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第七節　拋物線
第1課時　拋物線的定義、標準方程及其簡單幾何性質
課標解讀 考向預測
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程. 2.掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率). 3.了解拋物線的簡單應用. 近三年高考考查了拋物線的定義和標準方程以及拋物線的準線，以選擇題、填空題為主．預計2025年高考本部分內容仍以基礎知識為考點，注意幾何性質的應用.
【知識梳理】
1．拋物線的概念
把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦點 F F F F
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
開口方向 向右 向左 向上 向下
對稱軸 x軸 y軸
頂點 (0，0)
離心率 e＝1
【常用結論】
1．拋物線方程一般首先轉化為標準形式．
2．在拋物線的標準方程中，焦點的位置與一次項系數的正負保持一致．
3．焦點到原點的距離的4倍為一次項系數的絕對值．
4．拋物線y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．(　　)
(2)在拋物線的方程中，字母p的幾何意義是焦點到拋物線頂點的距離．(　　)
(3)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1，0)．(　　)
(4)以(0，1)為焦點的拋物線的標準方程為x2＝4y.(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T1改編)拋物線y＝2x2的準線方程為(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－1
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T31改編)拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(3，y)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T4改編)已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同
的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是________．
(4)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T8改編)如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米．
【考點探究】
考點一　拋物線的定義及其應用
例1　(1)動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是(　　)
A．直線 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
(2)(2023·北京高考)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上．若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
【通性通法】
利用拋物線的定義可解決的常見問題
(1)軌跡問題：用拋物線的定義可以確定與定點、定直線距離有關的動點軌跡是否為拋物線．
(2)距離問題：靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化．“看到準線應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線中與距離有關的問題的有效途徑．
注意：“定點不在定直線上”這一條件，當定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與定直線垂直的直線．
【鞏固遷移】
1．動點P到直線x－2＝0的距離比它到點M(－4，0)的距離小2，則點P的軌跡方程是(　　)
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．x2＝16y D．x2＝－16y
2．(2023·江西撫州質量監測)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，點M在拋物線上，且|MF|＝3，則點M到y軸的距離為________．
考點二　拋物線的標準方程與簡單幾何性質
例2　(1)(多選)頂點在原點，對稱軸為坐標軸且過點P(－2，3)的拋物線的標準方程是(　　)
A．y2＝x B．x2＝y
C．y2＝－x D．x2＝－y
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為________．
【通性通法】
1．求拋物線標準方程的方法
定義法 若題目已給出拋物線的方程(含有未知數p)，那么只需求出p即可
待定系數法 若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可設為y2＝ax(a≠0)，a的正負由題設來定；焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論
2.拋物線性質的應用技巧
(1)利用拋物線方程確定其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程．
(2)要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算．
【鞏固遷移】
3．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．
4．(2024·吉林長春期末)已知拋物線y＝mx2過點(2，1)，則該拋物線的焦點到準線的距離為________．
考點三　與拋物線有關的最值問題(多考向探究)
考向1　到焦點與到定點(動點)距離之和最小問題
例3　(2024·四川南充零模)若點A在焦點為F的拋物線y2＝4x上，且|AF|＝2，點P為直線x＝－1上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A．2 B．2＋
C．2＋2 D．4
【通性通法】
將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離或利用對稱性進行距離之間的轉化，再利用“三點共線”解決．
【鞏固遷移】
5．已知點M(20，40)，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值為________．
考向2　到定直線的距離最小問題
例4　(2024·浙江金麗衢十二校聯考)已知直線l1：3x－4y－6＝0和直線l2：y＝－2，拋物線x2＝4y上一動點P到直線l1、直線l2的距離之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C． D．
【通性通法】
將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決．
【鞏固遷移】
6．(2023·山西陽泉期末)已知點P為拋物線y2＝2px(p>0)上一動點，點Q為圓C：(x＋1)2
＋(y－4)2＝1上一動點，點F為拋物線的焦點，點P到y軸的距離為d，若|PQ|＋d的最小值為2，則p＝(　　)
A． B．1
C．3 D．4
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第七節　拋物線
第1課時　拋物線的定義、標準方程及其簡單幾何性質
課標解讀 考向預測
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程. 2.掌握拋物線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率). 3.了解拋物線的簡單應用. 近三年高考考查了拋物線的定義和標準方程以及拋物線的準線，以選擇題、填空題為主．預計2025年高考本部分內容仍以基礎知識為考點，注意幾何性質的應用.
