資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三節　等比數列
課標解讀 考向預測
1.理解等比數列的概念. 2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式. 3.了解等比數列與指數函數的關系. 預計2025年高考會從以下兩個角度來考查：(1)等比數列及其前n項和的基本運算與性質，可能與等差數列綜合出題，難度較??；(2)等比數列的綜合應用，可能與函數、方程、不等式結合考查，難度中檔.
【知識梳理】
1．等比數列的概念
(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0)．
數學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數)．
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．此時G2＝ab．
提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比數列”的必要不充分條件．
(2)只有當兩個數同號時，這兩個數才有等比中項，且等比中項有兩個，它們互為相反數．
(3)等比數列的奇數項符號相同，偶數項符號相同．
2．等比數列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3．等比數列的性質
已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和．
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有akal＝aman．
(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm．
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn．
【常用結論】
1．若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則數列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比數列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.
3．在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤．
4．三個數成等比數列，通常設為，x，xq；四個符號相同的數成等比數列，通常設為，，xq，xq3.
5．若已知等比數列{an}，公比為q，前n項和為Sn，則Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn為關于n的指數型函數，且qn的系數與常數項互為相反數．
6．{an}為等比數列，若a1a2…an＝Tn，則Tn，，，…成等比數列．
7．若{an}為正項等比數列，則{logcan}(c>0，c≠1)為等差數列．
8．若{an}為等差數列，則{can}(c>0，c≠1)為等比數列．
9．若{an}既是等差數列又是等比數列 {an}是非零常數列．
10．(1)項的個數的“奇偶”性質，在等比數列{an}中，公比為q.
①若共有2n項，則S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1項，則＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝(q為公比)．
11．等比數列的單調性
當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，{an}是遞增數列；
當q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，{an}是遞減數列；
當q＝1時，{an}是常數列．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)三個數a，b，c成等比數列的充要條件是b2＝ac.(　　)
(2)數列{an}為等比數列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數列．(　　)
(3)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數)的數列{an}為等比數列．(　　)
(4)如果數列{an}為等比數列，則數列{ln an}是等差數列．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小題熱身
(1)已知各項均為正數的等比數列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
答案　C
解析　設各項均為正數的等比數列{an}的公比為q，則解得所以a3＝a1q2＝4.故選C.
(2)若等比數列{an}的前n項和Sn＝3n＋b，則b＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．0
答案　C
解析　當n＝1時，a1＝S1＝3＋b，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，當b＝－1時，a1＝2適合an＝2·3n－1，{an}是等比數列．當b≠－1時，a1不適合an＝2·3n－1，{an}不是等比數列．故選C.
(3)(人教A選擇性必修第二冊4.3.1練習T2改編)在等比數列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5＝(　　)
A．5 B．±5
C．4 D．±4
答案　C
解析　∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.又a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.故選C.
(4)(人教A選擇性必修第二冊4.3.2練習T4改編)已知三個數成等比數列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個數為________．
答案　1，3，9或9，3，1
解析　設這三個數為，a，aq，則解得或∴這三個數為1，3，9或9，3，1.
【考點探究】
考點一　等比數列基本量的運算
例1 (1)(2023·全國甲卷)設等比數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4＝(　　)
A． B．
C．15 D．40
答案　C
解析　由題意知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由題意知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故選C.
(2)在等比數列{an}中，a3＝，S3＝，則a2的值為(　　)
A． B．－3
C．－ D．－3或
答案　D
解析　由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，所以a2＝＝或－3.故選D.
【通性通法】
等比數列基本量運算的解題策略
方程思想 等比數列的基本量為首項a1和公比q，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等比數列中包含a1，q，n，an，Sn五個量，可“知三求二”
整體思想 當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，q表示，尋求兩者間的聯系，整體代換即可求解
分類討論思想 若題目中公比q未知，則運用等比數列前n項和公式時要分q＝1和q≠1兩種情況進行討論
【鞏固遷移】
1．(2024·福建泉州中學階段考試)記Sn為等比數列{an}的前n項和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案　B
解析　解法一：設等比數列{an}的公比為q，則由解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n.故選B.
