資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二節　等差數列
課標解讀 考向預測
1.理解等差數列的概念. 2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式. 3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題. 4.了解等差數列與一次函數的關系. 預計2025年高考將會從以下兩個角度來考查：(1)等差數列及其前n項和的基本運算與性質；(2)等差數列的綜合應用，可能與等比數列、函數、方程、不等式相結合考查，難度中檔.
【知識梳理】
1．等差數列的有關概念
(1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中項：若三個數a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b．
提醒：在等差數列{an}中，從第2項起，每一項都是它前后兩項的等差中項，即{an}成等差數列 an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．
2．等差數列的有關公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n項和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d．
3．等差數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若已知等差數列{an}，公差為d，前n項和為Sn，則
①等間距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…為等差數列，公差為td；
②等長度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…為等差數列，公差為m2d；
③算術平均值，，，…，即數列為等差數列，公差為.
(3)若項數為偶數2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝；
若項數為奇數2n－1，則S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝.
(4)若{an}，{bn}是等差數列，則{pan＋qbn}(其中p，q為常數)也是等差數列．
【常用結論】
1．已知數列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數)，則數列{an}一定是等差數列，且公差為p.
2．在等差數列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
3．等差數列{an}的單調性：當d＞0時，{an}是遞增數列；當d＜0時，{an}是遞減數列；當d＝0時，{an}是常數列．
4．數列{an}是等差數列 Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)．
5．若{an}與{bn}為等差數列，且前n項和分別為Sn與Tn，則＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)等差數列的前n項和Sn是項數為n的二次函數．(　　)
(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)等差數列{an}的前n項和Sn＝.(　　)
(4)設等差數列{an}的前n項和為Sn，則Sn與an不可能相等．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．小題熱身
(1)(2023·福建福州質檢)在等差數列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，則a5＋a6＝(　　)
A．10 B．20
C．25 D．30
答案　C
解析　等差數列{an}中，每相鄰2項的和仍然構成等差數列，設其公差為d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，則d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.故選C.
(2)(北師大版選擇性必修第二冊2.2 練習3(2)改編)設數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8＝(　　)
A．31 B．32
C．33 D．34
答案　B
解析　解法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32.故選B.
解法二：設等差數列{an}的公差為d，由得∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.故選B.
(3)(2022·全國乙卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________．
答案　2
解析　由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化簡得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
(4)(人教A選擇性必修第二冊4.2.2例8改編)某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有60個座位，則劇場總共的座位數為________．
答案　820
解析　設第n排的座位數為an(n∈N*)，數列{an}為等差數列，其公差d＝2，則an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，則劇場總共的座位數為＝＝820.
(5)已知數列{an}為等差數列，a2＋a8＝8，則a1＋a5＋a9＝________．
答案　12
解析　a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，則a5＝4，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝12.
【考點探究】
考點一　等差數列基本量的運算
例1 (1)已知{an}為等差數列，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，則n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　C
解析　公差d＝＝＝2，又Sn＝64，所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2＝64，解得n＝8(負值舍去)．故選C.
(2)(2024·皖南八校開學考試)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，則S10＝(　　)
A．6 B．10
C．12 D．20
答案　B
解析　設等差數列{an}的公差為d，因為a3＋a5＝2a1＋6d＝－10，S6＝6a1＋15d＝－42，解得a1＝－17，d＝4，所以S10＝10a1＋45d＝－170＋45×4＝10.故選B.
(3)已知等差數列{an}中，Sn為其前n項和，S4＝24，S9＝99，則a7＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
答案　C
解析　設等差數列{an}的公差為d，因為S4＝24，S9＝99，所以即解得所以a7＝a1＋6d＝3＋12＝15.故選C.
【通性通法】
等差數列基本量運算的思想方法
方程思想 等差數列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可通過方程組達到“知三求二”
整體思想 當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯系，整體代換即可求解
等價轉化思想 運用等差數列性質可以化繁為簡，優化解題過程
【鞏固遷移】
1．(2023·陜西部分名校高三下仿真模擬)在等差數列{an}中，a3＋a7＝a8＝16，則{an}的公差d＝(　　)
A． B．3
C． D．4
答案　A
解析　因為a3＋a7＝a8＝2a5＝16，所以a8－a5＝3d＝8，則d＝.故選A.
2．(2023·湖南名校聯考)設等差數列{an}的前n項和為Sn，且2a7－a11＝4，則S5＝(　　)
A．15 B．20
C．25 D．30
答案　B
解析　設等差數列{an}的公差為d，則2(a1＋6d)－(a1＋10d)＝a1＋2d＝4，所以S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5×4＝20.故選B.
