資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第五節　橢圓
第1課時　橢圓的定義、標準方程及其簡單幾何性質
課標解讀 考向預測
1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程. 2.掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率). 3.掌握橢圓的簡單應用. 近三年高考中，以選擇題、填空題、解答題的形式考查了橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質，難度中檔．預計2025年高考會保持不變，繼續考查橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.
【知識梳理】
1．橢圓的定義
把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
2．橢圓的標準方程及簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
軸長 短軸長為2b，長軸長為2a
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
對稱性 對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點
離心率 e＝(0a，b，c的關系 a2＝b2＋c2
【常用結論】
橢圓的焦點三角形
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ.
(1)當P為短軸端點時，θ最大，S△F1PF2最大．
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(　　)
(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．(　　)
(3)＋＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓．(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)與＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題3.1 T3改編)已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結論正確的是(　　)
A．長軸長為 B．焦距為
C．短軸長為 D．離心率為
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題3.1 T5改編)已知點P為橢圓＋＝1上的一點，B1，B2分別為橢圓的上、下頂點，若△PB1B2的面積為6，則滿足條件的點P的個數為(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題3.1 T1改編)已知點M(x，y)在運動過程中，總滿足關系式＋＝8，則點M的軌跡方程為________________．
(4)(人教A選擇性必修第一冊習題3.1 T4改編)已知橢圓C的焦點在x軸上，且離心率為，則橢圓C的方程可以為________________(寫出滿足題意的一個橢圓方程即可)．
【考點探究】
考點一　橢圓的定義及其應用(多考向探究)
考向1　利用橢圓的定義求軌跡方程
例1　(2024·山東煙臺一中質檢)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設A是圓上任意一點，N(2，0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡方程為________．
【通性通法】
在求動點的軌跡時，如果能夠判斷動點的軌跡滿足橢圓的定義，那么可以直接求解其軌跡方程．
【鞏固遷移】
1．△ABC的兩個頂點為A(－3，0)，B(3，0)，△ABC的周長為16，則頂點C的軌跡方程為(　　)
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0)
C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
考向2　利用橢圓的定義解決焦點三角形
問題
例2　(1)如圖，△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是________．
(2)設點P為橢圓C：＋＝1(a>2)上一點，F1，F2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
解法二：S△PF1F2＝b2tan＝4tan30°＝.
【通性通法】
將定義和余弦定理結合使用可以解決焦點三角形的周長和面積問題．
【鞏固遷移】
2．(2023·全國甲卷)已知橢圓＋＝1，F1，F2為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，cos∠F1PF2＝，則|PO|＝(　　)
A． B．
C． D．
考向3　利用橢圓的定義求最值
例3　已知F1，F2是橢圓C：＋＝1的兩個焦點，點M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，則|MF1|·|NF1|的最大值為(　　)
A．9 B．20
C．25 D．30
【通性通法】
在橢圓中，結合|PF1|＋|PF2|＝2a，運用基本不等式或三角形任意兩邊之和大于第三邊可求最值．
【鞏固遷移】
3．(2024·河北邯鄲模擬)已知F是橢圓＋＝1的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1，1)是一定點，則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________．
考點二　橢圓的標準方程
例4　(1)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則橢圓C的方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)(2024·山西大同模擬)過點(2，－)，且與橢圓＋＝1有相同離心率的橢圓的標準方程為________________．
【通性通法】
1．求橢圓方程的常用方法
(1)定義法：根據橢圓的定義，確定a2，b2的值，結合焦點位置寫出橢圓方程．
(2)待定系數法求橢圓標準方程的一般步驟
注意：一定先判斷橢圓的焦點位置，即先定型后定量．
2．橢圓標準方程的兩個應用
(1)方程＋＝1(a>0，b>0)與＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相同的離心率．
(2)與橢圓＋＝1(a>b>0)共焦點的橢圓系方程為＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰當選用橢圓系方程，可使運算更簡便．
【鞏固遷移】
4．已知F1，F2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，若P在橢圓上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則橢圓C的方程為________________．
5．已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過P1(，1)，P2(－，－)兩點，則該橢圓的方程為________________．
考點三　橢圓的簡單幾何性質(多考向探究)
考向1　橢圓的長軸、短軸、焦距
例5　已知橢圓＋＝1與橢圓＋＝1(k<9，且k≠0)，則兩橢圓必定(　　)
A．有相等的長軸長 B．有相等的焦距
C．有相等的短軸長 D．有相同的離心率
【通性通法】
求解與橢圓幾何性質有關的問題時，要理清頂點、焦點、長軸長、短軸長、焦距等基本量的內在聯系．
【鞏固遷移】
6．若連接橢圓短軸的一個頂點與兩焦點的三角形是等邊三角形，則長軸長與短軸長之比為(　　)
A．2 B．2
C． D．4
7．(2024·河北滄州統考期末)焦點在x軸上的橢圓＋＝1的長軸長為4，則其焦距為________．
考向2　橢圓的離心率