解法二：設等比數列{an}的公比為q，因為＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n.故選B.
2．(2023·全國甲卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和．若8S6＝7S3，則{an}的公比為________．
答案?。?br/>解析　若q＝1，則由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，則a1＝0，不符合題意，所以q≠1.當q≠1時，因為8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－.
考點二　等比數列的性質及其應用(多考向探究)
考向1等比數列項的性質
例2 (1)在各項都為正數的等比數列{an}中，已知0答案　9
解析　由T12＝T6，得＝1，即a7a8a9a10a11a12＝(a9a10)3＝1，故a9a10＝1，因為a1a18＝a9a10，則a1a18＝1，由于01，所以等比數列{an}是遞增數列，故0(2)(2023·湖南師大附中模擬)在等比數列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝，a4a5＝－，則＋＋＋＋＋＋＋＝________．
答案?。?
解析　＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋，∵在等比數列{an}中，a4a5＝－，則a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝－，∴原式＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8)＝－×＝－6.
【通性通法】
利用項的性質的解題策略
策略一 在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若m＋n＝p＋q＝2k，則am·an＝ap·aq＝a”，可以減少運算量，提高解題速度
策略二 在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用
【鞏固遷移】
3．公比不為1的等比數列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，則m的值為(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
答案　B
解析　∵公比不為1的等比數列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，又a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故選B.
4．(2023·北京東城區模擬)設等比數列{an}滿足a1＋a2＝48，a4＋a5＝6，則公比q＝________，log2(a1a2a3…an)的最大值為________．
答案　　15
解析　因為a1＋a2＝48，所以由a4＋a5＝6，可得q3(a1＋a2)＝6，q3＝，q＝.由a1＋a2＝48，可得a1＋a1＝48 a1＝32，所以an＝32·＝26－n，log2(a1a2a3…an)＝log2(25·24·…·26－n)＝log22＝，因為＝－＋，n∈N*，所以n＝5或6時，有最大值，為15.
考向2等比數列前n項和的性質
例3 (1)(2023·新課標Ⅱ卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝(　　)
A．120 B．85
C．－85 D．－120
答案　C
解析　解法一：設等比數列{an}的公比為q，若q＝1，則S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，與題意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×?、?，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故選C.
解法二：設等比數列{an}的公比為q，因為S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否則S4＝0，從而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數列，所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝.當S2＝－1時，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即為－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；當S2＝時，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，與S4＝－5矛盾，舍去．故選C.
(2)已知等比數列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q＝________．
答案　2
解析　由題意，得解得所以q＝＝＝2.
【通性通法】
等比數列的性質分類
類型一 通項公式的變形
類型二 等比中項的變形
類型三 前n項和公式的變形
提醒：應用時根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
【鞏固遷移】
5．等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝t·2n－1－1，則t＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
答案　A
解析　設等比數列的公比為q，當q＝1時，Sn＝na1，不符合題意；當q≠1時，等比數列的前n項和公式為Sn＝＝－·qn＋，依題意Sn＝t·2n－1－1＝t·2n－1，即t＋(－1)＝0，解得t＝2.故選A.
6．(2024·湖南岳陽一中月考)已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為________．
答案　20
解析　在正項等比數列{an}中，Sn>0，因為S8－2S4＝5，則S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比數列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，所以S12－S8＝＝＋S4＋10≥2＋10＝20(當且僅當S4＝5時取等號)．因為a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值為20.
考向3等比數列前n項和最值問題
例4 (多選)(2024·河北涿州模擬)設等比數列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1＞1，a2023a2024＞1，＜0，下列結論正確的是(　　)
A．S2023＜S2024
B．a2023a2025－1＜0
C．T2024是數列{Tn}中的最大項
D．數列{Tn}無最大項
答案　AB
解析　當q＜0時，a2023a2024＝aq＜0，與已知矛盾；當q≥1時，a2023＞1，a2024＞1，＞0，與已知矛盾，故0＜q＜1，且a2023＞1，0＜a2024＜1，故S2024＞S2023，A正確；a2023a2025－1＝a－1＜0，B正確；T2023是數列{Tn}中的最大項，C，D錯誤．故選AB.
