資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四節　直線與圓、圓與圓的位置關系
課標解讀 考向預測
1.能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系. 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題. 近三年主要考查了直線與圓有公共點求參數的取值范圍、直線與圓相切以及弦長最值問題，主要以選擇題、填空題的形式出現，常結合基本不等式、函數等知識考查最值．預計2025年本部分內容仍會考查，以選擇題或設問方式為開放性的填空題為主，難度中等.
【知識梳理】
1．直線與圓的位置關系
設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.
位置關系 相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
幾何觀點 d>r d＝r d2．圓與圓的位置關系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
位置關系 圖形 幾何法 公切線條數
外離 d>r1＋r2 四條
外切 d＝r1＋r2 三條
相交 |r1－r2|內切 d＝|r1－r2| 一條
內含 0≤d【常用結論】
1．圓的切線方程常用的結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．直線被圓截得的弦長的求法
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝2.
(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝·.
3．圓與圓的位置關系的常用結論
(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．
(2)兩個圓系方程
①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若直線平分圓的周長，則直線一定過圓心．(　　)
(2)若兩圓相切，則有且只有一條公切線．(　　)
(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．(　　)
(4)在圓中最長的弦是直徑．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題2.5 T1改編)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系為(　　)
A．相切
B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心
D．相離
(2)(人教A選擇性必修第一冊2.5.2練習T2改編)圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2＋4y＝0的位置關系是(　　)
A．外離 B．外切
C．相交 D．內切
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題2.5 T2改編)以點(3，－1)為圓心且與直線3x＋4y＝0相切的圓的方程是________________．
(4)(人教A選擇性必修第一冊習題2.2 T3改編)已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直線被圓C所截得的弦的中點為M(2，3)，則該直線的方程為________________．
【考點探究】
考點一　直線與圓的位置關系
例1　(1)(2023·江西九江二模)直線l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)與圓C：x2＋(y－1)2＝16的位置關系為________．
(2)(2024·廣東湛江廉江中學高三第二次月考)已知直線x＋y＋2＝0與圓x2＋y2＝r2相切，則r的值為________．
【通性通法】
判斷直線與圓的位置關系的兩種方法
特別地，對于過定點的直線，也可以通過定點在圓內部或圓上判定直線和圓有公共點．
【鞏固遷移】
1．(2023·陜西榆林模擬)已知點P(x0，y0)為圓C：x2＋y2＝2上的動點，則直線l：x0x－y0y＝2與圓C的位置關系為(　　)
A．相交 B．相離
C．相切 D．相切或相交
2．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為________．
考點二　圓的弦長、切線問題(多考向探究)
考向1　弦長問題
例2　(1)(2024·四川西昌期末)直線l：x－ycosθ＝0被圓x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦長為(　　)
A． B．
C． D．3
(2)(2023·海南華僑中學二模)已知直線x－y＋8＝0和圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點．若|AB|＝6，則r的值為________．
【通性通法】
求直線被圓截得的弦長的兩種方法
【鞏固遷移】
3．設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0，3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
4．(2023·新課標Ⅱ卷)已知直線l：x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC的面積為” 的m的一個值：________．
考向2　切線問題
例3　(1)在平面直角坐標系中，過點A(3，5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為(　　)
A．5x－12y＋45＝0
B．y＋5＝0
C．x－3＝0或5x－12y＋45＝0
D．y－5＝0或12x－5y＋45＝0
(2)由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為________．
【通性通法】
1．求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系，求得切線斜率為－，由點斜式方程可求得切線方程，如果k＝0或k不存在，則由圖形可直接得到切線方程為y＝y0或x＝x0.
2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程
當切線斜率存在時，圓的切線方程的求法：
(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求得k.
(2)代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0，進而求得k.
