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第2課時　直線與雙曲線的位置關系
課標解讀 考向預測
1.掌握直線與雙曲線的位置關系及其判定方法. 2.會求直線和雙曲線相交的弦長. 3.能夠解決弦中點問題. 從近三年高考來看，直線與雙曲線的綜合問題是高考的熱點，題型以解答題為主，難度偏大．預計2025年高考可能會與漸近線、離心率等綜合考查，選擇題、填空題、解答題都有可能出現.
【知識梳理】
1．直線與雙曲線的位置關系
將直線的方程y＝kx＋m與雙曲線的方程－＝1(a>0，b>0)聯立組成方程組，消元轉化為關于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點．
(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±時，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
①Δ＞0 直線和雙曲線相交 直線和雙曲線有兩個交點；
②Δ＝0 直線和雙曲線相切 直線和雙曲線有一個公共點；
③Δ＜0 直線和雙曲線相離 直線和雙曲線無公共點．
2．直線與雙曲線的相交弦
設直線y＝kx＋m交雙曲線－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，則
|P1P2|＝
＝＝|x1－x2|，
同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)．
這里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根與系數的關系，需作以下變形：
|x1－x2|＝ ，
|y1－y2|＝ .
【常用結論】
1．與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種：一種是與漸近線平行且與雙曲線交于一點的直線；另一種是與雙曲線相切的直線．
2．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為；異支的弦中最短的弦為實軸，其長為2a.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)直線與雙曲線相交一定有兩個公共點．(　　)
(2)直線y＝x與雙曲線－y2＝1一定不相切．(　　)
(3)過雙曲線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線的斜率k＝.(　　)
(4)直線y＝x－1被雙曲線－y2＝1截得的弦長為.(　　)
2．小題熱身
(1)直線y＝x＋2與雙曲線－＝1的位置關系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相離 D．無法確定
(2)(人教A選擇性必修第一冊復習參考題3 T4改編)已知直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝1沒有公共點，則k的取值范圍是________．
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題3.2 T1改編)直線l交雙曲線－＝1于A，B兩點，且P(4，1)為AB的中點，則l的斜率為________．
【考點探究】
考點一　直線與雙曲線的位置關系
例1　若過點P(0，1)的直線l與雙曲線E：x2－y2＝1的右支交于不同的兩點，則直線l的斜率的取值范圍為(　　)
A．(1，) B．[－，－1]
C．[1， ] D．(－，－1)
【通性通法】
通常把直線與雙曲線的方程聯立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式．
(1)在a≠0的情況下考察方程的判別式
①Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點；
②Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點；
③Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．
(2)當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點．
【鞏固遷移】
1．(2024·重慶第二次聯合診斷)已知點P(1，2)和雙曲線C：x2－＝1，過點P且與雙曲線C只有一個公共點的直線l有(　　)
A．2條 B．3條
C．4條 D．無數條
考點二　弦長問題
例2　已知雙曲線的焦距為4，焦點在x軸上，且過點P(2，3)．
(1)求該雙曲線的標準方程；
(2)若直線m經過該雙曲線的右焦點且斜率為1，求直線m被雙曲線截得的弦長．
【通性通法】
1．距離公式法
當弦的兩端點坐標易求時，可直接求出交點坐標，再利用兩點間距離公式求弦長．
2．弦長公式法
當弦的兩端點坐標不易求時，可利用弦長公式求解，即若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝·|x1－x2|＝·
或|AB|＝·|y1－y2|＝·.
