資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二節　平面向量基本定理及坐標表示
課標解讀 考向預測
1.理解平面向量基本定理及其意義. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示. 3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算. 4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件. 預計2025年高考，平面向量基本定理與坐標表示及運算仍是考查的重點，題型還是以選擇題或填空題為主，中低檔難度.
【知識梳理】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
2．平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b x1y2－x2y1＝0．
【常用結論】
1．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為.
2．已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)設{a，b}是平面內的一個基底，若實數λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.(　　)
(3)平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案　D
解析　∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a＝，b＝，∴a－b＝＝(－1，2)．故選D.
(2)(人教B必修第二冊6.2.4例4改編)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是線段P1P2的一個三等分點，則點P的坐標為(　　)
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
答案　D
解析　由題意可知＝(3，－3)．若＝，則點P的坐標為(2，2)；若＝，則點P的坐標為(3，1)．故選D.
(3)(人教A必修第二冊6.3例5改編)已知 ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為________．
答案　(1，5)
解析　設D(x，y)，則由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得故頂點D的坐標為(1，5)．
(4)(人教A必修第二冊6.3例1改編)如圖，，不共線，且＝t(t∈R)，用，表示，則＝________．
答案　(1－t)＋t
解析　∵＝t，∴＝＋＝＋t＝＋t(－)＝＋t－t＝(1－t)＋t.
【考點探究】
考點一　平面向量基本定理的應用
例1 (2024·山東青島二中階段考試)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓O于點D，設＝a，＝b，則向量＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案　C
解析　設圓O的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，又∠BAC的平分線交△ABC的外接圓O于點D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，則根據圓的性質得BD＝AB，又因為在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，所以＝＋＝a＋b.故選C.
【通性通法】
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
提醒：(1)一個基底中的兩個向量必須是同一平面內的兩個不共線向量．
(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．
【鞏固遷移】
1．(2023·蘇州質檢)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則＝________．
答案　
解析　由題圖可設＝x(0考點二　平面向量的坐標運算
例2 已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－(a－2b)＝.故選D.
【通性通法】
1．平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．
(2)解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標相同”這一原則，通過列方程(組)來進行求解．
2．向量坐標運算的注意事項
(1)向量坐標與點的坐標形式相似，實質不同．
(2)向量坐標形式的線性運算類似多項式的運算．
【鞏固遷移】
2．(2024·吉林期末)已知向量＝(2，3)，＝(4，－1)(O為坐標原點)，P是線段AB的中點，則點P的坐標是(　　)
A．(2，－4) B．(3，1)
C．(－2，4) D．(6，2)
答案　B
解析　因為點P是線段AB的中點，所以＋＝2，設P(x，y)，則解得所以點P的坐標是(3，1)．故選B.
考點三　平面向量共線的坐標表示(多考向探究)
考向1利用向量共線求向量或點的坐標
例3 設點A(2，0)，B(4，2)，若點P在直線AB上，且||＝2||，則點P的坐標為(　　)
A．(3，1) B．(1，－1)
C．(3，1)或(1，－1) D．(3，1)或(1，1)
答案　C
解析　∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)，∵點P在直線AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故點P的坐標為(3，1)或(1，－1)．故選C.
【通性通法】
利用向量共線求向量或點的坐標的一般思路
求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求點的坐標時，可設要求點的坐標為(x，y)，根據向量共線的條件列方程(組)，求出x，y的值．
提醒：(1)a∥b的充要條件不能表示為＝，因為x2，y2有可能為0.
(2)當且僅當x2y2≠0時，a∥b與＝等價，即兩個不平行于坐標軸的共線向量的對應坐標成比例．
【鞏固遷移】
3．已知O為坐標原點，點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，則AC與OB的交點P的坐標為________．
答案　(3，3)
解析　解法一：由O，P，B三點共線，可設＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4，4λ)．又＝－＝(－2，6)，由與共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以點P的坐標為(3，3)．
解法二：設點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4，4)且與共線，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且與共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以點P的坐標為(3，3)．
考向2利用向量共線求參數
例4 已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，則x＋2y的值為(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　B
解析　因為＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，所以＝＋＋＝(4＋x，y－2)，所以＝(－x－4，2－y)，因為∥，所以x(2－y)＝y(－x－4)，所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.故選B.
【通性通法】
平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．
【鞏固遷移】
4．(2023·四川成都三模)設向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，則“a與b共線”的充要條件是(　　)
A．x＝±2 B．x＝2
C．x＝－2 D．x＝
答案　A
解析　因為a∥b，a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，所以(x＋1)(x－1)＝3，所以x＝±2.故選A.
考點四　解析法(坐標法)在向量中的應用
例5 如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________．
答案　
解析　解法一：以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，設正方形的邊長為1，則＝，＝，＝(1，1)，∵＝λ＋μ＝，∴解得
∴λ＋μ＝.
