資源簡介

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第四節　復數
課標解讀 考向預測
1.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義. 2.掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義． 復數是高考的必考內容，主要考查復數的加、減、乘、除運算及復數的幾何意義．預計2025年高考會考查復數運算，題型以選擇題、填空題為主，分值為5分或6分.
【知識梳理】
1．復數的有關概念
(1)復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a是實部，b是虛部，i為虛數單位．
(2)復數的分類
復數z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)復數相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數
a＋bi與c＋di互為共軛復數 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復數的模
向量的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．復數的幾何意義
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)．
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．復數的四則運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
【常用結論】
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．復數z的方程在復平面內表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，a和b為半徑的兩圓所夾的圓環．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)復數z＝a－bi(a，b∈R)中，虛部為b.(　　)
(2)復數可以比較大小．(　　)
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數z為純虛數．(　　)
(4)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．(　　)
2．小題熱身
(1)(2023·全國甲卷)＝(　　)
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
(2)(人教A必修第二冊習題7.2 T2改編)在復平面內，向量對應的復數是2＋i，向量對應的復數是－1－3i，則向量對應的復數是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
(3)若a＋bi(a，b∈R)是的共軛復數，則a＋b＝________．
(4)(人教B必修第四冊習題10－1A T2改編)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虛數單位，則a＋b＝________；若復數z＝a＋bi，則z在復平面內對應的點位于第________象限．
【考點探究】
考點一　復數的有關概念
例1 (1)(2023·蘇州期末)設i為虛數單位，若復數(1－i)(1＋ai)是純虛數，則實數a的值為(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)若復數z滿足(1＋2i)z＝4＋3i，則的實部為(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【通性通法】
解決復數概念問題的兩個注意事項
【鞏固遷移】
1．(2024·衡水中學模擬)已知＝1－yi，其中x，y是實數，i是虛數單位，則x＋yi的共軛復數為(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
2．復數z＝(3＋i)(1－4i)，則復數z的實部與虛部之和是________．
考點二　復數的運算
例2 (1)(2023·新課標Ⅰ卷)已知z＝，則z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
(2)若復數z滿足＝i，則z2＝________，|z|＝________．
【通性通法】
復數代數形式運算的策略
【鞏固遷移】
3．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
4．(2023·全國乙卷)設z＝，則＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
考點三　復數的幾何意義
例3 (1)如圖，若向量對應的復數為z，則z＋表示的復數為(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
(2)(多選)(2024·江蘇徐州模擬)已知復數z1＝－2＋i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為A，復數z2滿足|z2－1＋i|＝2，z2在復平面內對應的點為B(x，y)，則下列結論正確的是(　　)
A．復數z1的虛部為i
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．|z1－z2|的最大值為＋2
D．|z1＋z2|的最小值為－2
【通性通法】
復數z、復平面內的點Z及向量相互聯系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．
【鞏固遷移】
5．在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．設復數z滿足|z－2i|＝1，在復平面內z對應的點到原點的距離的最大值是(　　)
A．1 B．
C． D．3
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第四節　復數
課標解讀 考向預測
1.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義. 2.掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義． 復數是高考的必考內容，主要考查復數的加、減、乘、除運算及復數的幾何意義．預計2025年高考會考查復數運算，題型以選擇題、填空題為主，分值為5分或6分.
【知識梳理】
1．復數的有關概念
(1)復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a是實部，b是虛部，i為虛數單位．
(2)復數的分類
復數z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)復數相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數
a＋bi與c＋di互為共軛復數 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復數的模
向量的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．復數的幾何意義
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)．
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．復數的四則運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
【常用結論】
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．復數z的方程在復平面內表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，a和b為半徑的兩圓所夾的圓環．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)復數z＝a－bi(a，b∈R)中，虛部為b.(　　)
(2)復數可以比較大小．(　　)
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數z為純虛數．(　　)
(4)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(2023·全國甲卷)＝(　　)
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
答案　C
解析　＝＝1－i.故選C.
(2)(人教A必修第二冊習題7.2 T2改編)在復平面內，向量對應的復數是2＋i，向量對應的復數是－1－3i，則向量對應的復數是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
答案　D
解析　∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i.故選D.
