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第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系與距離公式
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直. 2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離. 近三年高考考查了點(diǎn)到直線的距離公式，以與圓錐曲線交匯融合的形式出現(xiàn)在多選題和填空題中，兩條直線的位置關(guān)系也是常考內(nèi)容之一，難度不大．預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)繼續(xù)以多選題或填空題的形式與其他知識(shí)交匯考查.
【知識(shí)梳理】
1．兩條直線的位置關(guān)系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置關(guān)系如下表：
位置關(guān)系 l1，l2方程系數(shù)滿足的條件
平行 k1＝k2且b1≠b2
垂直 k1k2＝－1
相交 k1≠k2
直線l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置關(guān)系如下表：
位置關(guān)系 法向量滿足的條件 l3，l4方程系數(shù)滿足的條件
平行 v1∥v2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
垂直 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1與v2不共線 A1B2－A2B1≠0
2.兩條直線的交點(diǎn)
直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為兩條直線的方程組成的方程組的解．
相交 方程組有唯一解；
平行 方程組無(wú)解；
重合 方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解．
注意：雖然利用方程組解的情況可以判斷兩條直線的位置關(guān)系，但是由于運(yùn)算量較大，一般較少使用．
3．三種距離公式
(1)兩點(diǎn)間的距離公式
①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結(jié)論：|P1P2|＝.
③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0，0)的距離|OP|＝.
(2)點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝.
【常用結(jié)論】
1．直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五種常用對(duì)稱關(guān)系
(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0，0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)．
(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．
(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．
(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．
(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　)
(3)直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3 T6改編)點(diǎn)A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為________．
答案　
解析　點(diǎn)A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為d＝＝.
(2)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3 T7改編)兩條平行線l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離為________．
答案　
解析　依題意，將直線l1：3x＋4y－6＝0化為l1：9x＋12y－18＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以兩平行線間的距離為d＝＝.
(3)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3 T1改編)兩條直線l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)是________．
答案　(2，3)
解析　聯(lián)立得所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)．
(4)直線l1：px＋3y＋1＝0與直線l2：6x－2y－5＝0垂直，則p的值為________．
答案　1
解析　由題意，得6p＋3×(－2)＝0，解得p＝1.
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　兩條直線的位置關(guān)系(多考向探究)
考向1　判斷兩條直線的位置關(guān)系
例1　(1)直線2x＋y＋1＝0和直線x＋2y＋1＝0的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
答案　B
解析　方程2x＋y＋1＝0可化為y＝－2x－1，因此該直線的斜率k1＝－2.方程x＋2y＋1＝0可化為y＝－x－，因此該直線的斜率k2＝－，因?yàn)閗1≠k2，k1·k2＝1≠－1，所以這兩條直線相交但不垂直．故選B.
(2)(2024·四川宜賓敘州區(qū)第一中學(xué)期中)直線l1：2x－my＋8＝0和直線l2：mx＋2y－4＝0(m∈R)的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
答案　B
解析　因?yàn)?·m＋(－m)·2＝0，所以直線l1與直線l2相互垂直．故選B.
【通性通法】
判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)
(1)斜率不存在的特殊情況．
(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
【鞏固遷移】
1．(多選)(2024·湖南郴州模擬)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為α1，α2，斜率分別為k1，k2，則下列命題正確的是(　　)
A．若斜率k1＝k2，則l1∥l2
B．若k1k2＝－1，則l1⊥l2
C．若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2
D．若α1＋α2＝π，則l1⊥l2
答案　ABC
解析　對(duì)于A，若兩直線的斜率k1＝k2，則它們的傾斜角α1＝α2，則l1∥l2，A正確；對(duì)于B，由兩直線垂直的條件可知，若k1k2＝－1，則l1⊥l2，B正確；對(duì)于C，由兩直線平行的條件可知，若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2，C正確；對(duì)于D，若α1＋α2＝π，不妨取α1＝，α2＝，則k1＝tanα1＝，k2＝tanα2＝－，k1k2≠－1，l1，l2不垂直，D錯(cuò)誤．故選ABC.
考向2　由兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù)
例2　(1)(2023·遼寧丹東二模)直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，則a＝(　　)
A．－2 B．1
C．－2或1 D．－1或2
答案　A
解析　由題意，直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.當(dāng)a＝－2時(shí)，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2；當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1與l2重合．故選A.
(2)(2024·江蘇徐州模擬)若直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，則a＝________．
答案　±1
解析　因?yàn)橹本€l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，得a2＝1，解得a＝±1.
【通性通法】
解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問(wèn)題要“前思后想”
【鞏固遷移】
2．(2023·陜西安康統(tǒng)考二模)已知直線l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直線l2：(a－2)x＋y＋2＝0，則“a＝1”是“l(fā)1∥l2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　當(dāng)a＝1時(shí)，l1：－x＋y＋1＝0，l2：－x＋y＋2＝0，所以l1∥l2，充分性成立；當(dāng)l1∥l2時(shí)，解得a＝1或a＝2，必要性不成立．故選A.
