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第2課時　直線與拋物線的位置關系
課標解讀 考向預測
1.會判斷直線與拋物線的位置關系. 2.會求直線與拋物線相交所得的弦長. 3.能解決與拋物線的切線相關的簡單幾何問題. 從近幾年高考來看，直線與圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點，高考試題中加大了思維能力的考查，以及二級結論的考查，減少了對復雜運算的考查．預計2025年高考對直線與拋物線綜合問題考查的難度會增加，平時應注意二級結論的應用.
【知識梳理】
1．直線與拋物線的位置關系
(1)直線與拋物線的三種位置關系
(2)設直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立，整理成關于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.
①若k≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當Δ<0時，直線與拋物線相離，無交點．
②若k＝0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．
因此，直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件．
2．弦長問題
設直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝|x1－x2|＝ ·或|AB|＝|y1－y2|＝·(k為直線的斜率，k≠0)．
3．拋物線的焦點弦問題
若MN為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦(過焦點的弦)，則焦點弦長為|MN|＝x1＋x2＋p(x1，x2分別為M，N的橫坐標)．
設過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則四種標準方程形式下的弦長公式如下表．
標準方程 弦長公式
y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0) |AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2)
4.拋物線的切線
(1)過拋物線y2＝2px(p>0)上的點P(x1，y1)的切線方程是y1y＝p(x＋x1)．
(2)拋物線y2＝2px(p>0)的斜率為k的切線方程是y＝kx＋(k≠0)．
【常用結論】
拋物線焦點弦的幾個常用結論
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝，|BF|＝，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；
(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上；
(7)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦，長度為2p；
(8)過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點．設直線l1的傾斜角為α，則|AB|＝，|DE|＝＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F到準線l的距離為2，則過點A(－1，0)恰有2條直線與拋物線C有且只有一個公共點．(　　)
(2)已知過拋物線C：y2＝x的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，若直線l垂直于x軸，則|AB|＝1.(　　)
(3)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l的傾斜角為60°且經過點F.若l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1x2＝2.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊3.3例4改編)斜率為的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則|AB|＝(　　)
A． B．
C．5 D．3
答案　B
解析　由題意得，拋物線的焦點為F(1，0)，直線AB的方程為y＝(x－1)．由得3x2－10x＋3＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T12改編)過定點P(0，1)且與拋物線y2＝8x有且僅有一個公共點的直線有________條．
答案　3
解析　當斜率不存在時，直線方程為x＝0，只有一個公共點，符合題意；當斜率存在時，設直線方程為y＝kx＋1，聯立得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，當k＝0時，直線方程為y＝1，只有一個公共點，符合題意；當k≠0時，令Δ＝(2k－8)2－4k2＝0，解得k＝2，即直線與拋物線有一個公共點，符合題意．所以滿足題意的直線有3條．
(3)過點P(4，－3)作拋物線y＝x2的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為________________．
答案　2x－y＋3＝0
解析　設切點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，又y′＝x，則切線PA的方程為y－y1＝x1(x－x1)，即y＝x1x－y1，同理，切線PB的方程為y＝x2x－y2，由P(4，－3)是PA，PB的交點可知，－3＝2x1－y1，－3＝2x2－y2，由兩點確定一條直線，可得過A，B的直線方程為－3＝2x－y，即2x－y＋3＝0.
(4)(2024·山東濟南模擬)已知A，B為拋物線C：x2＝4y上的兩點，M(－1，2)，若＝，則直線AB的方程為________________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　由題意知點M(－1，2)在拋物線內，且M(－1，2)是線段AB的中點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，聯立兩式相減得(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)，即kAB＝＝＝－，則直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.由消去y，得x2＋2x－6＝0，Δ＝22－4×(－6)＞0，故斜率為－符合題意．因此直線AB的方程為x＋2y－3＝0.
【考點探究】
考點一　拋物線的切線
例1　(1)過拋物線x2＝4y上一點(4，4)的拋物線的切線方程為(　　)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
答案　A
解析　解法一：設切線方程為y－4＝k(x－4)．由 x2＝4(kx－4k＋4) x2－4kx＋16(k－1)＝0，由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，得k2－4k＋4＝0.∴k＝2.故切線方程為y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0.
解法二：由x2＝4y，得y＝，∴y′＝.∴y′|x＝4＝＝2.∴切線方程為y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0.
(2)(2023·四川成都適應性考試)已知A，B為拋物線y＝x2上兩點，以A，B為切點的拋物線的兩條切線交于點P，過點A，B的直線斜率為kAB，若點P的橫坐標為，則kAB＝________．
答案　
解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B為切點的拋物線的切線斜率分別為kA，kB，由y＝x2，得y′＝2x，故kA＝2x1，kB＝2x2，所以切線PA的方程為y－x＝2x1(x－x1)，即x－2x1x＋y＝0.同理可得，切線PB的方程為x－2x2x＋y＝0.設點P的坐標為(x0，y0)，所以x－2x1x0＋y0＝0，x－2x2x0＋y0＝0，所以x1，x2為方程x2－2x0x＋y0＝0的兩根，故x1＋x2＝2x0，x1x2＝y0，則kAB＝＝x1＋x2＝2x0＝.
