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第六節　雙曲線
第1課時　雙曲線的定義、標準方程及其簡單幾何性質
課標解讀 考向預測
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程. 2.掌握雙曲線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線). 3.了解雙曲線的簡單應用. 近三年考查了雙曲線的定義、標準方程及幾何性質，其中對雙曲線的定義、標準方程的考查以解答題為主，幾何性質主要考查了離心率和漸近線，題型以選擇題、填空題為主．預計2025年高考本部分內容仍是考查的重點，題型以選擇題、填空題為主，難度中檔.
【知識梳理】
1．雙曲線的定義
把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
圖形
性質 焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范圍 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實半軸長：a，虛半軸長：b
離心率 e＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【常用結論】
1．雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，頂點到兩條漸近線的距離為常數.
2．雙曲線上的任意點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數.
3．若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
4．離心率e＝＝＝ .
5.雙曲線上一點P(x0，y0)與兩焦點F1，F2構成的△PF1F2為焦點三角形，設∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)到兩定點的距離差的絕對值等于常數的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　)
(3)雙曲線－＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是±＝0.(　　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題3.2 T3改編)雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　依題意知，雙曲線－x2＝1的焦點在
y軸上，實半軸長a＝，虛半軸長b＝1，所以雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是y＝±x.
(2)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為(　　)
A． B．5
C． D．2
答案　A
解析　由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.故選A.
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題3.2 T1改編)設P是雙曲線－＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________．
答案　17
解析　根據雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8，因為|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
(4)(人教A選擇性必修第一冊習題3.2 T6改編)對稱軸為坐標軸，且經過點P(5，3)的等軸雙曲線的標準方程為________．
答案　－＝1
解析　設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，則λ＝52－32＝16，所以雙曲線的方程為x2－y2＝16，即－＝1.
【考點探究】
考點一　雙曲線的定義及其應用(多考向探究)
考向1　利用雙曲線的定義求軌跡方程
例1　(2024·山東青島質檢)已知動點M(x，y)滿足 －＝4，則動點M的軌跡方程為________________．
答案　－＝1(y≤－2)
解析　因為－＝4表示點M(x，y)到點F1(0，3)的距離與到點F2(0，－3)的距離的差為4，且4＜|F1F2|，所以點M的軌跡是以F1，F2為焦點的雙曲線的下支，且該雙曲線的實半軸長a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，即動點M的軌跡方程為－＝1(y≤－2)．
【通性通法】
利用雙曲線的定義求方程，要注意三點：①距離之差的絕對值；②2a<|F1F2|；③焦點所在坐標軸的位置．
提醒：一定要分清是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．
【鞏固遷移】
1．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
答案　C
解析　設圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以圓心M的軌跡是以點C1(－3，0)和C2(3，0)為焦點的雙曲線的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，則b2＝c2－a2＝8，所以圓心M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．故選C.
考向2　利用雙曲線的定義解決焦點三角形問題
例2　已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________．
答案　2
解析　解法一：不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin60°＝2.
解法二：S△F1PF2＝＝＝2.
【通性通法】
在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法建立與|PF1|·|PF2|的聯系．
【鞏固遷移】
2．(2023·河北邯鄲模擬)已知F1，F2是雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，且P在以F1F2為直徑的圓上，若|PF1|·|PF2|＝12，則tan∠POF2＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　解法一：設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m>n.由雙曲線的定義知，m－n＝4，又mn＝12，故m＝6，n＝2，由于P在以F1F2為直徑的圓上，所以PF1⊥PF2，故有tan∠PF1F2＝，從而tan∠POF2＝tan2∠PF1F2＝＝.故選A.
解法二：同解法一，得到m＝6，n＝2，則|F1F2|＝2，從而得到雙曲線的方程為－＝1.設P(x0，y0)(y0>0)，聯立解得＝，即tan∠POF2＝＝.故選A.
考向3　利用雙曲線的定義求最值
例3　(2024·江西南昌外國語學校月考)已知F1是雙曲線－＝1的左焦點，A(4，4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF1|＋|PA|的最小值為________．
答案　8＋
解析　由題意知，a＝4，b＝3，c＝5.設雙曲線的右焦點為F2，由P是雙曲線右支上的點，則|PF1|－|PF2|＝2a＝8，則|PF1|＋|PA|＝8＋|PF2|＋|PA|≥8＋|AF2|，當且僅當A，P，F2三點共線時，等號成立．又A(4，4)，F2(5，0)，則|AF2|＝＝.所以|PF1|＋|PA|的最小值為8＋.
