資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一節　數列的概念與簡單表示法
課標解讀 考向預測
1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表法、圖象法、解析式法). 2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數. 預計2025年高考會以特殊數列為主，考查數列的通項公式與前n項和公式以及遞推公式，在選擇題、填空題或解答題中都可能會出現，難度適中.
【知識梳理】
1．數列的定義
按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．
2．數列的表示方法
列表法 列出表格表示n與an的對應關系
圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標系中
解析式法 通項公式 數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式
遞推公式 如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式
3.數列的分類
分類標準 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列 an＋1＞an 其中n∈N*
遞減數列 an＋1＜an
常數列 an＋1＝an
擺動數列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
4.數列的前n項和
(1)表示：在數列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數列的前n項和．
(2)an與Sn的關系：若數列{an}的前n項和為Sn，則an＝
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相同的一組數按不同順序排列時都表示同一個數列．(　　)
(2)如果數列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
(3)在數列{an}中，對于任意正整數m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，則a2＝2.(　　)
(4)任何一個數列都有唯一的通項公式．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．小題熱身
(1)在數列，，，2，，…中，第9個數是(　　)
A．3 B．3
C． D．10
答案　B
解析　觀察題目中的數列可知，根號里面的數是公差為1的等差數列，即，第9個數為＝3.故選B.
(2)(多選)已知數列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數列的通項公式可能是(　　)
A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝
C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1
答案　ABD
解析　對n＝1，2，3，4進行驗證，an＝2sin不符合題意，其他都可能．故選ABD.
(3)(人教A選擇性必修第二冊4.1練習T3改編)在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，則a5＝________．
答案　
解析　由題意，令n＝1，可得a2＝1＋＝2；令n＝2，可得a3＝1＋＝1＋＝；令n＝3，可得a4＝1＋＝1＋＝；令n＝4，可得a5＝1＋＝1＋＝.
(4)(人教A選擇性必修第二冊4.1練習 T1改編)下列從左到右排列的圖形中，小正方形個數構成的數列的一個通項公式為an＝________．
答案　n2
解析　由題圖可知，從中間一行向上、向下每經過一行，小正方形的數量減少1，直至減少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1，所以an＝n＋2·＝n2.
【考點探究】
考點一　利用an與Sn的關系求通項公式(多考向探究)
考向1已知Sn求an
例1 (2023·山西大學附中三模)已知數列{an}滿足條件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，則數列{an}的通項公式為________．
答案　an＝
解析　當n＝1時，a1＝14，因為a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，所以a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2n＋3(n≥2)，當n≥2時，兩式相減得，an＝(2n＋5)－(2n＋3)＝2，化簡得an＝2n＋1，又a1＝14不符合上式，所以an＝
【通性通法】
已知Sn求an的步驟
步驟一 利用a1＝S1，求出a1
步驟二 用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出當n≥2時an的表達式
步驟三 檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并
【鞏固遷移】
1．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝________．
答案　
解析　當n＝1時，a1＝S1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.顯然當n＝1時，不滿足上式，
故an＝
考向2已知an與Sn的關系求an
例2 已知數列{an}的前n項和為Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，則a100＝(　　)
A．297 B．298
C．299 D．2100
答案　C
解析　當n≥2時，由an＋1＝Sn　①，可得an＝Sn－1　②，兩式相減得，an＋1－an＝an，所以an＋1＝2an，n≥2，當n＝1時，a2＝S1＝a1＝2，故數列{an}從第2項開始，是公比為2的等比數列，所以an＝所以a100＝299.故選C.
【通性通法】
Sn與an關系問題的解題策略
根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化．
策略一 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解
策略二 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解
【鞏固遷移】
2．(2024·廣東中山一中階段考試)設Sn是數列{an}的前n項和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1(n≥2)，則Sn＝________，an＝________．
答案　　
解析　依題意得Sn－1－Sn＝Sn－1·Sn(n≥2)，整理得－＝1，又＝＝1，則數列是以1為首項，1為公差的等差數列，因此＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝，∴當n≥2時，an＝－Sn·Sn－1＝－.又當n＝1時，a1＝1，∴an＝
考點二 利用遞推關系求通項公式(多考 向探究)
考向1累加法
例3 (2024·江蘇鎮江一中高三月考)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，則an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案　A
解析　因為an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…，an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)，把以上各式分別相加得an－a1＝ln n－ln 1，則an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也適合該式，因此an＝2＋ln n(n∈N*)．故選A.