例6　(1)(2024·江蘇鎮江模擬)設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作x軸的垂線與C交于A，B兩點，F1B與y軸交于點D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率為________．
(2)(2024·廣東七校聯考)已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，滿足·＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是________．
【通性通法】
求橢圓離心率的方法
方法一 直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解
方法二 由a與b的關系求離心率，利用變形公式e＝求解
方法三 構造a，c的齊次式，可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e
注意：解題的關鍵是借助圖形建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，轉化為e的關系式．
【鞏固遷移】
8．(2023·新課標Ⅰ卷)設橢圓C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝e1，則a＝(　　)
A． B．
C． D．
9．(2024·廣東六校聯考)設F1，F2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x＝上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是________．
考向3　與橢圓幾何性質有關的最值(范圍)問題
例7　(2024·石家莊質檢)設點M是橢圓C：＋＝1上的動點，點N是圓E：(x－1)2＋y2＝1上的動點，且直線MN與圓E相切，則|MN|的最小值是________．
【通性通法】
與橢圓有關的最值(范圍)問題的求解策略
【鞏固遷移】
10．如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1(b>0)的離心率e＝，F，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________．
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第五節　橢圓
第1課時　橢圓的定義、標準方程及其簡單幾何性質
課標解讀 考向預測
1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程. 2.掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率). 3.掌握橢圓的簡單應用. 近三年高考中，以選擇題、填空題、解答題的形式考查了橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質，難度中檔．預計2025年高考會保持不變，繼續考查橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.
【知識梳理】
1．橢圓的定義
把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
2．橢圓的標準方程及簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
軸長 短軸長為2b，長軸長為2a
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
對稱性 對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點
離心率 e＝(0a，b，c的關系 a2＝b2＋c2
【常用結論】
橢圓的焦點三角形
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ.
(1)當P為短軸端點時，θ最大，S△F1PF2最大．
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(　　)
(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．(　　)
(3)＋＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓．(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)與＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題3.1 T3改編)已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結論正確的是(　　)
A．長軸長為 B．焦距為
C．短軸長為 D．離心率為
答案　D
解析　把橢圓方程16x2＋4y2＝1化為標準方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，則長軸長2a＝1，焦距2c＝，短軸長2b＝，離心率e＝＝.故選D.
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題3.1 T5改編)已知點P為橢圓＋＝1上的一點，B1，B2分別為橢圓的上、下頂點，若△PB1B2的面積為6，則滿足條件的點P的個數為(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
答案　C
解析　在橢圓＋＝1中，a＝4，b＝3，則短軸|B1B2|＝2b＝6，設橢圓上點P的坐標為(m，n)，由△PB1B2的面積為6，得|B1B2|·|m|＝6，解得m＝±2，將m＝±2代入橢圓方程，得n＝±，所以符合題意的點P的坐標為或或或，共4個滿足條件的點P.故選C.
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題3.1 T1改編)已知點M(x，y)在運動過程中，總滿足關系式＋＝8，則點M的軌跡方程為________________．
答案?。?
解析　因為＋＝8>4，所以點M的軌跡是以(0，2)，(0，－2)為焦點的橢圓，設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由題意得2a＝8，即a＝4，則b2＝a2－c2＝12，所以點M的軌跡方程為＋＝1.
(4)(人教A選擇性必修第一冊習題3.1 T4改編)已知橢圓C的焦點在x軸上，且離心率為，則橢圓C的方程可以為________________(寫出滿足題意的一個橢圓方程即可)．
答案?。?(答案不唯一)
解析　因為焦點在x軸上，所以設橢圓的方程為＋＝1，a>b>0，因為離心率為，所以＝，所以＝＝，則＝.所以橢圓C的方程可以為＋＝1(答案不唯一)．
【考點探究】
考點一　橢圓的定義及其應用(多考向探究)
考向1　利用橢圓的定義求軌跡方程
例1　(2024·山東煙臺一中質檢)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設A是圓上任意一點，N(2，0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡方程為________．
答案?。?
解析　點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由橢圓的定義知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，且2a＝6，2c＝4，故所求的軌跡方程為＋＝1.
【通性通法】
在求動點的軌跡時，如果能夠判斷動點的軌跡滿足橢圓的定義，那么可以直接求解其軌跡方程．
【鞏固遷移】
1．△ABC的兩個頂點為A(－3，0)，B(3，0)，△ABC的周長為16，則頂點C的軌跡方程為(　　)
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0)
C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
答案　A
解析　由題意，知點C到A，B兩點的距離之和為10，故頂點C的軌跡為以A(－3，0)，B(3，0)為焦點，長軸長為10的橢圓，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.其方程為＋＝1.又A，B，C三點不能共線，所以＋＝1(y≠0)．故選A.