【通性通法】
在利用雙曲線的定義求最值時，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用關系式|PF1|＝2a＋|PF2|或|PF2|＝2a＋|PF1|進行轉化，然后利用三角形三邊的關系來求最值．
【鞏固遷移】
3．若點P在曲線C1：－＝1上，點Q在曲線C2：(x－5)2＋y2＝1上，點R在曲線C3：(x＋5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
答案　B
解析　在雙曲線C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知兩圓圓心分別為雙曲線C1的兩個焦點，記點F1(－5，0)，F2(5，0)，當|PQ|－|PR|取最大值時，P在雙曲線C1的左支上，所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10.故選B.
考點二　雙曲線的標準方程
例4　(2024·天津北辰區模擬)與橢圓＋y2＝1共焦點且過點P(2，1)的雙曲線的標準方程是________________．
答案　－y2＝1
解析　解法一：橢圓＋y2＝1的焦點坐標是(±，0)．設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，因為雙曲線過點P(2，1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求雙曲線的標準方程是－y2＝1.
解法二：由題意知，雙曲線焦點F1(－，0)，F2(，0)，設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則2a＝||PF1|－|PF2||＝ － ＝ － ，即a＝－，所以a2＝2，則b2＝c2－a2＝1，所以所求雙曲線的標準方程為－y2＝1.
解法三：設所求雙曲線的標準方程為＋＝1(1<λ<4)，將點P(2，1)的坐標代入，可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求雙曲線的標準方程為－y2＝1.
【通性通法】
求雙曲線的標準方程的方法
定義法 由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線定義確定2a，2b或2c，從而求得雙曲線方程
待定系數法 能確定焦點在x軸還是y軸上時，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值
焦點的位置不確定，要注意分類討論．也可以將雙曲線的方程設為－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解
與雙曲線－＝1共漸近線的雙曲線的方程可設為－＝λ(λ≠0)
【鞏固遷移】
4．(2023·湖南郴州模擬)若雙曲線經過點(3，)，且漸近線方程是y＝±x，則雙曲線的標準方程是________________．
答案　y2－＝1
解析　設雙曲線的方程是y2－＝λ(λ≠0)．因為雙曲線過點(3，)，所以λ＝2－＝1，故雙曲線的標準方程為y2－＝1.
5．過點P(3，2)，Q(－6，7)的雙曲線的標準方程為________________．
答案　－＝1
解析　設雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)．因為所求雙曲線過點P(3，2)，Q(－6，7)，所以解得故所求雙曲線的標準方程為－＝1.
考點三　雙曲線的簡單幾何性質(多考向探究)
考向1　雙曲線的實軸、虛軸、焦距
例5　(1)雙曲線－y2＝1的實軸長是(　　)
A．1 B．2
C． D．4
答案　D
解析　由－y2＝1，得a2＝4，解得a＝2，所以2a＝4.故雙曲線－y2＝1的實軸長是4.故選D.
(2)已知雙曲線C：y2－＝1，則該雙曲線的虛軸長為________，焦距為________．
答案　2　2
解析　雙曲線C：y2－＝1的虛半軸長b＝，半焦距c＝＝，所以該雙曲線的虛軸長為2，焦距為2.
【通性通法】
求解與雙曲線幾何性質有關的問題時，要理清頂點、焦點、實軸長、虛軸長、焦距等基本量的內在聯系．
【鞏固遷移】
6．(2023·河北唐山一調)設4x2＋ky2－4k＝0表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為(　　)
A．2 B．2k
C．2 D．－2
答案　C
解析　由題意，得k≠0，將4x2＋ky2－4k＝0整理，得＋＝1，由題意，得k<0，故焦點在y軸上，b2＝－k，所以b＝，所以該雙曲線的虛軸長為2，故選C.