【通性通法】
形如an＋1－an＝f(n)的數列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數列{an}的通項公式．
【鞏固遷移】
3．已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝，則a100＝________．
答案　
解析　由已知，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝，又a2－a1＝1，∴數列{an＋1－an}是首項為1，公差為的等差數列，an＋1－an＝1＋(n－1)＝，∴an－an－1＝，…，a3－a2＝，a2－a1＝，∴an－a1＝(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝×(2＋3＋…＋n)，an＝(n≥2)，a100＝.
考向2累乘法
例4 (2024·湖北黃岡質檢)在數列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，則數列{an}的通項公式為an＝________．
答案　
解析　由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝.因為a1＝4，所以an＝(n≥2)．又a1＝4滿足上式，所以an＝.
【通性通法】
形如＝f(n)的數列，常令n分別為1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)個等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求數列{an}的通項公式．
提醒：利用累乘法，易出現兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到，漏掉a1而導致錯誤；二是根據連乘求出an之后，不注意檢驗a1是否成立．
【鞏固遷移】
4．數列{an}滿足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，則a6＝________．
答案　360
解析　由題意得an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan　①，當n＝1時，a2＝a1，當n≥2時，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1　②，①－②得an＋1－an＝nan，所以an＋1＝(n＋1)an(n≥2)，所以a1＝1，＝1，＝3，＝4，…，＝n，累乘得an＝(n≥2)，所以a6＝＝360.
考向3構造法
例5 (1)在數列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則an的表達式為________．
答案　an＝
解析　數列{an}中，由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，可得＝3＋，所以數列是首項為，公差為3的等差數列，所以＝＋3(n－1)＝，可得an＝.
(2)(2024·江西九江模擬)已知數列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2×3n＋1，n∈N*，則數列{an}的通項公式為________．
答案　an＝(2n－1)×3n
解析　由an＋1＝3an＋2×3n＋1，得＝＋，∴－＝2，即數列是首項為1，公差為2的等差數列，∴＝2n－1，得an＝(2n－1)×3n.
(3)(2023·四川師大附中二診)已知數列{an}滿足an＋1＝2an＋，且{an}的前8項和為761，則a1＝________．
答案　
解析　數列{an}滿足an＋1＝2an＋，整理得an＋1＋＝2，若a1＝－，則an＝－，顯然不符合題意，所以an≠－，則＝2(常數)，所以數列是以a1＋為首項，2為公比的等比數列，所以an＋＝·2n－1，整理得an＝·2n－1－.由于前8項和為761，所以S8＝×(1＋2＋…＋27)－8×＝×－4＝255－4＝761，解得a1＝.
【通性通法】
數列中求通項的常見構造法
形如an＋1＝pan＋q(p，q為常數，pq≠0且p≠1)的遞推式 可構造an＋1＋λ＝p(an＋λ)，轉化為等比數列求解．也可以與類比式an＝pan－1＋q作差，由an＋1－an＝p(an－an－1)，構造{an＋1－an}為等比數列，然后利用累加法求通項
形如an＋1＝pan＋dn(p≠0且p≠1，d≠0且d≠1)的遞推式 當p＝d時，兩邊同除以dn＋1轉化為關于的等差數列；當p≠d時，兩邊可以同除以dn＋1得＝·＋，轉化為bn＋1＝·bn＋，然后利用構造法求解
形如an＋1＝(ac≠0)的遞推式 取倒數得＝＝·＋.當a＝b時，數列是等差數列；當a≠b時，令bn＝，則bn＋1＝·bn＋，然后利用構造法求解
【鞏固遷移】
5．(2023·湖南株洲模擬)數列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則是這個數列的第(　　)
A．100項 B．101項
C．102項 D．103項
答案　A
解析　由an＋1＝(n∈N*)，得＝＝＋，則＝＋(n－1)＝1＋(n－1)＝，∴an＝，令＝，得n＝100.故選A.
