資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第一節(jié)　平面向量的概念及線性運算
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測
1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義. 2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義. 3.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義. 預(yù)計2025年高考對本節(jié)內(nèi)容的考查會以線性運算、共線向量定理為主，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度屬中、低檔.
【知識梳理】
1．向量的有關(guān)概念
名稱 定義 表示
向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示
向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向線段的長度(或稱模) |a|或||
零向量 長度為0的向量 用0表示
單位向量 長度等于1個單位的向量 用e表示，|e|＝1
平行向量 方向相同或相反的非零向量(或稱共線向量) a∥b
相等向量 長度相等且方向相同的向量 a＝b
相反向量 長度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a
說明：零向量的方向是不確定的、任意的．
規(guī)定：零向量與任一向量平行．
2．向量的線性運算
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 交換律：a＋b＝b＋a； 結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 |λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同； 當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反； 當(dāng)λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
提醒：當(dāng)a≠0時，定理中的實數(shù)λ才唯一．
【常用結(jié)論】
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若F為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點，則＝(＋)．
3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，則＋＋＝0 P為△ABC的重心，＝(＋)．
4．若＝λ＋μ(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.
5．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．(　　)
(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(　　)
(3)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(　　)
(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　　)
2．小題熱身
(1)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，則下列結(jié)論錯誤的是(　　)
A．＝
B．與共線
C．與是相反向量
D．＝||
(2)(人教B必修第二冊6.2.1例3改編)設(shè)向量a，b不共線，向量λa＋b與a＋2b共線，則實數(shù)λ＝________．
(3)(人教A必修第二冊6.2例6改編)已知 ABCD的對角線AC和BD交于點O，且＝a，＝b，則＝________，＝________．(用a，b表示)
(4)(人教A必修第二冊習(xí)題6.2 T10改編)若a，b滿足|a|＝3，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為________，最小值為________．
【考點探究】
考點一　平面向量的有關(guān)概念
例1 (多選)下列命題中的真命題是(　　)
A．若|a|＝|b|，則a＝b
B．若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件
C．若a＝b，b＝c，則a＝c
D．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b
【通性通法】
平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點
關(guān)注點一 非零向量的平行具有傳遞性
關(guān)注點二 共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)
關(guān)注點三 向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量
關(guān)注點四 是與a同方向的單位向量
【鞏固遷移】
1．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若a，b都為非零向量，則使＋＝0成立的條件是a與b反向共線
D．若a∥b，b∥c，則a∥c
考點二　平面向量的線性運算(多考向探究)
考向1平面向量加、減運算的幾何意義
例2 設(shè)P為 ABCD對角線的交點，O為平面ABCD內(nèi)的任意一點，則＋＋＋＝(　　)
A． B．2
C．3 D．4
【通性通法】
1．平面向量的線性運算技巧
(1)不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解．
(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．
2．三種運算法則的要點
(1)加法的三角形法則要求“首尾連”，平行四邊形法則要求“共起點”．
(2)減法的三角形法則要求“共起點，連終點，指被減”．
(3)數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算．
【鞏固遷移】
2．(2024·山東青島二中月考)若||＝||＝|－|＝2，則|＋|＝________．
考向2平面向量的線性運算
例3 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA，記＝m，＝n，則＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
【通性通法】
平面向量的線性運算的求解策略
【鞏固遷移】
3．(2023·江蘇南通二模)在平行四邊形ABCD中，＝，＝.若＝m＋n，則m＋n＝(　　)
A． B．
C． D．
考點三　向量共線定理的應(yīng)用(多考向探究)
考向1判定向量共線、三點共線
例4 設(shè)兩個非零向量a與b不共線．若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線．
【通性通法】
共線向量定理的三個應(yīng)用
【鞏固遷移】
4．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，若＝λ＋，其中λ∈R，則點P一定在(　　)
A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上
C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上
考向2利用向量共線定理求參數(shù)
例5 若a，b是兩個不共線的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三點共線，則k＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
【通性通法】
一般通過構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運算，然后通過建立方程(組)即可求得相關(guān)參數(shù)的值．
【鞏固遷移】
5．如圖，在△ABC中，＝λ，E是BD上一點，若＝＋，則實數(shù)λ的值為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第一節(jié)　平面向量的概念及線性運算
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測
1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義. 2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義. 3.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義. 預(yù)計2025年高考對本節(jié)內(nèi)容的考查會以線性運算、共線向量定理為主，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度屬中、低檔.
【知識梳理】
1．向量的有關(guān)概念
名稱 定義 表示
向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示
向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向線段的長度(或稱模) |a|或||
零向量 長度為0的向量 用0表示
單位向量 長度等于1個單位的向量 用e表示，|e|＝1
平行向量 方向相同或相反的非零向量(或稱共線向量) a∥b
相等向量 長度相等且方向相同的向量 a＝b
相反向量 長度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a
說明：零向量的方向是不確定的、任意的．
規(guī)定：零向量與任一向量平行．
2．向量的線性運算
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 交換律：a＋b＝b＋a； 結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 |λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同； 當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反； 當(dāng)λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
提醒：當(dāng)a≠0時，定理中的實數(shù)λ才唯一．
【常用結(jié)論】
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若F為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點，則＝(＋)．
3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，則＋＋＝0 P為△ABC的重心，＝(＋)．
4．若＝λ＋μ(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.