考向2　利用橢圓的定義解決焦點三角形
問題
例2　(1)如圖，△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是________．
答案　4
解析　因為a2＝3，所以a＝.△ABC的周長為|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4.
(2)設點P為橢圓C：＋＝1(a>2)上一點，F1，F2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
答案　
解析　解法一：由題意，知c＝.又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos60°＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，∴|PF1||PF2|＝，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60°＝××＝.
解法二：S△PF1F2＝b2tan＝4tan30°＝.
【通性通法】
將定義和余弦定理結合使用可以解決焦點三角形的周長和面積問題．
【鞏固遷移】
2．(2023·全國甲卷)已知橢圓＋＝1，F1，F2為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，cos∠F1PF2＝，則|PO|＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　解法一：因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12?、冢摿ⅱ佗?，解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)，所以|PO|＝||＝|＋|，即||＝|＋|
＝
＝ ×＝.故選B.
解法二：設∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜，
所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tanθ，由
cos∠F1PF2＝cos2θ＝＝＝，解得tanθ＝.由橢圓的方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝|F1F2|×|yP|＝×2×|yP|＝6×，解得y＝3，所以x＝9×＝，因此|PO|＝＝＝.故選B.
解法三：因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，聯立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中線定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2，解得|PO|＝.故選B.
考向3　利用橢圓的定義求最值
例3　已知F1，F2是橢圓C：＋＝1的兩個焦點，點M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，則|MF1|·|NF1|的最大值為(　　)
A．9 B．20
C．25 D．30
答案　C
解析　根據橢圓的定義，得|MF1|＋|MF2|＝8，|NF1|＋|NF2|＝8，因為|MF2|＋|NF2|＝6，所以8－|MF1|＋8－|NF1|＝6，即|MF1|＋|NF1|＝10≥2，當且僅當|MF1|＝|NF1|＝5時，等號成立，所以|MF1|·|NF1|≤25，則|MF1|·|NF1|的最大值為25.故選C.
【通性通法】
在橢圓中，結合|PF1|＋|PF2|＝2a，運用基本不等式或三角形任意兩邊之和大于第三邊可求最值．
【鞏固遷移】
3．(2024·河北邯鄲模擬)已知F是橢圓＋＝1的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1，1)是一定點，則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________．
答案　6＋　6－
解析　由題意知a＝3，b＝，c＝2，F(－2，0)．設橢圓的右焦點為F′，則|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.當P，A，F′三點共線時，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝或最小值－|AF′|＝－.所以|PA|＋|PF|的最大值為6＋，最小值為6－.
考點二　橢圓的標準方程
例4　(1)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則橢圓C的方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　B
解析　設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，由橢圓的定義，得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A為橢圓的短軸端點．如圖，不妨設A(0，b)，又F2(1，0)，＝2，∴B.將B點坐標代入橢圓方程＋＝1，得＋＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴橢圓C的方程為＋＝1.故選B.
(2)(2024·山西大同模擬)過點(2，－)，且與橢圓＋＝1有相同離心率的橢圓的標準方程為________________．
答案?。?或＋＝1
解析　橢圓＋＝1的離心率是e＝，當焦點在x軸上時，設所求橢圓的標準方程是＋＝1(a>b>0)，∴解得
∴所求橢圓的標準方程為＋＝1；當焦點在y軸上時，設所求橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，∴∴
∴所求橢圓的標準方程為＋＝1.故所求橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1.
【通性通法】
1．求橢圓方程的常用方法
(1)定義法：根據橢圓的定義，確定a2，b2的值，結合焦點位置寫出橢圓方程．
(2)待定系數法求橢圓標準方程的一般步驟
注意：一定先判斷橢圓的焦點位置，即先定型后定量．
2．橢圓標準方程的兩個應用
(1)方程＋＝1(a>0，b>0)與＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相同的離心率．
(2)與橢圓＋＝1(a>b>0)共焦點的橢圓系方程為＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰當選用橢圓系方程，可使運算更簡便．
【鞏固遷移】
4．已知F1，F2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，若P在橢圓上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則橢圓C的方程為________________．
答案　＋＝1
解析　由|PF1|＋|PF2|＝4得2a＝4，解得a＝2.又P在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1，解得b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1.
5．已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過P1(，1)，P2(－，－)兩點，則該橢圓的方程為________________．
答案?。?
解析　設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因為橢圓經過P1，P2兩點，所以點P1，P2的坐標滿足橢圓方程，則
解得所以所求橢圓的方程為＋＝1.