6．(2024·浙江諸暨中學質檢)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為________．
答案　an＝2·3n－1－1
解析　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，又a1＋1＝2，∴數列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數列，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.
7．已知在數列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，則an＝________．
答案　－
解析　因為a1＝，an＋1＝an＋，所以2n＋1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝(2nan－3)，所以數列{2nan－3}是以2a1－3＝－為首項，為公比的等比數列，所以2nan－3＝－×，解得an＝－.
考點三　數列的性質及其應用(多考向探究)
考向1數列的周期性
例6 (2024·哈爾濱質檢)已知數列{an}的前n項積為Tn，a1＝2且an＋1＝1－，則T2024＝________．
答案　1
解析　∵a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2＝a1，…，∴數列{an}是周期為3的數列．又a1a2a3＝2××(－1)＝－1，且2024＝3×674＋2，∴T2024＝(－1)674·a2023·a2024＝1×2×＝1.
【通性通法】
解決數列周期性問題，根據給出的關系式求出數列的若干項，通過觀察歸納出數列的周期，進而求出有關項的值或前n項和．
【鞏固遷移】
8．(2024·江西臨川一中高三質檢)無窮數列{an}滿足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，則稱{an}為“和諧遞進數列”．若{an}為“和諧遞進數列”，Sn為其前n項和，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，則a7＝________，S2023＝________．
答案　1　4719
解析　因為數列{an}是“和諧遞進數列”，且a1＝a4＝1，a2＝2，所以a5＝a2＝2，同理有a3＝a6，a7＝a4＝1，a8＝a5＝2，又a6＋a8＝6，所以a3＝a6＝4，則數列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，a7＝1，a8＝2，…，故數列{an}是以3為周期的數列，所以S2023＝S674×3＋1＝(1＋2＋4)×674＋1＝4719.
考向2數列的單調性
例7 已知數列{an}的通項公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ<1”是“數列{an}為遞增數列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　若數列{an}為遞增數列，則有an＋1－an>0，∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，即2n＋1>2λ對任意的n∈N*都成立，于是有λ<＝，∵由λ<1可推得λ<，但反過來，由λ<不能得到λ<1，∴“λ<1”是“數列{an}為遞增數列”的充分不必要條件．故選A.
【通性通法】
解決數列的單調性問題的常用方法
作差比較法 根據an＋1－an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列還是常數列
作商比較法 根據(an＞0或an＜0)與1的大小關系進行判斷
目標函數法 寫出數列對應的函數，利用導數或利用基本初等函數的單調性探求其單調性，再將函數的單調性對應到數列中去
【鞏固遷移】
9．(2024·湖北宜昌階段考試)數列{an}的通項公式為an＝(n＋1)(n∈N*)，則該數列(　　)
A．遞增 B．遞減
C．先遞增后遞減 D．先遞減后遞增
答案　C
解析　因為an>0，令>1(n≥2)，則>1，整理得>，解得n<9，即當n<9時，an>an－1.同理，令＝1(n≥2)，即當n＝9時，a8＝a9.令<1(n≥2)，得n>9，即當n>9時，an10．已知數列{an}滿足an＋1＝2an＋1，a1＝1，若bn＝λan－n2＋4n為遞增數列，則λ的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　因為在數列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，則有an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，因此數列{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數列，an＋1＝2n，即an＝2n－1，則bn＝λ(2n－1)－n2＋4n，因為數列{bn}為遞增數列，即 n∈N*，bn＋1－bn＞0，則λ(2n＋1－1)－(n＋1)2＋4(n＋1)－[λ(2n－1)－n2＋4n]＝λ·2n－2n＋3＞0，則λ>，令cn＝，則cn＋1－cn＝－＝，n∈N*，當n≤2時，cn＋1＞cn，當n≥3時，cn＋1＜cn，于是得c3＝是數列{cn}的最大項，即當n＝3時，取得最大值，從而得λ>，所以λ的取值范圍為.故選C.