【通性通法】
涉及等比數列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響．
【鞏固遷移】
7．(2023·安徽安慶模擬)已知等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若q>0，則的最小值是________．
答案　2－1
解析　由題意知，＝＝＝＝q＋1＋－1，又q>0，則q＋1＋－1≥2－1，當且僅當q＝－1時，等號成立．即的最小值是2－1.
考點三　等比數列的判定與證明
例5 Sn為等比數列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常數λ，使得數列{Sn＋λ}是等比數列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
解　(1)易知q≠1，
由題意可得解得
∴an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)假設存在常數λ，使得數列{Sn＋λ}是等比數列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝，此時Sn＋＝×3n，
則＝＝3，
故存在常數λ＝，使得數列是以為首項，3為公比的等比數列．
【通性通法】
等比數列的判定與證明的方法
提醒：(1)在解答題中證明一個數列為等比數列時，一般用定義法與等比中項法，判斷一個數列是等比數列，有通項公式法及前n項和公式法，只用于選擇題、填空題中的判定．
(2)如果要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續的三項不成等比數列即可．
(3)判斷一個數列是等比數列時，要注意各項不為0.
(4)在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證．
【鞏固遷移】
8．(2024·江西撫州一中質檢)已知數列{an}，{bn}滿足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn.
(1)證明：數列{an＋bn}，{an－bn}為等比數列；
(2)記Sn為數列{an}的前n項和，證明：Sn＜.
證明　(1)依題意
①＋②，得an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又a1＋b1＝≠0，
∴{an＋bn}是首項為，公比為的等比數列，
①－②，得an＋1－bn＋1＝(an－bn)．
又a1－b1＝≠0，
∴{an－bn}是首項為，公比為的等比數列．
(2)由(1)得，an＋bn＝×，　③
an－bn＝×， ④
③＋④得，an＝＋，
故Sn＝＋＝－－＜.
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第三節　等比數列
課標解讀 考向預測
1.理解等比數列的概念. 2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式. 3.了解等比數列與指數函數的關系. 預計2025年高考會從以下兩個角度來考查：(1)等比數列及其前n項和的基本運算與性質，可能與等差數列綜合出題，難度較小；(2)等比數列的綜合應用，可能與函數、方程、不等式結合考查，難度中檔.
【知識梳理】
1．等比數列的概念
(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0)．
數學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數)．
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．此時G2＝ab．
提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比數列”的必要不充分條件．
(2)只有當兩個數同號時，這兩個數才有等比中項，且等比中項有兩個，它們互為相反數．
(3)等比數列的奇數項符號相同，偶數項符號相同．
2．等比數列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3．等比數列的性質
已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和．
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有akal＝aman．
(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm．
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn．
【常用結論】
1．若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則數列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比數列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.
3．在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤．
4．三個數成等比數列，通常設為，x，xq；四個符號相同的數成等比數列，通常設為，，xq，xq3.
5．若已知等比數列{an}，公比為q，前n項和為Sn，則Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn為關于n的指數型函數，且qn的系數與常數項互為相反數．
6．{an}為等比數列，若a1a2…an＝Tn，則Tn，，，…成等比數列．
7．若{an}為正項等比數列，則{logcan}(c>0，c≠1)為等差數列．
8．若{an}為等差數列，則{can}(c>0，c≠1)為等比數列．
9．若{an}既是等差數列又是等比數列 {an}是非零常數列．
10．(1)項的個數的“奇偶”性質，在等比數列{an}中，公比為q.