注意驗證斜率不存在的情況．
3．涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(或最值)問題，可以利用幾何圖形求解，也可以把所求線段長表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求解．
【鞏固遷移】
5．(2023·河南開封模擬)已知圓M過點A(1，3)，B(1，－1)，C(－3，1)，則圓M在點A處的切線方程為(　　)
A．3x＋4y－15＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．4x＋3y－13＝0 D．4x－3y＋5＝0
6．(2023·新課標Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝(　　)
A．1 B．
C． D．
7．(2024·陜西西安碑林區校級月考)已知圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，點T(－3，4)，從坐標原點O向圓M作兩條切線OP，OQ，切點分別為P，Q，若切線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，k1·k2＝－1，則|TM|的取值范圍為________．
考點三　圓與圓的位置關系
例4　(1)(2024·廣東揭陽期末)圓O1：x2＋y2＝1與圓O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置關系為(　　)
A．相交 B．相離
C．外切 D．內切
(2)(多選)(2023·吉林期中)點P在圓C1：x2＋y2＝1上，點Q在圓C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，則(　　)
A．|PQ|的最小值為0　　　　
B．|PQ|的最大值為7
C．兩個圓心所在直線的斜率為－
D．兩個圓相交弦所在直線的方程為6x－8y－25＝0
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程：________．
【通性通法】
(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
【鞏固遷移】
8．(2024·安徽蕪湖模擬)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是(　　)
A．內切 B．相交
C．外切 D．相離
9．(2023·云南麗江期中)圓C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0與圓C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0公切線的條數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
10．(2024·江蘇啟東中學階段考試)已知P是圓M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上一動點，A，B是圓C：x2＋2x＋y2＋2y－2＝0上的兩點，若|AB|＝2，則|＋|的取值范圍為________．
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第四節　直線與圓、圓與圓的位置關系
課標解讀 考向預測
1.能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系. 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題. 近三年主要考查了直線與圓有公共點求參數的取值范圍、直線與圓相切以及弦長最值問題，主要以選擇題、填空題的形式出現，常結合基本不等式、函數等知識考查最值．預計2025年本部分內容仍會考查，以選擇題或設問方式為開放性的填空題為主，難度中等.
【知識梳理】
1．直線與圓的位置關系
設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.
位置關系 相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
幾何觀點 d>r d＝r d2．圓與圓的位置關系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
位置關系 圖形 幾何法 公切線條數
外離 d>r1＋r2 四條
外切 d＝r1＋r2 三條
相交 |r1－r2|內切 d＝|r1－r2| 一條
內含 0≤d【常用結論】
1．圓的切線方程常用的結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．直線被圓截得的弦長的求法
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構成直角三角形，弦長|AB|＝2.
(2)代數法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝·.
3．圓與圓的位置關系的常用結論
(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．
(2)兩個圓系方程
①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若直線平分圓的周長，則直線一定過圓心．(　　)
(2)若兩圓相切，則有且只有一條公切線．(　　)
(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．(　　)
(4)在圓中最長的弦是直徑．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題2.5 T1改編)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系為(　　)
A．相切
B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心
D．相離
答案　B
解析　圓心為(0，0)，到直線y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距離d＝＝，而0<<1，所以直線與圓相交，但直線不過圓心．故選B.
(2)(人教A選擇性必修第一冊2.5.2練習T2改編)圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2＋4y＝0的位置關系是(　　)
A．外離 B．外切
C．相交 D．內切
答案　C
解析　圓O1：x2＋y2－2x＝0的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心為O1(1，0)，半徑為r1＝1，圓O2：x2＋y2＋4y＝0的標準方程為x2＋(y＋2)2＝4，圓心為O2(0，－2)，半徑為r2＝2，所以兩圓的圓心距為|O1O2|＝＝，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|(3)(人教A選擇性必修第一冊習題2.5 T2改編)以點(3，－1)為圓心且與直線3x＋4y＝0相切的圓的方程是________________．
答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝1
解析　由題意得，r＝＝1，因此圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
(4)(人教A選擇性必修第一冊習題2.2 T3改編)已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直線被圓C所截得的弦的中點為M(2，3)，則該直線的方程為________________．
答案　y＝x＋1
解析　圓C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化為標準方程為(x－3)2＋(y－2)2＝9，則圓心為C(3，2)，kCM＝＝－1.設所求的直線為m.由圓的幾何性質可知，km·kCM＝－1，所以km＝1，所以所求的直線方程為y－3＝1·(x－2)，即y＝x＋1.
【考點探究】
考點一　直線與圓的位置關系
例1　(1)(2023·江西九江二模)直線l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)與圓C：x2＋(y－1)2＝16的位置關系為________．
答案　相交
解析　由mx－y－2＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)－y－2＝0(m∈R)，令解得所以直線l過定點(－1，－2)，又因為(－1)2＋(－2－1)2＝10<16，得(－1，－2)在圓內，所以直線l與圓C總相交．
(2)(2024·廣東湛江廉江中學高三第二次月考)已知直線x＋y＋2＝0與圓x2＋y2＝r2相切，則r的值為________．
答案　±
解析　由直線x＋y＋2＝0與圓x2＋y2＝r2相切，得＝|r|，即|r|＝，故r的值為±.
【通性通法】
判斷直線與圓的位置關系的兩種方法
特別地，對于過定點的直線，也可以通過定點在圓內部或圓上判定直線和圓有公共點．
【鞏固遷移】
1．(2023·陜西榆林模擬)已知點P(x0，y0)為圓C：x2＋y2＝2上的動點，則直線l：x0x－y0y＝2與圓C的位置關系為(　　)
A．相交 B．相離
C．相切 D．相切或相交
答案　C
解析　由題意可得x＋y＝2，于是圓心C到直線l的距離d＝＝＝＝r，所以直線l與圓C相切．故選C.