7．(2024·河南鄭州期末)雙曲線－＝1與－＝1有相同的(　　)
A．離心率 B．漸近線
C．實軸長 D．焦點
答案　D
解析　對于雙曲線－＝1，其焦點在x軸上，a1＝，b1＝，c1＝2，離心率e1＝＝，漸近線y＝±x＝±x，實軸長2a1＝2，焦點為(±2，0)；對于雙曲線－＝1，其焦點在x軸上，a2＝，b2＝，c2＝2，離心率e2＝＝2，漸近線y＝±x＝±x，實軸長2a2＝2，焦點為(±2，0)．故選D.
考向2　雙曲線的漸近線
例6　(1)(2023·河北衡水模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且實軸長為2，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　B
解析　由題意可知，2c＝2，2a＝2，所以c＝，a＝1，所以b＝＝2，則＝2.故雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x.
(2)(2022·全國甲卷)若雙曲線y2－＝1(m＞0)的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝________．
答案　
解析　雙曲線y2－＝1(m＞0)的漸近線為y＝±，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圓x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圓心為(0，2)，半徑r＝1，依題意，圓心(0，2)到漸近線x＋my＝0的距離d＝＝1，解得m＝或m＝－(舍去)．
【通性通法】
求雙曲線漸近線方程的方法
方法一 若雙曲線－＝1(a>0，b>0)，令－＝0，得漸近線方程±＝0
方法二 雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線y＝±x的斜率k＝±與離心率e的關系為k2＝＝e2－1
提醒：兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數，且兩條漸近線關于x軸、y軸對稱．
【鞏固遷移】
8．(2023·全國甲卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，其中一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B兩點，則|AB|＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由e＝，得＝＝1＋＝5，解得＝2，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，易知漸近線y＝2x與圓相交，則圓心(2，3)到漸近線y＝2x的距離d＝＝，所以弦長|AB|＝2＝2＝.故選D.
9．已知雙曲線－＝1(m>0)的漸近線方程為x±y＝0，則m＝________．
答案　
解析　由漸近線方程y＝±x＝±x，得＝，則＝，即＝，m＝.
考向3　雙曲線的離心率
例7　(1)(2023·新課標Ⅰ卷)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2.點A在C上，點B在y軸上，⊥，＝－，則C的離心率為________．
答案　
解析　解法一：依題意，設|AF2|＝2m(m>0)，則|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，則(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，則|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝.
解法二：依題意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因為＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，則x0＝c，y0＝－t，又⊥，所以·＝·(c，t)＝c2－t2＝0，則t2＝4c2，又點A在C上，則－＝1，整理得－＝1，則－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，則(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝＝.
解法三：由解法二得A，t2＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由雙曲線的定義可得|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a，即c＝a，所以C的離心率e＝＝＝.
(2)(2024·遼寧沈陽模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，雙曲線的左頂點為A，以F1F2為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點，其中點Q在y軸右側，若|AQ|≥2|AP|，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．
答案　
解析　由題意，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝c2，如圖，設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x.由解得或∴P(－a，－b)，Q(a，b)．又A為雙曲線的左頂點，則A(－a，0)．∴|AQ|＝＝，|AP|＝＝b，|AQ|≥2|AP|，即≥2b，解得4a2≥3(c2－a2)，∴e＝≤ .又e>1，故e∈.所以該雙曲線的離心率的取值范圍是.
【通性通法】
求雙曲線離心率或其取值范圍的方法
直接法 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e
方程(不等式)法 列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解
【鞏固遷移】
10．(2024·九省聯考)設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，則C的離心率為(　　)
A． B．2
C． D．
答案　D
解析　由雙曲線的對稱性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，則四邊形AF1BF2為平行四邊形，令|F1A|＝|F2B|＝m，則|F1B|＝|F2A|＝2m，由雙曲線的定義可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，·＝||||cos∠AF2B＝2a×4acos∠AF2B＝4a2，則cos∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，則cos∠F2BF1＝＝＝－，即＝－，即－＝－，則e2＝7，又e>1，故e＝.故選D.
