)，半徑r＝2.
又|QC|＝＝4，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直線MQ的斜率k.
設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
因?yàn)橹本€MQ與圓C有交點(diǎn)，
所以≤2，
解得2－≤k≤2＋，
所以的最大值為2＋，最小值為2－.
(3)設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0.
當(dāng)直線x－y＋b＝0與圓C相切時(shí)，截距b取到最值，所以＝2，
解得b＝9或b＝1，
所以y－x的最大值為9，最小值為1.
【通性通法】
借助幾何性質(zhì)求最值的常見形式及求解方法
(1)形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．
【鞏固遷移】
5．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　A
解析　設(shè)圓心為C(x，y)，則 ＝1，化簡得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓，如圖．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí)取得等號．故選A.
6．已知A(－2，0)，B(2，0)，點(diǎn)P是圓C：(x－3)2＋(y－)2＝1上的動點(diǎn)，則|AP|2＋|BP|2的最大值為(　　)
A．40 B．46
C．48 D．58
答案　D
解析　設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(x，y)，則|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.圓C的圓心為C(3，)，半徑為r＝1，|OC|＝4，所以|PO|2的最大值為(|OC|＋r)2＝(4＋1)2＝25，所以|AP|2＋|BP|2的最大值為58.
考向2　構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值
例4　(2023·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則·的最大值為________．
答案　12
解析　由題意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，·的值最大，最大值為6×4－12＝12.
【通性通法】
建立函數(shù)關(guān)系式求最值時(shí)，首先根據(jù)已知條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．
【鞏固遷移】
7．等邊三角形ABC的面積為9，且△ABC的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足|MN|＝1，則·的最小值為(　　)
A．－5－2 B．－5－4
C．－6－2 D．－6－4
答案　A
解析　設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，則面積S＝a2＝9，解得a＝6.以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．由M為△ABC的內(nèi)心，則M在OC上，且|OM|＝|OC|，則A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，M(0，)，由|MN|＝1，則點(diǎn)N在以M為圓心，1為半徑的圓上．設(shè)N(x，y)，則x2＋(y－)2＝1，即x2＋y2－2y＋2＝0，且－1≤y≤1＋，又＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2y－11≥2×(－1)－11＝－5－2.
考向3　利用對稱性求最值
例5　一束光線，從點(diǎn)A(－2，2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是(　　)
A．5－1 B．5＋1
C．3＋1 D．3－1
答案　A
解析　如圖，依題意知，圓C的圓心C(3，3)，半徑r＝1，點(diǎn)A(－2，2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(－2，－2)，連接A′C交x軸于點(diǎn)O，交圓C于點(diǎn)B，圓外一點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最小值是圓外這點(diǎn)到圓心的距離減去圓的半徑，于是得點(diǎn)A′與圓C上的點(diǎn)的距離的最小值為|A′B|＝|A′C|－r＝－1＝5－1.在x軸上任取點(diǎn)P，連接AP，A′P，PC，PC交圓C于點(diǎn)B′，而|AO|＝|A′O|，|AP|＝|A′P|，|AO|＋|OB|＝|A′O|＋|OB|＝|A′B|＝|A′C|－r≤|A′P|＋|PC|－r＝|AP|＋|PB′|，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)取“＝”，所以最短路徑的長度是5－1.故選A.
【通性通法】
求解形如|PA|＋|PB|且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．
【鞏固遷移】
8．(2024·浙江金華模擬)已知圓C：x2＋(y－2)2＝1上一動點(diǎn)A和定點(diǎn)B(6，2)，點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最小值為________．
答案　2－1
解析　根據(jù)題意畫出圓C：x2＋(y－2)2＝1，以及點(diǎn)B(6，2)的圖象如圖，作B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接B′C，則當(dāng)A，P分別是B′C與圓和x軸的交點(diǎn)時(shí)，|PA|＋|PB|最小，最小值|AB′|為點(diǎn)C(0，2)到點(diǎn)B′(6，－2)的距離減去圓的半徑，即|AB′|＝－1＝2－1.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第三節(jié)　圓的方程
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測
1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程. 2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題. 近三年主要考查了圓的方程及應(yīng)用，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．預(yù)計(jì)2025年高考仍會考查，且以選擇題、填空題為主，難度中檔.
