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章末復習提升
　　
一、不等關系與不等式的性質
1.作差法比較大小的關鍵是對差式進行變形，變形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
2.運用不等式的性質時，要注意不等式成立的條件及其是否具有可逆性.判斷不等式是否成立時，常利用特殊值法求解客觀題.
例1 (1)若a>b，x>y，則下列不等式正確的是(　　)
A.a＋xby
C.|a|x≥|a|y D.(a－b)x<(a－b)y
(2)已知0A.M>N B.MC.M＝N D.不能確定
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)因為當a≠0時，|a|>0，
由x>y，得|a|x>|a|y；
當a＝0時，|a|x＝|a|y.
因此|a|x≥|a|y.
選項A，B，D均不滿足不等式性質，不正確.
(2)因為0所以1＋a>0，1＋b>0，ab<1.
M－N＝－－＝＋＝>0，所以M>N.
訓練1 (1)(多選)若<<0，則下列結論正確的是(　　)
A.a2C.＋>2 D.|a|＋|b|>|a＋b|
答案　ABC
解析　由<<0，得b∴a2ab，則A，B正確.
又b0，且≠，
因此＋>2＝2，選項C正確.
顯然|a|＋|b|＝|a＋b|＝－(a＋b)，D錯誤.
(2)已知2答案　
解析　因為－2因為2所以<<2.
二、基本不等式的應用
基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的熱點，主要考查命題判斷、不等式證明以及求最值問題，特別是求最值問題往往與實際問題相結合，同時在基本不等式的使用條件上設置一些問題，實際上是考查學生恒等變形的技巧，另外，基本不等式的和與積的轉化在高考中也經常出現.
例2 (1)若－4A.有最小值1 B.有最大值1
C.有最小值－1 D.有最大值－1
(2)已知x>0，y>0，且＋＝，則x＋y的最小值為________.
答案　(1)D　(2)5
解析　(1)＝，
又因為－40，
所以－≤－1，
當且僅當x－1＝，即x＝0時等號成立.
∴當x＝0時，取到最大值－1.
(2)由題意得，2＝1，
所以x＋y＝(x＋3)＋y－3＝2[(x＋3)＋y]－3
＝2＋＋＋2－3
＝＋＋1≥2＋1＝5，
當且僅當＝，且＋＝，
即x＝1，y＝4時等號成立，
所以x＋y的最小值為5.
訓練2 (1)已知函數y＝x－4＋(x>－1)，當x＝a時，y取得最小值b，則a＝________；b＝________.
答案　2　1
解析　y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，
因為x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2－5＝2×3－5＝1，
當且僅當x＋1＝，即x＝2時，等號成立，
此時a＝2，b＝1.
(2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值為________.
答案　4
解析　因為2xy＝x·(2y)≤，
所以8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.
因為x>0，y>0，所以x＋2y≥4，
當且僅當x＝2，y＝1時取等號，
即x＋2y的最小值是4.
三、一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式(分式不等式)首先轉化為標準形式(二次項系數為正)，然后能分解因式的變成因式相乘的形式，從而得到不等式的解集.
2.對于含參數的不等式要注意對參數進行討論，做到不重不漏.
例3 已知關于x的不等式2kx2＋kx－<0.
(1)若不等式的解集為，求實數k的值；
(2)若不等式的解集為R，求實數k的取值范圍.
解　(1)若關于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集為，
則－和1是2kx2＋kx－＝0的實根，且k>0.
由根與系數的關系，得－×1＝，
求得k＝.
(2)若關于x的不等式2kx2＋kx－<0解集為R，
則k＝0，或
求得k＝0或－3故實數k的取值范圍為{k|－3訓練3 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求a的值；
(2)求不等式>a＋5的解集.
解　 (1)依題意，可得方程ax2＋5x－2＝0的兩個實數根為和2，且a<0.
由根與系數的關系，得
解得a＝－2.
(2)將a＝－2代入不等式，得>3，
整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，
解得－2則不等式的解集為{x|－2四、不等式恒成立問題
1.二次不等式恒成立的問題，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?
2.對于含參數的不等式要注意對參數進行討論，做到不重不漏.另外在解題中可借助分離參數、數形結合等方法優化解題過程.
例4 已知函數y＝x2＋ax＋3.
(1)當x∈R時，y≥a恒成立，求a的取值范圍；
(2)當a∈[4，6]時，y≥0恒成立，求x的取值范圍.
解　(1)當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
則Δ＝a2－4(3－a)≤0，
即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
故a的取值范圍為{a|－6≤a≤2}.
(2)將y＝xa＋x2＋3看作關于a的一次函數或常數函數，由于a∈[4，6]，其圖象是一條線段.
當a∈[4，6]時，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6時y≥0即可，
則
解得x≤－3－或x≥－3＋，
故x的取值范圍是{x|x≤－3－或x≥－3＋}.