【通性通法】
求拋物線切線方程的方法
方法一 首先設出切線方程，然后與拋物線方程聯立，利用判別式求解
方法二 首先求導得出切線的斜率，然后由點斜式得出切線方程
方法三 過拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)的切線方程為y0y＝p(x＋x0)
【鞏固遷移】
1．(多選)(2023·遼寧名校聯考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的準線l的方程為y＝－1，過C的焦點F的直線與C交于A，B兩點，以A，B為切點分別作C的兩條切線，且兩切線交于點M，則下列結論正確的是(　　)
A．C的方程為x2＝2y
B．∠AMB＝90°
C．M恒在l上
D．|MF|2＝|AF|·|BF|
答案　BCD
解析　由題得－＝－1，所以p＝2，因此C的方程為x2＝4y，A錯誤；由題意可知AB的斜率存在，F(0，1)，設AB的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由y＝x2得y′＝x，所以AM的斜率為kAM＝x1，所以AM的方程為y－y1＝x1(x－x1)，即y－x＝x1(x－x1)　①，同理BM的斜率為kBM＝x2，所以BM的方程為y－x＝x2(x－x2)　②，所以kAM·kBM＝x1x2＝－1，即AM⊥BM，所以∠AMB＝90°，B正確；由①②得(x2－x1)y＝x1x2(x2－x1)，因為x1≠x2，所以y＝－1，將y＝－1代入①②得x＝＝2k，所以點M的坐標為(2k，－1)，又C的準線l的方程為y＝－1，所以M恒在l上，C正確；當AB的斜率k不為零時，則kMF＝＝－，所以kAB·kMF＝－1，所以AB⊥MF，當AB的斜率k＝0時，點M的坐標為(0，－1)，顯然AB⊥MF，在Rt△ABM中，由△AMF∽△MBF得＝，所以|MF|2＝|AF|·|BF|，D正確．故選BCD.
考點二　焦點弦問題
例2　(1)(2024·河北邯鄲模擬)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|＝(　　)
A．4 B．
C．5 D．6
答案　B
解析　解法一：易知直線l的斜率存在，設為k，則其方程為y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設點A，B的橫坐標分別為xA，xB，則xAxB＝1　①，因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1　②，由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
解法二：由對稱性，不妨設點A在x軸的上方，如圖，設A，B在準線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，設|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝＝，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式，得|AB|＝＝.
解法三：因為|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
(2)(多選)(2023·湖北鄂州市教學研究室期末)已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，準線l與y軸的交點為D，過點F的直線m與拋物線C交于A，B兩點，點O為坐標原點．下列結論正確的是(　　)
A．存在點A，B，使∠AOB≤
B．|AB|的最小值為4
C．DF平分∠ADB
D．若點M(2，3)是弦AB的中點，則直線m的方程為x－y＋1＝0
答案　BCD
解析　拋物線C的焦點F的坐標為(0，1)，由題意分析可知，直線m的斜率一定存在．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線m的方程為y＝kx＋1，與拋物線C：x2＝4y聯立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB為鈍角，故A錯誤；|AB|＝y1＋y2＋2＝kx1＋1＋kx2＋1＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4≥4(當且僅當k＝0時，等號成立)，故B正確；因為點D(0，－1)，kDA＋kDB＝＋＝＋＝＝＝0，即直線DA和直線DB的傾斜角互補，所以DF平分∠ADB，故C正確；由兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，因為點M(2，3)是弦AB的中點，所以x1＋x2＝4，所以直線m的斜率k＝＝＝1，所以直線m的方程為x－y＋1＝0，故D正確．故選BCD.
【通性通法】
解決焦點弦問題的策略
(1)利用拋物線的定義把過焦點的弦分成兩個焦半徑，然后轉化為到準線的距離，再求解．
(2)利用與拋物線焦點弦有關的二級結論求解．
【鞏固遷移】
2．(2024·山東聊城質檢)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，過F作斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點，若弦AB的中點到拋物線準線的距離為3，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝12x D．y2＝6x
答案　B
解析　因為直線l的方程為y＝2，即y＝2x－p，由消去y，得4x2－6px＋p2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，又因為弦AB的中點到拋物線準線的距離為3，所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故＝6－p，解得p＝，所以拋物線的方程為y2＝x.故選B.