考點二　等差數列的性質及其應用(多考向探究)
考向1等差數列項的性質
例2 (1)(2024·九省聯考)記等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，則S16＝(　　)
A．120 B．140
C．160 D．180
答案　C
解析　因為a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160.故選C.
(2)設公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S9＝3(a3＋a5＋am)，則m＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
答案　C
解析　因為S9＝9a5，所以9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以a3＋a5＋am＝3a5，即a3＋am＝2a5，所以m＝7.故選C.
【通性通法】
等差數列項的性質的關注點
關注點一 項的性質：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq
關注點二 等差數列題目中，只要出現項的和問題，一般先考慮應用項的性質
關注點三 項的性質常與等差數列的前n項和公式Sn＝相結合
【鞏固遷移】
3．(2024·河南杞縣模擬)已知項數為n的等差數列{an}的前6項和為10，最后6項和為110，所有項和為360，則n＝(　　)
A．48 B．36
C．30 D．26
答案　B
解析　由題意知a1＋a2＋…＋a6＝10，an＋an－1＋…＋an－5＝110，兩式相加得6(a1＋an)＝120，所以a1＋an＝20，又＝360，所以n＝36.故選B.
4．(多選)(2023·山東淄博調研)已知等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當首項a1和d變化時，a2＋a8＋a11是一個定值，則下列各項為定值的是(　　)
A．a7 B．a8
C．S13 D．S15
答案　AC
解析　由題意知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝＝13a7，是定值．故選AC.
考向2等差數列前n項和的性質
例3 (1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15＝(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
答案　B
解析　解法一：由題意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差數列，即7，14，S15－21成等差數列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故選B.
解法二：∵{an}為等差數列，∴也為等差數列，∴＝＋，∴S15＝42.故選B.
(2)已知等差數列{an}的項數為奇數，其中所有奇數項之和為319，所有偶數項之和為290，則該數列的中間項為(　　)
A．28 B．29
C．30 D．31
答案　B
解析　設等差數列{an}共有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，該數列的中間項為an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.
【通性通法】
熟練掌握等差數列前n項和的性質是解決此類試題的關鍵，解題時注意化歸與轉化思想的合理運用．
【鞏固遷移】
5．(2024·安徽蚌埠二中階段考試)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＝－2018，－＝6，則S2023＝________．
答案　8092
解析　由等差數列的性質可得也為等差數列，設其公差為d，則－＝6d＝6，所以d＝1，所以＝＋2022d＝－2018＋2022＝4，所以S2023＝8092.
6．(2023·廣東湛江模擬)有兩個等差數列{an}，{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn.若＝，則＝________；若＝，則＝________．
答案　　
解析　若＝，則＝＝＝.若＝＝，則可設Sn＝(2n2－n)k，Tn＝(3n2＋n)k，所以a5＝S5－S4＝45k－28k＝17k，b4＝T4－T3＝52k－30k＝22k，所以＝.
考向3等差數列前n項和的最值問題
例4 在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15.求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
解　解法一(函數法)：因為a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－，
Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－＋.
因為n∈N*，所以當n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.
解法二(鄰項變號法——利用單調性)：
因為a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－，an＝20＋(n－1)×
＝－n＋.
因為a1＝20>0，d＝－<0，
所以數列{an}是遞減數列．
由an＝－n＋≤0，
得n≥13，即a13＝0.
當n≤12時，an＞0；當n≥14時，an＜0.
所以當n＝12或13時，Sn取得最大值，
且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝130.
解法三：(鄰項變號法——利用性質)：
由S10＝S15得S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，所以5a13＝0，
即a13＝0.
又d＝＝－，
所以當n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝130.
【通性通法】
求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法
鄰項變號法 利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項，即可求出最值 (1)當a1>0，d<0時，滿足的項數m使得Sn取得最大值Sm； (2)當a1<0，d>0時，滿足的項數m使得Sn取得最小值Sm
利用等差數列的性質，求出其正負轉折項，即可求得最值
函數法 利用等差數列前n項和的函數表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數的最值的方法求解
【鞏固遷移】
7．(多選)(2023·濟寧模擬)設等差數列{an}的公差為d，前n項和是Sn，已知S14>0，S15<0，則下列說法正確的是(　　)
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6與S7均為Sn的最大值
D．a8<0
答案　ABD
解析　因為S14>0，S15<0，所以S14＝＝7(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0，即a7＋a8>0，因為S15＝＝15a8<0，所以a8<0，所以a7>0，所以等差數列{an}的前7項為正數，從第8項開始為負數，則a1>0，d<0，S7為Sn的最大值．故選ABD.