3．(2023·吉林統(tǒng)考二模)已知a>0，b>0，若直線l1：ax＋by－2＝0與直線l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，則a＋2b的最小值為________．
答案　9
解析　由兩直線垂直，得2a＋b(1－a)＝0，即2a＋b＝ab，整理可得＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)＝＋1＋4＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)，等號(hào)成立，因此a＋2b的最小值為9.
考點(diǎn)二　兩條直線的交點(diǎn)、距離公式(多考向探究)
考向1　兩條直線的交點(diǎn)
例3　過(guò)直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
答案　D
解析　解法一：解方程組可得直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為，又所求直線過(guò)原點(diǎn)，所以所求直線的方程為y＝－x，即3x＋19y＝0.故選D.
解法二：根據(jù)題意，可設(shè)所求的直線方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因?yàn)榇酥本€過(guò)原點(diǎn)，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－，所以所求直線的方程為x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.故選D.
【通性通法】
求過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法
(1)直接法：先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．
(2)共點(diǎn)直線系法：分離參數(shù)，假設(shè)直線方程中含有的參數(shù)為λ，則將直線方程化為f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，解方程組即可得定點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到所求的直線方程．
【鞏固遷移】
4．(2024·山西呂梁模擬)過(guò)直線x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交點(diǎn)，且與直線x＋2y－3＝0垂直的直線方程是________．
答案　2x－y＋5＝0
解析　解法一：聯(lián)立方程解得所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，1)．直線x＋2y－3＝0的斜率為－，所以所求直線方程的斜率為－＝2，由點(diǎn)斜式方程得，所求直線方程為y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.
解法二：設(shè)所求直線方程為x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0，即(1＋λ)x＋(1－2λ)y＋1＋4λ＝0.因?yàn)樗笾本€與直線x＋2y－3＝0垂直，所以所求直線方程的斜率為2，易知λ≠，則＝2，得λ＝1，則所求直線方程為2x－y＋5＝0.
考向2　與距離有關(guān)的問(wèn)題
例4　(1)(2023·陜西咸陽(yáng)模擬)已知直線l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，則點(diǎn)P(1，2)到直線l2的距離d＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由l1⊥l2，可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝＝.故選D.
(2)(2024·福建廈門階段考試)若平面內(nèi)兩條平行線l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0間的距離為，則實(shí)數(shù)a＝________．
答案　－1
解析　∵l1∥l2，∴a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，d＝＝，不滿足題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，d＝＝，滿足題意．故a＝－1.
【通性通法】
求解距離問(wèn)題的思路
(1)點(diǎn)到直線的距離的求法：可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．
(2)兩條平行直線間的距離的求法：①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩條平行直線間的距離公式．
注意：(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.
(2)兩條平行直線間的距離公式要求兩條直線方程中x，y的系數(shù)分別相等．
【鞏固遷移】
5．(多選)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(－1，2)，且點(diǎn)A(2，3)，B(－4，5)到直線l的距離相等，則直線l的方程為(　　)
A．3x＋y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0
C．x＝－1 D．y＝2
答案　BC
解析　解法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意，知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－，所以直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，符合題意．故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
解法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，直線l的斜率k＝kAB＝－，則直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當(dāng)直線l過(guò)AB的中點(diǎn)(－1，4)時(shí)，直線l的方程為x＝－1.故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
6．(多選)(2023·山東濟(jì)南調(diào)研)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和直線l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
答案　BD
解析　設(shè)直線l的方程為4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題意，知d1＝，d2＝.因?yàn)椋剑裕剑?|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直線l的方程為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
考點(diǎn)三　對(duì)稱問(wèn)題(多考向探究)
考向1　點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
例5　(1)過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為(　　)
A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0
答案　D
解析　設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)．由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.因?yàn)辄c(diǎn)A(4，0)，P(0，1)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.故選D.
(2)(2023·江蘇鎮(zhèn)江期中)直線l：y＝2x＋3關(guān)于點(diǎn)P(2，3)對(duì)稱的直線l′的方程是(　　)
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0
答案　A
解析　因?yàn)閘和l′關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則兩直線平行，可設(shè)l′的方程為2x－y＋b＝0(b≠3)，點(diǎn)P到兩直線的距離相等，則＝，解得b＝－5或b＝3(舍去)，所以直線l′的方程是2x－y－5＝0.故選A.
【通性通法】
兩類中心對(duì)稱問(wèn)題
(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于M(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足
(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩種方法
【鞏固遷移】
7．直線3x－2y＝0關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
答案　B
解析　設(shè)所求直線上任一點(diǎn)為(x，y)，則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化簡(jiǎn)得3x－2y－2＝0，所以所求直線方程為3x－2y－2＝0.故選B.