3．(多選)(2023·新課標Ⅱ卷)設O為坐標原點，直線y＝－(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN為直徑的圓與l相切
D．△OMN為等腰三角形
答案　AC
解析　對于A，直線y＝－(x－1)過點(1，0)，所以拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x，A正確；對于B，不妨設M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，由消去y并化簡，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，B錯誤；對于C，設MN的中點為A，M，N，A到直線l的距離分別為d1，d2，d，因為d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直線l的距離等于|MN|的一半，所以以MN為直徑的圓與直線l相切，C正確；對于D，由上述分析可知y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，所以△OMN不是等腰三角形，D錯誤．故選AC.
考點三　直線與拋物線的綜合問題
例3　(2023·重慶統考模擬預測)如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，F為其焦點，點A(2，y0)在C上，△OAF的面積為4.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點P(m，0)(m>0)作斜率為－1的直線l1交拋物線C于點M，N，直線MF交拋物線C于點Q，以Q為切點作拋物線C的切線l2，且l2∥l1，求△MNQ的面積．
解　(1)由題意，可知拋物線C的焦點F，
將A(2，y0)代入拋物線C的方程，得y＝4p，且p>0，
則|y0|＝2，
因為△OAF的面積為××2＝＝4，解得p＝4，
所以拋物線C的方程為y2＝8x.
(2)由(1)可得拋物線C的方程為y2＝8x，焦點F(2，0)，
設直線l1：x＝－y＋m(m>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，
聯立方程消去x，得y2＋8y－8m＝0，
則Δ＝64＋32m>0，可得y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m，
因為點M(x1，y1)在拋物線上，則y＝8x1，即x1＝，
所以直線MF的方程為
x＝y＋2＝y＋2＝y＋2，
聯立方程消去x，得y2＋y－16＝0，
可得y1y3＝－16，即y3＝－，
則x3＝×＋2＝，
即Q，
因為l2∥l1，可設l2：x＝－y＋n，
代入Q，得＝＋n，即n＝－，
所以l2：x＝－y＋－，
聯立方程消去x，得
y2＋8y＋8＝0，
因為l2為拋物線C的切線，
則Δ＝64－32＝0，
整理得y－8y1＋16＝0，解得y1＝4，
又因為y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m，y1y3＝－16，
可得y2＝－12，m＝6，y3＝－4，
即Q(2，－4)，l1：x＝－y＋6，
可得|MN|＝×|4－(－12)|＝16，
點Q(2，－4)到直線l1：x＋y－6＝0的距離d＝＝4，
所以S△MNQ＝|MN|·d＝×16×4＝64.
【通性通法】
解決直線與拋物線綜合問題的策略
(1)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線y2＝2px的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則一般用弦長公式．
(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．
提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．
【鞏固遷移】
4．(2023·甘肅張掖高臺縣第一中學統考期末)已知點A(x0，－2)在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，且A到C的焦點F的距離與到x軸的距離之差為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)當p<2時，M，N是C上不同于點A的兩個動點，且直線AM，AN的斜率之積為－2，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點E，使得|DE|為定值．
解　(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線方程為x＝－，
又點A(x0，－2)在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，
即(－2)2＝2px0，∴x0＝，即A，
依題意，可得＋－2＝，
解得p＝1或p＝4，∴y2＝2x或y2＝8x.
(2)證明：∵p<2，
∴y2＝2x，A(2，－2)．
設MN：x＝my＋n，M，N，
聯立消去x，整理得y2－2my－2n＝0，
Δ＝4m2＋8n>0，　(ⅰ)
且y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n，
∴kAM·kAN＝·＝－2，
∴(y1－2)(y2－2)＝－2，
即y1y2－2(y1＋y2)＋6＝0，
∴n＋2m＝3，適合(ⅰ)，
將n＝3－2m代入x＝my＋n，
得x－3＝m(y－2)，
令解得
∴直線MN恒過定點Q(3，2)．
又AD⊥MN，∴點D在以AQ為直徑的圓上，
∵A，Q的中點為，
|AQ|＝＝，
∴以AQ為直徑的圓的方程為＋y2＝，
∴存在點E，使得|DE|＝，為定值．
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第2課時　直線與拋物線的位置關系
課標解讀 考向預測
1.會判斷直線與拋物線的位置關系. 2.會求直線與拋物線相交所得的弦長. 3.能解決與拋物線的切線相關的簡單幾何問題. 從近幾年高考來看，直線與圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點，高考試題中加大了思維能力的考查，以及二級結論的考查，減少了對復雜運算的考查．預計2025年高考對直線與拋物線綜合問題考查的難度會增加，平時應注意二級結論的應用.
【知識梳理】
1．直線與拋物線的位置關系
(1)直線與拋物線的三種位置關系
(2)設直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立，整理成關于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.