解法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，∴解得∴λ＋μ＝.
【通性通法】
通過建立坐標系，把復雜的幾何運算轉化為便于操作的代數運算，使向量問題化繁為簡．
【鞏固遷移】
5．(2024·廣西賓陽中學階段練習)已知直角坐標平面內有不共線的三點A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)．
(1)求以線段AB，AD為鄰邊的平行四邊形ABCD兩條對角線AC，BD的長；
(2)設點P滿足＝(3，3)，試判斷點P是在△ABD的BD邊上，還是在△ABD的外部？請說明理由．
解　(1)∵A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)，
∴＝(1，0)，＝(3，4)，＝(2，4)，
＝＋＝(1，0)＋(3，4)＝(4，4)，
∴AC＝||＝＝4，
BD＝＝2.
(2)∵BD的中點為E(3，3)，A(1，1)，
∴＝(2，2)，
又＝(3，3)，
∴＝，
由>1知點P在AE的延長線上，
∴點P不是在△ABD的BD邊上，而是在△ABD的外部．
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第二節　平面向量基本定理及坐標表示
課標解讀 考向預測
1.理解平面向量基本定理及其意義. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示. 3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算. 4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件. 預計2025年高考，平面向量基本定理與坐標表示及運算仍是考查的重點，題型還是以選擇題或填空題為主，中低檔難度.
【知識梳理】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
2．平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b x1y2－x2y1＝0．
【常用結論】
1．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為.
2．已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)設{a，b}是平面內的一個基底，若實數λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.(　　)
(3)平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變．(　　)
2．小題熱身
(1)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
(2)(人教B必修第二冊6.2.4例4改編)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是線段P1P2的一個三等分點，則點P的坐標為(　　)
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
(3)(人教A必修第二冊6.3例5改編)已知 ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為________．
(4)(人教A必修第二冊6.3例1改編)如圖，，不共線，且＝t(t∈R)，用，表示，則＝________．
【考點探究】
考點一　平面向量基本定理的應用
例1 (2024·山東青島二中階段考試)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓O于點D，設＝a，＝b，則向量＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【通性通法】
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
提醒：(1)一個基底中的兩個向量必須是同一平面內的兩個不共線向量．
(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．
【鞏固遷移】
1．(2023·蘇州質檢)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則＝________．
考點二　平面向量的坐標運算
例2 已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c＝(　　)
A． B．
C． D．
【通性通法】
1．平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．
(2)解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標相同”這一原則，通過列方程(組)來進行求解．
2．向量坐標運算的注意事項
(1)向量坐標與點的坐標形式相似，實質不同．
(2)向量坐標形式的線性運算類似多項式的運算．
【鞏固遷移】
2．(2024·吉林期末)已知向量＝(2，3)，＝(4，－1)(O為坐標原點)，P是線段AB的中點，則點P的坐標是(　　)
A．(2，－4) B．(3，1)
C．(－2，4) D．(6，2)
考點三　平面向量共線的坐標表示(多考向探究)
考向1利用向量共線求向量或點的坐標
例3 設點A(2，0)，B(4，2)，若點P在直線AB上，且||＝2||，則點P的坐標為(　　)
A．(3，1) B．(1，－1)
C．(3，1)或(1，－1) D．(3，1)或(1，1)
【通性通法】
利用向量共線求向量或點的坐標的一般思路
求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求點的坐標時，可設要求點的坐標為(x，y)，根據向量共線的條件列方程(組)，求出x，y的值．
提醒：(1)a∥b的充要條件不能表示為＝，因為x2，y2有可能為0.
(2)當且僅當x2y2≠0時，a∥b與＝等價，即兩個不平行于坐標軸的共線向量的對應坐標成比例．
【鞏固遷移】
3．已知O為坐標原點，點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，則AC與OB的交點P的坐標為________．
解法二：設點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4，4)且與共線，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且與共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以點P的坐標為(3，3)．
考向2利用向量共線求參數
例4 已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，則x＋2y的值為(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【通性通法】
平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．
【鞏固遷移】
4．(2023·四川成都三模)設向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，則“a與b共線”的充要條件是(　　)
A．x＝±2 B．x＝2
C．x＝－2 D．x＝
考點四　解析法(坐標法)在向量中的應用
例5 如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________．
【通性通法】
通過建立坐標系，把復雜的幾何運算轉化為便于操作的代數運算，使向量問題化繁為簡．
【鞏固遷移】
5．(2024·廣西賓陽中學階段練習)已知直角坐標平面內有不共線的三點A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)．
(1)求以線段AB，AD為鄰邊的平行四邊形ABCD兩條對角線AC，BD的長；
(2)設點P滿足＝(3，3)，試判斷點P是在△ABD的BD邊上，還是在△ABD的外部？請說明理由．
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