8．(2024·河北張家口質(zhì)檢)光線從點(diǎn)A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B經(jīng)過(guò)的路程為(　　)
A．5 B．2
C．5 D．10
答案　C
解析　點(diǎn)A(－3，5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－3，－5)，則光線從A到B經(jīng)過(guò)的路程為CB的長(zhǎng)度，即|CB|＝＝5.故選C.
考向2　點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱
例6　(2024·河北張家口階段考試)點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(　　)
A．(－3，5) B．(－1，－4)
C．(4，1) D．(2，3)
答案　A
解析　設(shè)點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a，b)，則
解得所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－3，5)．故選A.
【通性通法】
若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)對(duì)稱，則由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)．
【鞏固遷移】
9．(2023·廣東深圳模擬)已知點(diǎn)A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)關(guān)于直線4x＋3y＝11對(duì)稱，則a，b的值為(　　)
A．a(chǎn)＝－1，b＝2 B．a(chǎn)＝4，b＝－2
C．a(chǎn)＝2，b＝4 D．a(chǎn)＝4，b＝2
答案　D
解析　點(diǎn)A，B關(guān)于直線4x＋3y＝11對(duì)稱，則kAB＝，即＝　①，且AB的中點(diǎn)在已知直線上，代入得2(b＋2)＋3＝11　②，聯(lián)立①②組成方程組，解得故選D.
考向3　直線關(guān)于直線的對(duì)稱
例7　(2024·河南南陽(yáng)模擬)直線x－2y－1＝0關(guān)于直線y－x＝0對(duì)稱的直線方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
答案　A
解析　在直線x－2y－1＝0上任取一點(diǎn)P(a，b)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線y－x＝0的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x，y)，則解得即P(y，x)，因?yàn)辄c(diǎn)P(y，x)在直線x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，所以所求直線方程是2x－y＋1＝0.故選A.
【通性通法】
求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的兩種方法
(1)在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程．
(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程．
特別地，若直線l1與直線l平行，則在直線l1上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可得直線l2的方程．
【鞏固遷移】
10．已知直線l1：x－y＋3＝0與直線l：x－y－1＝0，若直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為l2，則直線l2的方程為________．
答案　x－y－5＝0
解析　解法一：由題意，知l1∥l2，設(shè)直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)，在直線l1上取點(diǎn)M(0，3)，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則解得即M′(4，－1)，將M′(4，－1)代入l2的方程，得4＋1＋m＝0，解得m＝－5.所以直線l2的方程為x－y－5＝0.
解法二：易知l1∥l，所以l2∥l，設(shè)直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．因?yàn)橹本€l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱，所以l1與l，l2與l間的距離相等．由兩平行直線間的距離公式得＝，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直線l2的方程為x－y－5＝0.
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第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系與距離公式
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直. 2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離. 近三年高考考查了點(diǎn)到直線的距離公式，以與圓錐曲線交匯融合的形式出現(xiàn)在多選題和填空題中，兩條直線的位置關(guān)系也是常考內(nèi)容之一，難度不大．預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)繼續(xù)以多選題或填空題的形式與其他知識(shí)交匯考查.
【知識(shí)梳理】
1．兩條直線的位置關(guān)系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置關(guān)系如下表：
位置關(guān)系 l1，l2方程系數(shù)滿足的條件
平行 k1＝k2且b1≠b2
垂直 k1k2＝－1
相交 k1≠k2
直線l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置關(guān)系如下表：
位置關(guān)系 法向量滿足的條件 l3，l4方程系數(shù)滿足的條件
平行 v1∥v2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
垂直 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1與v2不共線 A1B2－A2B1≠0
2.兩條直線的交點(diǎn)
直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為兩條直線的方程組成的方程組的解．
相交 方程組有唯一解；
平行 方程組無(wú)解；
重合 方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解．
注意：雖然利用方程組解的情況可以判斷兩條直線的位置關(guān)系，但是由于運(yùn)算量較大，一般較少使用．
3．三種距離公式
(1)兩點(diǎn)間的距離公式
①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結(jié)論：|P1P2|＝.
③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0，0)的距離|OP|＝.
(2)點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝.