【鞏固遷移】
2．已知雙曲線C：－＝1過點(，)，給出以下兩個條件：
①離心率為2；②與雙曲線－x2＝1有相同的漸近線．
(1)任選一個條件，求出雙曲線C的方程；
(2)直線l與直線4x－2y－1＝0平行，l被C截得的弦長為4，求直線l的方程．
考點三　中點弦問題
例3　(2023·全國乙卷)設A，B為雙曲線x2－＝1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
【通性通法】
中點弦問題的解決方法
方法一 將直線方程與雙曲線的方程聯立，消元后得到一元二次方程，再用判別式和中點坐標公式求解
方法二 用點差法和中點坐標公式求解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上不同的兩點，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)為線段AB的中點，則兩式相減可得·＝，即kAB·＝，kAB＝
【鞏固遷移】
3．過點P(8，1)的直線與雙曲線x2－4y2＝4交于A，B兩點，且P是線段AB的中點，則直線AB的方程為________________．
考點四　直線與雙曲線的綜合問題
例4　(2024·重慶一中質檢)在平面直角坐標系xOy中，焦點在x軸上的雙曲線C過點T(2，3)，且有一條傾斜角為120°的漸近線．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設點F為雙曲線C的右焦點，點P在C的右支上，點Q滿足＝，直線QF交雙曲線C于A，B兩點，若|AB|＝2|QF|，求點P的坐標．
【通性通法】
利用雙曲線的定義、幾何性質來研究直線與雙曲線的位置關系時：如果是判斷直線與雙曲線的位置關系，可以通過聯立方程，利用方程組的解的個數來判斷；如果涉及弦長問題，可以利用弦長公式解決；如果涉及面積問題，往往需要利用弦長公式、面積公式、構建目標函數來解決問題．
【鞏固遷移】
4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知點A(2，1)在雙曲線C：－＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面積．
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第2課時　直線與雙曲線的位置關系
課標解讀 考向預測
1.掌握直線與雙曲線的位置關系及其判定方法. 2.會求直線和雙曲線相交的弦長. 3.能夠解決弦中點問題. 從近三年高考來看，直線與雙曲線的綜合問題是高考的熱點，題型以解答題為主，難度偏大．預計2025年高考可能會與漸近線、離心率等綜合考查，選擇題、填空題、解答題都有可能出現.
【知識梳理】
1．直線與雙曲線的位置關系
將直線的方程y＝kx＋m與雙曲線的方程－＝1(a>0，b>0)聯立組成方程組，消元轉化為關于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點．
(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±時，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
①Δ＞0 直線和雙曲線相交 直線和雙曲線有兩個交點；
②Δ＝0 直線和雙曲線相切 直線和雙曲線有一個公共點；
③Δ＜0 直線和雙曲線相離 直線和雙曲線無公共點．
2．直線與雙曲線的相交弦
設直線y＝kx＋m交雙曲線－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，則
|P1P2|＝
＝＝|x1－x2|，
同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)．
這里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根與系數的關系，需作以下變形：
|x1－x2|＝ ，
|y1－y2|＝ .
【常用結論】
1．與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種：一種是與漸近線平行且與雙曲線交于一點的直線；另一種是與雙曲線相切的直線．
2．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為；異支的弦中最短的弦為實軸，其長為2a.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)直線與雙曲線相交一定有兩個公共點．(　　)
(2)直線y＝x與雙曲線－y2＝1一定不相切．(　　)
(3)過雙曲線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線的斜率k＝.(　　)
(4)直線y＝x－1被雙曲線－y2＝1截得的弦長為.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．小題熱身
(1)直線y＝x＋2與雙曲線－＝1的位置關系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相離 D．無法確定
答案　B
解析　由得－＝1整理，得6x＝－13.所以x＝－，故直線和雙曲線只有一個交點，又雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，所以直線y＝x＋2與雙曲線的一條漸近線平行且與雙曲線只有一個交點．所以直線與雙曲線的位置關系為相交．故選B.
(2)(人教A選擇性必修第一冊復習參考題3 T4改編)已知直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝1沒有公共點，則k的取值范圍是________．
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，當1－k2＝0時，方程有解，即直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝1有公共點；當1－k2≠0時，由Δ＝4k2＋8(1－k2)<0，解得k<－或k>.故k的取值范圍是(－∞，－)∪(，＋∞)．
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題3.2 T1改編)直線l交雙曲線－＝1于A，B兩點，且P(4，1)為AB的中點，則l的斜率為________．
答案　2
解析　設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為P(4，1)為AB的中點，所以有又點A，B在雙曲線上，則即(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，則l的斜率k＝＝＝＝2，此時直線l的方程為y－1＝2(x－4)，由消去y并整理，得7x2－56x＋102＝0，Δ＝562－4×7×102＝280>0，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2.
