資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題. 預(yù)計(jì)2025年高考，平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，與長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直有關(guān)的問(wèn)題以及平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用仍是考查的熱點(diǎn)，會(huì)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).
【知識(shí)梳理】
1．向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
2．平面向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
3．平面向量數(shù)量積的幾何意義
設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，＝a，＝b，過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，記為|a|cosθe.
4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
提醒：(1)平面向量的數(shù)量積不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)c≠a(b·c)(這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線)．
(2)平面向量的數(shù)量積不滿足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如圖，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此時(shí)a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．
5．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
幾何表示 坐標(biāo)表示
數(shù)量積 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2＋y1y2|≤
【常用結(jié)論】
1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論
已知向量a，b，
(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0；
(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是.(　　)
(2)若a·b>0，則a與b的夾角為銳角．(　　)
(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小題熱身
(1)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，則a與b夾角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　|a|＝＝5，|b|＝＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63.設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝＝.故選A.
(2)(人教A必修第二冊(cè)6.2練習(xí)T3改編)若a·b＝－6，|a|＝8，與a方向相同的單位向量為e，則向量b在向量a上的投影向量為_(kāi)_______．
答案　－e
解析　向量b在向量a上的投影向量為e＝－e.
(3)(人教B必修第三冊(cè)8.1.2例2改編)已知|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝2，則〈a，b〉＝________．
答案　60°
解析　由|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝4，得a·b＝1，即|a||b|cos〈a，b〉＝1，則cos〈a，b〉＝，故〈a，b〉＝60°.
(4)(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題6.2 T24改編)在⊙C中，弦AB的長(zhǎng)度為4，則·＝________．
答案　8
解析　取AB的中點(diǎn)M，連接CM，則CM⊥AB，＝，所以·＝||||·cos∠BAC＝||||＝||2＝8.
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
例1 (1)(2024·江蘇淮安模擬)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則(a＋b)·c＝________，a·b＝________．
答案　0　3
解析　如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
(2)在平面四邊形ABCD中，已知＝，P為CD上一點(diǎn)，＝3，||＝4，||＝3，與的夾角為θ，且cosθ＝，則·＝________．
答案?。?
解析　如圖所示，∵＝，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵＝3，∴＝＋＝＋，＝－＝－，又||＝4，||＝3，cosθ＝，則·＝4×3×＝8，∴·＝·＝2＋·－2＝×42＋×8－9＝－2.
【通性通法】
計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法
提醒：設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cosθ＝.
【鞏固遷移】
1．設(shè)向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．若a＝－2e1＋7e2，b＝4e1＋3e2，則a·b＝________，向量a在向量b上的投影向量為_(kāi)_______．
答案　13　
解析　因?yàn)橄蛄縠1＝(1，0)，e2＝(0，1)，所以a＝－2e1＋7e2＝－2(1，0)＋7(0，1)＝(－2，7)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，所以a·b＝－2×4＋7×3＝13.由a＝(－2，7)，b＝(4，3)可得，|a|＝＝，|b|＝＝5，所以cos〈a，b〉＝＝，向量a在向量b上的投影向量為|a|cos〈a，b〉＝××＝b＝.
2．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，M是BC的中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn)．若＝x＋y，則x＋y＝________；·＝________．
答案　　1
解析　∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＝，∵D是AM的中點(diǎn)，∴＝＋＝＋，∴x＝，y＝，∴x＋y＝.∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，M是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，且BM＝1，∴·＝||||cos∠DBM＝||2＝1.
考點(diǎn)二　平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(多考向探究)
考向1平面向量的模
例2 (1)(2022·全國(guó)乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則|a－b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　D
解析　因?yàn)閍－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.故選D.
(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________．
答案　
解析　解法一：因?yàn)閨a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，則a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因?yàn)閨a－b|＝，即(a－b)2＝3，則a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝.
解法二：設(shè)c＝a－b，則|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由題意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，則c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.
【通性通法】
求平面向量的模的方法
【鞏固遷移】
3.(2024·山東兗州階段考試)如圖，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，若AB＝1，AC＝3，與的夾角為60°，則||＝________．
答案　
解析　因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)，所以||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝×(1＋9＋2×1×3cos60°)＝，所以||＝.
考向2平面向量的夾角
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
答案　C
解析　c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故選C.