8．(2024·陜西省洛南中學高三月考)已知Sn為等差數列{an}的前n項和，且S2＝35，a2＋a3＋a4＝39，則當Sn取得最大值時，n的值為________．
答案　7
解析　解法一：設數列{an}的公差為d，則由題意得解得則Sn＝19n＋×(－3)＝－n2＋n＝－＋.又n∈N*，∴當n＝7時，Sn取得最大值．
解法二：設等差數列{an}的公差為d.∵a2＋a3＋a4＝3a3＝39，∴a3＝13，∴2a3－S2＝(a3－a2)＋(a3－a1)＝3d＝－9，解得d＝－3，則an＝a3＋(n－3)d＝22－3n，令解得≤n≤，又n∈N*，∴n＝7，即數列{an}的前7項為正數，從第8項起各項均為負數，故當Sn取得最大值時，n＝7.
考點三　等差數列的判定與證明
例5 (2021·全國甲卷)已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數列{an}是等差數列；②數列{}是等差數列；③a2＝3a1.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
解　選擇條件①③ ②.
已知數列{an}是等差數列，a2＝3a1，設數列{an}的公差為d，
則a2＝3a1＝a1＋d，所以d＝2a1.
因為Sn＝na1＋d＝n2a1，
所以＝n(a1>0)，所以－＝(n＋1)－n＝(常數)．
所以數列{}是等差數列．
選擇條件①② ③.
已知數列{an}是等差數列，數列{}是等差數列，設數列{an}的公差為d，
則S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，
因為數列{}是等差數列，
所以＋＝2，即＋＝2，
化簡整理得d＝2a1.所以a2＝a1＋d＝3a1.
選擇條件②③ ①.
已知數列{}是等差數列，a2＝3a1，設數列{}的公差為d，
所以－＝d，即－＝d.
所以a1＝d2，＝＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2.
所以an＝Sn－Sn－1＝2d2n－d2(n≥2)．
又a1＝d2也適合該通項公式，
所以an＝2d2n－d2(n∈N*)．
an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常數)，
所以數列{an}是等差數列．
【通性通法】
等差數列的判定與證明的常用方法
判定方法 定義法 對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數
等差中項法 對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1
通項公式法 對任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數)
前n項和公式法 對任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)
證明方法 定義法 對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數
等差中項法 對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1
【鞏固遷移】
9．已知公差大于零的等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)是否存在常數k，使得數列{}為等差數列？若存在，求出常數k；若不存在，請說明理由．
解　(1)設{an}的公差為d.
∵{an}為等差數列，
∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，
∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的兩個根，
又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.
∴∴∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n，假設存在常數k，使得數列{}為等差數列．
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
∴＝＝n，
當n≥2時，n－(n－1)＝，為常數，
∴數列{}為等差數列．
故存在常數k＝1，使得數列{}為等差數列．
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第二節　等差數列
課標解讀 考向預測
1.理解等差數列的概念. 2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式. 3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題. 4.了解等差數列與一次函數的關系. 預計2025年高考將會從以下兩個角度來考查：(1)等差數列及其前n項和的基本運算與性質；(2)等差數列的綜合應用，可能與等比數列、函數、方程、不等式相結合考查，難度中檔.
【知識梳理】
1．等差數列的有關概念
(1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中項：若三個數a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b．
提醒：在等差數列{an}中，從第2項起，每一項都是它前后兩項的等差中項，即{an}成等差數列 an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．
2．等差數列的有關公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n項和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d．
3．等差數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若已知等差數列{an}，公差為d，前n項和為Sn，則
①等間距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…為等差數列，公差為td；
②等長度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…為等差數列，公差為m2d；
③算術平均值，，，…，即數列為等差數列，公差為.
(3)若項數為偶數2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝；
若項數為奇數2n－1，則S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝.
(4)若{an}，{bn}是等差數列，則{pan＋qbn}(其中p，q為常數)也是等差數列．
【常用結論】
1．已知數列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數)，則數列{an}一定是等差數列，且公差為p.