考向3數列的最值
例8 (2023·四川成都模擬)已知數列{an}滿足an＝2n(n＋1)，則數列{an}的最大項為(　　)
A．第4項 B．第5項
C．第6項 D．第7項
答案　D
解析　假設第n項最大(n≥2)，則有
又n∈N*，所以n＝7，即數列{an}的最大項為第7項．故選D.
【通性通法】
求數列的最大項與最小項的常用方法
單調性法 根據數列的單調性判斷
不等式法 利用(n≥2)確定最大項，利用(n≥2)確定最小項
【鞏固遷移】
11．(2024·河南洛陽一高質檢)若數列{an}的前n項積bn＝1－n，則an的最大值與最小值之和為(　　)
A．－ B．
C．2 D．
答案　C
解析　∵數列{an}的前n項積bn＝1－n，當n＝1時，a1＝；當n≥2時，bn－1＝1－(n－1)，an＝＝＝＝1＋，當n＝1時也適合上式，∴an＝1＋，∴當n≤4時，數列{an}遞減，且an＜1；當n≥5時，數列{an}遞減，且an＞1，故an的最大值為a5＝3，最小值為a4＝－1，∴an的最大值與最小值之和為2.故選C.
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第一節　數列的概念與簡單表示法
課標解讀 考向預測
1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表法、圖象法、解析式法). 2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數. 預計2025年高考會以特殊數列為主，考查數列的通項公式與前n項和公式以及遞推公式，在選擇題、填空題或解答題中都可能會出現，難度適中.
【知識梳理】
1．數列的定義
按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．
2．數列的表示方法
列表法 列出表格表示n與an的對應關系
圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標系中
解析式法 通項公式 數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式
遞推公式 如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式
3.數列的分類
分類標準 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列 an＋1＞an 其中n∈N*
遞減數列 an＋1＜an
常數列 an＋1＝an
擺動數列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
4.數列的前n項和
(1)表示：在數列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數列的前n項和．
(2)an與Sn的關系：若數列{an}的前n項和為Sn，則an＝
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相同的一組數按不同順序排列時都表示同一個數列．(　　)
(2)如果數列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
(3)在數列{an}中，對于任意正整數m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，則a2＝2.(　　)
(4)任何一個數列都有唯一的通項公式．(　　)
2．小題熱身
(1)在數列，，，2，，…中，第9個數是(　　)
A．3 B．3
C． D．10
(2)(多選)已知數列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數列的通項公式可能是(　　)
A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝
C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1
(3)(人教A選擇性必修第二冊4.1練習T3改編)在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，則a5＝________．
(4)(人教A選擇性必修第二冊4.1練習 T1改編)下列從左到右排列的圖形中，小正方形個數構成的數列的一個通項公式為an＝________．
【考點探究】
考點一　利用an與Sn的關系求通項公式(多考向探究)
考向1已知Sn求an
例1 (2023·山西大學附中三模)已知數列{an}滿足條件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，則數列{an}的通項公式為________．
【通性通法】
已知Sn求an的步驟
步驟一 利用a1＝S1，求出a1
步驟二 用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出當n≥2時an的表達式
步驟三 檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并
【鞏固遷移】
1．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝________．
考向2已知an與Sn的關系求an
例2 已知數列{an}的前n項和為Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，則a100＝(　　)
A．297 B．298
C．299 D．2100
【通性通法】
Sn與an關系問題的解題策略
根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化．
策略一 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解
策略二 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解
【鞏固遷移】
2．(2024·廣東中山一中階段考試)設Sn是數列{an}的前n項和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1(n≥2)，則Sn＝________，an＝________．
考點二 利用遞推關系求通項公式(多考 向探究)
考向1累加法