11．已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P是雙曲線C上在第一象限內的一點，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為________．
答案　(1，2)
解析　在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理，得|PF1|＝3|PF2|，又點P是雙曲線C上在第一象限內的一點，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝<2，又e>1，所以1考向4　與雙曲線幾何性質有關的最值(范圍)問題
例8　(1)(2023·湖北名校聯考)已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1的左、右焦點，動點P在雙曲線C的右支上，則(|PF1|－4)(|PF2|－4)的最小值為(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
答案　B
解析　由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝4，其中|PF2|≥3，將|PF1|＝|PF2|＋4代入(|PF1|－4)(|PF2|－4)，得|PF2|·(|PF2|－4)＝|PF2|2－4|PF2|＝(|PF2|－2)2－4≥－3.故選B.
(2)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若·<0，則y0的取值范圍是________．
答案　
解析　因為F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－【通性通法】
1．雙曲線幾何性質的綜合應用涉及知識較寬，如雙曲線定義、標準方程、對稱性、漸近線、離心率等多方面的知識，在解決此類問題時要注意與平面幾何知識的聯系．
2．與雙曲線有關的取值范圍問題的解題思路
思路一 若條件中存在不等關系，則借助此關系直接變換轉化求解
思路二 若條件中沒有不等關系，要善于發現隱含的不等關系或借助曲線中不等關系來解決
【鞏固遷移】
12．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為－3，則雙曲線上的點到點A(5，0)的最小距離為(　　)
A．1 B．
C．2 D．
答案　B
解析　由已知，得＝，c－a＝－3，解得c＝，a＝3，故b2＝c2－a2＝1.所以雙曲線的方程為－y2＝1，設P(x，y)是雙曲線－y2＝1上的點，則y2＝－1，且x≤－3或x≥3，則|AP|＝＝＝＝，所以當x＝時，|AP|min＝＝.故選B.
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第六節　雙曲線
第1課時　雙曲線的定義、標準方程及其簡單幾何性質
課標解讀 考向預測
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程. 2.掌握雙曲線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線). 3.了解雙曲線的簡單應用. 近三年考查了雙曲線的定義、標準方程及幾何性質，其中對雙曲線的定義、標準方程的考查以解答題為主，幾何性質主要考查了離心率和漸近線，題型以選擇題、填空題為主．預計2025年高考本部分內容仍是考查的重點，題型以選擇題、填空題為主，難度中檔.
【知識梳理】
1．雙曲線的定義
把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
圖形
性質 焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范圍 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實半軸長：a，虛半軸長：b
離心率 e＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【常用結論】
1．雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，頂點到兩條漸近線的距離為常數.
2．雙曲線上的任意點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數.
3．若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
4．離心率e＝＝＝ .
5.雙曲線上一點P(x0，y0)與兩焦點F1，F2構成的△PF1F2為焦點三角形，設∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)到兩定點的距離差的絕對值等于常數的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　)
(3)雙曲線－＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是±＝0.(　　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題3.2 T3改編)雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為(　　)
A． B．5
C． D．2
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題3.2 T1改編)設P是雙曲線－＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________．
(4)(人教A選擇性必修第一冊習題3.2 T6改編)對稱軸為坐標軸，且經過點P(5，3)的等軸雙曲線的標準方程為________．
【考點探究】
考點一　雙曲線的定義及其應用(多考向探究)
考向1　利用雙曲線的定義求軌跡方程
例1　(2024·山東青島質檢)已知動點M(x，y)滿足 －＝4，則動點M的軌跡方程為________________．
【通性通法】
利用雙曲線的定義求方程，要注意三點：①距離之差的絕對值；②2a<|F1F2|；③焦點所在坐標軸的位置．
提醒：一定要分清是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．
【鞏固遷移】
1．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
考向2　利用雙曲線的定義解決焦點三角形問題
例2　已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________．
【通性通法】
在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法建立與|PF1|·|PF2|的聯系．
【鞏固遷移】
2．(2023·河北邯鄲模擬)已知F1，F2是雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，且P在以F1F2為直徑的圓上，若|PF1|·|PF2|＝12，則tan∠POF2＝(　　)