【常用結(jié)論】
1．直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五種常用對(duì)稱關(guān)系
(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0，0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)．
(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．
(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．
(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．
(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　)
(3)直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3 T6改編)點(diǎn)A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為________．
(2)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3 T7改編)兩條平行線l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離為________．
(3)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.3 T1改編)兩條直線l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)是________．
(4)直線l1：px＋3y＋1＝0與直線l2：6x－2y－5＝0垂直，則p的值為________．
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　兩條直線的位置關(guān)系(多考向探究)
考向1　判斷兩條直線的位置關(guān)系
例1　(1)直線2x＋y＋1＝0和直線x＋2y＋1＝0的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
(2)(2024·四川宜賓敘州區(qū)第一中學(xué)期中)直線l1：2x－my＋8＝0和直線l2：mx＋2y－4＝0(m∈R)的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
【通性通法】
判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)
(1)斜率不存在的特殊情況．
(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
【鞏固遷移】
1．(多選)(2024·湖南郴州模擬)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為α1，α2，斜率分別為k1，k2，則下列命題正確的是(　　)
A．若斜率k1＝k2，則l1∥l2
B．若k1k2＝－1，則l1⊥l2
C．若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2
D．若α1＋α2＝π，則l1⊥l2
考向2　由兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù)
例2　(1)(2023·遼寧丹東二模)直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，則a＝(　　)
A．－2 B．1
C．－2或1 D．－1或2
(2)(2024·江蘇徐州模擬)若直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，則a＝________．
【通性通法】
解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問(wèn)題要“前思后想”
【鞏固遷移】
2．(2023·陜西安康統(tǒng)考二模)已知直線l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直線l2：(a－2)x＋y＋2＝0，則“a＝1”是“l(fā)1∥l2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．(2023·吉林統(tǒng)考二模)已知a>0，b>0，若直線l1：ax＋by－2＝0與直線l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，則a＋2b的最小值為________．
考點(diǎn)二　兩條直線的交點(diǎn)、距離公式(多考向探究)
考向1　兩條直線的交點(diǎn)
例3　過(guò)直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
【通性通法】
求過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法
(1)直接法：先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．
(2)共點(diǎn)直線系法：分離參數(shù)，假設(shè)直線方程中含有的參數(shù)為λ，則將直線方程化為f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，解方程組即可得定點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到所求的直線方程．
【鞏固遷移】
4．(2024·山西呂梁模擬)過(guò)直線x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交點(diǎn)，且與直線x＋2y－3＝0垂直的直線方程是________．
考向2　與距離有關(guān)的問(wèn)題
例4　(1)(2023·陜西咸陽(yáng)模擬)已知直線l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，則點(diǎn)P(1，2)到直線l2的距離d＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·福建廈門階段考試)若平面內(nèi)兩條平行線l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0間的距離為，則實(shí)數(shù)a＝________．
【通性通法】
求解距離問(wèn)題的思路
(1)點(diǎn)到直線的距離的求法：可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．
(2)兩條平行直線間的距離的求法：①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩條平行直線間的距離公式．
注意：(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.
(2)兩條平行直線間的距離公式要求兩條直線方程中x，y的系數(shù)分別相等．
【鞏固遷移】
5．(多選)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(－1，2)，且點(diǎn)A(2，3)，B(－4，5)到直線l的距離相等，則直線l的方程為(　　)
A．3x＋y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0
C．x＝－1 D．y＝2
6．(多選)(2023·山東濟(jì)南調(diào)研)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和直線l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
考點(diǎn)三　對(duì)稱問(wèn)題(多考向探究)
考向1　點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
例5　(1)過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為(　　)
A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0
(2)(2023·江蘇鎮(zhèn)江期中)直線l：y＝2x＋3關(guān)于點(diǎn)P(2，3)對(duì)稱的直線l′的方程是(　　)
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0
【通性通法】
兩類中心對(duì)稱問(wèn)題
(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于M(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足
(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩種方法
【鞏固遷移】
7．直線3x－2y＝0關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
8．(2024·河北張家口質(zhì)檢)光線從點(diǎn)A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B經(jīng)過(guò)的路程為(　　)
A．5 B．2
C．5 D．10
考向2　點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱
例6　(2024·河北張家口階段考試)點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(　　)
A．(－3，5) B．(－1，－4)
C．(4，1) D．(2，3)
【通性通法】
若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)對(duì)稱，則由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)．
【鞏固遷移】
9．(2023·廣東深圳模擬)已知點(diǎn)A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)關(guān)于直線4x＋3y＝11對(duì)稱，則a，b的值為(　　)
A．a(chǎn)＝－1，b＝2 B．a(chǎn)＝4，b＝－2
C．a(chǎn)＝2，b＝4 D．a(chǎn)＝4，b＝2
考向3　直線關(guān)于直線的對(duì)稱
例7　(2024·河南南陽(yáng)模擬)直線x－2y－1＝0關(guān)于直線y－x＝0對(duì)稱的直線方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
【通性通法】
求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的兩種方法
(1)在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程．
(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程．
特別地，若直線l1與直線l平行，則在直線l1上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可得直線l2的方程．
【鞏固遷移】
10．已知直線l1：x－y＋3＝0與直線l：x－y－1＝0，若直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為l2，則直線l2的方程為________．
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