【通性通法】
求平面向量的夾角的方法
【鞏固遷移】
4．(2024·湖南岳陽(yáng)階段考試)已知正方形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，且滿足2＝，設(shè)向量與的夾角為θ，則cosθ＝________．
答案?。?br/>解析　解法一：因?yàn)?＝，所以E為BC的中點(diǎn)．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cosθ＝＝＝－.
解法二：因?yàn)?＝，所以E為BC的中點(diǎn)．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cosθ＝＝＝－.
考向3平面向量的垂直
例4 (1)(2024·福建福州開(kāi)學(xué)考試)下列向量中，與(3，2)垂直的向量是(　　)
A．(－4，6) B．(2，3)
C．(3，－2) D．(－3，2)
答案　A
解析　對(duì)于A，∵(3，2)·(－4，6)＝－12＋12＝0，∴A符合題意；對(duì)于B，∵(3，2)·(2，3)＝6＋6＝12≠0，∴B不符合題意；對(duì)于C，∵(3，2)·(3，－2)＝9－4＝5≠0，∴C不符合題意；對(duì)于D，∵(3，2)·(－3，2)＝－9＋4＝－5≠0，∴D不符合題意．
(2)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ＝________．
答案　
解析　因?yàn)椤?，所以·?.又＝λ＋，＝－，所以·＝(λ＋)·(－)＝0，即(λ－1)·－λ2＋2＝0，所以(λ－1)||||·cos120°－λ||2＋||2＝0，所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0，解得λ＝.
【通性通法】
有關(guān)平面向量垂直的兩類(lèi)題型
(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明或判斷兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題
(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系求參數(shù)的值
根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．
【鞏固遷移】
5．(2023·河南安陽(yáng)模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且＝3，||＝λ||，若⊥(3－)，則λ＝(　　)
A． B．3
C．2 D．1
答案　B
解析　由題意知，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，則·(3－)＝·(3－)＝2－2＝0，即9||2＝||2，則||＝3||，即λ＝3.故選B.
考向4最值、范圍問(wèn)題
例5 (1)已知e1，e2是兩個(gè)單位向量，且?jiàn)A角為，則e1＋te2與te1＋e2的數(shù)量積的最小值為(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　A
解析　由題意得，(e1＋te2)·(te1＋e2)＝te＋(t2＋1)e1·e2＋te＝t|e1|2＋(t2＋1)|e1||e2|·cos＋t|e2|2＝t2＋2t＋，∴當(dāng)t＝－2時(shí)，取得最小值，為×4－4＋＝－.故選A.
(2)(2022·天津高考)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中點(diǎn)，＝2，試用a，b表示為_(kāi)_______，若⊥，則∠ACB的最大值為_(kāi)_______．
答案　b－a　
解析　＝－＝b－a，＝－＝b－a.
解法一：⊥ ·(b－a)＝0，3b2＋a2＝4a·b cos∠ACB＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時(shí)取等號(hào)，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈.
解法二：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)||＝1，A(x，y)，則E(0，0)，B(1，0)，C(3，0)，所以＝
，＝(1－x，－y)，⊥ (x－1)＋＝0 (x＋1)2＋y2＝4，所以點(diǎn)A的軌跡是以M(－1，0)為圓心，r＝2為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)CA與⊙M相切時(shí)，∠ACB最大，此時(shí)sin∠ACB＝＝＝，∠ACB＝.
【通性通法】
利用數(shù)量積求最值、范圍的方法
方法一 用數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求最值
方法二 利用向量三角不等式求最值
方法三 利用向量數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化之后分析幾何圖形特征，利用數(shù)形結(jié)合求最值
【鞏固遷移】
6．已知點(diǎn)A，B在單位圓上，∠AOB＝，若＝2＋x(x∈R)，則||2的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．5－2 D．4
答案　A
解析　||2＝(2＋x)2＝42＋x22＋4x||||cos＝x2－2x＋4＝(x－)2＋2≥2，因此||2≥2.故選A.
7．已知⊥，||＝，||＝t，t∈.
若P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝＋，則·的取值范圍是________．
答案　
解析　由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得A(0，0)，B，C(0，t)，∵＝＋＝(0，4)＋(1，0)＝(1，4)，∴P(1，4)，＝，＝(－1，t－4)，·＝×(－1)＋(－4)×(t－4)＝－＋1－4t＋16＝－－4t＋17≤－2＋17＝13，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)，等號(hào)成立，又當(dāng)t＝時(shí)，·＝12，當(dāng)t＝4時(shí)，·＝，所以·的取值范圍為.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
課標(biāo)解讀 考向預(yù)測(cè)
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題. 預(yù)計(jì)2025年高考，平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，與長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直有關(guān)的問(wèn)題以及平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用仍是考查的熱點(diǎn)，會(huì)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).