【考點探究】
考點一　直線與雙曲線的位置關系
例1　若過點P(0，1)的直線l與雙曲線E：x2－y2＝1的右支交于不同的兩點，則直線l的斜率的取值范圍為(　　)
A．(1，) B．[－，－1]
C．[1， ] D．(－，－1)
答案　D
解析　由題意可得直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋1，設交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立得(1－k2)x2－2kx－2＝0，由題意，得解得－【通性通法】
通常把直線與雙曲線的方程聯立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式．
(1)在a≠0的情況下考察方程的判別式
①Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點；
②Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點；
③Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．
(2)當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點．
【鞏固遷移】
1．(2024·重慶第二次聯合診斷)已知點P(1，2)和雙曲線C：x2－＝1，過點P且與雙曲線C只有一個公共點的直線l有(　　)
A．2條 B．3條
C．4條 D．無數條
答案　A
解析　由題意可得，雙曲線C：x2－＝1的漸近線方程為y＝±2x，點(1，0)是雙曲線的頂點．若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝1，此時直線l與雙曲線C只有一個公共點，符合題意；若直線l的斜率存在，則當直線l平行于漸近線y＝－2x時，直線l與雙曲線C只有一個公共點，符合題意；若直線l的斜率為2，則直線l的方程為y＝2x，此時直線l為雙曲線C的一條漸近線，不符合題意．綜上所述，過點P且與雙曲線C只有一個公共點的直線l共有2條．故選A.
考點二　弦長問題
例2　已知雙曲線的焦距為4，焦點在x軸上，且過點P(2，3)．
(1)求該雙曲線的標準方程；
(2)若直線m經過該雙曲線的右焦點且斜率為1，求直線m被雙曲線截得的弦長．
解　(1)設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，
由已知可得左、右焦點F1，F2的坐標分別為(－2，0)，(2，0)，
則|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以雙曲線的標準方程為x2－＝1.
(2)由題意知直線m的方程為y＝x－2，聯立雙曲線方程與直線方程并消去y，得2x2＋4x－7＝0，
設兩交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦長公式，得
|AB|＝·|x1－x2|
＝ ·＝6.
【通性通法】
1．距離公式法
當弦的兩端點坐標易求時，可直接求出交點坐標，再利用兩點間距離公式求弦長．
2．弦長公式法
當弦的兩端點坐標不易求時，可利用弦長公式求解，即若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝·|x1－x2|＝·
或|AB|＝·|y1－y2|＝·.
【鞏固遷移】
2．已知雙曲線C：－＝1過點(，)，給出以下兩個條件：
①離心率為2；②與雙曲線－x2＝1有相同的漸近線．
(1)任選一個條件，求出雙曲線C的方程；
(2)直線l與直線4x－2y－1＝0平行，l被C截得的弦長為4，求直線l的方程．
解　(1)若選擇①：由解得所以雙曲線C的方程為x2－＝1.
若選擇②：設雙曲線的方程為－x2＝n(n≠0)，
依題意，得－2＝n，解得n＝－1，
所以雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)由題意，設直線l的方程為4x－2y＋m＝0，
聯立
得4x2＋8mx＋m2＋12＝0，
由Δ＝64m2－16(m2＋12)＝48m2－192>0，
解得m<－2或m>2.
設l交C于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－2m，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝4，
解得m＝±.
所以直線l的方程為6x－3y＋＝0或6x－3y－＝0.
考點三　中點弦問題
例3　(2023·全國乙卷)設A，B為雙曲線x2－＝1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
答案　D
解析　解法一：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的中點M，可得kAB＝，直線OM(O為坐標原點)的斜率k＝＝，因為A，B在雙曲線上，則
兩式相減得(x－x)－＝0，所以kAB·k＝＝9.對于A，k＝1，kAB＝9，則直線AB：y＝9x－8，聯立方程消去y得72x2－2×72x＋73＝0，此時Δ＝(－2×72)2－4×72×73＝－288<0，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A不符合題意；對于B，k＝－2，kAB＝－，則直線AB：y＝－x－，聯立方程消去y得45x2＋2×45x＋61＝0，此時Δ＝(2×45)2－4×45×61＝－4×45×16<0，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B不符合題意；對于C，k＝3，kAB＝3，則直線AB：y＝3x，由雙曲線方程可得a＝1，b＝3，則直線AB：y＝3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C不符合題意；對于D，k＝4，kAB＝，則直線AB：y＝x－，聯立方程消去y得63x2＋126x－193＝0，此時Δ＝1262＋4×63×193>0，故直線AB與雙曲線有兩個交點，故D符合題意．故選D.