訓練4 已知x>0，y>0，且＋＝2，若x＋2y>m2－3m－1恒成立，則實數m的取值范圍是________.
答案　{m|－1解析　由＋＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，
所以x＋1＝2xy，則2y＝1＋，
所以x＋2y＝x＋＋1≥2＋1＝3，
當且僅當x＝1，y＝1時，等號成立.
所以(x＋2y)min＝3，
所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，
化為3>m2－3m－1，
則m2－3m－4<0，解得－1第二章
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1.作差法比較大小的關鍵是對差式進行變形，變形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
2.運用不等式的性質時，要注意不等式成立的條件及其是否具有可逆性.判斷不等式是否成立時，常利用特殊值法求解客觀題.
一、不等關系與不等式的性質
例1
(1)若a>b，x>y，則下列不等式正確的是
A.a＋xby
C.|a|x≥|a|y D.(a－b)x<(a－b)y
√
因為當a≠0時，|a|>0，由x>y，得|a|x>|a|y；
當a＝0時，|a|x＝|a|y.
因此|a|x≥|a|y.
選項A，B，D均不滿足不等式性質，不正確.
√
訓練1
√
√
√
因為－2二、基本不等式的應用
例2
√
5
訓練2
2
1
4
因為x>0，y>0，所以x＋2y≥4，
當且僅當x＝2，y＝1時取等號，
即x＋2y的最小值是4.
三、一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式(分式不等式)首先轉化為標準形式(二次項系數為正)，然后能分解因式的變成因式相乘的形式，從而得到不等式的解集.
2.對于含參數的不等式要注意對參數進行討論，做到不重不漏.
例3
訓練3
四、不等式恒成立問題
例4
已知函數y＝x2＋ax＋3.
(1)當x∈R時，y≥a恒成立，求a的取值范圍；
當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
則Δ＝a2－4(3－a)≤0，
即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
故a的取值范圍為{a|－6≤a≤2}.
將y＝xa＋x2＋3看作關于a的一次函數或常數函數，由于a∈[4，6]，其圖象是一條線段.
(2)當a∈[4，6]時，y≥0恒成立，求x的取值范圍.
當a∈[4，6]時，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6時y≥0即可，
訓練4
{m|－1所以(x＋2y)min＝3，
所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，
化為3>m2－3m－1，
則m2－3m－4<0，解得－1一、不等關系與不等式的性質
1.作差法比較大小的關鍵是對差式進行變形,變形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
2.運用不等式的性質時,要注意不等式成立的條件及其是否具有可逆性.判斷不等式是否成立時,常利用特殊值法求解客觀題.
例1 (1)若a>b,x>y,則下列不等式正確的是 (　　)
A.a+xby
C.|a|x≥|a|y D.(a-b)x<(a-b)y
(2)已知0A.M>N B.MC.M=N D.不能確定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練1 (1)(多選)若<0,則下列結論正確的是 (　　)
A.a2C.>2 D.|a|+|b|>|a+b|
(2)已知2二、基本不等式的應用
基本不等式:(a>0,b>0)是每年高考的熱點,主要考查命題判斷、不等式證明以及求最值問題,特別是求最值問題往往與實際問題相結合,同時在基本不等式的使用條件上設置一些問題,實際上是考查學生恒等變形的技巧,另外,基本不等式的和與積的轉化在高考中也經常出現.
例2 (1)若-4A.有最小值1 B.有最大值1
C.有最小值-1 D.有最大值-1
(2)已知x>0,y>0,且,則x+y的最小值為　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練2 (1)已知函數y=x-4+(x>-1),當x=a時,y取得最小值b,則a=　　　　;
b=　　　　.
(2)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為　　　　.
三、一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式(分式不等式)首先轉化為標準形式(二次項系數為正),然后能分解因式的變成因式相乘的形式,從而得到不等式的解集.
2.對于含參數的不等式要注意對參數進行討論,做到不重不漏.
例3 已知關于x的不等式2kx2+kx-<0.
(1)若不等式的解集為,求實數k的值;
(2)若不等式的解集為R,求實數k的取值范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練3 若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求a的值;
(2)求不等式>a+5的解集.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、不等式恒成立問題
1.二次不等式恒成立的問題,即ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
2.對于含參數的不等式要注意對參數進行討論,做到不重不漏.另外在解題中可借助分離參數、數形結合等方法優化解題過程.
例4 已知函數y=x2+ax+3.
(1)當x∈R時,y≥a恒成立,求a的取值范圍;
(2)當a∈[4,6]時,y≥0恒成立,求x的取值范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練4 已知x>0,y>0,且=2,若x+2y>m2-3m-1恒成立,則實數m的取值范圍是　　　　.

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