A． B．
C． D．
考向3　利用雙曲線的定義求最值
例3　(2024·江西南昌外國語學校月考)已知F1是雙曲線－＝1的左焦點，A(4，4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF1|＋|PA|的最小值為________．
【通性通法】
在利用雙曲線的定義求最值時，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用關系式|PF1|＝2a＋|PF2|或|PF2|＝2a＋|PF1|進行轉化，然后利用三角形三邊的關系來求最值．
【鞏固遷移】
3．若點P在曲線C1：－＝1上，點Q在曲線C2：(x－5)2＋y2＝1上，點R在曲線C3：(x＋5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
考點二　雙曲線的標準方程
例4　(2024·天津北辰區模擬)與橢圓＋y2＝1共焦點且過點P(2，1)的雙曲線的標準方程是________________．
【通性通法】
求雙曲線的標準方程的方法
定義法 由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線定義確定2a，2b或2c，從而求得雙曲線方程
待定系數法 能確定焦點在x軸還是y軸上時，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值
焦點的位置不確定，要注意分類討論．也可以將雙曲線的方程設為－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解
與雙曲線－＝1共漸近線的雙曲線的方程可設為－＝λ(λ≠0)
【鞏固遷移】
4．(2023·湖南郴州模擬)若雙曲線經過點(3，)，且漸近線方程是y＝±x，則雙曲線的標準方程是________________．
5．過點P(3，2)，Q(－6，7)的雙曲線的標準方程為________________．
考點三　雙曲線的簡單幾何性質(多考向探究)
考向1　雙曲線的實軸、虛軸、焦距
例5　(1)雙曲線－y2＝1的實軸長是(　　)
A．1 B．2
C． D．4
(2)已知雙曲線C：y2－＝1，則該雙曲線的虛軸長為________，焦距為________．
【通性通法】
求解與雙曲線幾何性質有關的問題時，要理清頂點、焦點、實軸長、虛軸長、焦距等基本量的內在聯系．
【鞏固遷移】
6．(2023·河北唐山一調)設4x2＋ky2－4k＝0表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為(　　)
A．2 B．2k
C．2 D．－2
7．(2024·河南鄭州期末)雙曲線－＝1與－＝1有相同的(　　)
A．離心率 B．漸近線
C．實軸長 D．焦點
考向2　雙曲線的漸近線
例6　(1)(2023·河北衡水模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且實軸長為2，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)(2022·全國甲卷)若雙曲線y2－＝1(m＞0)的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝________．
【通性通法】
求雙曲線漸近線方程的方法
方法一 若雙曲線－＝1(a>0，b>0)，令－＝0，得漸近線方程±＝0
方法二 雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線y＝±x的斜率k＝±與離心率e的關系為k2＝＝e2－1
提醒：兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數，且兩條漸近線關于x軸、y軸對稱．
【鞏固遷移】
8．(2023·全國甲卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，其中一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B兩點，則|AB|＝(　　)
A． B．
C． D．
9．已知雙曲線－＝1(m>0)的漸近線方程為x±y＝0，則m＝________．
考向3　雙曲線的離心率
例7　(1)(2023·新課標Ⅰ卷)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2.點A在C上，點B在y軸上，⊥，＝－，則C的離心率為________．
(2)(2024·遼寧沈陽模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，雙曲線的左頂點為A，以F1F2為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點，其中點Q在y軸右側，若|AQ|≥2|AP|，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．
【通性通法】
求雙曲線離心率或其取值范圍的方法
直接法 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e
方程(不等式)法 列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解
【鞏固遷移】
10．(2024·九省聯考)設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，則C的離心率為(　　)
A． B．2
C． D．
11．已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P是雙曲線C上在第一象限內的一點，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為________．
考向4　與雙曲線幾何性質有關的最值(范圍)問題
例8　(1)(2023·湖北名校聯考)已知F1，F2分別是雙曲線C：－＝1的左、右焦點，動點P在雙曲線C的右支上，則(|PF1|－4)(|PF2|－4)的最小值為(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若·<0，則y0的取值范圍是________．
【通性通法】
1．雙曲線幾何性質的綜合應用涉及知識較寬，如雙曲線定義、標準方程、對稱性、漸近線、離心率等多方面的知識，在解決此類問題時要注意與平面幾何知識的聯系．
2．與雙曲線有關的取值范圍問題的解題思路
思路一 若條件中存在不等關系，則借助此關系直接變換轉化求解
思路二 若條件中沒有不等關系，要善于發現隱含的不等關系或借助曲線中不等關系來解決
【鞏固遷移】
12．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為－3，則雙曲線上的點到點A(5，0)的最小距離為(　　)
A．1 B．
C．2 D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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