例3 (2024·江蘇鎮江一中高三月考)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，則an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【通性通法】
形如an＋1－an＝f(n)的數列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數列{an}的通項公式．
【鞏固遷移】
3．已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝，則a100＝________．
考向2累乘法
例4 (2024·湖北黃岡質檢)在數列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，則數列{an}的通項公式為an＝________．
【通性通法】
形如＝f(n)的數列，常令n分別為1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)個等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求數列{an}的通項公式．
提醒：利用累乘法，易出現兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到，漏掉a1而導致錯誤；二是根據連乘求出an之后，不注意檢驗a1是否成立．
【鞏固遷移】
4．數列{an}滿足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，則a6＝________．
考向3構造法
例5 (1)在數列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則an的表達式為________．
(2)(2024·江西九江模擬)已知數列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2×3n＋1，n∈N*，則數列{an}的通項公式為________．
(3)(2023·四川師大附中二診)已知數列{an}滿足an＋1＝2an＋，且{an}的前8項和為761，則a1＝________．
【通性通法】
數列中求通項的常見構造法
形如an＋1＝pan＋q(p，q為常數，pq≠0且p≠1)的遞推式 可構造an＋1＋λ＝p(an＋λ)，轉化為等比數列求解．也可以與類比式an＝pan－1＋q作差，由an＋1－an＝p(an－an－1)，構造{an＋1－an}為等比數列，然后利用累加法求通項
形如an＋1＝pan＋dn(p≠0且p≠1，d≠0且d≠1)的遞推式 當p＝d時，兩邊同除以dn＋1轉化為關于的等差數列；當p≠d時，兩邊可以同除以dn＋1得＝·＋，轉化為bn＋1＝·bn＋，然后利用構造法求解
形如an＋1＝(ac≠0)的遞推式 取倒數得＝＝·＋.當a＝b時，數列是等差數列；當a≠b時，令bn＝，則bn＋1＝·bn＋，然后利用構造法求解
【鞏固遷移】
5．(2023·湖南株洲模擬)數列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則是這個數列的第(　　)
A．100項 B．101項
C．102項 D．103項
6．(2024·浙江諸暨中學質檢)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，則數列{an}的通項公式為________．
7．已知在數列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，則an＝________．
考點三　數列的性質及其應用(多考向探究)
考向1數列的周期性
例6 (2024·哈爾濱質檢)已知數列{an}的前n項積為Tn，a1＝2且an＋1＝1－，則T2024＝________．
【通性通法】
解決數列周期性問題，根據給出的關系式求出數列的若干項，通過觀察歸納出數列的周期，進而求出有關項的值或前n項和．
【鞏固遷移】
8．(2024·江西臨川一中高三質檢)無窮數列{an}滿足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，則稱{an}為“和諧遞進數列”．若{an}為“和諧遞進數列”，Sn為其前n項和，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，則a7＝________，S2023＝________．
考向2數列的單調性
例7 已知數列{an}的通項公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ<1”是“數列{an}為遞增數列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【通性通法】
解決數列的單調性問題的常用方法
作差比較法 根據an＋1－an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列還是常數列
作商比較法 根據(an＞0或an＜0)與1的大小關系進行判斷
目標函數法 寫出數列對應的函數，利用導數或利用基本初等函數的單調性探求其單調性，再將函數的單調性對應到數列中去
【鞏固遷移】
9．(2024·湖北宜昌階段考試)數列{an}的通項公式為an＝(n＋1)(n∈N*)，則該數列(　　)
A．遞增 B．遞減
C．先遞增后遞減 D．先遞減后遞增
10．已知數列{an}滿足an＋1＝2an＋1，a1＝1，若bn＝λan－n2＋4n為遞增數列，則λ的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
考向3數列的最值
例8 (2023·四川成都模擬)已知數列{an}滿足an＝2n(n＋1)，則數列{an}的最大項為(　　)
A．第4項 B．第5項
C．第6項 D．第7項
又n∈N*，所以n＝7，即數列{an}的最大項為第7項．故選D.
【通性通法】
求數列的最大項與最小項的常用方法
單調性法 根據數列的單調性判斷
不等式法 利用(n≥2)確定最大項，利用(n≥2)確定最小項
【鞏固遷移】
11．(2024·河南洛陽一高質檢)若數列{an}的前n項積bn＝1－n，則an的最大值與最小值之和為(　　)
A．－ B．
C．2 D．
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