解法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為(x0，y0)，①－②得kAB＝＝9×＝9×，即－3<9×<3 －<<，即>3或<－3.故選D.
【通性通法】
中點弦問題的解決方法
方法一 將直線方程與雙曲線的方程聯立，消元后得到一元二次方程，再用判別式和中點坐標公式求解
方法二 用點差法和中點坐標公式求解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上不同的兩點，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)為線段AB的中點，則兩式相減可得·＝，即kAB·＝，kAB＝
【鞏固遷移】
3．過點P(8，1)的直線與雙曲線x2－4y2＝4交于A，B兩點，且P是線段AB的中點，則直線AB的方程為________________．
答案　2x－y－15＝0
解析　設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x－4y＝4　①，x－4y＝4?、?由①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，∵P是線段AB的中點，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝＝2.∴直線AB的斜率為2，∴直線AB的方程為2x－y－15＝0.
考點四　直線與雙曲線的綜合問題
例4　(2024·重慶一中質檢)在平面直角坐標系xOy中，焦點在x軸上的雙曲線C過點T(2，3)，且有一條傾斜角為120°的漸近線．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設點F為雙曲線C的右焦點，點P在C的右支上，點Q滿足＝，直線QF交雙曲線C于A，B兩點，若|AB|＝2|QF|，求點P的坐標．
解　(1)設雙曲線C的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±x，
則由題意可得，－＝1，且－＝tan120°＝－，解得a＝1，b＝，則雙曲線C的標準方程為x2－＝1.
(2)雙曲線C的方程為x2－＝1，
所以C的右焦點F(2，0)，
點Q滿足＝，則P為OQ的中點，
設P(m，n)，m>0，則Q(2m，2n)，
若直線AB的斜率不存在，則其方程為x＝2，此時P(1，0)，m＝1，Q與F重合，不符合題意；
若直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝k(x－2)，m≠1，因為kQF＝k，所以＝k，所以n＝(m－1)k，
因為點P在雙曲線C上，所以3m2－n2＝3，
所以3m2－[(m－1)k]2＝3，即k2＝，
聯立消去y，得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，
所以k2－3≠0，Δ＝16k4－4(k2－3)(4k2＋3)＝36(k2＋1)>0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝.
因為|AB|＝2|QF|，所以|x2－x1|＝2|2m－2|，
所以(x1＋x2)2－4x1x2＝16(m－1)2，
所以－4×＝16(m－1)2，
即9(k2＋1)＝4(m－1)2(k2－3)2，
所以9＝4(m－1)2，
解得m＝，n＝±，符合題意，
所以點P的坐標為.
【通性通法】
利用雙曲線的定義、幾何性質來研究直線與雙曲線的位置關系時：如果是判斷直線與雙曲線的位置關系，可以通過聯立方程，利用方程組的解的個數來判斷；如果涉及弦長問題，可以利用弦長公式解決；如果涉及面積問題，往往需要利用弦長公式、面積公式、構建目標函數來解決問題．
【鞏固遷移】
4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知點A(2，1)在雙曲線C：－＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面積．
解　(1)將點A的坐標代入雙曲線方程得－＝1，化簡得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故雙曲線C的方程為－y2＝1.
由題易知，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯立直線l與雙曲線C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，
化簡得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，
又直線l不過點A，即m＋2k－1≠0，
故k＝－1.
(2)不妨設直線PA的傾斜角為θ，
由題意知∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan2θ＝＝2，
解得tanθ＝或tanθ＝－(舍去)，
由得x1＝，
所以|AP|＝|x1－2|＝，
同理得x2＝，
所以|AQ|＝|x2－2|＝.
因為tan∠PAQ＝2，
所以sin∠PAQ＝，
故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ
＝×××
＝.
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