【知識(shí)梳理】
1．向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
2．平面向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
3．平面向量數(shù)量積的幾何意義
設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，＝a，＝b，過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，記為|a|cosθe.
4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
提醒：(1)平面向量的數(shù)量積不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)c≠a(b·c)(這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線)．
(2)平面向量的數(shù)量積不滿足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如圖，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此時(shí)a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．
5．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
幾何表示 坐標(biāo)表示
數(shù)量積 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2＋y1y2|≤
【常用結(jié)論】
1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論
已知向量a，b，
(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0；
(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.
【診斷自測(cè)】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是.(　　)
(2)若a·b>0，則a與b的夾角為銳角．(　　)
(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量．(　　)
2．小題熱身
(1)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，則a與b夾角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
(2)(人教A必修第二冊(cè)6.2練習(xí)T3改編)若a·b＝－6，|a|＝8，與a方向相同的單位向量為e，則向量b在向量a上的投影向量為_(kāi)_______．
(3)(人教B必修第三冊(cè)8.1.2例2改編)已知|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝2，則〈a，b〉＝________．
(4)(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題6.2 T24改編)在⊙C中，弦AB的長(zhǎng)度為4，則·＝________．
【考點(diǎn)探究】
考點(diǎn)一　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
例1 (1)(2024·江蘇淮安模擬)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則(a＋b)·c＝________，a·b＝________．
(2)在平面四邊形ABCD中，已知＝，P為CD上一點(diǎn)，＝3，||＝4，||＝3，與的夾角為θ，且cosθ＝，則·＝________．
【通性通法】
計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法
提醒：設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cosθ＝.
【鞏固遷移】
1．設(shè)向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．若a＝－2e1＋7e2，b＝4e1＋3e2，則a·b＝________，向量a在向量b上的投影向量為_(kāi)_______．
2．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，M是BC的中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn)．若＝x＋y，則x＋y＝________；·＝________．
考點(diǎn)二　平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(多考向探究)
考向1平面向量的模
例2 (1)(2022·全國(guó)乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則|a－b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________．
【通性通法】
求平面向量的模的方法
【鞏固遷移】
3.(2024·山東兗州階段考試)如圖，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，若AB＝1，AC＝3，與的夾角為60°，則||＝________．
考向2平面向量的夾角
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
【通性通法】
求平面向量的夾角的方法
【鞏固遷移】
4．(2024·湖南岳陽(yáng)階段考試)已知正方形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，且滿足2＝，設(shè)向量與的夾角為θ，則cosθ＝________．
考向3平面向量的垂直
例4 (1)(2024·福建福州開(kāi)學(xué)考試)下列向量中，與(3，2)垂直的向量是(　　)
A．(－4，6) B．(2，3)
C．(3，－2) D．(－3，2)
(2)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ＝________．
【通性通法】
有關(guān)平面向量垂直的兩類(lèi)題型
(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明或判斷兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題
(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系求參數(shù)的值
根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．
【鞏固遷移】
5．(2023·河南安陽(yáng)模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且＝3，||＝λ||，若⊥(3－)，則λ＝(　　)
A． B．3
C．2 D．1
考向4最值、范圍問(wèn)題
例5 (1)已知e1，e2是兩個(gè)單位向量，且?jiàn)A角為，則e1＋te2與te1＋e2的數(shù)量積的最小值為(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)(2022·天津高考)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中點(diǎn)，＝2，試用a，b表示為_(kāi)_______，若⊥，則∠ACB的最大值為_(kāi)_______．
【通性通法】
利用數(shù)量積求最值、范圍的方法
方法一 用數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求最值
方法二 利用向量三角不等式求最值
方法三 利用向量數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化之后分析幾何圖形特征，利用數(shù)形結(jié)合求最值
【鞏固遷移】
6．已知點(diǎn)A，B在單位圓上，∠AOB＝，若＝2＋x(x∈R)，則||2的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．5－2 D．4
7．已知⊥，||＝，||＝t，t∈. 若P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝＋，則·的取值范圍是________．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