2．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為________．
答案　(－3，3)
解析　由圓的方程可知圓心為(0，0)，半徑為2.因為圓上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d＜r＋1＝3，即d＝<3，解得－3＜a＜3.
考點二　圓的弦長、切線問題(多考向探究)
考向1　弦長問題
例2　(1)(2024·四川西昌期末)直線l：x－ycosθ＝0被圓x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦長為(　　)
A． B．
C． D．3
答案　C
解析　因為圓x2＋y2－6x＋5＝0，所以其圓心為(3，0)，半徑r＝2，于是圓心(3，0)到直線l：x－ycosθ＝0的距離為d＝，因為cosθ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]，所以d＝∈，因為直線l與圓相交，所以d<2，所以d∈，又因為弦長為2＝2，所以當d取得最小值時，弦長取得最大值，為.故選C.
(2)(2023·海南華僑中學二模)已知直線x－y＋8＝0和圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點．若|AB|＝6，則r的值為________．
答案　5
解析　因為圓心(0，0)到直線x－y＋8＝0的距離d＝＝4，由|AB|＝2，可得6＝2，解得r＝5.
【通性通法】
求直線被圓截得的弦長的兩種方法
【鞏固遷移】
3．設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0，3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
答案　B
解析　當直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時，弦長為2，符合題意；當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－.綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0.故選B.
4．(2023·新課標Ⅱ卷)已知直線l：x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC的面積為” 的m的一個值：________．
答案　2
解析　設點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±2或m＝±.
考向2　切線問題
例3　(1)在平面直角坐標系中，過點A(3，5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為(　　)
A．5x－12y＋45＝0
B．y＋5＝0
C．x－3＝0或5x－12y＋45＝0
D．y－5＝0或12x－5y＋45＝0
答案　C
解析　因為32＋52－2×3－4×5＋1>0，點(3，5)在圓外，且x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圓心為(1，2)，半徑為2.若切線的斜率不存在，即x＝3，圓心(1，2)到直線x＝3的距離為2，故直線x＝3是圓的切線；若切線的斜率存在，設切線方程為y－5＝k(x－3)，即kx－y－3k＋5＝0，則＝2，則＝2，兩邊平方得12k＝5，k＝，所以y－5＝(x－3)，即5x－12y＋45＝0.綜上，切線的方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.故選C.
(2)由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為________．
答案　
解析　設直線上一點P，切點為Q，圓心為M，M的坐標為(3，0)，則|PQ|即為切線長，|MQ|為圓M的半徑，長度為1，|PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉化為求直線y＝x＋1上的點到圓心M的最小距離．設圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2，所以|PM|的最小值為2，此時|PQ|＝＝＝.
【通性通法】
1．求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系，求得切線斜率為－，由點斜式方程可求得切線方程，如果k＝0或k不存在，則由圖形可直接得到切線方程為y＝y0或x＝x0.
2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程
當切線斜率存在時，圓的切線方程的求法：
(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求得k.
(2)代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0，進而求得k.
注意驗證斜率不存在的情況．
3．涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(或最值)問題，可以利用幾何圖形求解，也可以把所求線段長表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數的形式，利用求函數值域的方法求解．
【鞏固遷移】
5．(2023·河南開封模擬)已知圓M過點A(1，3)，B(1，－1)，C(－3，1)，則圓M在點A處的切線方程為(　　)
A．3x＋4y－15＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．4x＋3y－13＝0 D．4x－3y＋5＝0
答案　A
解析　設圓M的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由題可得
解得所以圓M的方程為x2＋y2＋x－2y－5＝0，圓心為M，所以直線AM的斜率kAM＝＝，所以圓M在點A處的切線方程為y－3＝－(x－1)，即3x＋4y－15＝0.故選A.
6．(2023·新課標Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　B
解析　解法一：因為x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圓心C(2，0)，半徑r＝，過點P(0，－2)作圓C的切線，切點為A，B，因為|PC|＝＝2，則|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，則sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos2∠APC
＝cos2∠APC－sin2∠APC＝
－＝－<0，即∠APB為鈍角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.故選B.
解法二：圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心C(2，0)，半徑r＝，過點P(0，－2)作圓C的切線，切點為A，B，連接AB，可得|PC|＝＝2，則|PA|＝|PB|＝＝，因為|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，則3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，即∠APB為鈍角，則cosα＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，又α為銳角，所以sinα＝＝.故選B.
解法三：圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心C(2，0)，半徑r＝，若切線斜率不存在，則切線方程為x＝0，則圓心到切線的距離d＝20.設兩切線斜率分別為k1，k2，則k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝＝2，所以tanα＝＝，即＝，可得cosα＝，則sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，又α∈，則sinα>0，解得sinα＝.故選B.