5．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．(　　)
(2)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(　　)
(3)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(　　)
(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，則下列結(jié)論錯誤的是(　　)
A．＝
B．與共線
C．與是相反向量
D．＝||
答案　D
解析?。剑蔇錯誤．故選D.
(2)(人教B必修第二冊6.2.1例3改編)設(shè)向量a，b不共線，向量λa＋b與a＋2b共線，則實數(shù)λ＝________．
答案　
解析　∵λa＋b與a＋2b共線，∴存在實數(shù)μ使得λa＋b＝μ(a＋2b)，∴∴
(3)(人教A必修第二冊6.2例6改編)已知 ABCD的對角線AC和BD交于點O，且＝a，＝b，則＝________，＝________．(用a，b表示)
答案　b－a　－a－b
解析　如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
(4)(人教A必修第二冊習(xí)題6.2 T10改編)若a，b滿足|a|＝3，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為________，最小值為________．
答案　8　2
解析　|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a，b同向時取等號，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反向時取等號，所以|a＋b|min＝2.
【考點探究】
考點一　平面向量的有關(guān)概念
例1 (多選)下列命題中的真命題是(　　)
A．若|a|＝|b|，則a＝b
B．若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件
C．若a＝b，b＝c，則a＝c
D．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b
答案　BC
解析　A是假命題，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；B是真命題，∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則||＝||，∥且，方向相同，因此＝；C是真命題，∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c；D是假命題，當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．故選BC.
【通性通法】
平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點
關(guān)注點一 非零向量的平行具有傳遞性
關(guān)注點二 共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)
關(guān)注點三 向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量
關(guān)注點四 是與a同方向的單位向量
【鞏固遷移】
1．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若a，b都為非零向量，則使＋＝0成立的條件是a與b反向共線
D．若a∥b，b∥c，則a∥c
答案　BC
解析　零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；因為與都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，即a與b反向共線時才成立，故C正確；若b＝0，則不共線的a，c也有a∥0，c∥0，故D錯誤．
考點二　平面向量的線性運算(多考向探究)
考向1平面向量加、減運算的幾何意義
例2 設(shè)P為 ABCD對角線的交點，O為平面ABCD內(nèi)的任意一點，則＋＋＋＝(　　)
A． B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　由題意知，P為AC，BD的中點，所以在△OAC中，＝(＋)，即＋＝2，在△OBD中，＝(＋)，即＋＝2，所以＋＋＋＝4.故選D.
【通性通法】
1．平面向量的線性運算技巧
(1)不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解．
(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．
2．三種運算法則的要點
(1)加法的三角形法則要求“首尾連”，平行四邊形法則要求“共起點”．
(2)減法的三角形法則要求“共起點，連終點，指被減”．
(3)數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算．
【鞏固遷移】
2．(2024·山東青島二中月考)若||＝||＝|－|＝2，則|＋|＝________．
答案　2
解析　因為||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以|＋|為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以|＋|＝2.
考向2平面向量的線性運算
例3 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA，記＝m，＝n，則＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案　B
解析?。剑矗剑?＋3＝－2m＋3n.故選B.
【通性通法】
平面向量的線性運算的求解策略
【鞏固遷移】
3．(2023·江蘇南通二模)在平行四邊形ABCD中，＝，＝.若＝m＋n，則m＋n＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由題意可得＝＋＝＋＝＋(＋)＝
＋(－)＝＋，所以m＝，n＝，所以m＋n＝.故選D.
考點三　向量共線定理的應(yīng)用(多考向探究)
考向1判定向量共線、三點共線
例4 設(shè)兩個非零向量a與b不共線．若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線．
證明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，∴，共線，又它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．
【通性通法】
共線向量定理的三個應(yīng)用
【鞏固遷移】
4．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，若＝λ＋，其中λ∈R，則點P一定在(　　)
A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上
C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上
答案　B
解析　由＝λ＋，得－＝λ，＝λ，則，為共線向量，又，有一個公共點P，所以C，P，A三點共線，即點P在AC邊所在直線上．故選B.
考向2利用向量共線定理求參數(shù)
例5 若a，b是兩個不共線的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三點共線，則k＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
答案　B
解析　由題意知，＝－＝a－(k＋1)b，因為M，N，Q三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得＝λ，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
【通性通法】
一般通過構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運算，然后通過建立方程(組)即可求得相關(guān)參數(shù)的值．
【鞏固遷移】
5．如圖，在△ABC中，＝λ，E是BD上一點，若＝＋，則實數(shù)λ的值為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　B
解析　由＝λ，得＝，因為＝＋，所以＝＋·，因為E，B，D三點共線，所以＋＝1，解得λ＝4.故選B.
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