①若共有2n項，則S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1項，則＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝(q為公比)．
11．等比數列的單調性
當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，{an}是遞增數列；
當q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，{an}是遞減數列；
當q＝1時，{an}是常數列．
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)三個數a，b，c成等比數列的充要條件是b2＝ac.(　　)
(2)數列{an}為等比數列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數列．(　　)
(3)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數)的數列{an}為等比數列．(　　)
(4)如果數列{an}為等比數列，則數列{ln an}是等差數列．(　　)
2．小題熱身
(1)已知各項均為正數的等比數列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
(2)若等比數列{an}的前n項和Sn＝3n＋b，則b＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．0
(3)(人教A選擇性必修第二冊4.3.1練習T2改編)在等比數列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5＝(　　)
A．5 B．±5
C．4 D．±4
(4)(人教A選擇性必修第二冊4.3.2練習T4改編)已知三個數成等比數列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個數為________．
【考點探究】
考點一　等比數列基本量的運算
例1 (1)(2023·全國甲卷)設等比數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4＝(　　)
A． B．
C．15 D．40
(2)在等比數列{an}中，a3＝，S3＝，則a2的值為(　　)
A． B．－3
C．－ D．－3或
【通性通法】
等比數列基本量運算的解題策略
方程思想 等比數列的基本量為首項a1和公比q，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等比數列中包含a1，q，n，an，Sn五個量，可“知三求二”
整體思想 當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，q表示，尋求兩者間的聯系，整體代換即可求解
分類討論思想 若題目中公比q未知，則運用等比數列前n項和公式時要分q＝1和q≠1兩種情況進行討論
【鞏固遷移】
1．(2024·福建泉州中學階段考試)記Sn為等比數列{an}的前n項和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
解法二：設等比數列{an}的公比為q，因為＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n.故選B.
2．(2023·全國甲卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和．若8S6＝7S3，則{an}的公比為________．
考點二　等比數列的性質及其應用(多考向探究)
考向1等比數列項的性質
例2 (1)在各項都為正數的等比數列{an}中，已知0(2)(2023·湖南師大附中模擬)在等比數列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝，a4a5＝－，則＋＋＋＋＋＋＋＝________．
【通性通法】
利用項的性質的解題策略
策略一 在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若m＋n＝p＋q＝2k，則am·an＝ap·aq＝a”，可以減少運算量，提高解題速度
策略二 在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用
【鞏固遷移】
3．公比不為1的等比數列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，則m的值為(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
4．(2023·北京東城區模擬)設等比數列{an}滿足a1＋a2＝48，a4＋a5＝6，則公比q＝________，log2(a1a2a3…an)的最大值為________．
考向2等比數列前n項和的性質
例3 (1)(2023·新課標Ⅱ卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝(　　)
A．120 B．85
C．－85 D．－120
(2)已知等比數列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q＝________．
【通性通法】
等比數列的性質分類
類型一 通項公式的變形
類型二 等比中項的變形
類型三 前n項和公式的變形
提醒：應用時根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
【鞏固遷移】
5．等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝t·2n－1－1，則t＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
6．(2024·湖南岳陽一中月考)已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為________．
考向3等比數列前n項和最值問題
例4 (多選)(2024·河北涿州模擬)設等比數列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1＞1，a2023a2024＞1，＜0，下列結論正確的是(　　)
A．S2023＜S2024
B．a2023a2025－1＜0
C．T2024是數列{Tn}中的最大項
D．數列{Tn}無最大項
【通性通法】
涉及等比數列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響．
【鞏固遷移】
7．(2023·安徽安慶模擬)已知等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若q>0，則的最小值是________．
考點三　等比數列的判定與證明
例5 Sn為等比數列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常數λ，使得數列{Sn＋λ}是等比數列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
【通性通法】
等比數列的判定與證明的方法
提醒：(1)在解答題中證明一個數列為等比數列時，一般用定義法與等比中項法，判斷一個數列是等比數列，有通項公式法及前n項和公式法，只用于選擇題、填空題中的判定．
(2)如果要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續的三項不成等比數列即可．
(3)判斷一個數列是等比數列時，要注意各項不為0.
(4)在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證．
【鞏固遷移】
8．(2024·江西撫州一中質檢)已知數列{an}，{bn}滿足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn.
(1)證明：數列{an＋bn}，{an－bn}為等比數列；
(2)記Sn為數列{an}的前n項和，證明：Sn＜.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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