資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四節　數列求和
課標解讀 考向預測
1.熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式. 2.掌握數列求和的幾種常見方法. 數列求和是高考考查的重點知識，預計2025年高考會考查等差、等比數列的前n項和公式以及其他求和公式，可能與通項公式相結合，也有可能與函數、方程、不等式等相結合，綜合命題，難度適中.
【知識梳理】
數列求和的幾種常用方法
1．公式法
(1)等差數列的前n項和公式
①已知等差數列的第1項和第n項求前n項和Sn＝；
②已知等差數列的第1項和公差求前n項和Sn＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式
當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，
①已知等比數列的第1項和第n項求前n項和Sn＝；
②已知等比數列的第1項和公比求前n項和Sn＝.
2．分組求和法與并項求和法
(1)若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)類型，常采用兩項合并求解．
3．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
4．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的．
5．倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的．
【常用結論】
1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2．12＋22＋…＋n2＝.
3．裂項求和常用的變形
(1)分式型：＝，
＝，
＝等．
(2)指數型：＝－，＝－
等．
(3)根式型：＝(－)等．
(4)對數型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)設數列{an}的前n項和為Sn，若an＝
，則S9＝2.(　　)
(2)<＝－.(　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求和．(　　)
(4)若數列a1，a2－a1，…，an－an－1是首項為1，公比為3的等比數列，則數列{an}的通項公式是an＝.(　　)
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第二冊4.4練習T2改編)數列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5＝(　　)
A．1 B．
C． D．
(2)(人教A選擇性必修第二冊4.4練習T1改編)數列{an}的通項公式an＝(－1)n(2n－1)，則該數列的前100項和為(　　)
A．－200 B．－100
C．200 D．100
(3)(人教A選擇性必修第二冊習題4.3 T3改編)若數列{an}的通項公式an＝2n＋2n－1，則數列{an}的前n項和為(　　)
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
(4)在數列{an}中，a1＝1，anan＋1＝－2，則S100＝________．
【考點探究】
考點一　拆項分組法求和
例1 (2023·湖南岳陽統考三模)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，其公比q≠－1，＝，且S4＝a3＋93.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)已知bn＝求數列{bn}的前n項和Tn.
【通性通法】
拆項分組法求和的常見類型
【鞏固遷移】
1．數列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值為________．
考點二　并項轉化法求和
例2 在等差數列{an}中，已知a6＝12，a18＝36.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(－1)n·an，求數列{bn}的前n項和Sn.
【通性通法】
并項轉化法求和
定義 一個數列的前n項和中，可兩兩或幾個相結合求解，則稱之為并項求和
適用條件 形如an＝(－1)nf(n)類型，周期型可采用幾項合并求解
注意 一般對n分奇偶進行討論，結果一般用分段形式表示
【鞏固遷移】
2．(2024·浙江臺州中學質檢)已知數列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝2n，數列{bn}滿足對任意正整數m≥2均有bm－1＋bm＋bm＋1＝成立．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求數列{bn}的前99項和．
考點三　裂項相消法求和
例3 (2023·承德模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，且＝.
(1)證明：數列{an}是等差數列；
(2)若a2＋1，a3＋1，a5成等比數列．從下面三個條件中選擇一個，求數列{bn}的前n項和Tn.
①bn＝；②bn＝；
③bn＝.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【通性通法】
利用裂項相消法求和的注意事項
(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項．
(2)將通項裂項后，有時需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項相等．如：若{an}是等差數列，則＝，＝.
【鞏固遷移】
3．數列{an}的通項公式為an＝，若{an}的前n項和為24，則n＝(　　)
A．25 B．576
C．624 D．625
4．(2022·新高考Ⅰ卷)記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1＝1，是公差為的等差數列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)證明：＋＋…＋<2.
考點四　錯位相減法求和
例4 (2023·全國甲卷)已知數列{an}中，a2＝1，設Sn為{an}的前n項和，2Sn＝nan.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列的前n項和Tn.
【通性通法】
1．錯位相減法求和的適用條件
若{an}是公差為d(d≠0)的等差數列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數列，求數列{anbn}的前n項和Sn.