【知識梳理】
1．圓的定義及圓的方程
定義 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓
方程 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C(a，b)
半徑為r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圓心C
半徑r＝
注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，表示圓心為，半徑r＝的圓；當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，表示一個點(diǎn)；當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，不表示任何圖形．
2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之間存在著下列關(guān)系：
位置關(guān)系 判斷方法
幾何法 代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程) 代數(shù)法(一般方程)
點(diǎn)在圓上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
點(diǎn)在圓外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
點(diǎn)在圓內(nèi) |MC|【常用結(jié)論】
1．確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的兩個性質(zhì)
(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．
(2)圓心在任一弦的中垂線上．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)圓x2＋y2＝a2的半徑為a.(　　)
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(3)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
2．小題熱身
(1)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是(　　)
A．(2，3)，3 B．(－2，3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
(2)(人教A選擇性必修第一冊2.4.1練習(xí)T1改編)圓心為(1，1)且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．
(3)(人教A選擇性必修第一冊復(fù)習(xí)參考題2 T7改編)若圓C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________．
(4)(人教A選擇性必修第一冊復(fù)習(xí)參考題2 T6改編)圓心在直線x＋y＝0上，且過點(diǎn)(0，2)，(－4，0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　求圓的方程
例1　(1)已知圓的圓心為(－2，1)，其一條直徑的兩個端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個圓的一般方程是________________．
(2)(2024·江蘇南京一中月考)已知△ABC的頂點(diǎn)A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，則其外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
【通性通法】
(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；
②若已知條件沒有明確給出圓心和半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．
【鞏固遷移】
1．(2024·河北邯鄲模擬)已知三點(diǎn)A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)為圓心作一個圓，使得A，B，C三點(diǎn)中的一個點(diǎn)在圓內(nèi)，一個點(diǎn)在圓上，一個點(diǎn)在圓外，則這個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
2．已知圓的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓的一般方程為________________．
考點(diǎn)二　與圓有關(guān)的軌跡問題
例2　(2024·山東棗莊八中月考)已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．
【通性通法】
求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．
(4)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解．
【鞏固遷移】
3．已知兩點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，動點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B的距離的3倍，則點(diǎn)P的軌跡方程為________________．
4．(2023·江蘇淮安一模)已知點(diǎn)A(2，0)是圓x2＋y2＝4上一點(diǎn)，點(diǎn)B(1，1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)．
(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程．
考點(diǎn)三　與圓有關(guān)的最值問題(多考向探究)
考向1　借助幾何性質(zhì)求最值
例3　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
【通性通法】
借助幾何性質(zhì)求最值的常見形式及求解方法
(1)形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．
【鞏固遷移】
5．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
6．已知A(－2，0)，B(2，0)，點(diǎn)P是圓C：(x－3)2＋(y－)2＝1上的動點(diǎn)，則|AP|2＋|BP|2的最大值為(　　)
A．40 B．46
C．48 D．58
考向2　構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值
例4　(2023·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則·的最大值為________．
【通性通法】
建立函數(shù)關(guān)系式求最值時(shí)，首先根據(jù)已知條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．
【鞏固遷移】
7．等邊三角形ABC的面積為9，且△ABC的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足|MN|＝1，則·的最小值為(　　)
A．－5－2 B．－5－4
C．－6－2 D．－6－4
考向3　利用對稱性求最值
例5　一束光線，從點(diǎn)A(－2，2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是(　　)
A．5－1 B．5＋1
C．3＋1 D．3－1
【通性通法】
求解形如|PA|＋|PB|且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．
【鞏固遷移】
8．(2024·浙江金華模擬)已知圓C：x2＋(y－2)2＝1上一動點(diǎn)A和定點(diǎn)B(6，2)，點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最小值為________．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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