(3)若a＋bi(a，b∈R)是的共軛復數，則a＋b＝________．
答案　1
解析　由＝＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，則a＋b＝1.
(4)(人教B必修第四冊習題10－1A T2改編)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虛數單位，則a＋b＝________；若復數z＝a＋bi，則z在復平面內對應的點位于第________象限．
答案　0　二
解析　由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由復數相等的充要條件得解得所以a＋b＝0，z＝－1＋i，所以復數z在復平面內對應的點為(－1，1)，位于第二象限．
【考點探究】
考點一　復數的有關概念
例1 (1)(2023·蘇州期末)設i為虛數單位，若復數(1－i)(1＋ai)是純虛數，則實數a的值為(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　A
解析　∵(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i＋a＝1＋a＋(a－1)i為純虛數，∴1＋a＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.故選A.
(2)若復數z滿足(1＋2i)z＝4＋3i，則的實部為(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　C
解析　由題意，得z＝＝＝＝2－i，所以＝2＋i，故的實部為2.故選C.
【通性通法】
解決復數概念問題的兩個注意事項
【鞏固遷移】
1．(2024·衡水中學模擬)已知＝1－yi，其中x，y是實數，i是虛數單位，則x＋yi的共軛復數為(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
答案　B
解析　由＝1－yi，得＝1－yi，即－i＝1－yi，∴解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共軛復數為2－i.故選B.
2．復數z＝(3＋i)(1－4i)，則復數z的實部與虛部之和是________．
答案　－4
解析　z＝(3＋i)(1－4i)＝7－11i，則z的實部為7，虛部為－11，故復數z的實部與虛部之和是7－11＝－4.
考點二　復數的運算
例2 (1)(2023·新課標Ⅰ卷)已知z＝，則z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
答案　A
解析　因為z＝＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i.故選A.
(2)若復數z滿足＝i，則z2＝________，|z|＝________．
答案　－2i　
解析　設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝＝i，a＋(b－1)i＝i·[(a＋1)＋bi]＝－b＋(a＋1)i，所以解得所以z＝－1＋i，故z2＝(－1＋i)2＝－2i，|z|＝＝.
【通性通法】
復數代數形式運算的策略
【鞏固遷移】
3．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
答案　D
解析　(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故選D.
4．(2023·全國乙卷)設z＝，則＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
答案　B
解析　由題意可得z＝＝＝＝＝1－2i，則＝1＋2i.故選B.
考點三　復數的幾何意義
例3 (1)如圖，若向量對應的復數為z，則z＋表示的復數為(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
答案　D
解析　由題圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故選D.
(2)(多選)(2024·江蘇徐州模擬)已知復數z1＝－2＋i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為A，復數z2滿足|z2－1＋i|＝2，z2在復平面內對應的點為B(x，y)，則下列結論正確的是(　　)
A．復數z1的虛部為i
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．|z1－z2|的最大值為＋2
D．|z1＋z2|的最小值為－2
答案　BC
解析　由z1＝－2＋i知，虛部為1，故A錯誤；因為|z2－1＋i|＝2，z2在復平面內對應的點為B(x，y)，則|(x－1)＋(y＋1)i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故B正確；由題意知，點B在以(1，－1)為圓心，2為半徑的圓上，根據復數的幾何意義，|AB|＝|z1－z2|，所以|z1－z2|max＝＋2＝＋2，故C正確；|z1＋z2|＝|(－2＋x)＋(1＋y)i|＝表示點B與定點(2，－1)的距離，易知點(2，－1)在圓內，所以|z1＋z2|min＝2－＝1，故D錯誤．故選BC.
【通性通法】
復數z、復平面內的點Z及向量相互聯系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．
【鞏固遷移】
5．在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　＝＝＋i的共軛復數為－i，對應點為，在第四象限．故選D.
6．設復數z滿足|z－2i|＝1，在復平面內z對應的點到原點的距離的最大值是(　　)
A．1 B．
C． D．3
答案　D
解析　由題意可知，在復平面內復數z對應的點為復平面內一動點到定點(0，2)的距離為1的點的集合，即以(0，2)為圓心，1為半徑的圓，圓心(0，2)到原點的距離為2，所以圓上任一點到原點的距離的最大值為2＋1＝3.故選D.
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