【知識梳理】
1．拋物線的概念
把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦點 F F F F
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
開口方向 向右 向左 向上 向下
對稱軸 x軸 y軸
頂點 (0，0)
離心率 e＝1
【常用結論】
1．拋物線方程一般首先轉化為標準形式．
2．在拋物線的標準方程中，焦點的位置與一次項系數的正負保持一致．
3．焦點到原點的距離的4倍為一次項系數的絕對值．
4．拋物線y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．(　　)
(2)在拋物線的方程中，字母p的幾何意義是焦點到拋物線頂點的距離．(　　)
(3)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1，0)．(　　)
(4)以(0，1)為焦點的拋物線的標準方程為x2＝4y.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T1改編)拋物線y＝2x2的準線方程為(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－1
答案　A
解析　由y＝2x2，得x2＝y，故拋物線y＝2x2的準線方程為y＝－.故選A.
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T31改編)拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(3，y)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案　B
解析　由題意，可得|MF|＝xM＋，則3＋＝4，即p＝2，故拋物線的方程為y2＝4x.
(3)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T4改編)已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同
的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是________．
答案　y2＝±4x
解析　由題意可知雙曲線的焦點為(－，0)，(，0)．設拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則＝，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝±4x.
(4)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T8改編)如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米．
答案　2
解析　建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)．由題意將點A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設B(x0，－3)，代入x2＝－2y中，得x0＝，故水面寬2米．
【考點探究】
考點一　拋物線的定義及其應用
例1　(1)動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是(　　)
A．直線 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
答案　D
解析　設動圓的圓心為點C，半徑為r，則點C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1.又動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓的圓心到直線x＝2的距離為r＋1，根據拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡為拋物線．故選D.
(2)(2023·北京高考)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上．若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
答案　D
解析　因為拋物線C：y2＝8x的焦點F(2，0)，準線方程為x＝－2，點M在C上，所以M到準線x＝－2的距離為|MF|，又M到直線x＝－3的距離為5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故選D.
【通性通法】
利用拋物線的定義可解決的常見問題
(1)軌跡問題：用拋物線的定義可以確定與定點、定直線距離有關的動點軌跡是否為拋物線．
(2)距離問題：靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化．“看到準線應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線中與距離有關的問題的有效途徑．
注意：“定點不在定直線上”這一條件，當定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與定直線垂直的直線．
【鞏固遷移】
1．動點P到直線x－2＝0的距離比它到點M(－4，0)的距離小2，則點P的軌跡方程是(　　)
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．x2＝16y D．x2＝－16y
答案　B
解析　依題意，動點P到直線x－2＝0的距離比它到點M(－4，0)的距離小2，所以動點P到直線x－4＝0的距離與它到點M(－4，0)的距離相等，所以點P的軌跡是以M為焦點，直線x＝4為準線的拋物線．故點P的軌跡方程是y2＝－16x.故選B.
2．(2023·江西撫州質量監測)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，點M在拋物線上，且|MF|＝3，則點M到y軸的距離為________．
答案　2
解析　設點M的坐標為(xM，yM)，由x2＝4y，得p＝2，根據拋物線的定義，知|MF|＝yM＋＝yM＋1＝3，解得yM＝2，代入x2＝4y，得xM＝±2，所以點M到y軸的距離為2.
考點二　拋物線的標準方程與簡單幾何性質
例2　(1)(多選)頂點在原點，對稱軸為坐標軸且過點P(－2，3)的拋物線的標準方程是(　　)
A．y2＝x B．x2＝y
C．y2＝－x D．x2＝－y
答案　BC
解析　設拋物線的標準方程是y2＝kx或x2＝my，代入點P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為________．
答案　x＝－
解析　解法一：不妨設點P在第一象限，如圖，由已知可得P，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－.所以直線PQ的方程為y－p＝－.令y＝0，得x＝p.所以|FQ|＝p－＝2p＝6，所以p＝3，所以C的準線方程為x＝－＝－.