①若k≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當Δ<0時，直線與拋物線相離，無交點．
②若k＝0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．
因此，直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件．
2．弦長問題
設直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝|x1－x2|＝ ·或|AB|＝|y1－y2|＝·(k為直線的斜率，k≠0)．
3．拋物線的焦點弦問題
若MN為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦(過焦點的弦)，則焦點弦長為|MN|＝x1＋x2＋p(x1，x2分別為M，N的橫坐標)．
設過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則四種標準方程形式下的弦長公式如下表．
標準方程 弦長公式
y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0) |AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2)
4.拋物線的切線
(1)過拋物線y2＝2px(p>0)上的點P(x1，y1)的切線方程是y1y＝p(x＋x1)．
(2)拋物線y2＝2px(p>0)的斜率為k的切線方程是y＝kx＋(k≠0)．
【常用結論】
拋物線焦點弦的幾個常用結論
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝，|BF|＝，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；
(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上；
(7)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦，長度為2p；
(8)過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點．設直線l1的傾斜角為α，則|AB|＝，|DE|＝＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F到準線l的距離為2，則過點A(－1，0)恰有2條直線與拋物線C有且只有一個公共點．(　　)
(2)已知過拋物線C：y2＝x的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，若直線l垂直于x軸，則|AB|＝1.(　　)
(3)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l的傾斜角為60°且經過點F.若l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1x2＝2.(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第一冊3.3例4改編)斜率為的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則|AB|＝(　　)
A． B．
C．5 D．3
(2)(人教A選擇性必修第一冊習題3.3 T12改編)過定點P(0，1)且與拋物線y2＝8x有且僅有一個公共點的直線有________條．
(3)過點P(4，－3)作拋物線y＝x2的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為________________．
(4)(2024·山東濟南模擬)已知A，B為拋物線C：x2＝4y上的兩點，M(－1，2)，若＝，則直線AB的方程為________________．
【考點探究】
考點一　拋物線的切線
例1　(1)過拋物線x2＝4y上一點(4，4)的拋物線的切線方程為(　　)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
(2)(2023·四川成都適應性考試)已知A，B為拋物線y＝x2上兩點，以A，B為切點的拋物線的兩條切線交于點P，過點A，B的直線斜率為kAB，若點P的橫坐標為，則kAB＝________．
【通性通法】
求拋物線切線方程的方法
方法一 首先設出切線方程，然后與拋物線方程聯立，利用判別式求解
方法二 首先求導得出切線的斜率，然后由點斜式得出切線方程
方法三 過拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)的切線方程為y0y＝p(x＋x0)
【鞏固遷移】
1．(多選)(2023·遼寧名校聯考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的準線l的方程為y＝－1，過C的焦點F的直線與C交于A，B兩點，以A，B為切點分別作C的兩條切線，且兩切線交于點M，則下列結論正確的是(　　)
A．C的方程為x2＝2y
B．∠AMB＝90°
C．M恒在l上
D．|MF|2＝|AF|·|BF|
考點二　焦點弦問題
例2　(1)(2024·河北邯鄲模擬)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|＝(　　)
A．4 B．
C．5 D．6
(2)(多選)(2023·湖北鄂州市教學研究室期末)已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，準線l與y軸的交點為D，過點F的直線m與拋物線C交于A，B兩點，點O為坐標原點．下列結論正確的是(　　)
A．存在點A，B，使∠AOB≤
B．|AB|的最小值為4
C．DF平分∠ADB
D．若點M(2，3)是弦AB的中點，則直線m的方程為x－y＋1＝0
【通性通法】
解決焦點弦問題的策略
(1)利用拋物線的定義把過焦點的弦分成兩個焦半徑，然后轉化為到準線的距離，再求解．
(2)利用與拋物線焦點弦有關的二級結論求解．
【鞏固遷移】
2．(2024·山東聊城質檢)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，過F作斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點，若弦AB的中點到拋物線準線的距離為3，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝12x D．y2＝6x
3．(多選)(2023·新課標Ⅱ卷)設O為坐標原點，直線y＝－(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN為直徑的圓與l相切
D．△OMN為等腰三角形
考點三　直線與拋物線的綜合問題
例3　(2023·重慶統考模擬預測)如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，F為其焦點，點A(2，y0)在C上，△OAF的面積為4.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點P(m，0)(m>0)作斜率為－1的直線l1交拋物線C于點M，N，直線MF交拋物線C于點Q，以Q為切點作拋物線C的切線l2，且l2∥l1，求△MNQ的面積．
【通性通法】
解決直線與拋物線綜合問題的策略
(1)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線y2＝2px的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則一般用弦長公式．
(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．
提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．
【鞏固遷移】
4．(2023·甘肅張掖高臺縣第一中學統考期末)已知點A(x0，－2)在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，且A到C的焦點F的距離與到x軸的距離之差為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)當p<2時，M，N是C上不同于點A的兩個動點，且直線AM，AN的斜率之積為－2，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點E，使得|DE|為定值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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