考點三　橢圓的簡單幾何性質(多考向探究)
考向1　橢圓的長軸、短軸、焦距
例5　已知橢圓＋＝1與橢圓＋＝1(k<9，且k≠0)，則兩橢圓必定(　　)
A．有相等的長軸長 B．有相等的焦距
C．有相等的短軸長 D．有相同的離心率
答案　B
解析　由橢圓＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以長軸長是10，短軸長是6，焦距是8.在橢圓＋＝1(k<9，且k≠0)中，因為a1＝，b1＝，c1＝4，所以其長軸長是2，短軸長是2，焦距是8.所以兩橢圓有相等的焦距．故選B.
【通性通法】
求解與橢圓幾何性質有關的問題時，要理清頂點、焦點、長軸長、短軸長、焦距等基本量的內在聯系．
【鞏固遷移】
6．若連接橢圓短軸的一個頂點與兩焦點的三角形是等邊三角形，則長軸長與短軸長之比為(　　)
A．2 B．2
C． D．4
答案　C
解析　因為連接橢圓短軸的一個頂點與兩焦點的三角形是等邊三角形，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以b＝c，故＝＝＝，所以長軸長與短軸長之比為.故選C.
7．(2024·河北滄州統考期末)焦點在x軸上的橢圓＋＝1的長軸長為4，則其焦距為________．
答案　6
解析　由題意，得2a＝4，所以a2＝12，c2＝a2－b2＝12－3＝9，解得c＝3，故焦距2c＝6.
考向2　橢圓的離心率
例6　(1)(2024·江蘇鎮江模擬)設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作x軸的垂線與C交于A，B兩點，F1B與y軸交于點D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率為________．
答案　
解析　由題意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因為過F2且與x軸垂直的直線為x＝c，由橢圓的對稱性，可設它與橢圓的交點為A，B.因為AB平行于y軸，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D為線段F1B的中點，又|AF1|＝|BF1|，則△AF1B為等邊三角形．
解法一：由|F1F2|＝|AF2|，可知2c＝·，即b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，即e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)．
解法二：由|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，可知|AF1|＝|BF1|＝|AB|＝a，又|AF1|sin60°＝|F1F2|，所以a×＝2c，解得＝，即e＝.
解法三：由|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，可知|AB|＝|AF1|＝|BF1|＝a，即＝a，即2a2＝3b2，所以e＝＝＝.
(2)(2024·廣東七校聯考)已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，滿足·＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是________．
答案　
解析　根據橢圓的對稱性，不妨設焦點在x軸上的橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，設F1(－c，0)，F2(c，0)．
解法一：設M(x0，y0)，·＝0 (－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝0 x－c2＋y＝0 y＝c2－x，點M(x0，y0)在橢圓內部，有＋<1 b2x＋a2(c2－x)－a2b2<0 x>2a2－，要想該不等式恒成立，只需2a2－<0 2a2c20 0解法二：由·＝0，可知點M在以F1F2為直徑的圓上，即圓x2＋y2＝c2在橢圓＋＝1(a>b>0)內部，所以c0，所以0【通性通法】
求橢圓離心率的方法
方法一 直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解
方法二 由a與b的關系求離心率，利用變形公式e＝求解
方法三 構造a，c的齊次式，可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e
注意：解題的關鍵是借助圖形建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，轉化為e的關系式．
【鞏固遷移】
8．(2023·新課標Ⅰ卷)設橢圓C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝e1，則a＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故選A.
9．(2024·廣東六校聯考)設F1，F2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x＝上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是________．
答案　
解析　設P，F1(－c，0)，F2(c，0)，由線段PF1的中垂線過點F2，得|PF2|＝|F1F2|，即 ＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0考向3　與橢圓幾何性質有關的最值(范圍)問題
例7　(2024·石家莊質檢)設點M是橢圓C：＋＝1上的動點，點N是圓E：(x－1)2＋y2＝1上的動點，且直線MN與圓E相切，則|MN|的最小值是________．
答案　
解析　由題意知，圓E的圓心為E(1，0)，半徑為1.因為直線MN與圓E相切于點N，所以NE⊥MN，且|NE|＝1.又E(1，0)為橢圓C的右焦點，所以2≤|ME|≤4，所以當|ME|＝2時，|MN|取得最小值，又|MN|＝，所以|MN|min＝＝.
【通性通法】
與橢圓有關的最值(范圍)問題的求解策略
【鞏固遷移】
10．如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1(b>0)的離心率e＝，F，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________．
答案　4
解析　由題意，知a＝2，因為e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故橢圓的方程為＋＝1.設點P的坐標為(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因為F(－1，0)，A(2，0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，所以當x0＝－2時，·取得最大值4.
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