解法二：由題易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的準線方程為x＝－.
【通性通法】
1．求拋物線標準方程的方法
定義法 若題目已給出拋物線的方程(含有未知數p)，那么只需求出p即可
待定系數法 若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可設為y2＝ax(a≠0)，a的正負由題設來定；焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論
2.拋物線性質的應用技巧
(1)利用拋物線方程確定其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程．
(2)要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算．
【鞏固遷移】
3．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．
答案　x2＝4y
解析　因為△FPM為等邊三角形，則|PM|＝|PF|，由拋物線的定義得PM垂直于拋物線的準線，設P，則點M.因為焦點F，△FPM是等邊三角形，所以
解得因此拋物線的方程為x2＝4y.
4．(2024·吉林長春期末)已知拋物線y＝mx2過點(2，1)，則該拋物線的焦點到準線的距離為________．
答案　2
解析　因為拋物線y＝mx2過點(2，1)，所以4m＝1，m＝，所以拋物線的方程為x2＝4y.由于焦點在y軸上的拋物線的標準方程為x2＝2py，其焦點到準線的距離為p，因此2p＝4，p＝2，即該拋物線的焦點到準線的距離為2.
考點三　與拋物線有關的最值問題(多考向探究)
考向1　到焦點與到定點(動點)距離之和最小問題
例3　(2024·四川南充零模)若點A在焦點為F的拋物線y2＝4x上，且|AF|＝2，點P為直線x＝－1上的動點，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A．2 B．2＋
C．2＋2 D．4
答案　A
解析　設點A的坐標為(xA，yA)，拋物線y2＝4x的焦點F(1，0)，準線x＝－1，|AF|＝xA＋1＝2，xA＝1，則y＝4，yA＝±2，不妨設A(1，2)，F(1，0)關于直線x＝－1的對稱點為F′(－3，0)，由于|PF|＝|PF′|，所以當A，P，F′三點共線時|PA|＋|PF|最小，所以|PA|＋|PF|的最小值為＝2.故選A.
【通性通法】
將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離或利用對稱性進行距離之間的轉化，再利用“三點共線”解決．
【鞏固遷移】
5．已知點M(20，40)，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值為________．
答案　42或22
解析　當點M(20，40)位于拋物線內時，如圖①，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得20＋＝41，解得p＝42；當點M(20，40)位于拋物線外時，如圖②，當F，P，M三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得 ＝41，解得p＝22或p＝58.當p＝58時，y2＝116x，點M(20，40)在拋物線內，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.
考向2　到定直線的距離最小問題
例4　(2024·浙江金麗衢十二校聯考)已知直線l1：3x－4y－6＝0和直線l2：y＝－2，拋物線x2＝4y上一動點P到直線l1、直線l2的距離之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C． D．
答案　B
解析　拋物線x2＝4y的焦點F(0，1)，準線l：y＝－1，設動點P到直線l，l1，l2的距離分別為d，d1，d2，點F到直線l1的距離為d3，則d3＝＝2，則d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，當且僅當點P在點F到直線l1的垂線上且P在F與l1之間時，等號成立，即動點P到直線l1、直線l2的距離之和的最小值是3.故選B.
【通性通法】
將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決．
【鞏固遷移】
6．(2023·山西陽泉期末)已知點P為拋物線y2＝2px(p>0)上一動點，點Q為圓C：(x＋1)2
＋(y－4)2＝1上一動點，點F為拋物線的焦點，點P到y軸的距離為d，若|PQ|＋d的最小值為2，則p＝(　　)
A． B．1
C．3 D．4
答案　D
解析　如圖，圓C：(x＋1)2＋(y－4)2＝1的圓心C(－1，4)，半徑r＝1，拋物線的焦點F.根據拋物線的定義可知d＝|PF|－，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|－，由圖可知，當C，Q，P，F共線，且P，Q在線段CF之間時，|PQ|＋|PF|最小，而|CF|＝ ，故有＝|CF|－r－＝2，即 －1－＝2，解得p＝4.故選D.
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