2．錯位相減法求和的步驟
3．錯位相減法求和的注意事項
注意點一 在寫出Sn與qSn的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn，特別是等比數列公比為負數的情形
注意點二 等式右邊由第一項、中間n－1項的和式、最后一項三部分組成
注意點三 經常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項和看成n項和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導致錯誤
【鞏固遷移】
5．(2023·河北示范性高中調研)已知數列{an}的前n項和為Sn，且a2＝6，an＋1＝2(Sn＋1)．
(1)證明{an}為等比數列，并求{an}的通項公式；
(2)求數列{nan}的前n項和Tn.
考點五　倒序相加法求和
例5 已知數列{an}，{bn}滿足a1＝，2an＋1－an＝16an＋1an，bn＝－16.
(1)證明{bn}為等比數列，并求{bn}的通項公式；
(2)求a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a7b7.
【通性通法】
倒序相加法的使用策略
策略一 將一個數列倒過來排列，當它與原數列相加時，若有規律可循，并且容易求和，則這樣的數列求和時可用倒序相加法(等差數列前n項和公式的推導即用此方法)
策略二 和對稱性有關求和時可用倒序相加，比如函數關于點對稱的性質，組合數中C＝C的性質
【鞏固遷移】
6．已知函數f(x)對任意的x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝1，數列{an}滿足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，則數列{an}的通項公式為________．
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第四節　數列求和
課標解讀 考向預測
1.熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式. 2.掌握數列求和的幾種常見方法. 數列求和是高考考查的重點知識，預計2025年高考會考查等差、等比數列的前n項和公式以及其他求和公式，可能與通項公式相結合，也有可能與函數、方程、不等式等相結合，綜合命題，難度適中.
【知識梳理】
數列求和的幾種常用方法
1．公式法
(1)等差數列的前n項和公式
①已知等差數列的第1項和第n項求前n項和Sn＝；
②已知等差數列的第1項和公差求前n項和Sn＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式
當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，
①已知等比數列的第1項和第n項求前n項和Sn＝；
②已知等比數列的第1項和公比求前n項和Sn＝.
2．分組求和法與并項求和法
(1)若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)類型，常采用兩項合并求解．
3．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
4．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的．
5．倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的．
【常用結論】
1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2．12＋22＋…＋n2＝.
3．裂項求和常用的變形
(1)分式型：＝，
＝，
＝等．
(2)指數型：＝－，＝－
等．
(3)根式型：＝(－)等．
(4)對數型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1.
【診斷自測】
1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)設數列{an}的前n項和為Sn，若an＝
，則S9＝2.(　　)
(2)<＝－.(　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求和．(　　)
(4)若數列a1，a2－a1，…，an－an－1是首項為1，公比為3的等比數列，則數列{an}的通項公式是an＝.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)(人教A選擇性必修第二冊4.4練習T2改編)數列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5＝(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　B
解析　∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…＋－＝.故選B.
(2)(人教A選擇性必修第二冊4.4練習T1改編)數列{an}的通項公式an＝(－1)n(2n－1)，則該數列的前100項和為(　　)
A．－200 B．－100
C．200 D．100
答案　D
解析　S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故選D.
(3)(人教A選擇性必修第二冊習題4.3 T3改編)若數列{an}的通項公式an＝2n＋2n－1，則數列{an}的前n項和為(　　)
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
答案　C
解析　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.故選C.
(4)在數列{an}中，a1＝1，anan＋1＝－2，則S100＝________．
答案　－50
解析　根據題意，由a1＝1，a1a2＝－2，得a2＝－2，又a2a3＝－2，得a3＝1，a3a4＝－2，得a4＝－2，…，所以{an}中所有的奇數項均為1，所有的偶數項均為－2，所以S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝1－2＋…＋1－2＝50×(－1)＝－50.
【考點探究】
考點一　拆項分組法求和
例1 (2023·湖南岳陽統考三模)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，其公比q≠－1，＝，且S4＝a3＋93.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)已知bn＝求數列{bn}的前n項和Tn.
解　(1)因為{an}是等比數列，公比q≠－1，
則a4＝a1q3，a5＝a1q4，a7＝a1q6，a8＝a1q7，
所以＝＝＝，解得q＝3，
由S4＝a3＋93，可得＝9a1＋93，
解得a1＝3，
所以數列{an}的通項公式為an＝3n.
(2)由(1)得bn＝
當n為偶數時，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝－(1＋3＋…＋n－1)＋(32＋34＋…＋3n)
＝－＋
＝(3n－1)－；
當n為奇數時，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(3n＋1－1)－－3n＋1＝·3n＋1－－.