7．(2024·陜西西安碑林區校級月考)已知圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，點T(－3，4)，從坐標原點O向圓M作兩條切線OP，OQ，切點分別為P，Q，若切線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，k1·k2＝－1，則|TM|的取值范圍為________．
答案　[1，9]
解析　由題意可知，直線OP的方程為y＝k1x，直線OQ的方程為y＝k2x，∵OP，OQ與圓M相切，∴＝2，＝2，分別對兩個式子進行兩邊平方，整理可得∴k1，k2是方程k2(8－x)＋2kx0y0＋8－y＝0的兩個不相等的實數根，易知8－x≠0，∴k1·k2＝，又k1·k2＝－1，∴＝－1，即x＋y＝16，則圓心M的軌跡是以(0，0)為圓心，4為半徑的圓．又|TO|＝＝5，∴|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，∴1≤|TM|≤9.
考點三　圓與圓的位置關系
例4　(1)(2024·廣東揭陽期末)圓O1：x2＋y2＝1與圓O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置關系為(　　)
A．相交 B．相離
C．外切 D．內切
答案　A
解析　圓O1：x2＋y2＝1的圓心為O1(0，0)，半徑為r1＝1.圓O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圓心為O2(2，0)，半徑為r2＝.|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|(2)(多選)(2023·吉林期中)點P在圓C1：x2＋y2＝1上，點Q在圓C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，則(　　)
A．|PQ|的最小值為0　　　　
B．|PQ|的最大值為7
C．兩個圓心所在直線的斜率為－
D．兩個圓相交弦所在直線的方程為6x－8y－25＝0
答案　BC
解析　根據題意，圓C1：x2＋y2＝1，其圓心C1(0，0)，半徑R＝1，圓C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圓心C2(3，－4)，半徑r＝1，圓心距|C1C2|＝＝5，則|PO|的最小值為|C1C2|－R－r＝3，最大值為|C1C2|＋R＋r＝7，故A錯誤，B正確；對于C，圓心C1(0，0)，圓心C2(3，－4)，則兩個圓心所在直線的斜率k＝＝－，故C正確；對于D，兩圓的圓心距|C1C2|＝5，則|C1C2|>R＋r＝2，兩圓外離，不存在公共弦，故D錯誤．故選BC.
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程：________．
答案　x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0
解析　
如圖，因為圓x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心為A(3，4)，半徑r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以兩圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線l1的方程為x＝－1.②另一條公切線l2與公切線l1關于過兩圓圓心的直線l對稱．易知過兩圓圓心的直線l的方程為y＝x，由得由對稱性可知公切線l2過點.設公切線l2的方程為y＋＝k(x＋1)，則點O(0，0)到l2的距離為1，所以1＝，解得k＝，所以公切線l2的方程為y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③還有一條公切線l3與直線l：y＝x垂直．設公切線l3的方程為y＝－x＋t，易知t＞0，則點O(0，0)到l3的距離為1，所以1＝，解得t＝，所以公切線l3的方程為y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.綜上，所求直線方程為x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
【通性通法】
(1)判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
【鞏固遷移】
8．(2024·安徽蕪湖模擬)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是(　　)
A．內切 B．相交
C．外切 D．相離
答案　B
解析　由題意，得圓M的標準方程為x2＋(y－a)2＝a2，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以2＝2，解得a＝2，圓M、圓N的圓心距|MN|＝，小于兩圓半徑之和3，大于兩圓半徑之差1，故兩圓相交．故選B.
9．(2023·云南麗江期中)圓C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0與圓C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0公切線的條數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　根據題意，圓C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0，即(x－3)2＋(y－5)2＝36，其圓心為(3，5)，半徑r＝6；圓C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y＋7)2＝49，其圓心為(－2，－7)，半徑R＝7，兩圓的圓心距|C1C2|＝＝13＝R＋r，所以兩圓相外切，其公切線有3條．故選C.
10．(2024·江蘇啟東中學階段考試)已知P是圓M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上一動點，A，B是圓C：x2＋2x＋y2＋2y－2＝0上的兩點，若|AB|＝2，則|＋|的取值范圍為________．
答案　[4－2，8＋2]
解析　由題意知，點P所在圓M：(x－2)2＋(y－2)2＝2，且A，B所在圓C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圓心為C(－1，－1)，半徑為2.設D是AB的中點，連接CD，則CD垂直平分AB，則|CD|＝＝1，所以點D在以C為圓心，1為半徑的圓上，即點D所在圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，又由＋＝2，可得|＋|＝2||，||即為圓M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上的點與圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的點的距離，因為|MC1|＝＝3，所以3－1－≤||≤3＋1＋，即|＋|的取值范圍為[4－2，8＋2]．
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