2．在等差數列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
3．等差數列{an}的單調性：當d＞0時，{an}是遞增數列；當d＜0時，{an}是遞減數列；當d＝0時，{an}是常數列．
4．數列{an}是等差數列 Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)．
5．若{an}與{bn}為等差數列，且前n項和分別為Sn與Tn，則＝.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)等差數列的前n項和Sn是項數為n的二次函數．(　　)
(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)等差數列{an}的前n項和Sn＝.(　　)
(4)設等差數列{an}的前n項和為Sn，則Sn與an不可能相等．(　　)
2．小題熱身
(1)(2023·福建福州質檢)在等差數列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，則a5＋a6＝(　　)
A．10 B．20
C．25 D．30
(2)(北師大版選擇性必修第二冊2.2 練習3(2)改編)設數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8＝(　　)
A．31 B．32
C．33 D．34
(3)(2022·全國乙卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________．
(4)(人教A選擇性必修第二冊4.2.2例8改編)某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有60個座位，則劇場總共的座位數為________．
(5)已知數列{an}為等差數列，a2＋a8＝8，則a1＋a5＋a9＝________．
【考點探究】
考點一　等差數列基本量的運算
例1 (1)已知{an}為等差數列，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，則n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)(2024·皖南八校開學考試)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，則S10＝(　　)
A．6 B．10
C．12 D．20
(3)已知等差數列{an}中，Sn為其前n項和，S4＝24，S9＝99，則a7＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
【通性通法】
等差數列基本量運算的思想方法
方程思想 等差數列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可通過方程組達到“知三求二”
整體思想 當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯系，整體代換即可求解
等價轉化思想 運用等差數列性質可以化繁為簡，優化解題過程
【鞏固遷移】
1．(2023·陜西部分名校高三下仿真模擬)在等差數列{an}中，a3＋a7＝a8＝16，則{an}的公差d＝(　　)
A． B．3
C． D．4
2．(2023·湖南名校聯考)設等差數列{an}的前n項和為Sn，且2a7－a11＝4，則S5＝(　　)
A．15 B．20
C．25 D．30
考點二　等差數列的性質及其應用(多考向探究)
考向1等差數列項的性質
例2 (1)(2024·九省聯考)記等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，則S16＝(　　)
A．120 B．140
C．160 D．180
(2)設公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S9＝3(a3＋a5＋am)，則m＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
【通性通法】
等差數列項的性質的關注點
關注點一 項的性質：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq
關注點二 等差數列題目中，只要出現項的和問題，一般先考慮應用項的性質
關注點三 項的性質常與等差數列的前n項和公式Sn＝相結合
【鞏固遷移】
3．(2024·河南杞縣模擬)已知項數為n的等差數列{an}的前6項和為10，最后6項和為110，所有項和為360，則n＝(　　)
A．48 B．36
C．30 D．26
4．(多選)(2023·山東淄博調研)已知等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當首項a1和d變化時，a2＋a8＋a11是一個定值，則下列各項為定值的是(　　)
A．a7 B．a8
C．S13 D．S15
考向2等差數列前n項和的性質
例3 (1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15＝(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
(2)已知等差數列{an}的項數為奇數，其中所有奇數項之和為319，所有偶數項之和為290，則該數列的中間項為(　　)
A．28 B．29
C．30 D．31
【通性通法】
熟練掌握等差數列前n項和的性質是解決此類試題的關鍵，解題時注意化歸與轉化思想的合理運用．
【鞏固遷移】
5．(2024·安徽蚌埠二中階段考試)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＝－2018，－＝6，則S2023＝________．
6．(2023·廣東湛江模擬)有兩個等差數列{an}，{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn.若＝，則＝________；若＝，則＝________．
考向3等差數列前n項和的最值問題
例4 在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15.求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
【通性通法】
求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法
鄰項變號法 利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項，即可求出最值 (1)當a1>0，d<0時，滿足的項數m使得Sn取得最大值Sm； (2)當a1<0，d>0時，滿足的項數m使得Sn取得最小值Sm
利用等差數列的性質，求出其正負轉折項，即可求得最值
函數法 利用等差數列前n項和的函數表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數的最值的方法求解
【鞏固遷移】
7．(多選)(2023·濟寧模擬)設等差數列{an}的公差為d，前n項和是Sn，已知S14>0，S15<0，則下列說法正確的是(　　)
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6與S7均為Sn的最大值
D．a8<0
8．(2024·陜西省洛南中學高三月考)已知Sn為等差數列{an}的前n項和，且S2＝35，a2＋a3＋a4＝39，則當Sn取得最大值時，n的值為________．
考點三　等差數列的判定與證明
例5 (2021·全國甲卷)已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數列{an}是等差數列；②數列{}是等差數列；③a2＝3a1.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
【通性通法】
等差數列的判定與證明的常用方法
判定方法 定義法 對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數
等差中項法 對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1
通項公式法 對任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數)
前n項和公式法 對任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)
證明方法 定義法 對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數
等差中項法 對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1
【鞏固遷移】
9．已知公差大于零的等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)是否存在常數k，使得數列{}為等差數列？若存在，求出常數k；若不存在，請說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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