綜上所述，
Tn＝
【通性通法】
拆項分組法求和的常見類型
【鞏固遷移】
1．數列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值為________．
答案　n2＋1－
解析　由題意可得，通項公式為an＝(2n－1)＋，則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝＋＝n2＋1－.
考點二　并項轉化法求和
例2 在等差數列{an}中，已知a6＝12，a18＝36.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(－1)n·an，求數列{bn}的前n項和Sn.
解　(1)由題意，設等差數列{an}的公差為d，
則解得
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)由(1)，得bn＝(－1)n·an＝(－1)n·2n，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，
(ⅰ)當n為偶數時，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]＝2＋2＋…＋2＝×2＝n；
(ⅱ)當n為奇數時，n－1為偶數，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝Sn－1＋bn＝n－1－2n＝－n－1.
∴Sn＝
【通性通法】
并項轉化法求和
定義 一個數列的前n項和中，可兩兩或幾個相結合求解，則稱之為并項求和
適用條件 形如an＝(－1)nf(n)類型，周期型可采用幾項合并求解
注意 一般對n分奇偶進行討論，結果一般用分段形式表示
【鞏固遷移】
2．(2024·浙江臺州中學質檢)已知數列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝2n，數列{bn}滿足對任意正整數m≥2均有bm－1＋bm＋bm＋1＝成立．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求數列{bn}的前99項和．
解　(1)因為a1＋2a2＋…＋nan＝2n，
所以當n≥2時，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝2(n－1)．
兩式相減，得nan＝2，所以an＝(n≥2)．
又當n＝1時，a1＝2，也符合上式，所以an＝.
(2)由(1)知＝.
因為對任意的正整數m≥2，
均有bm－1＋bm＋bm＋1＝＝，
故數列{bn}的前99項和b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋…＋b97＋b98＋b99＝(b1＋b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6)＋…＋(b97＋b98＋b99)＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝825.
考點三　裂項相消法求和
例3 (2023·承德模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，且＝.
(1)證明：數列{an}是等差數列；
(2)若a2＋1，a3＋1，a5成等比數列．從下面三個條件中選擇一個，求數列{bn}的前n項和Tn.
①bn＝；②bn＝；
③bn＝.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
解　(1)證明：因為＝，
即n(an＋1)＝2Sn，
當n＝1時，a1＋1＝2S1，解得a1＝1，
當n≥2時，(n－1)(an－1＋1)＝2Sn－1，
所以n(an＋1)－(n－1)(an－1＋1)＝2Sn－2Sn－1，
即n(an＋1)－(n－1)(an－1＋1)＝2an，
所以(n－2)an－(n－1)an－1＋1＝0，
當n＝2時，上述式子恒成立，
當n>2時，兩邊同除以(n－2)(n－1)可得
－＝－＝－，
即－＝－，
所以為常數列，
即＝a2－1，
所以an－1＝(n－1)(a2－1)，
即an＝(n－1)(a2－1)＋1，
當n＝1時，也適合上式，
所以an＋1－an＝n(a2－1)＋1－(n－1)(a2－1)－1＝a2－1，
所以數列{an}是以1為首項，a2－1為公差的等差數列．
(2)設{an}的公差為d，因為a2＋1，a3＋1，a5成等比數列，
所以(a3＋1)2＝a5(a2＋1)，
即(2＋2d)2＝(1＋4d)(2＋d)，
解得d＝2，所以an＝2n－1.
若選①bn＝，
則bn＝＝，
所以Tn＝＝.
若選②bn＝，
則bn＝
＝
＝(－)，
所以Tn＝(－＋－＋…＋－)
＝(－1)．
若選③bn＝，
則bn＝＝－，
所以Tn＝－＋－＋…＋－
＝－.
【通性通法】
利用裂項相消法求和的注意事項
(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項．
(2)將通項裂項后，有時需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項相等．如：若{an}是等差數列，則＝，＝.
【鞏固遷移】
3．數列{an}的通項公式為an＝，若{an}的前n項和為24，則n＝(　　)
A．25 B．576
C．624 D．625
答案　C
解析　an＝－，所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令Sn＝24，得n＝624.故選C.
4．(2022·新高考Ⅰ卷)記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1＝1，是公差為的等差數列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)證明：＋＋…＋<2.
解　(1)因為是首項為1，公差為的等差數列，
所以＝1＋(n－1)＝，
故Sn＝an.①
當n≥2時，Sn－1＝an－1.②
由①－②可知an＝an－an－1，
所以(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝.
所以××…××＝×××…××＝(n≥2)，
所以an＝(n≥2)，
又a1＝1也滿足上式，
所以an＝(n∈N*)．
(2)證明：因為＝＝－，
所以＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝2－＜2.
考點四　錯位相減法求和
例4 (2023·全國甲卷)已知數列{an}中，a2＝1，設Sn為{an}的前n項和，2Sn＝nan.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列的前n項和Tn.
解　(1)因為2Sn＝nan，
當n＝1時，2a1＝a1，
即a1＝0；
當n＝3時，2(1＋a3)＝3a3，
即a3＝2，
當n≥2時，2Sn－1＝(n－1)an－1，
所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1，
即2an＝nan－(n－1)an－1，
化簡得(n－2)an＝(n－1)an－1，
當n≥3時，＝＝…＝＝1，即an＝n－1，
當n＝1，2時都滿足上式，
所以an＝n－1(n∈N*)．
(2)因為＝，所以Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，
Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，
兩式相減得Tn＝＋＋＋…＋－n×＝－n×＝1－×，
即Tn＝2－(2＋n)×，n∈N*.
【通性通法】
1．錯位相減法求和的適用條件
若{an}是公差為d(d≠0)的等差數列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數列，求數列{anbn}的前n項和Sn.
2．錯位相減法求和的步驟
3．錯位相減法求和的注意事項
注意點一 在寫出Sn與qSn的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn，特別是等比數列公比為負數的情形
注意點二 等式右邊由第一項、中間n－1項的和式、最后一項三部分組成
注意點三 經常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項和看成n項和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導致錯誤
【鞏固遷移】
5．(2023·河北示范性高中調研)已知數列{an}的前n項和為Sn，且a2＝6，an＋1＝2(Sn＋1)．
(1)證明{an}為等比數列，并求{an}的通項公式；
(2)求數列{nan}的前n項和Tn.
解　(1)因為an＋1＝2(Sn＋1)，
所以an＝2(Sn－1＋1)(n≥2)，
故an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
即＝3(n≥2)，
又a2＝2(S1＋1)＝2a1＋2，故a1＝2，即＝3，
因此＝3(n∈N*)．
故{an}是以2為首項，3為公比的等比數列．
因此an＝2×3n－1(n∈N*)．
(2)因為Tn＝2×1＋2×2×3＋2×3×32＋…＋2n×3n－1，①
故3Tn＝2×1×3＋2×2×32＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n×3n，②
①－②，得－2Tn＝2＋(2×3＋2×32＋…＋2×3n－1)－2n×3n＝2＋－2n×3n＝－1＋(1－2n)×3n，
即Tn＝.
考點五　倒序相加法求和
例5 已知數列{an}，{bn}滿足a1＝，2an＋1－an＝16an＋1an，bn＝－16.
(1)證明{bn}為等比數列，并求{bn}的通項公式；
(2)求a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a7b7.
解　(1)由2an＋1－an＝16an＋1an，可得＝－16，
于是－16＝2，即bn＋1＝2bn，
而b1＝－16＝2，
所以{bn}是首項為2，公比為2的等比數列．
所以bn＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)知an＝，所以anbn＝.
因為akbk＋a8－kb8－k＝＋＝＋＝1，
所以2(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a7b7)＝(a1b1＋a7b7)＋(a2b2＋a6b6)＋…＋(a7b7＋a1b1)＝7，
因此a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a7b7＝.
【通性通法】
倒序相加法的使用策略
策略一 將一個數列倒過來排列，當它與原數列相加時，若有規律可循，并且容易求和，則這樣的數列求和時可用倒序相加法(等差數列前n項和公式的推導即用此方法)
策略二 和對稱性有關求和時可用倒序相加，比如函數關于點對稱的性質，組合數中C＝C的性質
【鞏固遷移】
6．已知函數f(x)對任意的x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝1，數列{an}滿足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，則數列{an}的通項公式為________．
答案　an＝
解析　∵f(x)＋f(1－x)＝1，∴f＋f＝1，又an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)　①，∴an＝f(1)＋f＋f＋…＋f＋f(0)　②，①＋②，得2an＝n＋1，∴an＝.∴數列{an}的通項公式為an＝.
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